Math SN4, secondaire 4 à Montréal • Algèbre
Cette fiche ne refait pas le cours sur les équations : vous l'avez déjà dans vos notes. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note : l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, la méthode à choisir selon la FORME de l'énoncé, et la rédaction qu'un correcteur attend devant un tableau de signes.
C'est le chapitre où la moitié des points perdus le sont sur des inéquations, pas sur des équations. La raison est toujours la même : une inéquation du second degré ne se résout pas par opérations successives, elle se lit dans un tableau. Tout le reste de la fiche découle de cette différence.
Le fil du chapitre
Résoudre une équation, c'est enchaîner des opérations jusqu'à isoler des points; résoudre une inéquation du second degré, c'est LIRE un signe sur un intervalle. Traiter la seconde comme la première est l'erreur qui structure tout le chapitre.
Accolades pour une équation, crochets pour une inéquation. Un ensemble-solution écrit devant une inéquation dit au correcteur que la question n'a pas été comprise.
Un qui n'est pas un carré parfait n'est pas une erreur : se laisse en valeur exacte, sauf si l'énoncé demande une approximation.
Le geste qui renverse est aussi celui qu'on écrit le plus vite. Sur une copie, souligner le facteur négatif avant de diviser suffit à ne plus l'oublier.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc ou , soit ou . »
Ce qu'il faut écrire
« On ramène tout d'un côté : , donc , soit et ou . »
Pourquoi : La loi du produit nul dit qu'un produit vaut ZÉRO si l'un des facteurs est nul. Il n'existe aucune loi du produit égal à six : deux facteurs peuvent donner de mille façons.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , je divise par : . »
Ce qu'il faut écrire
« , donc et . Diviser par suppose et efface la solution . »
Pourquoi : Une division par une expression littérale n'est légitime que si elle est non nulle, et ici est justement solution. La règle générale : devant une équation, on factorise, on ne divise jamais.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Pour : , donc aucune solution. »
Ce qu'il faut écrire
« , donc deux solutions : , soit ou . »
Pourquoi : L'exposant s'applique à entier, parenthèses comprises. Sans elles, la calculatrice comme la copie lisent l'opposé du carré. Un négatif sur un trinôme visiblement factorisable est le signal d'alarme.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc . »
Ce qu'il faut écrire
« , je divise par qui est négatif, donc le sens se renverse : . »
Pourquoi : Multiplier par un négatif retourne l'ordre des nombres : mais . La vérification est immédiate, donne , tandis que donne , ce qui est faux.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc , donc ou , soit ou . »
Ce qu'il faut écrire
« : un produit est négatif quand les deux facteurs sont de signes CONTRAIRES. Tableau de signes, d'où . »
Pourquoi : La loi du produit nul se transpose à l'égalité, jamais à l'inégalité : « négatif » n'impose rien à chaque facteur pris isolément, seulement à leur combinaison. Le tableau de signes est le seul outil correct.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc . »
Ce qu'il faut écrire
« , donc et . »
Pourquoi : La réponse fautive contient , qui donne , absurde. vaut , pas : une inéquation carrée se traite par factorisation, jamais par racine.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« donne , donc . »
Ce qu'il faut écrire
« Valeur interdite : . De on tire ou , mais est interdit : c'est une solution étrangère, on la rejette. . »
Pourquoi : Multiplier par le dénominateur pour s'en débarrasser crée des solutions qui ne satisfont pas l'équation de départ. Poser les valeurs interdites AVANT de multiplier est la seule protection.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , je multiplie par : , donc . »
Ce qu'il faut écrire
« On ne multiplie pas par , dont le signe est inconnu. On ramène tout d'un côté : , soit , puis tableau de signes : . »
Pourquoi : Selon le signe de , la multiplication conserve ou renverse l'inégalité : on ne peut pas choisir sans le connaître. La réponse fautive inclut , qui donne , manifestement faux.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« : , donc deux solutions dès que . »
Ce qu'il faut écrire
« Si , l'équation devient , du premier degré : une seule solution, . Si et : deux solutions. Si : une solution double. Si : aucune. »
Pourquoi : Le discriminant n'existe que pour une équation du second degré. Quand dépend d'un paramètre, la première question est toujours : cette équation est-elle bien du second degré ?
Ce qu'il ne faut pas écrire
« donne , donc . »
Ce qu'il faut écrire
« On divise par , qui est négatif, donc le sens s'inverse : . »
Pourquoi : À une seule variable, l'oubli retourne un intervalle et se voit souvent au contrôle. À deux variables, il fait hachurer l'autre moitié du plan, et la suite du problème, appartenance d'un point ou intersection d'un système, est fausse en bloc. Contrôle en trois secondes : doit donner la même réponse dans l'écriture de départ et dans l'écriture isolée.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Pour , je teste : est faux, donc je hachure l'autre côté. »
Ce qu'il faut écrire
« L'origine est SUR la frontière, elle ne départage rien. Je prends : est vrai, donc je hachure le demi-plan qui contient ce point. »
Pourquoi : Un point de la frontière n'appartient à aucun des deux demi-plans ouverts : il ne peut donc pas servir de test, et le résultat obtenu est arbitraire. Le réflexe « on teste toujours l'origine » n'est valable que si la droite ne passe pas par elle, ce qui se vérifie d'un coup d'œil sur l'équation : une frontière sans terme constant passe par l'origine.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« vérifie et , donc il est dans l'ensemble-solution. »
Ce qu'il faut écrire
« échoue à , puisque est faux. Une seule condition violée suffit, le point est exclu. »
Pourquoi : L'ensemble-solution d'un système est une INTERSECTION, donc il se lit avec un ET et jamais avec un OU. Deux conditions vraies sur trois donnent l'impression d'être presque dedans, alors qu'être presque dedans n'existe pas. Même remarque pour les sommets : chacun se calcule avec deux droites, puis doit être vérifié dans la troisième inéquation, celle qui n'a pas servi.
Regardez ce qu'il y a des deux côtés du signe égal, et le degré de ce qui reste une fois tout ramené à gauche.
Si un produit de facteurs égale ZÉRO → loi du produit nul : on annule chaque facteur séparément
Exemple : donne ou
Si un produit égale autre chose que zéro → développer, tout ramener à gauche, puis factoriser
Exemple : devient
c'est l'erreur la plus courante du chapitre, ne jamais annuler un facteur ici
Si un trinôme égal à zéro, factorisable de tête → produit-somme puis loi du produit nul, c'est plus rapide que la formule
Exemple : donne
Si un trinôme égal à zéro qui ne se factorise pas de tête → formule quadratique, après avoir calculé
Exemple : donne , donc
toujours écrire sur sa propre ligne, il vaut souvent un point à lui seul
Si un dénominateur contient l'inconnue → poser les valeurs interdites, multiplier par le dénominateur, résoudre, puis rejeter les solutions interdites
Exemple : donne
Si le coefficient de contient un paramètre → séparer le cas où ce coefficient est nul avant tout calcul de
Exemple : : traiter à part
Quand une équation contient une seule inconnue élevée au carré et rien d'autre, comme , on écrit : c'est le seul cas où la racine carrée s'utilise directement, et le n'est pas négociable.
Le degré décide de la méthode, et le signe de ce par quoi on divise décide du sens.
Si premier degré, sans inconnue au dénominateur → opérations successives, en renversant le sens à chaque multiplication ou division par un négatif
Exemple : donne puis
Si second degré → tout ramener d'un côté, factoriser, tableau de signes, puis lire l'intervalle
Exemple : donne , donc
ne jamais annuler ni séparer les facteurs comme dans une équation
Si un quotient avec l'inconnue au dénominateur → tout ramener sur un seul quotient, tableau de signes du numérateur ET du dénominateur
Exemple : donne , donc
la borne qui annule le dénominateur est TOUJOURS exclue, même avec un
Si l'inconnue est sous une valeur absolue → deux cas selon le signe de l'expression intérieure, puis réunion des deux ensembles
Exemple : donne , donc
Aucune branche ne s'applique tant que l'inéquation n'a pas été ramenée à « expression » ou « expression ». C'est la première ligne à écrire, avant même de choisir la méthode.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé contient , , ou et un terme en , ou demande « pour quelles valeurs de ».
Phrase de conclusion
« équivaut à , soit . Le tableau de signes donne . »
Le piège : Écrire avec des accolades. Ce sont les deux racines, pas l'ensemble-solution de l'inéquation, et cette confusion se voit tout de suite.
Barème : 1 point pour la mise à zéro, 1 pour la factorisation, 2 pour le tableau de signes, 1 pour la notation d'intervalle.
Quand l'utiliser : L'inconnue apparaît au dénominateur d'au moins une fraction.
Phrase de conclusion
« Valeurs interdites : . L'équation donne ou ; or est une valeur interdite, c'est une solution étrangère. Donc . »
Le piège : Chercher les valeurs interdites à la fin, une fois les dénominateurs disparus. À ce stade il n'y a plus rien à lire, et la solution étrangère passe.
Barème : 1 point pour les valeurs interdites posées d'entrée, 2 pour la résolution, 1 pour le rejet motivé.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Réinjecter chaque solution dans l'énoncé d'ORIGINE
Remplacez par chaque valeur trouvée dans la toute première ligne de la question, pas dans une ligne intermédiaire. C'est ce qui attrape les solutions étrangères et les erreurs de signe.
Pour et : le dénominateur vaut , la calculatrice affiche ERROR. La solution est étrangère, elle se rejette.
Tester un point de chaque zone pour une inéquation
Une inéquation découpe la droite réelle en zones séparées par les racines. Prenez un nombre entier simple dans chacune et testez-le dans l'inéquation de départ : la zone est bonne ou elle ne l'est pas, sans refaire le tableau.
Pour : donne , faux; donne , vrai; donne , faux. Seule la zone du milieu convient, donc .
La somme et le produit des racines
Pour , les deux racines vérifient et . Deux additions de tête suffisent à valider une formule quadratique.
donne et : somme , qui vaut bien , et produit , qui vaut bien .
Les crochets sont-ils dans le bon sens ?
Une inégalité stricte ouvre la borne, une inégalité large la ferme, et une borne qui annule un dénominateur reste ouverte quoi qu'il arrive. Relire l'énoncé une dernière fois ne coûte rien.
donne : le est fermé car il annule le numérateur, le reste ouvert car il annule le dénominateur.
Le graphique de la calculatrice
Tracez la fonction correspondant au membre ramené à gauche et regardez où la courbe est au-dessus ou au-dessous de l'axe. Sur une TI, ZOOM puis TRACE; sur une Casio, le menu GRAPH. L'intervalle se lit directement.
La courbe de passe sous l'axe entre et : si votre réponse était ou , le sens de l'inégalité a été inversé quelque part.
Avez-vous testé un point de CHAQUE côté de la frontière ?
Un point de la région hachurée doit rendre l'inéquation vraie, et un point de l'autre côté doit la rendre fausse. Le second contrôle est le plus utile : il attrape le sens inversé, que le premier laisse passer.
Pour , le point donne , vrai, et donne , faux : le demi-plan retenu est le bon.
Un ballon est lancé verticalement. Sa hauteur, en mètres, secondes après le lancer, est donnée par .
Pendant combien de temps le ballon se trouve-t-il à plus de mètres du sol ?
Étape 1
« À plus de mètres » se traduit par l'inéquation , soit .
Pourquoi
La traduction est notée à elle seule. « Plus de » donne une inégalité STRICTE : le ballon n'est pas au-dessus de m à l'instant précis où il est à m.
Étape 2
On ramène tout d'un côté : .
Pourquoi
Une inéquation du second degré ne se résout que comparée à zéro. Tant que reste à droite, aucun tableau de signes n'est possible.
Étape 3
On divise par , qui est NÉGATIF, donc le sens se renverse : .
Pourquoi
Diviser par simplifie tous les coefficients d'un coup, mais c'est exactement le geste qui renverse l'inégalité. Le devenu vaut un point et se perd une fois sur trois.
Étape 4
Factorisation : produit , somme , donc et , d'où .
Pourquoi
Le produit-somme suffit ici, la formule quadratique serait plus lente. Les zéros et deviennent les bornes du tableau de signes.
Étape 5
Tableau de signes : est négatif avant , négatif avant . Le produit est donc positif avant , NÉGATIF entre et , positif après . L'inéquation demande le négatif : .
Pourquoi
On lit dans le tableau la ligne du produit, pas celle des facteurs. C'est le seul endroit de la question où le signe cherché doit être relu dans l'énoncé transformé, ici .
Étape 6
Contexte : le ballon est en l'air de à , et l'intervalle trouvé y est inclus. La durée cherchée vaut secondes.
Pourquoi
La question demande une DURÉE, pas un intervalle. Répondre sans soustraire laisse un point sur la table, parce que l'énoncé disait « pendant combien de temps ».
Étape 7
Vérification : , donc convient. , donc ne convient pas, comme prévu. exactement, la borne est bien exclue.
Pourquoi
Un point dedans, un point dehors, et une borne : trois calculs de tête valident l'intervalle sans refaire le tableau de signes.
Conclusion rédigée
« Le ballon se trouve à plus de mètres du sol entre s et s, soit pendant secondes. »
L'erreur classique sur cet exercice : Oublier de renverser l'inégalité en divisant par . On obtient alors , donc ou , et l'élève conclut que le ballon est au-dessus de mètres au moment du lancer, quand il est encore au sol.
On ramène tous les termes d'un seul côté pour comparer à zéro, on factorise, puis on construit un tableau de signes avec une ligne par facteur et une ligne pour le produit. On lit enfin l'intervalle où le produit a le signe demandé. On n'annule jamais les facteurs séparément comme dans une équation : cette règle vaut uniquement pour l'égalité à zéro.
Uniquement quand on multiplie ou qu'on divise les deux membres par un nombre négatif. Ajouter ou soustraire un nombre, même négatif, ne change rien au sens. Et on ne multiplie jamais par une expression contenant l'inconnue, comme x moins quatre, parce qu'on ignore son signe : dans ce cas on ramène tout sur un seul quotient.
Que l'équation n'a aucune solution réelle : la parabole associée ne coupe jamais l'axe horizontal. Ce n'est pas une erreur de calcul et il ne faut pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif. Attention toutefois au signe de b : le carré porte sur b tout entier, donc pour b égal à moins cinq, b au carré vaut vingt-cinq, jamais moins vingt-cinq.
C'est une valeur obtenue après avoir multiplié par le dénominateur, mais qui annule ce dénominateur et ne satisfait donc pas l'équation de départ. Elle doit être rejetée et le rejet doit être écrit sur la copie. La protection est simple : poser les valeurs interdites dès la première ligne, avant de faire disparaître les dénominateurs.
Parce que la racine carrée d'un carré donne la valeur absolue, pas le nombre lui-même. Écrire que x au carré inférieur ou égal à neuf donne x inférieur ou égal à trois laisse passer moins dix, dont le carré vaut cent. La bonne méthode est de tout ramener d'un côté et de factoriser : on obtient alors l'intervalle de moins trois à trois.
On choisit un point qui n'est pas sur la droite frontière et on le remplace dans l'inéquation. Si l'énoncé obtenu est vrai, on hachure le côté qui contient ce point ; s'il est faux, on hachure l'autre côté. L'origine, le point de coordonnées zéro et zéro, est le meilleur candidat parce que les calculs y sont immédiats, mais elle ne convient pas quand la droite passe par elle : dans ce cas on prend n'importe quel autre point, par exemple celui d'abscisse un et d'ordonnée zéro. Cette méthode est plus sûre que la règle « au-dessus pour plus grand », qui n'est valable qu'après avoir isolé la variable y et qui échoue si on a divisé par un nombre négatif sans renverser le sens.
