Math SN4, secondaire 4 à Montréal • Algèbre

Fiche de révision : les équations et les inéquations (SN4)

Cette fiche ne refait pas le cours sur les équations : vous l'avez déjà dans vos notes. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note : l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, la méthode à choisir selon la FORME de l'énoncé, et la rédaction qu'un correcteur attend devant un tableau de signes.

C'est le chapitre où la moitié des points perdus le sont sur des inéquations, pas sur des équations. La raison est toujours la même : une inéquation du second degré ne se résout pas par opérations successives, elle se lit dans un tableau. Tout le reste de la fiche découle de cette différence.

Mis à jour le 16 octobre 2026

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Le fil du chapitre

Résoudre une équation, c'est enchaîner des opérations jusqu'à isoler des points; résoudre une inéquation du second degré, c'est LIRE un signe sur un intervalle. Traiter la seconde comme la première est l'erreur qui structure tout le chapitre.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN4 : Sciences naturelles, secondaire 4

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 19 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (6 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1 Nombres réels, racines et ensembles Secondaire 3
2 Lois des exposants et notation scientifique Secondaire 3
3 Expressions algébriques et mise en évidence Secondaire 3
4 Équations et inéquations du premier degré Secondaire 3
5 La manipulation d'expressions algébriques
6 La factorisation et les expressions rationnelles

Notions couvertes

Loi du produit nul
Formule quadratique
Discriminant
Inéquation du premier degré
Inéquation du second degré
Tableau de signes
Équation rationnelle
Solutions étrangères
Intervalle solution
Discussion selon un paramètre
Inéquation à deux variables
Demi-plan et ensemble-solution

L'essentiel

Une équation donne des POINTS, une inéquation donne un INTERVALLE

• $x^{2}-x-6=0$ a exactement deux réponses : $x=-2$ et $x=3$ . On les écrit avec des accolades : $S=\{-2\,;3\}$ .
• $x^{2}-x-6<0$ a une infinité de réponses, toutes celles comprises entre les deux racines : $S=\,]-2\,;3[$ .
• Les deux questions partent de la même factorisation $(x+2)(x-3)$ , mais s'arrêtent à des objets différents. Confondre les deux notations coûte un point même quand le calcul est juste.
• Sur le graphique, l'équation demande où la courbe TOUCHE l'axe, l'inéquation demande où elle passe DESSOUS, ou dessus.

La même courbe répond à deux questions distinctes : l'équation ne retient que les DEUX points marqués sur l'axe, l'inéquation

x^{2}-x-6<0

retient tout l'INTERVALLE où la courbe passe dessous, entre

-2

3

Accolades pour une équation, crochets pour une inéquation. Un ensemble-solution écrit $S=\{-2\,;3\}$ devant une inéquation dit au correcteur que la question n'a pas été comprise.

Le discriminant décide, à condition que $a\neq 0$

• Pour $ax^{2}+bx+c=0$ avec $a\neq 0$ : $\Delta=b^{2}-4ac$ , puis $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ .
• $\Delta>0$ : deux solutions distinctes. $\Delta=0$ : une solution double, la parabole touche l'axe sans le traverser. $\Delta<0$ : aucune solution réelle, la parabole ne coupe jamais l'axe.
• Le carré porte sur $b$ TOUT ENTIER, signe compris : pour $b=-5$ , $b^{2}=(-5)^{2}=25$ , jamais $-25$ .
• Si $a$ contient un paramètre, le cas $a=0$ se traite à part : l'équation devient alors du premier degré et le discriminant n'a plus de sens.

Les trois allures entre lesquelles le discriminant tranche : la parabole traverse l'axe en deux points, le touche en un seul, ou ne l'atteint jamais.

Un $\Delta$ qui n'est pas un carré parfait n'est pas une erreur : $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ se laisse en valeur exacte, sauf si l'énoncé demande une approximation.

Ce qui renverse une inégalité, et ce qui ne la renverse pas

• Ajouter ou soustraire un nombre, quel que soit son signe : le sens NE CHANGE PAS.
• Multiplier ou diviser les deux membres par un nombre POSITIF : le sens ne change pas.
• Multiplier ou diviser par un nombre NÉGATIF : le sens se renverse, $<$ devient $>$ .
• Multiplier par une expression littérale comme $x-4$ , dont on ignore le signe : INTERDIT. On ramène tout d'un côté et on fait un tableau de signes.
• Passer à la racine carrée : $x^{2}\le 9$ ne donne pas $x\le 3$ , mais $-3\le x\le 3$ , car $\sqrt{x^{2}}=|x|$ .

Multiplier par

-1

envoie chaque nombre de l'autre côté de

0

2<5

devient

-2>-5

. L'ordre se retourne, donc le sens de l'inégalité aussi.

Le geste qui renverse est aussi celui qu'on écrit le plus vite. Sur une copie, souligner le facteur négatif avant de diviser suffit à ne plus l'oublier.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Appliquer la loi du produit nul à un produit qui ne vaut pas zéro

toute la question, 4 à 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(x-2)(x+3)=6$ , donc $x-2=6$ ou $x+3=6$ , soit $x=8$ ou $x=3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« On ramène tout d'un côté : $x^{2}+x-6=6$ , donc $x^{2}+x-12=0$ , soit $(x+4)(x-3)=0$ et $x=-4$ ou $x=3$ . »

Pourquoi : La loi du produit nul dit qu'un produit vaut ZÉRO si l'un des facteurs est nul. Il n'existe aucune loi du produit égal à six : deux facteurs peuvent donner $6$ de mille façons.

2. Diviser les deux membres par $x$

2 points sur 4, soit la moitié de la réponse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x^{2}=5x$ , je divise par $x$ : $x=5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $x^{2}-5x=0$ , donc $x(x-5)=0$ et $S=\{0\,;5\}$ . Diviser par $x$ suppose $x\neq 0$ et efface la solution $x=0$ . »

La parabole

y=x^{2}

et la droite

y=5x

se croisent DEUX fois (vert) : en

x=0

et en

x=5

. Diviser par

x

efface la première.

Pourquoi : Une division par une expression littérale n'est légitime que si elle est non nulle, et ici $0$ est justement solution. La règle générale : devant une équation, on factorise, on ne divise jamais.

3. Perdre le signe de $b$ dans le discriminant

toute la question, et une réponse absurde annoncée avec assurance

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour $x^{2}-5x+6=0$ : $\Delta=-5^{2}-4(1)(6)=-25-24=-49$ , donc aucune solution. »

Ce qu'il faut écrire

« $\Delta=(-5)^{2}-4(1)(6)=25-24=1$ , donc deux solutions : $x=\frac{5\pm 1}{2}$ , soit $x=3$ ou $x=2$ . »

Pourquoi : L'exposant s'applique à $b$ entier, parenthèses comprises. Sans elles, la calculatrice comme la copie lisent l'opposé du carré. Un $\Delta$ négatif sur un trinôme visiblement factorisable est le signal d'alarme.

4. Diviser une inéquation par un nombre négatif sans renverser le sens

2 points, et l'ensemble-solution est exactement le complémentaire du bon

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $-3x>12$ , donc $x>-4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $-3x>12$ , je divise par $-3$ qui est négatif, donc le sens se renverse : $x<-4$ . »

-3x>12

: seuls les nombres plus petits que

-4

conviennent (vert), par exemple

-3\times(-5)=15

. Le sens non renversé (rouge) garde les mauvais.

Pourquoi : Multiplier par un négatif retourne l'ordre des nombres : $2<3$ mais $-2>-3$ . La vérification est immédiate, $x=-5$ donne $15>12$ , tandis que $x=0$ donne $0>12$ , ce qui est faux.

5. Résoudre une inéquation du second degré facteur par facteur

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x^{2}-x-6<0$ , donc $(x+2)(x-3)<0$ , donc $x+2<0$ ou $x-3<0$ , soit $x<-2$ ou $x<3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $(x+2)(x-3)<0$ : un produit est négatif quand les deux facteurs sont de signes CONTRAIRES. Tableau de signes, d'où $S=\,]-2\,;3[$ . »

Pourquoi : La loi du produit nul se transpose à l'égalité, jamais à l'inégalité : « négatif » n'impose rien à chaque facteur pris isolément, seulement à leur combinaison. Le tableau de signes est le seul outil correct.

6. Passer à la racine carrée en oubliant les valeurs négatives

2 points, et la moitié de l'ensemble-solution est fausse dans les deux sens

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x^{2}\le 9$ , donc $x\le 3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $x^{2}-9\le 0$ , donc $(x-3)(x+3)\le 0$ et $S=[-3\,;3]$ . »

x^{2}\le 9

là où la parabole reste sous

y=9

: de

-3

3

(vert). «

x\le 3

» garderait aussi

-5

, dont le carré vaut

25

Pourquoi : La réponse fautive contient $x=-10$ , qui donne $100\le 9$ , absurde. $\sqrt{x^{2}}$ vaut $|x|$ , pas $x$ : une inéquation carrée se traite par factorisation, jamais par racine.

7. Garder une solution étrangère dans l'ensemble-solution

2 points, et la valeur rejetée est presque toujours celle que l'énoncé visait

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{x^{2}}{x-3}=\frac{9}{x-3}$ donne $x^{2}=9$ , donc $S=\{-3\,;3\}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Valeur interdite : $x\neq 3$ . De $x^{2}=9$ on tire $x=-3$ ou $x=3$ , mais $3$ est interdit : c'est une solution étrangère, on la rejette. $S=\{-3\}$ . »

Pourquoi : Multiplier par le dénominateur pour s'en débarrasser crée des solutions qui ne satisfont pas l'équation de départ. Poser les valeurs interdites AVANT de multiplier est la seule protection.

8. Multiplier une inéquation par un dénominateur de signe inconnu

toute la question, 5 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{x+1}{x-4}\ge 2$ , je multiplie par $x-4$ : $x+1\ge 2x-8$ , donc $x\le 9$ . »

Ce qu'il faut écrire

« On ne multiplie pas par $x-4$ , dont le signe est inconnu. On ramène tout d'un côté : $\frac{x+1-2(x-4)}{x-4}\ge 0$ , soit $\frac{-x+9}{x-4}\ge 0$ , puis tableau de signes : $S=\,]4\,;9]$ . »

Pourquoi : Selon le signe de $x-4$ , la multiplication conserve ou renverse l'inégalité : on ne peut pas choisir sans le connaître. La réponse fautive inclut $x=0$ , qui donne $-0{,}25\ge 2$ , manifestement faux.

9. Discuter un paramètre sans séparer le cas $a=0$

2 points sur une question de discussion, qui en vaut souvent 6

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $kx^{2}+4x+1=0$ : $\Delta=16-4k$ , donc deux solutions dès que $k<4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Si $k=0$ , l'équation devient $4x+1=0$ , du premier degré : une seule solution, $x=-\frac{1}{4}$ . Si $k\neq 0$ et $k<4$ : deux solutions. Si $k=4$ : une solution double. Si $k>4$ : aucune. »

Pourquoi : Le discriminant n'existe que pour une équation du second degré. Quand $a$ dépend d'un paramètre, la première question est toujours : cette équation est-elle bien du second degré ?

10. Diviser par un coefficient négatif sans renverser le sens, dans une inéquation à deux variables

toute la figure, car le demi-plan hachuré est l'opposé du bon, souvent 6 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $3x-2y\ge 8$ donne $-2y\ge -3x+8$ , donc $y\ge \dfrac{3}{2}x-4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« On divise par $-2$ , qui est négatif, donc le sens s'inverse : $y\le \dfrac{3}{2}x-4$ . »

y\le\frac{3}{2}x-4

: la région est SOUS la droite (vert). Le point

(4\,;1)

y est, et il vérifie bien

3x-2y=10\ge 8

Pourquoi : À une seule variable, l'oubli retourne un intervalle et se voit souvent au contrôle. À deux variables, il fait hachurer l'autre moitié du plan, et la suite du problème, appartenance d'un point ou intersection d'un système, est fausse en bloc. Contrôle en trois secondes : $(0\ ;\ 0)$ doit donner la même réponse dans l'écriture de départ et dans l'écriture isolée.

11. Tester l'origine alors que la droite frontière y passe

le demi-plan, donc la question entière, souvent 4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour $y<3x$ , je teste $(0\ ;\ 0)$ : $0<0$ est faux, donc je hachure l'autre côté. »

Ce qu'il faut écrire

« L'origine est SUR la frontière, elle ne départage rien. Je prends $(1\ ;\ 0)$ : $0<3$ est vrai, donc je hachure le demi-plan qui contient ce point. »

L'origine (rouge) est SUR la droite

y=3x

: elle ne départage rien. Le point

(1\,;0)

(vert) vérifie

0<3

: on hachure son côté.

Pourquoi : Un point de la frontière n'appartient à aucun des deux demi-plans ouverts : il ne peut donc pas servir de test, et le résultat obtenu est arbitraire. Le réflexe « on teste toujours l'origine » n'est valable que si la droite ne passe pas par elle, ce qui se vérifie d'un coup d'œil sur l'équation : une frontière sans terme constant passe par l'origine.

12. Conclure qu'un point est solution d'un système après avoir vérifié deux inéquations sur trois

la question d'appartenance, et souvent le repérage des sommets qui suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(3\ ;\ 3)$ vérifie $y\ge 1$ et $y\le -x+7$ , donc il est dans l'ensemble-solution. »

Ce qu'il faut écrire

« $(3\ ;\ 3)$ échoue à $y\le x-1$ , puisque $3\le 2$ est faux. Une seule condition violée suffit, le point est exclu. »

Pourquoi : L'ensemble-solution d'un système est une INTERSECTION, donc il se lit avec un ET et jamais avec un OU. Deux conditions vraies sur trois donnent l'impression d'être presque dedans, alors qu'être presque dedans n'existe pas. Même remarque pour les sommets : chacun se calcule avec deux droites, puis doit être vérifié dans la troisième inéquation, celle qui n'a pas servi.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode selon la forme de l'équation

Regardez ce qu'il y a des deux côtés du signe égal, et le degré de ce qui reste une fois tout ramené à gauche.

Si un produit de facteurs égale ZÉRO → loi du produit nul : on annule chaque facteur séparément

Exemple : $(2x-1)(x+5)=0$ donne $x=\frac{1}{2}$ ou $x=-5$
Si un produit égale autre chose que zéro → développer, tout ramener à gauche, puis factoriser

Exemple : $(x-2)(x+3)=6$ devient $x^{2}+x-12=0$

c'est l'erreur la plus courante du chapitre, ne jamais annuler un facteur ici
Si un trinôme égal à zéro, factorisable de tête → produit-somme puis loi du produit nul, c'est plus rapide que la formule

Exemple : $x^{2}-5x+6=0$ donne $(x-2)(x-3)=0$
Si un trinôme égal à zéro qui ne se factorise pas de tête → formule quadratique, après avoir calculé $\Delta=b^{2}-4ac$

Exemple : $2x^{2}+3x-4=0$ donne $\Delta=41$ , donc $x=\frac{-3\pm\sqrt{41}}{4}$

toujours écrire $\Delta$ sur sa propre ligne, il vaut souvent un point à lui seul
Si un dénominateur contient l'inconnue → poser les valeurs interdites, multiplier par le dénominateur, résoudre, puis rejeter les solutions interdites

Exemple : $\frac{x^{2}}{x-3}=\frac{9}{x-3}$ donne $S=\{-3\}$
Si le coefficient de $x^{2}$ contient un paramètre → séparer le cas où ce coefficient est nul avant tout calcul de $\Delta$

Exemple : $kx^{2}+4x+1=0$ : traiter $k=0$ à part

Quand une équation contient une seule inconnue élevée au carré et rien d'autre, comme $x^{2}=49$ , on écrit $x=\pm 7$ : c'est le seul cas où la racine carrée s'utilise directement, et le $\pm$ n'est pas négociable.

Résoudre une inéquation, l'ordre des gestes

Le degré décide de la méthode, et le signe de ce par quoi on divise décide du sens.

Si premier degré, sans inconnue au dénominateur → opérations successives, en renversant le sens à chaque multiplication ou division par un négatif

Exemple : $-3x+2\le 11$ donne $-3x\le 9$ puis $x\ge -3$
Si second degré → tout ramener d'un côté, factoriser, tableau de signes, puis lire l'intervalle

Exemple : $x^{2}\le x+6$ donne $(x+2)(x-3)\le 0$ , donc $[-2\,;3]$

ne jamais annuler ni séparer les facteurs comme dans une équation
Si un quotient avec l'inconnue au dénominateur → tout ramener sur un seul quotient, tableau de signes du numérateur ET du dénominateur

Exemple : $\frac{x+1}{x-4}\ge 2$ donne $\frac{-x+9}{x-4}\ge 0$ , donc $\,]4\,;9]$

la borne qui annule le dénominateur est TOUJOURS exclue, même avec un $\ge$
Si l'inconnue est sous une valeur absolue → deux cas selon le signe de l'expression intérieure, puis réunion des deux ensembles

Exemple : $|x-1|<3$ donne $-3<x-1<3$ , donc $\,]-2\,;4[$

Aucune branche ne s'applique tant que l'inéquation n'a pas été ramenée à « expression $\ge 0$ » ou « expression $\le 0$ ». C'est la première ligne à écrire, avant même de choisir la méthode.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Une inéquation du second degré, la copie attendue

Quand l'utiliser : L'énoncé contient $<$ , $>$ , $\le$ ou $\ge$ et un terme en $x^{2}$ , ou demande « pour quelles valeurs de $x$ ».

1 Tout ramener d'un côté pour obtenir une comparaison à zéro, et le dire : « je ramène tout à gauche ».
2 Factoriser le membre non nul, et écrire les zéros de chaque facteur.
3 Tracer le tableau de signes : une ligne par facteur, une ligne pour le produit, les zéros dans l'ordre croissant en en-tête.
4 Lire dans le tableau l'intervalle où le produit a le signe demandé, et non l'inverse.
5 Écrire l'ensemble-solution en notation d'intervalle, en fermant les bornes si l'inégalité est large et en les ouvrant si elle est stricte.
6 Tester une valeur de l'intervalle trouvé et une valeur en dehors, dans l'inéquation de DÉPART.

Phrase de conclusion

« $x^{2}\le x+6$ équivaut à $x^{2}-x-6\le 0$ , soit $(x+2)(x-3)\le 0$ . Le tableau de signes donne $S=[-2\,;3]$ . »

Le piège : Écrire $S=\{-2\,;3\}$ avec des accolades. Ce sont les deux racines, pas l'ensemble-solution de l'inéquation, et cette confusion se voit tout de suite.

Barème : 1 point pour la mise à zéro, 1 pour la factorisation, 2 pour le tableau de signes, 1 pour la notation d'intervalle.

Une inéquation du second degré par les valeurs critiques

Quand l'utiliser : Même inéquation que ci-dessus, quand l'enseignant attend la démarche enseignée au secondaire au Québec : droite numérique et valeur test, ou esquisse de la parabole, au lieu du tableau de signes.

1 Remplacer le symbole d'inégalité par $=$ et résoudre l'équation obtenue : ses zéros sont les VALEURS CRITIQUES.
2 Placer les valeurs critiques sur une droite numérique, point plein si l'inégalité est large, point vide si elle est stricte. La droite est découpée en intervalles.
3 Tester UNE valeur de chaque intervalle dans l'inéquation de DÉPART : vraie, l'intervalle est retenu ; fausse, il est rejeté.
4 Ou bien esquisser la parabole : elle coupe l'axe des $x$ aux valeurs critiques et s'ouvre vers le haut si $a>0$ , vers le bas si $a<0$ ; on lit où elle est au-dessus ou au-dessous de l'axe.
5 Écrire l'ensemble-solution en notation d'intervalle, réunion comprise s'il y a deux morceaux.

Phrase de conclusion

« On remplace $>$ par $=$ : $x^{2}=2x+8$ , soit $x^{2}-2x-8=(x+2)(x-4)=0$ , valeurs critiques $-2$ et $4$ . Tests dans $x^{2}>2x+8$ : en $x=-3$ , $9>2$ vrai ; en $x=0$ , $0>8$ faux ; en $x=5$ , $25>18$ vrai. Donc $S=\,]-\infty\,;-2[\,\cup\,]4\,;+\infty[$ . »

Le piège : Tester une valeur critique elle-même : elle rend les deux membres égaux et ne départage rien. On teste à l'INTÉRIEUR de chaque intervalle. Le tableau de signes donne le même ensemble-solution, les deux démarches sont justes, mais on en rédige une seule.

Barème : 1 point pour l'équation associée et ses zéros, 1 pour la droite numérique, 2 pour les tests ou l'esquisse, 1 pour la notation d'intervalle.

Une équation rationnelle, avec le rejet des solutions étrangères

Quand l'utiliser : L'inconnue apparaît au dénominateur d'au moins une fraction.

1 Factoriser chaque dénominateur, puis écrire les valeurs interdites AVANT toute transformation.
2 Multiplier les deux membres par le plus petit dénominateur commun, et annoncer ce choix par écrit.
3 Résoudre l'équation polynomiale obtenue, par factorisation ou par la formule quadratique.
4 Comparer chaque solution trouvée à la liste des valeurs interdites.
5 Rejeter explicitement celles qui y figurent, en les nommant solutions étrangères, puis conclure.

Phrase de conclusion

« Valeurs interdites : $x\neq 3$ . L'équation donne $x=-3$ ou $x=3$ ; or $3$ est une valeur interdite, c'est une solution étrangère. Donc $S=\{-3\}$ . »

Le piège : Chercher les valeurs interdites à la fin, une fois les dénominateurs disparus. À ce stade il n'y a plus rien à lire, et la solution étrangère passe.

Barème : 1 point pour les valeurs interdites posées d'entrée, 2 pour la résolution, 1 pour le rejet motivé.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Réinjecter chaque solution dans l'énoncé d'ORIGINE

Remplacez $x$ par chaque valeur trouvée dans la toute première ligne de la question, pas dans une ligne intermédiaire. C'est ce qui attrape les solutions étrangères et les erreurs de signe.

Pour $\frac{x^{2}}{x-3}=\frac{9}{x-3}$ et $x=3$ : le dénominateur vaut $0$ , la calculatrice affiche ERROR. La solution est étrangère, elle se rejette.
Tester un point de chaque zone pour une inéquation

Une inéquation découpe la droite réelle en zones séparées par les racines. Prenez un nombre entier simple dans chacune et testez-le dans l'inéquation de départ : la zone est bonne ou elle ne l'est pas, sans refaire le tableau.

Pour $x^{2}-x-6<0$ : $x=-3$ donne $6<0$ , faux; $x=0$ donne $-6<0$ , vrai; $x=4$ donne $6<0$ , faux. Seule la zone du milieu convient, donc $\,]-2\,;3[$ .
La somme et le produit des racines

Pour $ax^{2}+bx+c=0$ , les deux racines vérifient $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$ et $x_{1}\times x_{2}=\frac{c}{a}$ . Deux additions de tête suffisent à valider une formule quadratique.

$x^{2}-5x+6=0$ donne $2$ et $3$ : somme $5$ , qui vaut bien $-\frac{-5}{1}$ , et produit $6$ , qui vaut bien $\frac{6}{1}$ .
Les crochets sont-ils dans le bon sens ?

Une inégalité stricte ouvre la borne, une inégalité large la ferme, et une borne qui annule un dénominateur reste ouverte quoi qu'il arrive. Relire l'énoncé une dernière fois ne coûte rien.

$\frac{-x+9}{x-4}\ge 0$ donne $\,]4\,;9]$ : le $9$ est fermé car il annule le numérateur, le $4$ reste ouvert car il annule le dénominateur.
Le graphique de la calculatrice

Tracez la fonction correspondant au membre ramené à gauche et regardez où la courbe est au-dessus ou au-dessous de l'axe. Sur une TI, ZOOM puis TRACE; sur une Casio, le menu GRAPH. L'intervalle se lit directement.

La courbe de $x^{2}-x-6$ passe sous l'axe entre $-2$ et $3$ : si votre réponse était $x<-2$ ou $x>3$ , le sens de l'inégalité a été inversé quelque part.
Avez-vous testé un point de CHAQUE côté de la frontière ?

Un point de la région hachurée doit rendre l'inéquation vraie, et un point de l'autre côté doit la rendre fausse. Le second contrôle est le plus utile : il attrape le sens inversé, que le premier laisse passer.

Pour $2x+3y<12$ , le point $(1\ ;\ 1)$ donne $5<12$ , vrai, et $(5\ ;\ 3)$ donne $19<12$ , faux : le demi-plan retenu est le bon.

L'exercice type décortiqué

Un ballon au-dessus de 15 mètres : de l'énoncé à l'intervalle

Un ballon est lancé verticalement. Sa hauteur, en mètres, $t$ secondes après le lancer, est donnée par $h(t)=-5t^{2}+20t$ .

Pendant combien de temps le ballon se trouve-t-il à plus de $15$ mètres du sol ?

Les deux seules données de l'énoncé : la trajectoire du ballon et la barre des

15

mètres. La question revient à lire pour quels instants la courbe passe AU-DESSUS de la barre, pas à trouver le sommet.

Étape 1

« À plus de $15$ mètres » se traduit par l'inéquation $h(t)>15$ , soit $-5t^{2}+20t>15$ .

Pourquoi

La traduction est notée à elle seule. « Plus de » donne une inégalité STRICTE : le ballon n'est pas au-dessus de $15$ m à l'instant précis où il est à $15$ m.

Étape 2

On ramène tout d'un côté : $-5t^{2}+20t-15>0$ .

Pourquoi

Une inéquation du second degré ne se résout que comparée à zéro. Tant que $15$ reste à droite, aucun tableau de signes n'est possible.

Étape 3

On divise par $-5$ , qui est NÉGATIF, donc le sens se renverse : $t^{2}-4t+3<0$ .

Pourquoi

Diviser par $-5$ simplifie tous les coefficients d'un coup, mais c'est exactement le geste qui renverse l'inégalité. Le $>$ devenu $<$ vaut un point et se perd une fois sur trois.

Étape 4

Factorisation : produit $3$ , somme $-4$ , donc $-1$ et $-3$ , d'où $(t-1)(t-3)<0$ .

Pourquoi

Le produit-somme suffit ici, la formule quadratique serait plus lente. Les zéros $1$ et $3$ deviennent les bornes du tableau de signes.

Étape 5

Tableau de signes : $t-1$ est négatif avant $1$ , $t-3$ négatif avant $3$ . Le produit est donc positif avant $1$ , NÉGATIF entre $1$ et $3$ , positif après $3$ . L'inéquation demande le négatif : $1<t<3$ .

Pourquoi

On lit dans le tableau la ligne du produit, pas celle des facteurs. C'est le seul endroit de la question où le signe cherché doit être relu dans l'énoncé transformé, ici $<0$ .

Étape 6

Contexte : le ballon est en l'air de $t=0$ à $t=4$ , et l'intervalle trouvé y est inclus. La durée cherchée vaut $3-1=2$ secondes.

Pourquoi

La question demande une DURÉE, pas un intervalle. Répondre $\,]1\,;3[$ sans soustraire laisse un point sur la table, parce que l'énoncé disait « pendant combien de temps ».

Étape 7

Vérification : $h(2)=-20+40=20>15$ , donc $t=2$ convient. $h(0{,}5)=-1{,}25+10=8{,}75<15$ , donc $t=0{,}5$ ne convient pas, comme prévu. $h(1)=15$ exactement, la borne est bien exclue.

Pourquoi

Un point dedans, un point dehors, et une borne : trois calculs de tête valident l'intervalle sans refaire le tableau de signes.

Conclusion rédigée

« Le ballon se trouve à plus de $15$ mètres du sol entre $t=1$ s et $t=3$ s, soit pendant $2$ secondes. »

L'erreur classique sur cet exercice : Oublier de renverser l'inégalité en divisant par $-5$ . On obtient alors $t^{2}-4t+3>0$ , donc $t<1$ ou $t>3$ , et l'élève conclut que le ballon est au-dessus de $15$ mètres au moment du lancer, quand il est encore au sol.

À savoir par cœur

• Loi du produit nul : elle s'applique à un produit égal à ZÉRO, jamais à un produit égal à autre chose.
• $\Delta=b^{2}-4ac$ , avec $b$ entre parenthèses. $\Delta>0$ : deux racines. $\Delta=0$ : une double. $\Delta<0$ : aucune.
• Multiplier ou diviser une inégalité par un NÉGATIF renverse le sens. Additionner ne le renverse jamais.
• Une inéquation du second degré se résout par tableau de signes, jamais facteur par facteur.
• Méthode québécoise : remplacer le symbole par $=$ , placer les valeurs critiques sur une droite numérique, tester une valeur par intervalle, ou esquisser la parabole. Même ensemble-solution que le tableau de signes.
• Ne jamais multiplier une inéquation par une expression dont le signe est inconnu : tout ramener sur un seul quotient.
• Une borne qui annule un dénominateur est TOUJOURS exclue, même avec un $\le$ ou un $\ge$ .
• Équation : accolades. Inéquation : crochets. La notation fait partie de la réponse.
• Devant un paramètre au coefficient de $x^{2}$ , traiter d'abord le cas où ce coefficient est nul.
• Une inéquation du premier degré à DEUX variables a pour ensemble-solution un demi-plan, pas un intervalle.
• Frontière en trait PLEIN si le symbole contient une barre d'égalité ( $\le$ , $\ge$ ), en POINTILLÉ sinon ( $<$ , $>$ ).
• On choisit le demi-plan par un test de point, l'origine de préférence, sauf si la frontière passe par elle.
• L'ensemble-solution d'un système est l'intersection des demi-plans, et il peut être vide.

Questions fréquentes

Comment résoudre une inéquation du second degré en secondaire 4 ?

On ramène tous les termes d'un seul côté pour comparer à zéro, on factorise, puis on construit un tableau de signes avec une ligne par facteur et une ligne pour le produit. On lit enfin l'intervalle où le produit a le signe demandé. On n'annule jamais les facteurs séparément comme dans une équation : cette règle vaut uniquement pour l'égalité à zéro.

Quand faut-il changer le sens d'une inéquation ?

Uniquement quand on multiplie ou qu'on divise les deux membres par un nombre négatif. Ajouter ou soustraire un nombre, même négatif, ne change rien au sens. Et on ne multiplie jamais par une expression contenant l'inconnue, comme x moins quatre, parce qu'on ignore son signe : dans ce cas on ramène tout sur un seul quotient.

Que veut dire un discriminant négatif ?

Que l'équation n'a aucune solution réelle : la parabole associée ne coupe jamais l'axe horizontal. Ce n'est pas une erreur de calcul et il ne faut pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif. Attention toutefois au signe de b : le carré porte sur b tout entier, donc pour b égal à moins cinq, b au carré vaut vingt-cinq, jamais moins vingt-cinq.

Qu'est-ce qu'une solution étrangère dans une équation rationnelle ?

C'est une valeur obtenue après avoir multiplié par le dénominateur, mais qui annule ce dénominateur et ne satisfait donc pas l'équation de départ. Elle doit être rejetée et le rejet doit être écrit sur la copie. La protection est simple : poser les valeurs interdites dès la première ligne, avant de faire disparaître les dénominateurs.

Pourquoi ne peut-on pas passer à la racine carrée dans une inéquation ?

Parce que la racine carrée d'un carré donne la valeur absolue, pas le nombre lui-même. Écrire que x au carré inférieur ou égal à neuf donne x inférieur ou égal à trois laisse passer moins dix, dont le carré vaut cent. La bonne méthode est de tout ramener d'un côté et de factoriser : on obtient alors l'intervalle de moins trois à trois.

Comment savoir quel côté de la droite il faut hachurer ?

On choisit un point qui n'est pas sur la droite frontière et on le remplace dans l'inéquation. Si l'énoncé obtenu est vrai, on hachure le côté qui contient ce point ; s'il est faux, on hachure l'autre côté. L'origine, le point de coordonnées zéro et zéro, est le meilleur candidat parce que les calculs y sont immédiats, mais elle ne convient pas quand la droite passe par elle : dans ce cas on prend n'importe quel autre point, par exemple celui d'abscisse un et d'ordonnée zéro. Cette méthode est plus sûre que la règle « au-dessus pour plus grand », qui n'est valable qu'après avoir isolé la variable y et qui échoue si on a divisé par un nombre négatif sans renverser le sens.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les équations et les inéquations

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

19 exercices corrigés
190 points
285 minutes

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Les systèmes d'équations

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/sn4-equations-inequations. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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Fiche de révision : les équations et les inéquations (SN4)

L'essentiel

Une équation donne des POINTS, une inéquation donne un INTERVALLE

Le discriminant décide, à condition que a≠0a\neq 0a=0

Ce qui renverse une inégalité, et ce qui ne la renverse pas

Les pièges qui coûtent des points

1. Appliquer la loi du produit nul à un produit qui ne vaut pas zéro

2. Diviser les deux membres par xxx

3. Perdre le signe de bbb dans le discriminant

4. Diviser une inéquation par un nombre négatif sans renverser le sens

5. Résoudre une inéquation du second degré facteur par facteur

6. Passer à la racine carrée en oubliant les valeurs négatives

7. Garder une solution étrangère dans l'ensemble-solution

8. Multiplier une inéquation par un dénominateur de signe inconnu

9. Discuter un paramètre sans séparer le cas a=0a=0a=0

10. Diviser par un coefficient négatif sans renverser le sens, dans une inéquation à deux variables

11. Tester l'origine alors que la droite frontière y passe

12. Conclure qu'un point est solution d'un système après avoir vérifié deux inéquations sur trois

Quelle méthode choisir

Quelle méthode selon la forme de l'équation

Résoudre une inéquation, l'ordre des gestes

La rédaction attendue

Une inéquation du second degré, la copie attendue

Une inéquation du second degré par les valeurs critiques

Une équation rationnelle, avec le rejet des solutions étrangères

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Un ballon au-dessus de 15 mètres : de l'énoncé à l'intervalle

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment résoudre une inéquation du second degré en secondaire 4 ?

Quand faut-il changer le sens d'une inéquation ?

Que veut dire un discriminant négatif ?

Qu'est-ce qu'une solution étrangère dans une équation rationnelle ?

Pourquoi ne peut-on pas passer à la racine carrée dans une inéquation ?

Comment savoir quel côté de la droite il faut hachurer ?

Exercices corrigés : Les équations et les inéquations

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Le discriminant décide, à condition que $a\neq 0$

2. Diviser les deux membres par $x$

3. Perdre le signe de $b$ dans le discriminant

9. Discuter un paramètre sans séparer le cas $a=0$