Exercice 0.1 : Simplifier avec les lois des exposants : dix calculs directs

Pour chaque ligne, simplifiez avec les lois des exposants, puis donnez ce qui est demandé : l'exposant de la puissance obtenue, sa valeur, ou le nombre devant les lettres. Toutes les lettres désignent des nombres non nuls.

Une seule méthode : repérer d'abord l'opération entre les puissances, puis appliquer la loi qui lui correspond. Produit de même base, on ADDITIONNE les exposants ; quotient, on les SOUSTRAIT ; puissance d'une puissance, on les MULTIPLIE ; puissance d'un produit ou d'une fraction, l'exposant s'applique à CHAQUE facteur. Enfin $a^{0}=1$ et $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$ : on ne calcule la valeur qu'à la toute fin.

a) $3^{2}\times 3^{5}\times 3$ : écrivez sous la forme $3^{n}$ et donnez $n$ .
b) $\dfrac{4^{3}}{4^{5}}$ : écrivez sous la forme $4^{n}$ , donnez $n$ , puis la valeur.
c) $(7^{3})^{4}$ : écrivez sous la forme $7^{n}$ et donnez $n$ .
d) $(5a)^{3}$ : écrivez sous la forme $ka^{3}$ et donnez $k$ .
e) Calculez $(-2)^{4}$ , puis $-2^{4}$ .
f) Calculez $2a^{0}+(2a)^{0}$ .
g) Calculez $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2}$ .
h) $\dfrac{15x^{3}y^{2}}{5x^{5}y}$ : écrivez sous la forme $3x^{m}y^{p}$ et donnez $m$ et $p$ .
i) Calculez $\dfrac{2^{5}\times(2^{-2})^{3}}{2^{-4}}$ .
j) Trouvez $n$ tel que $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\times 4=32$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/13

a)

n

b)

n

Valeur

c)

n

d)

k

e)

(-2)^{4}

-2^{4}

f)

Valeur

g)

Valeur

h)

m

p

i)

Valeur

j)

n

Voir la correction

Réponses

a) $3^{8}$ ; $n=8$
b) $4^{-2}=\dfrac{1}{16}$ ; $n=-2$
c) $7^{12}$ ; $n=12$
d) $125a^{3}$ ; $k=125$
e) $(-2)^{4}=16$ ; $-2^{4}=-16$
f) $2\times 1+1=3$
g) $\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2}=\dfrac{16}{9}$
h) $3x^{-2}y=\dfrac{3y}{x^{2}}$ ; $m=-2$ , $p=1$
i) $2^{5-6+4}=2^{3}=8$
j) $2^{-n+2}=2^{5}$ ; $n=-3$

Le geste qui décide de tout : nommer l'opération AVANT de toucher aux exposants. Un produit de puissances additionne, une puissance de puissance multiplie, et presque toutes les erreurs de cette liste viennent d'avoir additionné là où l'on multiplie, ou d'avoir oublié que le coefficient et le signe moins sont aussi des facteurs.

a)

Même base, on additionne : $3^{2}\times 3^{5}\times 3^{1}=3^{2+5+1}=3^{8}$ , donc $n=8$ . Piège : le $3$ seul a pour exposant $1$ , pas $0$ ; l'oublier donne $3^{7}$ .

b)

Quotient, on soustrait : $\dfrac{4^{3}}{4^{5}}=4^{3-5}=4^{-2}$ , donc $n=-2$ , et $4^{-2}=\dfrac{1}{4^{2}}=\dfrac{1}{16}=0{,}0625$ . Piège : $4^{-2}$ n'est pas $-16$ ; un exposant négatif donne un inverse, jamais un nombre négatif.

c)

Puissance d'une puissance, on multiplie : $(7^{3})^{4}=7^{3\times 4}=7^{12}$ , donc $n=12$ . Piège : additionner, ce qui donne $7^{7}$ .

d)

L'exposant s'applique à chaque facteur : $(5a)^{3}=5^{3}a^{3}=125a^{3}$ , donc $k=125$ . Piège : écrire $5a^{3}$ , où le $5$ n'a pas été élevé au cube.

e)

$(-2)^{4}=(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)=16$ : quatre facteurs négatifs, produit positif. $-2^{4}=-(2^{4})=-16$ : sans parenthèse, l'exposant ne porte que sur le $2$ . Piège : répondre $16$ aux deux.

f)

$2a^{0}=2\times a^{0}=2\times 1=2$ , car l'exposant ne porte que sur $a$ ; $(2a)^{0}=1$ , car il porte sur tout le produit. Total : $2+1=3$ . Piège : écrire $2a^{0}=1$ .

g)

L'exposant $-1$ inverse, puis on élève au carré : $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2}=\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2}=\dfrac{16}{9}\approx 1{,}78$ . Piège : répondre $-\dfrac{9}{16}$ ; le signe moins de l'exposant renverse la fraction, il ne change pas son signe.

h)

Base par base : coefficients $\dfrac{15}{5}=3$ ; $x^{3-5}=x^{-2}$ ; $y^{2-1}=y^{1}$ . Donc $3x^{-2}y=\dfrac{3y}{x^{2}}$ , et $m=-2$ , $p=1$ . Piège : le $y$ seul du dénominateur a pour exposant $1$ .

i)

Une loi par étape : $(2^{-2})^{3}=2^{-6}$ , puis $2^{5}\times 2^{-6}=2^{-1}$ , puis $\dfrac{2^{-1}}{2^{-4}}=2^{-1-(-4)}=2^{3}=8$ . Piège : $-1-(-4)=+3$ ; écrire $-5$ donne $\dfrac{1}{32}$ .

j)

Tout en base $2$ : $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=2^{-n}$ , $4=2^{2}$ et $32=2^{5}$ . L'égalité devient $2^{-n+2}=2^{5}$ , donc $-n+2=5$ et $n=-3$ . Contrôle : $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3}=2^{3}=8$ et $8\times 4=32$ .

Contrôle : chaque simplification se teste en remplaçant les lettres par $2$ , ou en calculant les deux membres à la calculatrice. Pour h), avec $x=y=2$ : $\dfrac{15\times 8\times 4}{5\times 32\times 2}=\dfrac{480}{320}=1{,}5$ , et $\dfrac{3\times 2}{4}=1{,}5$ .

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Exercice 0.2 : Calculer en notation scientifique : dix calculs directs

Pour chaque ligne, écrivez le nombre ou le résultat du calcul en notation scientifique $a\times 10^{n}$ , avec $1\le a<10$ et $n$ entier, puis donnez la mantisse $a$ et l'exposant $n$ . À la ligne d), c'est l'écriture décimale qui est demandée.

Une seule méthode : on traite les mantisses d'un côté et les puissances de $10$ de l'autre. Pour un produit ou un quotient, on multiplie ou on divise les mantisses, et on additionne ou on soustrait les exposants. Pour une somme, on met d'abord les deux nombres à la MÊME puissance de $10$ , puis on additionne les mantisses. On finit toujours par RENORMALISER : si la mantisse sort de $[1\,;10[$ , on déplace la virgule et on corrige l'exposant d'autant.

a) Écrivez $5\,700\,000$ en notation scientifique.
b) Écrivez $0{,}000\,804$ en notation scientifique.
c) Écrivez $340\times 10^{-7}$ en notation scientifique.
d) Écrivez $6{,}05\times 10^{-3}$ en écriture décimale.
e) Calculez $(2\times 10^{3})\times(4{,}5\times 10^{-7})$ .
f) Calculez $(6\times 10^{4})\times(5\times 10^{8})$ .
g) Calculez $\dfrac{9{,}6\times 10^{8}}{3\times 10^{2}}$ .
h) Calculez $\dfrac{1{,}2\times 10^{-3}}{4\times 10^{5}}$ .
i) Calculez $4{,}7\times 10^{6}+6{,}8\times 10^{6}$ .
j) Calculez $5{,}2\times 10^{-4}+7\times 10^{-5}$ .

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a)

Mantisse

a

Exposant

n

b)

Mantisse

a

Exposant

n

c)

Mantisse

a

Exposant

n

d)

Écriture décimale

e)

Mantisse

a

Exposant

n

f)

Mantisse

a

Exposant

n

g)

Mantisse

a

Exposant

n

h)

Mantisse

a

Exposant

n

i)

Mantisse

a

Exposant

n

j)

Mantisse

a

Exposant

n

Voir la correction

Réponses

a) $5{,}7\times 10^{6}$
b) $8{,}04\times 10^{-4}$
c) $3{,}4\times 10^{-5}$
d) $0{,}00605$
e) $9\times 10^{-4}$
f) $30\times 10^{12}=3\times 10^{13}$
g) $3{,}2\times 10^{6}$
h) $0{,}3\times 10^{-8}=3\times 10^{-9}$
i) $11{,}5\times 10^{6}=1{,}15\times 10^{7}$
j) $(5{,}2+0{,}7)\times 10^{-4}=5{,}9\times 10^{-4}$

Le geste qui décide de tout : la renormalisation finale. Un calcul juste sur les mantisses et sur les exposants donne souvent $30\times 10^{12}$ ou $0{,}3\times 10^{-8}$ , qui ne sont pas en notation scientifique ; chaque rang dont on déplace la virgule vers la gauche AJOUTE $1$ à l'exposant, chaque rang vers la droite en RETIRE $1$ .

a)

La virgule, après le dernier $0$ , recule de $6$ rangs pour se placer après le $5$ : $5\,700\,000=5{,}7\times 10^{6}$ . Contrôle : $5{,}7$ million.

b)

La virgule avance de $4$ rangs pour se placer après le $8$ : $0{,}000\,804=8{,}04\times 10^{-4}$ . Piège : compter les zéros, trois, au lieu des rangs parcourus, quatre.

c)

$340=3{,}4\times 10^{2}$ , donc $340\times 10^{-7}=3{,}4\times 10^{2}\times 10^{-7}=3{,}4\times 10^{-5}$ . Piège : la mantisse a diminué, l'exposant AUGMENTE de $2$ ; écrire $10^{-9}$ change le nombre.

d)

$10^{-3}$ : la virgule avance de $3$ rangs vers la gauche, $6{,}05\times 10^{-3}=0{,}00605$ . Contrôle : $0{,}00605\times 1000=6{,}05$ .

e)

Mantisses : $2\times 4{,}5=9$ . Puissances : $10^{3}\times 10^{-7}=10^{3+(-7)}=10^{-4}$ . Résultat : $9\times 10^{-4}$ , déjà normalisé.

f)

Mantisses : $6\times 5=30$ . Puissances : $10^{4+8}=10^{12}$ . Donc $30\times 10^{12}=3\times 10\times 10^{12}=3\times 10^{13}$ . Piège : s'arrêter à $30\times 10^{12}$ , dont la mantisse dépasse $10$ .

g)

Mantisses : $\dfrac{9{,}6}{3}=3{,}2$ . Puissances : $\dfrac{10^{8}}{10^{2}}=10^{8-2}=10^{6}$ . Résultat : $3{,}2\times 10^{6}$ .

h)

Mantisses : $\dfrac{1{,}2}{4}=0{,}3$ . Puissances : $\dfrac{10^{-3}}{10^{5}}=10^{-3-5}=10^{-8}$ . Donc $0{,}3\times 10^{-8}=3\times 10^{-1}\times 10^{-8}=3\times 10^{-9}$ . Deux pièges à la suite : $-3-5=-8$ et non $2$ , puis une mantisse sous $1$ qui fait DESCENDRE l'exposant.

i)

Même exposant : $(4{,}7+6{,}8)\times 10^{6}=11{,}5\times 10^{6}=1{,}15\times 10^{7}$ . Piège : additionner aussi les exposants, $10^{12}$ , ou garder $11{,}5$ comme mantisse.

j)

Exposants différents : $7\times 10^{-5}=0{,}7\times 10^{-4}$ . Donc $5{,}2\times 10^{-4}+0{,}7\times 10^{-4}=5{,}9\times 10^{-4}$ . Piège : additionner les mantisses telles quelles, $12{,}2$ , alors qu'elles ne comptent pas la même unité.

Contrôle : à la calculatrice, en mode scientifique, on tape le calcul de départ et on compare l'affichage à la réponse. Sans calculatrice, un ordre de grandeur suffit : en f), $60\,000\times 500\,000\,000$ a bien $14$ chiffres, comme $3\times 10^{13}$ .

Exercice 1 : Compter les facteurs : les cinq lois des exposants

Écrire $a^{n}$ , c'est écrire $n$ facteurs égaux à $a$ multipliés entre eux. Toutes les lois du chapitre se retrouvent en COMPTANT ces facteurs, et la figure le montre sur une aire : un rectangle de $2^{3}$ colonnes et $2^{2}$ rangées contient $2^{3}\times 2^{2}$ carreaux.

a) Combien de carreaux contient le rectangle ? Écrivez la réponse comme une seule puissance de $2$ , et dites quelle loi vous venez de retrouver.
b) Écrivez sous forme d'une seule puissance : $3^{4}\times 3^{5}$ ; $\dfrac{7^{9}}{7^{4}}$ ; $(5^{2})^{3}$ ; $2^{3}\times 5^{3}$ ; $\dfrac{6^{4}}{3^{4}}$ .
c) Simplifiez $\dfrac{x^{7}\times x^{2}}{x^{4}}$ et $\left(\dfrac{2a^{3}}{b}\right)^{2}$ pour $x$ , $a$ , $b$ non nuls.
d) Un élève écrit $2^{3}\times 2^{2}=4^{5}$ . Montrez en comptant les facteurs pourquoi c'est faux, et donnez la valeur exacte des deux membres.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/12

a)

Nombre de carreaux

Exposant de la puissance de

2

b)

Exposant de

3^{4}\times 3^{5}

Exposant de

\dfrac{7^{9}}{7^{4}}

Exposant de

(5^{2})^{3}

Valeur de

2^{3}\times 5^{3}

Valeur de

\dfrac{6^{4}}{3^{4}}

c)

Exposant de

x

Nombre en tête de

\dfrac{?\,a^{6}}{b^{2}}

Exposant de

a

d)

Valeur de

2^{3}\times 2^{2}

Valeur de

4^{5}

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Réponses

a) $32$ carreaux, soit $2^{5}$ : loi du produit, $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$
b) $3^{9}$ ; $7^{5}$ ; $5^{6}$ ; $10^{3}=1000$ ; $2^{4}=16$
c) $x^{5}$ et $\dfrac{4a^{6}}{b^{2}}$
d) $2^{5}=32$ , alors que $4^{5}=1024$ : la base ne change pas

a)

Il y a $8$ colonnes et $4$ rangées, donc $8\times 4=32$ carreaux. En facteurs : $2^{3}\times 2^{2}=(2\times 2\times 2)\times(2\times 2)$ , cinq facteurs $2$ , donc $2^{5}=32$ . C'est la loi du PRODUIT de puissances de même base : $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ . On ADDITIONNE les exposants parce qu'on met bout à bout deux listes de facteurs ; la base, elle, ne change pas.

b)

$3^{4}\times 3^{5}=3^{9}$ (on additionne, même base). $\dfrac{7^{9}}{7^{4}}=7^{5}$ : neuf facteurs $7$ au numérateur, quatre s'annulent avec ceux du dénominateur, il en reste cinq, donc on SOUSTRAIT. $(5^{2})^{3}=5^{2}\times 5^{2}\times 5^{2}=5^{6}$ : trois paquets de deux facteurs, on MULTIPLIE les exposants. $2^{3}\times 5^{3}=(2\times 5)^{3}=10^{3}=1000$ : mêmes exposants, bases différentes, on multiplie les bases. $\dfrac{6^{4}}{3^{4}}=\left(\dfrac{6}{3}\right)^{4}=2^{4}=16$ . Cinq lois, et chacune n'est qu'une façon de compter.

c)

$\dfrac{x^{7}\times x^{2}}{x^{4}}=\dfrac{x^{9}}{x^{4}}=x^{5}$ . Pour la seconde, la puissance s'applique à CHAQUE facteur de la fraction, coefficient compris : $\left(\dfrac{2a^{3}}{b}\right)^{2}=\dfrac{2^{2}\times(a^{3})^{2}}{b^{2}}=\dfrac{4a^{6}}{b^{2}}$ . L'erreur la plus fréquente est d'oublier d'élever le $2$ au carré et d'écrire $\dfrac{2a^{6}}{b^{2}}$ : le coefficient est un facteur comme les autres, il prend l'exposant.

d)

$2^{3}\times 2^{2}$ , ce sont $3+2=5$ facteurs égaux à $2$ : $2^{5}=32$ . Écrire $4^{5}$ , c'est prétendre qu'on a cinq facteurs égaux à $4$ , soit $1024$ , trente-deux fois trop. L'élève a fait DEUX opérations sur la base au lieu d'aucune : quand on multiplie deux puissances de même base, la base reste la même, seuls les exposants s'additionnent. Le contrôle est immédiat : $8\times 4=32$ , et $4^{5}=1024$ .

Exercice 2 : L'exposant zéro et les exposants négatifs

Les lois des exposants ne laissent qu'une seule valeur possible à $a^{0}$ et à $a^{-n}$ . On les DÉDUIT, on ne les décrète pas.

a) Calculez $\dfrac{5^{3}}{5^{3}}$ de deux façons : en calculant les puissances, puis avec la loi du quotient. Qu'en déduisez-vous pour $5^{0}$ ?
b) Calculez $\dfrac{2^{3}}{2^{5}}$ de deux façons. Qu'en déduisez-vous pour $2^{-2}$ ?
c) Écrivez sans exposant négatif, puis calculez : $3^{-2}$ ; $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1}$ ; $\dfrac{1}{4^{-2}}$ ; $10^{-3}$ ; $(-2)^{-3}$ .
d) Rangez dans l'ordre croissant : $2^{-3}$ ; $2^{0}$ ; $2^{-1}$ ; $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}$ ; $0$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/11

a)

\dfrac{5^{3}}{5^{3}}

5^{0}

b)

\dfrac{2^{3}}{2^{5}}

2^{-2}

c)

3^{-2}=\dfrac{1}{?}

\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1}

\dfrac{1}{4^{-2}}

10^{-3}

(-2)^{-3}

est

d)

Le plus petit des cinq

\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}

Voir la correction

Réponses

a) $1$ des deux façons, donc $5^{0}=1$
b) $\dfrac{1}{4}$ des deux façons, donc $2^{-2}=\dfrac{1}{2^{2}}$
c) $\dfrac{1}{9}$ ; $\dfrac{3}{2}$ ; $16$ ; $0{,}001$ ; $-\dfrac{1}{8}$
d) $0<2^{-3}<2^{-1}<2^{0}<\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}=4$

a)

Directement : $\dfrac{125}{125}=1$ . Par la loi du quotient : $5^{3-3}=5^{0}$ . Les deux écritures désignent le même nombre, donc $5^{0}=1$ . C'est vrai pour toute base non nulle : $a^{0}=1$ , parce que $\dfrac{a^{n}}{a^{n}}$ vaut toujours $1$ . Ce n'est pas $0$ , et ce n'est pas « rien » : c'est le résultat d'un quotient de deux nombres égaux. Un élève sur trois écrit $5^{0}=0$ ou $5^{0}=5$ ; la loi du quotient est la façon de s'en souvenir.

b)

Directement : $\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}$ . Par la loi : $2^{3-5}=2^{-2}$ . Donc $2^{-2}=\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2^{2}}$ . Un exposant négatif signifie « un facteur de trop au dénominateur » : $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$ . Le signe moins ne rend PAS le nombre négatif : $2^{-2}$ est positif, il est simplement plus petit que $1$ . C'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre : $2^{-2}=-4$ est faux, et $2^{-2}=-\dfrac{1}{4}$ aussi.

c)

$3^{-2}=\dfrac{1}{3^{2}}=\dfrac{1}{9}$ . $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1}=\dfrac{3}{2}$ : l'exposant $-1$ INVERSE la fraction. $\dfrac{1}{4^{-2}}=4^{2}=16$ : un exposant négatif au dénominateur remonte au numérateur. $10^{-3}=\dfrac{1}{1000}=0{,}001$ . $(-2)^{-3}=\dfrac{1}{(-2)^{3}}=\dfrac{1}{-8}=-\dfrac{1}{8}$ : ici le résultat EST négatif, mais à cause de la base négative élevée à une puissance impaire, pas à cause de l'exposant négatif.

d)

On calcule : $2^{-3}=\dfrac{1}{8}=0{,}125$ ; $2^{0}=1$ ; $2^{-1}=\dfrac{1}{2}=0{,}5$ ; $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}=2^{2}=4$ . Ordre croissant : $0<2^{-3}<2^{-1}<2^{0}<\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}$ . Ce qu'il faut voir : toutes les puissances de $2$ sont strictement positives, même avec un exposant négatif, donc $0$ est le plus petit ; et plus l'exposant négatif est grand en valeur absolue, plus le nombre est PETIT, c'est l'inverse de l'intuition.

Exercice 3 : La puissance d'un produit, et la parenthèse qui change tout

Élever un PRODUIT à une puissance, c'est élever chaque facteur. Élever une SOMME à une puissance, c'est autre chose, et la parenthèse dit à quoi s'applique l'exposant. La figure compare un cube d'arête $2a$ et deux cubes d'arête $a$ .

a) Exprimez le volume du grand cube et celui des deux petits cubes réunis. Combien de petits cubes faudrait-il pour égaler le grand ?
b) Calculez pour $a=3$ : $(2a)^{3}$ et $2a^{3}$ . Puis $(-3)^{2}$ et $-3^{2}$ . Puis $(-3)^{3}$ et $-3^{3}$ .
c) Développez $(3x^{2}y)^{3}$ et $\left(-\dfrac{a^{2}}{2b}\right)^{4}$ .
d) Vrai ou faux, avec un exemple numérique : $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}$ ; $(ab)^{2}=a^{2}b^{2}$ ; $(a^{2})^{3}=a^{5}$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/16

a)

Volume du grand cube :

?\,a^{3}

Volume des deux petits :

?\,a^{3}

Petits cubes pour égaler le grand

b)

(2a)^{3}

pour

a=3

2a^{3}

pour

a=3

(-3)^{2}

-3^{2}

(-3)^{3}

c)

Nombre en tête de

(3x^{2}y)^{3}

Exposant de

x

Nombre devant

b^{4}

Exposant de

a

Signe de

\left(-\dfrac{a^{2}}{2b}\right)^{4}

d)

(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}

(ab)^{2}=a^{2}b^{2}

(a^{2})^{3}=a^{5}

Voir la correction

Réponses

a) $8a^{3}$ contre $2a^{3}$ : il faudrait HUIT petits cubes
b) $216$ et $54$ ; $9$ et $-9$ ; $-27$ et $-27$
c) $27x^{6}y^{3}$ et $\dfrac{a^{8}}{16b^{4}}$
d) Fausse, vraie, fausse : la puissance traverse un produit, jamais une somme

a)

Le grand cube a pour volume $(2a)^{3}=2^{3}a^{3}=8a^{3}$ . Les deux petits cubes ont ensemble $2a^{3}$ . Il faudrait donc HUIT petits cubes, et pas deux, pour égaler le grand : doubler l'arête multiplie le volume par $2^{3}=8$ . La figure le dit : le grand cube a deux petits cubes de largeur, deux de profondeur et deux de hauteur. C'est la raison pour laquelle $(2a)^{3}\neq 2a^{3}$ : dans le premier, le $2$ est élevé au cube avec $a$ ; dans le second, il ne l'est pas.

b)

Pour $a=3$ : $(2a)^{3}=6^{3}=216$ et $2a^{3}=2\times 27=54$ ; le rapport vaut $4$ , c'est le $2^{2}$ manquant. $(-3)^{2}=(-3)\times(-3)=9$ , mais $-3^{2}=-(3^{2})=-9$ : sans parenthèse, l'exposant s'applique au $3$ seul, et le signe moins reste devant. $(-3)^{3}=-27$ et $-3^{3}=-27$ : ici les deux coïncident, parce qu'une puissance impaire d'un négatif est négative. La coïncidence sur les exposants impairs est un piège : elle fait croire que la parenthèse est inutile, jusqu'au premier exposant pair.

c)

$(3x^{2}y)^{3}=3^{3}(x^{2})^{3}y^{3}=27x^{6}y^{3}$ : le coefficient $3$ devient $27$ , l'exposant $2$ de $x$ est MULTIPLIÉ par $3$ , et $y$ reçoit l'exposant $3$ . $\left(-\dfrac{a^{2}}{2b}\right)^{4}=\dfrac{(-1)^{4}(a^{2})^{4}}{2^{4}b^{4}}=\dfrac{a^{8}}{16b^{4}}$ : puissance PAIRE, le signe disparaît ; $2^{4}=16$ ; et $b$ prend l'exposant $4$ . Vérification avec $a=b=1$ : $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{4}=\dfrac{1}{16}$ , et la formule donne $\dfrac{1}{16}$ .

d)

$(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}$ est FAUX : avec $a=3$ et $b=4$ , $(3+4)^{2}=49$ alors que $9+16=25$ . La puissance ne se distribue pas sur une addition ; elle se distribue sur une multiplication, c'est la seconde égalité, $(ab)^{2}=a^{2}b^{2}$ , VRAIE : $(3\times 4)^{2}=144=9\times 16$ . La troisième, $(a^{2})^{3}=a^{5}$ , est FAUSSE : on multiplie les exposants, $(a^{2})^{3}=a^{6}$ ; avec $a=2$ , $(4)^{3}=64=2^{6}$ et non $32$ . Ces trois lignes résument le chapitre : la puissance traverse un produit, pas une somme, et une puissance de puissance multiplie.

Exercice 4 : Simplifier une expression à exposants

Une expression à plusieurs bases se simplifie base par base, en appliquant à chacune les lois de l'exercice 1, puis en éliminant les exposants négatifs. Toutes les lettres désignent des nombres non nuls.

a) Simplifiez $\dfrac{12a^{5}b^{2}}{4a^{2}b^{6}}$ .
b) Simplifiez $(2x^{-3}y^{2})^{-2}$ , puis écrivez le résultat sans exposant négatif.
c) Simplifiez $\dfrac{(3^{2})^{4}\times 3^{-5}}{3^{2}}$ et donnez sa valeur.
d) Trouvez $n$ pour que $\dfrac{8^{n}}{2^{7}}=2^{5}$ , puis pour que $4^{n}\times 2^{3}=2^{11}$ .

Voir la correction

Réponses

a) $\dfrac{3a^{3}}{b^{4}}$
b) $2^{-2}x^{6}y^{-4}=\dfrac{x^{6}}{4y^{4}}$
c) $3^{8-5-2}=3^{1}=3$
d) $n=4$ dans les deux cas

a)

Coefficients : $\dfrac{12}{4}=3$ . Base $a$ : $a^{5-2}=a^{3}$ . Base $b$ : $b^{2-6}=b^{-4}=\dfrac{1}{b^{4}}$ . Résultat : $\dfrac{3a^{3}}{b^{4}}$ . La méthode tient en une phrase : chaque base se traite SÉPARÉMENT, et les coefficients se traitent comme des nombres ordinaires. Vérification avec $a=b=2$ : l'expression de départ vaut $\dfrac{12\times 32\times 4}{4\times 4\times 64}=1{,}5$ , et $\dfrac{3\times 8}{16}=1{,}5$ .

b)

La puissance $-2$ s'applique à chaque facteur : $2^{-2}\times(x^{-3})^{-2}\times(y^{2})^{-2}=2^{-2}x^{6}y^{-4}$ . Le produit $(-3)\times(-2)=6$ donne un exposant POSITIF pour $x$ : deux signes moins font un plus, ici aussi. Sans exposant négatif : $\dfrac{x^{6}}{4y^{4}}$ . Vérification avec $x=y=1$ : $(2)^{-2}=\dfrac{1}{4}$ , et la formule donne $\dfrac{1}{4}$ .

c)

$(3^{2})^{4}=3^{8}$ . Puis $3^{8}\times 3^{-5}=3^{3}$ . Puis $\dfrac{3^{3}}{3^{2}}=3^{1}=3$ . Le résultat est $3$ . Un élève qui calcule $(3^{2})^{4}=3^{6}$ en additionnant obtient $3^{-1}=\dfrac{1}{3}$ : une seule loi mal appliquée et le résultat est divisé par $9$ . La discipline est de ne faire qu'UNE loi par étape.

d)

On ramène tout en base $2$ : $8=2^{3}$ , donc $8^{n}=(2^{3})^{n}=2^{3n}$ et $\dfrac{2^{3n}}{2^{7}}=2^{3n-7}$ . L'égalité $2^{3n-7}=2^{5}$ impose $3n-7=5$ , donc $n=4$ . Vérification : $8^{4}=4096$ et $\dfrac{4096}{128}=32=2^{5}$ . Pour la seconde : $4^{n}=2^{2n}$ , donc $2^{2n}\times 2^{3}=2^{2n+3}=2^{11}$ , d'où $2n+3=11$ et $n=4$ . Vérification : $256\times 8=2048=2^{11}$ . Pour une base positive et différente de $1$ , deux puissances de cette base sont égales si et seulement si leurs exposants sont égaux (la base $1$ fait exception : $1^{2}=1^{3}$ ) : c'est ce principe qui transforme une équation exponentielle en équation du premier degré.

Exercice 5 : La notation scientifique : écrire, comparer, calculer

Un nombre en notation scientifique s'écrit $a\times 10^{n}$ avec $1\le a<10$ et $n$ entier. La frise ci-dessous rappelle qu'un cran de trois exposants correspond à un préfixe : mille fois plus, ou mille fois moins.

a) Écrivez en notation scientifique : $384\,000$ ; $0{,}000\,052$ ; $7{,}2$ ; $12{,}5\times 10^{4}$ ; $0{,}3\times 10^{-6}$ .
b) Calculez et donnez le résultat en notation scientifique : $(3\times 10^{5})\times(4\times 10^{-2})$ et $\dfrac{8{,}4\times 10^{7}}{2{,}1\times 10^{-3}}$ .
c) Calculez $2{,}5\times 10^{6}+3\times 10^{5}$ . Pourquoi ne peut-on pas additionner les exposants ?
d) Un globule rouge mesure environ $7\times 10^{-6}$ m. Combien faut-il en aligner pour faire $1$ cm ? Exprimez la réponse avec le bon préfixe de la frise.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/12

a)

Exposant de

384\,000

Mantisse de

0{,}000\,052

Son exposant

Mantisse de

12{,}5\times 10^{4}

Exposant de

0{,}3\times 10^{-6}

b)

Mantisse du produit

Son exposant

Mantisse du quotient

Son exposant

c)

Mantisse de la somme

Son exposant

d)

Nombre de globules

Voir la correction

Réponses

a) $3{,}84\times 10^{5}$ ; $5{,}2\times 10^{-5}$ ; $7{,}2\times 10^{0}$ ; $1{,}25\times 10^{5}$ ; $3\times 10^{-7}$
b) $1{,}2\times 10^{4}$ et $4\times 10^{10}$
c) $2{,}8\times 10^{6}$ : on met les deux à la même puissance de $10$
d) Environ $1430$ globules, soit $1{,}43\times 10^{3}$

a)

$384\,000=3{,}84\times 10^{5}$ : la virgule recule de $5$ rangs. $0{,}000\,052=5{,}2\times 10^{-5}$ : elle avance de $5$ rangs, exposant négatif. $7{,}2=7{,}2\times 10^{0}$ , déjà en notation scientifique. $12{,}5\times 10^{4}$ n'est PAS en notation scientifique puisque $12{,}5\ge 10$ : $12{,}5=1{,}25\times 10$ , donc $1{,}25\times 10^{5}$ . $0{,}3\times 10^{-6}$ non plus, $0{,}3<1$ : $0{,}3=3\times 10^{-1}$ , donc $3\times 10^{-7}$ . Chaque fois qu'on déplace la virgule d'un rang vers la gauche, l'exposant AUGMENTE de $1$ , et inversement.

b)

On multiplie les mantisses entre elles et les puissances de $10$ entre elles : $3\times 4=12$ et $10^{5}\times 10^{-2}=10^{3}$ , donc $12\times 10^{3}=1{,}2\times 10^{4}$ . La dernière étape est obligatoire : $12$ dépasse $10$ . Pour le quotient : $\dfrac{8{,}4}{2{,}1}=4$ et $\dfrac{10^{7}}{10^{-3}}=10^{7-(-3)}=10^{10}$ , donc $4\times 10^{10}$ . Le piège est la soustraction d'un exposant négatif : $7-(-3)=10$ , pas $4$ .

c)

On ne peut additionner que des nombres exprimés avec la MÊME puissance de $10$ , comme on n'additionne que des longueurs exprimées dans la même unité. $3\times 10^{5}=0{,}3\times 10^{6}$ , donc la somme vaut $2{,}5\times 10^{6}+0{,}3\times 10^{6}=2{,}8\times 10^{6}$ . Additionner les exposants donnerait $10^{11}$ , un nombre cent mille fois trop grand : la loi $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ concerne une MULTIPLICATION, et ici on additionne. Vérification : $2\,500\,000+300\,000=2\,800\,000$ .

d)

$1$ cm $=10^{-2}$ m. Nombre de globules : $\dfrac{10^{-2}}{7\times 10^{-6}}=\dfrac{1}{7}\times 10^{-2-(-6)}=\dfrac{1}{7}\times 10^{4}\approx 0{,}143\times 10^{4}=1{,}43\times 10^{3}$ . Il en faut environ $1430$ , soit $1{,}43$ kilo-globules si l'on veut parler comme la frise : le préfixe kilo correspond à $10^{3}$ . Ce qui compte dans la question, c'est le réflexe de convertir le centimètre en mètres AVANT de diviser : diviser $1$ par $7\times 10^{-6}$ donnerait $143\,000$ , la réponse pour un mètre.

Exercice 6 : Ordres de grandeur sans calculatrice

Comparer deux grandes puissances ne demande presque jamais de les calculer : il suffit de les écrire dans une base commune, ou de comparer des ordres de grandeur.

a) Sans calculatrice, comparez $3^{40}$ et $9^{19}$ . Puis $2^{30}$ et $10^{9}$ , sachant que $2^{10}=1024$ .
b) Combien de chiffres a le nombre $2^{40}$ ? Justifiez avec $2^{10}\approx 10^{3}$ , puis précisez avec $2^{10}=1024$ .
c) Lequel est le plus grand : $2^{100}$ ou $3^{60}$ ? Utilisez $2^{5}=32$ et $3^{3}=27$ .
d) Un grain de sable a un volume d'environ $10^{-3}$ mm $^{3}$ et une plage contient environ $10^{9}$ m $^{3}$ de sable. Estimez le nombre de grains, en expliquant chaque conversion.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/9

a)

Le plus grand

Rapport entre les deux

Entre

2^{30}

et

10^{9}

b)

Nombre de chiffres de

2^{40}

Mantisse de

2^{40}

c)

Le plus grand

Exposant commun choisi

d)

Volume de la plage :

10^{?}

mm

^{3}

Nombre de grains :

10^{?}

Voir la correction

Réponses

a) $3^{40}=9\times 9^{19}$ ; et $2^{30}>10^{9}$
b) $13$ chiffres, $2^{40}\approx 1{,}0995\times 10^{12}$
c) $32^{20}>27^{20}$ , donc $2^{100}>3^{60}$
d) $10^{18}$ mm $^{3}$ de sable, donc environ $10^{21}$ grains

a)

$9=3^{2}$ , donc $9^{19}=(3^{2})^{19}=3^{38}$ . Comme $3^{40}=3^{38}\times 3^{2}=9\times 3^{38}$ , on a $3^{40}=9\times 9^{19}$ : le premier est neuf fois plus grand. Pour le second couple : $2^{30}=(2^{10})^{3}=1024^{3}$ et $10^{9}=(10^{3})^{3}=1000^{3}$ . Comme $1024>1000$ , $2^{30}>10^{9}$ . En effet $2^{30}=1\,073\,741\,824$ , un peu plus d'un milliard : c'est le nombre d'octets d'un gibioctet, l'unité de mémoire de l'exercice 9.

b)

$2^{40}=(2^{10})^{4}\approx(10^{3})^{4}=10^{12}$ , donc environ $13$ chiffres. Plus précisément $2^{40}=1024^{4}$ ; or $1024^{4}=(1{,}024\times 10^{3})^{4}=1{,}024^{4}\times 10^{12}$ , et $1{,}024^{4}\approx 1{,}0995$ , donc $2^{40}\approx 1{,}0995\times 10^{12}$ , qui a bien $13$ chiffres. Valeur exacte : $1\,099\,511\,627\,776$ . La méthode générale : pour $n\ge 0$ , un nombre $a\times 10^{n}$ écrit en notation scientifique a $n+1$ chiffres avant la virgule.

c)

On cherche un exposant commun. $2^{100}=(2^{5})^{20}=32^{20}$ et $3^{60}=(3^{3})^{20}=27^{20}$ . Deux puissances de MÊME exposant $20$ se comparent par leurs bases : $32>27$ , donc $2^{100}>3^{60}$ . Le réflexe est de chercher le plus grand diviseur commun des exposants, ici $20$ , pour ramener les deux nombres à la même puissance. Sans ce réflexe, on est tenté de dire que $3^{60}$ gagne parce que $3>2$ , ce qui néglige le rôle de l'exposant.

d)

Il faut mettre les deux volumes dans la même unité. $1$ m $=10^{3}$ mm, donc $1$ m $^{3}=(10^{3})^{3}$ mm $^{3}=10^{9}$ mm $^{3}$ : le cube de $10^{3}$ , pas $10^{3}$ lui-même, c'est le piège de toute conversion de volume. La plage contient donc $10^{9}\times 10^{9}=10^{18}$ mm $^{3}$ de sable. Nombre de grains : $\dfrac{10^{18}}{10^{-3}}=10^{18-(-3)}=10^{21}$ , mille milliards de milliards. L'estimation est grossière, les données le sont, mais l'ordre de grandeur est correct, et c'est tout ce qu'on demande.

Exercice 7 : La culture de bactéries : une quantité qui double

Une culture contient $50$ bactéries à l'heure $0$ , et leur nombre DOUBLE chaque heure. Le diagramme donne l'effectif des sept premières heures.

a) Écrivez l'effectif après $1$ , $2$ , $3$ heures, puis une expression de l'effectif $N$ après $h$ heures.
b) Combien y a-t-il de bactéries après $10$ heures ? Après une journée de $24$ heures, en notation scientifique ?
c) Au bout de combien d'heures l'effectif dépasse-t-il $100\,000$ ? Encadrez par deux puissances de $2$ .
d) Un élève affirme : « en $2$ heures, l'effectif est multiplié par $4$ ; donc en $4$ heures, il est multiplié par $8$ ». Corrigez.

Voir la correction

Réponses

a) $100$ , $200$ , $400$ , et $N=50\times 2^{h}$
b) $51\,200$ après $10$ h ; $\approx 8{,}39\times 10^{8}$ après $24$ h
c) $h=11$ , effectif $102\,400$
d) En $4$ heures le facteur vaut $2^{4}=16$ , pas $8$

a)

$100$ après une heure, $200$ après deux, $400$ après trois : chaque heure multiplie par $2$ . Après $h$ heures, on a multiplié $h$ fois par $2$ , donc $N=50\times 2^{h}$ . L'exposant COMPTE le nombre de doublements, c'est exactement le fil du chapitre : $2^{h}$ n'est pas « $2$ fois $h$ » mais « $h$ facteurs $2$ ». Contrôle sur le diagramme : $h=6$ donne $50\times 64=3200$ , la dernière barre.

b)

$N(10)=50\times 2^{10}=50\times 1024=51\,200$ . $N(24)=50\times 2^{24}=50\times 16\,777\,216=838\,860\,800\approx 8{,}39\times 10^{8}$ , plus de $800$ millions. En pratique la culture manque de nourriture bien avant, mais le modèle dit ce que ferait un doublement sans frein, et c'est la raison pour laquelle une infection ou une contamination progresse si vite.

c)

On cherche $h$ tel que $50\times 2^{h}>100\,000$ , c'est-à-dire $2^{h}>2000$ . Or $2^{10}=1024<2000$ et $2^{11}=2048>2000$ . Donc $h=11$ : après $11$ heures, l'effectif vaut $50\times 2048=102\,400$ , alors qu'après $10$ heures il n'était que de $51\,200$ . La réponse est un ENTIER d'heures, et on l'obtient en encadrant $2000$ entre deux puissances de $2$ consécutives, exactement comme on encadrait une racine entre deux carrés parfaits.

d)

Le début est juste : en $2$ heures, l'effectif est multiplié par $2^{2}=4$ . Mais en $4$ heures, il est multiplié par $2^{4}=16$ , pas par $8$ . L'élève a ADDITIONNÉ ( $4+4=8$ ) là où il faut MULTIPLIER ( $4\times 4=16$ ) : deux périodes de deux heures, c'est $2^{2}\times 2^{2}=2^{4}$ . Sur le diagramme, de l'heure $0$ à l'heure $4$ , on passe de $50$ à $800$ , seize fois plus. L'erreur est la même que $2^{3}\times 2^{2}=4^{5}$ de l'exercice 1 : quand les facteurs se répètent, les exposants s'additionnent, les résultats se multiplient.

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Chacune des cinq affirmations suivantes est FAUSSE. Dites pourquoi et donnez l'énoncé correct.

1) « $2^{3}\times 2^{4}=4^{7}$ . »
2) « $5^{-2}$ est un nombre négatif, puisque l'exposant est négatif. »
3) « $(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}$ , comme $(ab)^{3}=a^{3}b^{3}$ . »
4) « $45\times 10^{3}$ est écrit en notation scientifique. »
5) « Pour additionner $3\times 10^{4}$ et $2\times 10^{4}$ , on additionne aussi les exposants : $5\times 10^{8}$ . »

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Réponses

1) $2^{3}\times 2^{4}=2^{7}=128$ : la base ne change jamais
2) $5^{-2}=\dfrac{1}{25}=0{,}04$ , positif : l'exposant négatif indique un inverse
3) La puissance se distribue sur un produit seulement ; $(1+2)^{3}=27\neq 9$
4) La mantisse doit vérifier $1\le a<10$ : $45\times 10^{3}=4{,}5\times 10^{4}$
5) $(3+2)\times 10^{4}=5\times 10^{4}$ : on additionne les mantisses

1)

FAUX. Multiplier deux puissances de même base ADDITIONNE les exposants et garde la base : $2^{3}\times 2^{4}=2^{7}=128$ , alors que $4^{7}=16\,384$ . Énoncé correct : $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ , la base ne change jamais.

2)

FAUX. $5^{-2}=\dfrac{1}{5^{2}}=\dfrac{1}{25}=0{,}04$ , un nombre positif plus petit que $1$ . Énoncé correct : un exposant négatif indique un INVERSE, $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$ ; le signe du résultat ne dépend que de la base et de la parité de l'exposant.

3)

FAUX. Avec $a=1$ et $b=2$ : $(1+2)^{3}=27$ mais $1+8=9$ . Énoncé correct : la puissance se distribue sur un PRODUIT, $(ab)^{3}=a^{3}b^{3}$ , jamais sur une somme ; $(a+b)^{3}$ se développe et contient des termes croisés.

4)

FAUX. La mantisse doit vérifier $1\le a<10$ , et $45$ ne le fait pas. Énoncé correct : $45\times 10^{3}=4{,}5\times 10^{4}$ ; déplacer la virgule d'un rang vers la gauche augmente l'exposant de $1$ .

5)

FAUX. $3\times 10^{4}+2\times 10^{4}=(3+2)\times 10^{4}=5\times 10^{4}=50\,000$ . Additionner les exposants donnerait $500$ millions, dix mille fois trop. Énoncé correct : on n'additionne les exposants que pour un PRODUIT ; pour une somme, on met les deux nombres à la même puissance de $10$ et on additionne les mantisses.

Exercice 9 : Problème : la mémoire d'un ordinateur, en octets et en puissances de 2

Un octet est l'unité de mémoire des ordinateurs. La mémoire se compte en puissances de $2$ , avec des préfixes binaires : $1$ Kio (kibioctet) vaut $2^{10}=1024$ octets, $1$ Mio (mébioctet) vaut $2^{20}$ octets et $1$ Gio (gibioctet) vaut $2^{30}$ octets. Les fabricants de disques utilisent les préfixes décimaux : $1$ Go (gigaoctet) vaut $10^{9}$ octets. L'usage courant confond souvent les deux, et cet exercice mesure ce que coûte cette confusion.

a) Combien d'octets exactement contient une mémoire de $8$ Gio (gibioctets, $8\times 2^{30}$ ) ? Écrivez le résultat en notation scientifique avec trois chiffres significatifs.
b) Un disque vendu « $500$ Go » contient $500\times 10^{9}$ octets. Combien de Gio l'ordinateur affiche-t-il ? Arrondissez au dixième.
c) Une photo pèse $4{,}2$ Mio ( $4{,}2\times 2^{20}$ octets). Combien de photos tiennent sur le disque de la question b) ? Donnez l'ordre de grandeur en puissance de $10$ , puis la valeur arrondie au millier.
d) Expliquez avec les lois des exposants pourquoi l'écart entre $2^{30}$ et $10^{9}$ (environ $7\,\%$ ) est plus grand que l'écart entre $2^{10}$ et $10^{3}$ (environ $2{,}4\,\%$ ).

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Réponses

a) $2^{33}$ octets, soit $\approx 8{,}59\times 10^{9}$
b) $\approx 465{,}7$ Gio
c) Ordre de grandeur $10^{5}$ , environ $114\,000$ photos
d) $\dfrac{2^{30}}{10^{9}}=1{,}024^{3}\approx 1{,}0737$ : l'écart du kilo est élevé au cube

a)

$8\times 2^{30}=2^{3}\times 2^{30}=2^{33}$ octets, puisque $8=2^{3}$ et qu'on additionne les exposants. $2^{33}=8\,589\,934\,592$ . En notation scientifique avec trois chiffres significatifs : $8{,}59\times 10^{9}$ octets. Une mémoire de $8$ Gio contient donc près de $8{,}6$ milliards d'octets, alors que $8$ Go en contiendraient $8$ milliards : c'est le premier endroit où les deux préfixes divergent.

b)

L'ordinateur divise le nombre d'octets par $2^{30}=1\,073\,741\,824$ : $\dfrac{500\times 10^{9}}{2^{30}}\approx 465{,}7$ Gio. Le disque « de $500$ Go » affiche donc environ $465{,}7$ Gio, et le client croit qu'on lui a volé $34$ Go. Rien n'a disparu : ce sont deux unités, le Go de $10^{9}$ octets du fabricant et le Gio de $2^{30}$ octets du système d'exploitation, qui l'affiche parfois « Go ». Le rapport entre les deux vaut $\dfrac{2^{30}}{10^{9}}\approx 1{,}0737$ , soit un écart d'environ $7{,}4\,\%$ .

c)

Une photo : $4{,}2\times 2^{20}=4{,}2\times 1\,048\,576\approx 4{,}40\times 10^{6}$ octets. Nombre de photos : $\dfrac{5\times 10^{11}}{4{,}40\times 10^{6}}\approx 1{,}14\times 10^{5}$ , donc l'ordre de grandeur est $10^{5}$ , cent mille photos. Valeur plus précise : $\dfrac{500\times 10^{9}}{4{,}2\times 2^{20}}\approx 113\,533$ , soit environ $114\,000$ photos au millier près. Le calcul se fait entièrement en notation scientifique : les mantisses d'un côté, les puissances de $10$ de l'autre.

d)

$2^{30}=(2^{10})^{3}$ et $10^{9}=(10^{3})^{3}$ , donc $\dfrac{2^{30}}{10^{9}}=\left(\dfrac{2^{10}}{10^{3}}\right)^{3}=1{,}024^{3}$ . L'écart de $2{,}4\,\%$ au niveau du kilo est donc ÉLEVÉ AU CUBE au niveau du giga : $1{,}024^{3}\approx 1{,}0737$ , soit $7{,}4\,\%$ . Chaque cran de la frise multiplie l'écart par $1{,}024$ une fois de plus : au téra ( $2^{40}$ contre $10^{12}$ ), il atteint $1{,}024^{4}\approx 1{,}0995$ , presque $10\,\%$ . C'est la loi $(a^{m})^{n}=a^{mn}$ qui fait grandir l'écart, et elle explique pourquoi la confusion des préfixes coûte de plus en plus cher à mesure que les disques grossissent.

Exercice 10 : Problème : la chaîne de courriels

Une rumeur part d'UNE personne, qui l'envoie à $5$ amis le premier jour. Chaque jour, toute personne qui l'a reçue la veille l'envoie à $5$ nouvelles personnes, sans jamais l'envoyer à quelqu'un qui l'a déjà. La région compte environ $2$ millions d'habitants.

La figure ci-dessous représente le départ de la rumeur.

a) Combien de personnes reçoivent la rumeur le jour $1$ , le jour $2$ , le jour $3$ ? Donnez l'expression du nombre de NOUVEAUX destinataires le jour $n$ .
b) Combien de personnes au TOTAL l'ont reçue à la fin du jour $3$ ? Vérifiez avec la formule $\dfrac{5^{n+1}-5}{4}$ .
c) À partir de quel jour le nombre de nouveaux destinataires dépasse-t-il $2$ millions ? Que signifie ce résultat pour le modèle ?
d) Si chaque personne l'envoyait à $10$ amis au lieu de $5$ , le seuil serait-il atteint deux fois plus vite ? Justifiez.
e) On revient à $5$ amis. Calculez le nombre de personnes qui connaissent la rumeur à la fin du jour $8$ , personne de départ comprise, puis le nombre d'habitants qui ne la connaissent pas encore. Montrez que le modèle devient impossible dès le jour $9$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/13

a)

Jour

1

Jour

2

Jour

3

Nouveaux destinataires le jour

n

b)

Total à la fin du jour

3

Avec la personne de départ

c)

Jour du dépassement

Valeur de

5^{9}

d)

Jour du seuil avec

10

amis

Deux fois plus vite ?

e)

Personnes informées à la fin du jour

8

Habitants pas encore informés

Premier jour où le modèle est impossible

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Réponses

a) $5$ , $25$ , $125$ , et $5^{n}$ le jour $n$
b) $155$ personnes, $156$ avec celle du départ
c) Le jour $10$ : le modèle dépasse alors la population de la région
d) Non, jour $7$ contre jour $10$ , soit environ $1{,}4$ fois plus vite
e) $488\,281$ personnes informées, $1\,511\,719$ restantes, moins que les $5^{9}=1\,953\,125$ prévues : impossible dès le jour $9$

a)

Jour $1$ : $5$ personnes. Jour $2$ : chacune des $5$ envoie à $5$ nouvelles, donc $5\times 5=25$ . Jour $3$ : $25\times 5=125$ . Le jour $n$ , il y a $5^{n}$ nouveaux destinataires : on a multiplié $n$ fois par $5$ depuis la personne de départ. Même fil que les bactéries de l'exercice 7, avec une base $5$ au lieu de $2$ : l'exposant compte les jours, c'est-à-dire le nombre de fois où l'on a multiplié.

b)

Total à la fin du jour $3$ : $5+25+125=155$ personnes, sans compter la personne de départ. La formule donne $\dfrac{5^{4}-5}{4}=\dfrac{625-5}{4}=\dfrac{620}{4}=155$ . Elle est vraie parce que $4\times(5+25+125)=(25-5)+(125-25)+(625-125)=625-5$ : chaque terme multiplié par $4$ vaut $5^{k+1}-5^{k}$ , et la somme se télescope. Avec la personne de départ, $156$ personnes savent.

c)

On cherche le plus petit $n$ tel que $5^{n}>2\,000\,000$ . On calcule : $5^{8}=390\,625$ , $5^{9}=1\,953\,125$ , encore sous les deux millions, et $5^{10}=9\,765\,625$ . C'est donc le jour $10$ : ce jour-là, le modèle prévoit près de dix millions de NOUVEAUX destinataires dans une région qui n'a que deux millions d'habitants. Le modèle est alors impossible, et il l'est même un jour plus tôt : la question e) le montre. Une croissance exponentielle ne dure jamais : elle bute sur la taille de la population.

d)

Non. Avec $10$ amis, le nombre de nouveaux destinataires le jour $n$ vaut $10^{n}$ , et $10^{6}=1\,000\,000<2\,000\,000<10^{7}$ : le seuil est franchi le jour $7$ , contre le jour $10$ avec $5$ amis. Ce n'est pas deux fois plus vite mais environ $1{,}4$ fois : doubler la base ne divise pas le temps par deux, parce que $10^{n}=5^{n}\times 2^{n}$ , le gain est lui-même une puissance et non un facteur $2$ . Le raisonnement « base double, temps moitié » traite l'exposant comme s'il était une multiplication ordinaire ; c'est l'erreur de tout le chapitre, et le calcul $10$ jours contre $7$ suffit à la réfuter.

e)

La formule de la question b) donne, à la fin du jour $8$ : $\dfrac{5^{9}-5}{4}=488\,280$ personnes, soit $488\,281$ avec la personne de départ.

Il reste donc $2\,000\,000-488\,281=1\,511\,719$ habitants qui ne connaissent pas la rumeur.

Or le modèle prévoit $5^{9}=1\,953\,125$ nouveaux destinataires le jour $9$ , plus qu'il n'en reste : le modèle est impossible dès le jour $9$ .

Piège : confondre les deux réponses. Le jour $10$ répond à la question c), sur le nombre de nouveaux destinataires ; le jour $9$ répond à la question du modèle, parce qu'il faut compter tous ceux qui connaissent déjà la rumeur.

Exercices corrigés : la notation exponentielle et la notation scientifique (math, secondaire 3)

Rappel de cours

Calculs : les lois des exposants à appliquer

Exercice 0.1 : Simplifier avec les lois des exposants : dix calculs directs

Calculs : la notation scientifique à calculer

Exercice 0.2 : Calculer en notation scientifique : dix calculs directs

Partie A : les bases (/50)

Exercice 1 : Compter les facteurs : les cinq lois des exposants

Exercice 2 : L'exposant zéro et les exposants négatifs

Exercice 3 : La puissance d'un produit, et la parenthèse qui change tout

Exercice 4 : Simplifier une expression à exposants

Exercice 5 : La notation scientifique : écrire, comparer, calculer

Partie B : problèmes et raisonnement (/50)

Exercice 6 : Ordres de grandeur sans calculatrice

Exercice 7 : La culture de bactéries : une quantité qui double

Exercice 8 : Cinq affirmations à corriger

Exercice 9 : Problème : la mémoire d'un ordinateur, en octets et en puissances de 2

Exercice 10 : Problème : la chaîne de courriels

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