Exercices corrigés : la notation exponentielle et la notation scientifique (math, secondaire 3)

a) Il y a $8$ colonnes et $4$ rangées, donc $8\times 4=32$ carreaux. En facteurs : $2^{3}\times 2^{2}=(2\times 2\times 2)\times(2\times 2)$, cinq facteurs $2$, donc $2^{5}=32$. C'est la loi du PRODUIT de puissances de même base : $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$. On ADDITIONNE les exposants parce qu'on met bout à bout deux listes de facteurs ; la base, elle, ne change pas.

b) $3^{4}\times 3^{5}=3^{9}$ (on additionne, même base). $\dfrac{7^{9}}{7^{4}}=7^{5}$ : neuf facteurs $7$ au numérateur, quatre s'annulent avec ceux du dénominateur, il en reste cinq, donc on SOUSTRAIT. $(5^{2})^{3}=5^{2}\times 5^{2}\times 5^{2}=5^{6}$ : trois paquets de deux facteurs, on MULTIPLIE les exposants. $2^{3}\times 5^{3}=(2\times 5)^{3}=10^{3}=1000$ : mêmes exposants, bases différentes, on multiplie les bases. $\dfrac{6^{4}}{3^{4}}=\left(\dfrac{6}{3}\right)^{4}=2^{4}=16$. Cinq lois, et chacune n'est qu'une façon de compter.

c) $\dfrac{x^{7}\times x^{2}}{x^{4}}=\dfrac{x^{9}}{x^{4}}=x^{5}$. Pour la seconde, la puissance s'applique à CHAQUE facteur de la fraction, coefficient compris : $\left(\dfrac{2a^{3}}{b}\right)^{2}=\dfrac{2^{2}\times(a^{3})^{2}}{b^{2}}=\dfrac{4a^{6}}{b^{2}}$. L'erreur la plus fréquente est d'oublier d'élever le $2$ au carré et d'écrire $\dfrac{2a^{6}}{b^{2}}$ : le coefficient est un facteur comme les autres, il prend l'exposant.

d) $2^{3}\times 2^{2}$, ce sont $3+2=5$ facteurs égaux à $2$ : $2^{5}=32$. Écrire $4^{5}$, c'est prétendre qu'on a cinq facteurs égaux à $4$, soit $1024$, trente-deux fois trop. L'élève a fait DEUX opérations sur la base au lieu d'aucune : quand on multiplie deux puissances de même base, la base reste la même, seuls les exposants s'additionnent. Le contrôle est immédiat : $8\times 4=32$, et $4^{5}=1024$.

a) Directement : $\dfrac{125}{125}=1$. Par la loi du quotient : $5^{3-3}=5^{0}$. Les deux écritures désignent le même nombre, donc $5^{0}=1$. C'est vrai pour toute base non nulle : $a^{0}=1$, parce que $\dfrac{a^{n}}{a^{n}}$ vaut toujours $1$. Ce n'est pas $0$, et ce n'est pas « rien » : c'est le résultat d'un quotient de deux nombres égaux. Un élève sur trois écrit $5^{0}=0$ ou $5^{0}=5$ ; la loi du quotient est la façon de s'en souvenir.

b) Directement : $\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}$. Par la loi : $2^{3-5}=2^{-2}$. Donc $2^{-2}=\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2^{2}}$. Un exposant négatif signifie « un facteur de trop au dénominateur » : $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$. Le signe moins ne rend PAS le nombre négatif : $2^{-2}$ est positif, il est simplement plus petit que $1$. C'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre : $2^{-2}=-4$ est faux, et $2^{-2}=-\dfrac{1}{4}$ aussi.

c) $3^{-2}=\dfrac{1}{3^{2}}=\dfrac{1}{9}$. $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1}=\dfrac{3}{2}$ : l'exposant $-1$ INVERSE la fraction. $\dfrac{1}{4^{-2}}=4^{2}=16$ : un exposant négatif au dénominateur remonte au numérateur. $10^{-3}=\dfrac{1}{1000}=0{,}001$. $(-2)^{-3}=\dfrac{1}{(-2)^{3}}=\dfrac{1}{-8}=-\dfrac{1}{8}$ : ici le résultat EST négatif, mais à cause de la base négative élevée à une puissance impaire, pas à cause de l'exposant négatif.

d) On calcule : $2^{-3}=\dfrac{1}{8}=0{,}125$ ; $2^{0}=1$ ; $2^{-1}=\dfrac{1}{2}=0{,}5$ ; $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}=2^{2}=4$. Ordre croissant : $0<2^{-3}<2^{-1}<2^{0}<\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}$. Ce qu'il faut voir : toutes les puissances de $2$ sont strictement positives, même avec un exposant négatif, donc $0$ est le plus petit ; et plus l'exposant négatif est grand en valeur absolue, plus le nombre est PETIT, c'est l'inverse de l'intuition.

a) Le grand cube a pour volume $(2a)^{3}=2^{3}a^{3}=8a^{3}$. Les deux petits cubes ont ensemble $2a^{3}$. Il faudrait donc HUIT petits cubes, et pas deux, pour égaler le grand : doubler l'arête multiplie le volume par $2^{3}=8$. La figure le dit : le grand cube a deux petits cubes de largeur, deux de profondeur et deux de hauteur. C'est la raison pour laquelle $(2a)^{3}\neq 2a^{3}$ : dans le premier, le $2$ est élevé au cube avec $a$ ; dans le second, il ne l'est pas.

b) Pour $a=3$ : $(2a)^{3}=6^{3}=216$ et $2a^{3}=2\times 27=54$ ; le rapport vaut $4$, c'est le $2^{2}$ manquant. $(-3)^{2}=(-3)\times(-3)=9$, mais $-3^{2}=-(3^{2})=-9$ : sans parenthèse, l'exposant s'applique au $3$ seul, et le signe moins reste devant. $(-3)^{3}=-27$ et $-3^{3}=-27$ : ici les deux coïncident, parce qu'une puissance impaire d'un négatif est négative. La coïncidence sur les exposants impairs est un piège : elle fait croire que la parenthèse est inutile, jusqu'au premier exposant pair.

c) $(3x^{2}y)^{3}=3^{3}(x^{2})^{3}y^{3}=27x^{6}y^{3}$ : le coefficient $3$ devient $27$, l'exposant $2$ de $x$ est MULTIPLIÉ par $3$, et $y$ reçoit l'exposant $3$. $\left(-\dfrac{a^{2}}{2b}\right)^{4}=\dfrac{(-1)^{4}(a^{2})^{4}}{2^{4}b^{4}}=\dfrac{a^{8}}{16b^{4}}$ : puissance PAIRE, le signe disparaît ; $2^{4}=16$ ; et $b$ prend l'exposant $4$. Vérification avec $a=b=1$ : $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{4}=\dfrac{1}{16}$, et la formule donne $\dfrac{1}{16}$.

d) $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}$ est FAUX : avec $a=3$ et $b=4$, $(3+4)^{2}=49$ alors que $9+16=25$. La puissance ne se distribue pas sur une addition ; elle se distribue sur une multiplication, c'est la seconde égalité, $(ab)^{2}=a^{2}b^{2}$, VRAIE : $(3\times 4)^{2}=144=9\times 16$. La troisième, $(a^{2})^{3}=a^{5}$, est FAUSSE : on multiplie les exposants, $(a^{2})^{3}=a^{6}$ ; avec $a=2$, $(4)^{3}=64=2^{6}$ et non $32$. Ces trois lignes résument le chapitre : la puissance traverse un produit, pas une somme, et une puissance de puissance multiplie.

a) Coefficients : $\dfrac{12}{4}=3$. Base $a$ : $a^{5-2}=a^{3}$. Base $b$ : $b^{2-6}=b^{-4}=\dfrac{1}{b^{4}}$. Résultat : $\dfrac{3a^{3}}{b^{4}}$. La méthode tient en une phrase : chaque base se traite SÉPARÉMENT, et les coefficients se traitent comme des nombres ordinaires. Vérification avec $a=b=2$ : l'expression de départ vaut $\dfrac{12\times 32\times 4}{4\times 4\times 64}=1{,}5$, et $\dfrac{3\times 8}{16}=1{,}5$.

b) La puissance $-2$ s'applique à chaque facteur : $2^{-2}\times(x^{-3})^{-2}\times(y^{2})^{-2}=2^{-2}x^{6}y^{-4}$. Le produit $(-3)\times(-2)=6$ donne un exposant POSITIF pour $x$ : deux signes moins font un plus, ici aussi. Sans exposant négatif : $\dfrac{x^{6}}{4y^{4}}$. Vérification avec $x=y=1$ : $(2)^{-2}=\dfrac{1}{4}$, et la formule donne $\dfrac{1}{4}$.

c) $(3^{2})^{4}=3^{8}$. Puis $3^{8}\times 3^{-5}=3^{3}$. Puis $\dfrac{3^{3}}{3^{2}}=3^{1}=3$. Le résultat est $3$. Un élève qui calcule $(3^{2})^{4}=3^{6}$ en additionnant obtient $3^{-1}=\dfrac{1}{3}$ : une seule loi mal appliquée et le résultat est divisé par $9$. La discipline est de ne faire qu'UNE loi par étape.

d) On ramène tout en base $2$ : $8=2^{3}$, donc $8^{n}=(2^{3})^{n}=2^{3n}$ et $\dfrac{2^{3n}}{2^{7}}=2^{3n-7}$. L'égalité $2^{3n-7}=2^{5}$ impose $3n-7=5$, donc $n=4$. Vérification : $8^{4}=4096$ et $\dfrac{4096}{128}=32=2^{5}$. Pour la seconde : $4^{n}=2^{2n}$, donc $2^{2n}\times 2^{3}=2^{2n+3}=2^{11}$, d'où $2n+3=11$ et $n=4$. Vérification : $256\times 8=2048=2^{11}$. Deux puissances de même base sont égales si et seulement si leurs exposants sont égaux : c'est ce principe qui transforme une équation exponentielle en équation du premier degré.

a) $384\,000=3{,}84\times 10^{5}$ : la virgule recule de $5$ rangs. $0{,}000\,052=5{,}2\times 10^{-5}$ : elle avance de $5$ rangs, exposant négatif. $7{,}2=7{,}2\times 10^{0}$, déjà en notation scientifique. $12{,}5\times 10^{4}$ n'est PAS en notation scientifique puisque $12{,}5\ge 10$ : $12{,}5=1{,}25\times 10$, donc $1{,}25\times 10^{5}$. $0{,}3\times 10^{-6}$ non plus, $0{,}3<1$ : $0{,}3=3\times 10^{-1}$, donc $3\times 10^{-7}$. Chaque fois qu'on déplace la virgule d'un rang vers la gauche, l'exposant AUGMENTE de $1$, et inversement.

b) On multiplie les mantisses entre elles et les puissances de $10$ entre elles : $3\times 4=12$ et $10^{5}\times 10^{-2}=10^{3}$, donc $12\times 10^{3}=1{,}2\times 10^{4}$. La dernière étape est obligatoire : $12$ dépasse $10$. Pour le quotient : $\dfrac{8{,}4}{2{,}1}=4$ et $\dfrac{10^{7}}{10^{-3}}=10^{7-(-3)}=10^{10}$, donc $4\times 10^{10}$. Le piège est la soustraction d'un exposant négatif : $7-(-3)=10$, pas $4$.

c) On ne peut additionner que des nombres exprimés avec la MÊME puissance de $10$, comme on n'additionne que des longueurs exprimées dans la même unité. $3\times 10^{5}=0{,}3\times 10^{6}$, donc la somme vaut $2{,}5\times 10^{6}+0{,}3\times 10^{6}=2{,}8\times 10^{6}$. Additionner les exposants donnerait $10^{11}$, un nombre cent mille fois trop grand : la loi $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ concerne une MULTIPLICATION, et ici on additionne. Vérification : $2\,500\,000+300\,000=2\,800\,000$.

d) $1$ cm $=10^{-2}$ m. Nombre de globules : $\dfrac{10^{-2}}{7\times 10^{-6}}=\dfrac{1}{7}\times 10^{-2-(-6)}=\dfrac{1}{7}\times 10^{4}\approx 0{,}143\times 10^{4}=1{,}43\times 10^{3}$. Il en faut environ $1430$, soit $1{,}43$ kilo-globules si l'on veut parler comme la frise : le préfixe kilo correspond à $10^{3}$. Ce qui compte dans la question, c'est le réflexe de convertir le centimètre en mètres AVANT de diviser : diviser $1$ par $7\times 10^{-6}$ donnerait $143\,000$, la réponse pour un mètre.

a) $9=3^{2}$, donc $9^{19}=(3^{2})^{19}=3^{38}$. Comme $3^{40}=3^{38}\times 3^{2}=9\times 3^{38}$, on a $3^{40}=9\times 9^{19}$ : le premier est neuf fois plus grand. Pour le second couple : $2^{30}=(2^{10})^{3}=1024^{3}$ et $10^{9}=(10^{3})^{3}=1000^{3}$. Comme $1024>1000$, $2^{30}>10^{9}$. En effet $2^{30}=1\,073\,741\,824$, un peu plus d'un milliard, c'est le « giga » de l'informatique.

b) $2^{40}=(2^{10})^{4}\approx(10^{3})^{4}=10^{12}$, donc environ $13$ chiffres. Plus précisément $2^{40}=1024^{4}$ ; or $1024^{4}=(1{,}024\times 10^{3})^{4}=1{,}024^{4}\times 10^{12}$, et $1{,}024^{4}\approx 1{,}0995$, donc $2^{40}\approx 1{,}0995\times 10^{12}$, qui a bien $13$ chiffres. Valeur exacte : $1\,099\,511\,627\,776$. La méthode générale : le nombre de chiffres d'un nombre $a\times 10^{n}$ écrit en notation scientifique est $n+1$.

c) On cherche un exposant commun. $2^{100}=(2^{5})^{20}=32^{20}$ et $3^{60}=(3^{3})^{20}=27^{20}$. Deux puissances de MÊME exposant $20$ se comparent par leurs bases : $32>27$, donc $2^{100}>3^{60}$. Le réflexe est de chercher le plus grand diviseur commun des exposants, ici $20$, pour ramener les deux nombres à la même puissance. Sans ce réflexe, on est tenté de dire que $3^{60}$ gagne parce que $3>2$, ce qui néglige le rôle de l'exposant.

d) Il faut mettre les deux volumes dans la même unité. $1$ m $=10^{3}$ mm, donc $1$ m$^{3}=(10^{3})^{3}$ mm$^{3}=10^{9}$ mm$^{3}$ : le cube de $10^{3}$, pas $10^{3}$ lui-même, c'est le piège de toute conversion de volume. La plage contient donc $10^{9}\times 10^{9}=10^{18}$ mm$^{3}$ de sable. Nombre de grains : $\dfrac{10^{18}}{10^{-3}}=10^{18-(-3)}=10^{21}$, mille milliards de milliards. L'estimation est grossière, les données le sont, mais l'ordre de grandeur est correct, et c'est tout ce qu'on demande.

a) $100$ après une heure, $200$ après deux, $400$ après trois : chaque heure multiplie par $2$. Après $h$ heures, on a multiplié $h$ fois par $2$, donc $N=50\times 2^{h}$. L'exposant COMPTE le nombre de doublements, c'est exactement le fil du chapitre : $2^{h}$ n'est pas « $2$ fois $h$ » mais « $h$ facteurs $2$ ». Contrôle sur le diagramme : $h=6$ donne $50\times 64=3200$, la dernière barre.

b) $N(10)=50\times 2^{10}=50\times 1024=51\,200$. $N(24)=50\times 2^{24}=50\times 16\,777\,216=838\,860\,800\approx 8{,}39\times 10^{8}$, plus de $800$ millions. En pratique la culture manque de nourriture bien avant, mais le modèle dit ce que ferait un doublement sans frein, et c'est la raison pour laquelle une infection ou une contamination progresse si vite.

c) On cherche $h$ tel que $50\times 2^{h}>100\,000$, c'est-à-dire $2^{h}>2000$. Or $2^{10}=1024<2000$ et $2^{11}=2048>2000$. Donc $h=11$ : après $11$ heures, l'effectif vaut $50\times 2048=102\,400$, alors qu'après $10$ heures il n'était que de $51\,200$. La réponse est un ENTIER d'heures, et on l'obtient en encadrant $2000$ entre deux puissances de $2$ consécutives, exactement comme on encadrait une racine entre deux carrés parfaits.