Math secondaire 3 à Montréal • Arithmétique

Fiche de révision : Nombres réels, racines et ensembles (math, secondaire 3)

Q: Comment savoir si un nombre est rationnel ou irrationnel en secondaire 3 ?

On regarde si le nombre peut s'écrire comme une fraction de deux entiers. Un entier, une fraction, un décimal qui s'arrête ou un décimal périodique sont rationnels. Une racine carrée est rationnelle seulement si le nombre sous le radical est un carré parfait : racine de 16 vaut 4, racine de 20 est irrationnelle. Pi et les décimaux infinis sans période sont irrationnels. On calcule toujours la racine avant de classer.

Q: Quelle est la différence entre un crochet ouvert et un crochet fermé ?

Un crochet fermé, tourné vers le nombre, inclut la borne : l'intervalle de 2 à 5 fermé contient 2 et 5. Un crochet ouvert, tourné vers l'extérieur, exclut la borne. Dans un énoncé, « au moins » et « au plus » donnent un crochet fermé, « plus de » et « moins de » un crochet ouvert. Du côté de l'infini, le crochet est toujours ouvert, parce que l'infini n'est pas un nombre qu'on atteint.

Q: Comment transformer 0,272727... en fraction ?

On appelle x le nombre. La période 27 a deux chiffres, donc on multiplie par 100 : 100x vaut 27,2727... On soustrait x des deux côtés : 99x vaut 27, donc x vaut 27 sur 99, c'est-à-dire 3 sur 11. On vérifie à la calculatrice : 3 divisé par 11 redonne 0,2727... Le nombre de zéros du multiplicateur est toujours le nombre de chiffres de la période.

Q: Est-ce que la racine carrée d'un nombre négatif existe ?

Non, pas dans les nombres réels : un carré n'est jamais négatif, donc aucun nombre réel n'a moins 9 pour carré. En revanche la racine cubique d'un nombre négatif existe toujours, parce qu'un cube garde le signe de sa base : moins 2 au cube vaut moins 8, donc la racine cubique de moins 8 vaut moins 2. Seule la racine d'indice pair est interdite pour un négatif.

Cette fiche ne refait pas le cours sur les ensembles de nombres, vous l'avez dans vos notes. Elle traite ce qui décide de la note : l'erreur exacte qui coûte un point sur une copie, le test qui classe un nombre sans se tromper, et la façon d'écrire un intervalle ou un complément que le correcteur attend.

C'est le premier chapitre de l'année, et son vocabulaire, rationnel, irrationnel, intervalle, crochet, union, revient dans tous les autres jusqu'au cégep. Une confusion installée ici se paie longtemps.

Le fil du chapitre

Ce n'est pas l'allure d'un nombre qui dit sa famille, c'est ce qu'on peut en faire, une fraction d'entiers ou pas ; et un crochet est une réponse, pas une décoration.

Ce chapitre fait partie de Mathématique de secondaire 3 : tous les chapitres

L'essentiel

Rationnel ou irrationnel : le test, pas l'allure

• Un nombre est RATIONNEL s'il peut s'écrire $\dfrac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ entiers, $b\neq 0$ . Son écriture décimale est finie ou périodique.
• Il est IRRATIONNEL si aucune fraction d'entiers ne lui est égale. Son écriture décimale est infinie et non périodique.
• Une racine carrée est rationnelle si et seulement si le nombre sous le radical est un carré parfait : $\sqrt{16}=4$ , mais $\sqrt{20}$ est irrationnel.
• Familles emboîtées : $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ . Tout entier est rationnel, dénominateur $1$ .

Deux radicaux, deux familles :

\sqrt{16}

tombe exactement sur l'entier

4

, point plein, tandis que

\sqrt{20}

tombe entre

4

5

sans jamais s'écrire en fraction, point vide.

Le correcteur attend qu'on CALCULE une racine avant de la classer. « $\sqrt{16}$ est irrationnel parce qu'il y a une racine » est l'erreur la plus fréquente de la première évaluation.

Les crochets : une borne dedans ou dehors

• Crochet tourné VERS le nombre, borne incluse : $[2\,;5]$ contient $2$ et $5$ . Tourné vers l'extérieur, borne exclue : $]2\,;5[$ ne contient ni l'un ni l'autre.
• Côté infini, le crochet est TOUJOURS ouvert : $[3\,;+\infty[$ . L'infini n'est pas un nombre qu'on atteint.
• Vocabulaire : « au moins », « au plus », « à partir de » incluent la borne ; « plus de », « moins de », « strictement » l'excluent.
• Un intervalle de réels contient une INFINITÉ de nombres, même $[2\,;5]$ . Seul un ensemble d'entiers se compte.

Mêmes bornes

-2

5

, deux ensembles différents : en haut,

-2

est dedans et

5

dehors ; en bas, c'est l'inverse. Un point plein inclut, un point vide exclut.

Racines carrées et cubiques

• $\sqrt{a}$ , pour $a\ge 0$ , est le nombre POSITIF dont le carré vaut $a$ . $\sqrt{-9}$ n'existe pas dans les réels : un carré n'est jamais négatif.
• $\sqrt[3]{a}$ existe pour tout $a$ et garde son signe : $\sqrt[3]{-8}=-2$ .
• Encadrer : chercher les deux carrés (ou cubes) parfaits voisins. $49<50<64$ donne $7<\sqrt{50}<8$ .
• Comparer deux positifs : comparer leurs carrés. $(2\sqrt{3})^{2}=4\times 3=12$ , jamais $6$ .

« Le complément de $]0\,;3]$ est $]-\infty\,;0]\;\cup\;]3\,;+\infty[$ : $0$ était exclu, il devient inclus ; $3$ était inclus, il devient exclu. »

En haut,

A=\,]0\,;3]

0

vide,

3

plein. En bas, son complément :

0

devient plein,

3

devient vide, et les deux flèches partent vers les infinis. Chaque borne a changé de camp.

Pourquoi : Chaque réel est soit dans l'ensemble, soit dans son complément, jamais dans les deux ni dans aucun. Le $0$ doit donc changer de camp.

6. Additionner les effectifs de deux ensembles qui se recoupent

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $68$ sportifs et $45$ musiciens : $113$ élèves font au moins une activité. »

Ce qu'il faut écrire

« $|S\cup M|=|S|+|M|-|S\cap M|=68+45-20=93$ : les $20$ qui font les deux étaient comptés deux fois. »

Pourquoi : L'intersection appartient aux deux ensembles ; en additionnant, on la compte une fois de trop et il faut la retirer une fois.

7. Compter les éléments d'un intervalle de réels

1 point, et la confusion entre $\mathbb{N}$ et $\mathbb{R}$

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $[2\,;5]$ contient $4$ nombres : $2$ , $3$ , $4$ et $5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $[2\,;5]$ contient une infinité de réels, $2{,}5$ , $\pi$ , $4{,}999$ ; c'est $\{x\in\mathbb{N}\mid 2\le x\le 5\}$ qui en contient quatre. »

Pourquoi : Entre deux réels distincts il y a toujours une infinité de réels. Un intervalle n'est pas une liste.

8. Refuser une racine cubique de nombre négatif

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sqrt[3]{-27}$ n'existe pas, on ne peut pas prendre la racine d'un négatif. »

Ce qu'il faut écrire

« $(-3)^{3}=-27$ , donc $\sqrt[3]{-27}=-3$ . C'est la racine CARRÉE d'un négatif qui n'existe pas dans les réels. »

Pourquoi : Un carré n'est jamais négatif, un cube garde le signe de sa base. La règle d'interdiction ne vaut que pour l'indice $2$ .

Quelle méthode choisir

Quelle famille ? Décider sur la forme du nombre

Regardez comment le nombre est ÉCRIT, puis appliquez la branche. Dès qu'il y a un radical, calculez avant de classer.

Si un entier, positif ou négatif → rationnel (et entier)

Exemple : $-3=\dfrac{-3}{1}$
Si une fraction d'entiers → rationnel

Exemple : $\dfrac{5}{7}$

même si l'écriture décimale est longue : $0{,}714285\ldots$ est périodique
Si un décimal qui s'arrête → rationnel

Exemple : $0{,}75=\dfrac{3}{4}$
Si un décimal infini avec un bloc qui se répète → rationnel, par la méthode de la période

Exemple : $2{,}\overline{17}=\dfrac{215}{99}$
Si un décimal infini sans période, même « régulier » → irrationnel

Exemple : $0{,}101001000\ldots$

une règle de construction n'est pas une période
Si une racine d'un carré (ou cube) parfait → rationnel : calculer

Exemple : $\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}$ , $\sqrt[3]{27}=3$
Si une racine d'un nombre qui n'est pas un carré (ou cube) parfait, ou $\pi$ → irrationnel

Exemple : $\sqrt{20}$ , $\sqrt[3]{10}$ , $\pi$

Le seul cas qui demande un calcul est la racine. Tous les autres se lisent sur l'écriture.

Quel crochet ? Décider sur le mot de l'énoncé

Chaque mot de l'énoncé correspond à un signe, et chaque signe à un crochet. Cherchez le mot avant d'écrire quoi que ce soit.

Si « au moins », « à partir de », « minimum » → $\ge$ , crochet fermé

Exemple : au moins $18$ ans : $[18\,;+\infty[$
Si « au plus », « jusqu'à », « maximum » → $\le$ , crochet fermé

Exemple : au plus $50$ kg : $]0\,;50]$
Si « plus de », « strictement supérieur », « dépasse » → $>$ , crochet ouvert

Exemple : plus de $2$ kg : $]2\,;+\infty[$
Si « moins de », « strictement inférieur », « sans atteindre » → $<$ , crochet ouvert

Exemple : moins de $24$ degrés : $]-\infty\,;24[$
Si « entre $a$ et $b$ » sans précision → demander, ou préciser soi-même les bornes

Exemple : entre $60$ et $80$ : dire si $60$ et $80$ comptent

Côté infini, toujours ouvert, quel que soit le mot.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Écrire un nombre périodique sous forme de fraction, la copie attendue

Quand l'utiliser : L'énoncé donne une écriture décimale avec une barre ou des points de suspension, et demande une fraction.

1 Poser $x=$ le nombre, avec sa période visible.
2 Multiplier par $10^{n}$ où $n$ est le NOMBRE DE CHIFFRES de la période, pour décaler d'une période entière.
3 Soustraire les deux égalités : les parties périodiques s'annulent.
4 Résoudre l'équation en $x$ , puis réduire la fraction.
5 Vérifier en divisant à la calculatrice.

Phrase de conclusion

« Soit $x=0{,}\overline{27}$ . La période a deux chiffres, donc $100x=27{,}\overline{27}$ . Alors $100x-x=27$ , soit $99x=27$ , et $x=\dfrac{27}{99}=\dfrac{3}{11}$ . »

Le piège : Multiplier par $10$ quand la période a deux chiffres : $10x-x$ ne fait rien disparaître. Et quand un chiffre précède la période, comme $1{,}2\overline{3}$ , soustraire $10x$ et non $x$ .

Barème : 1 point pour le bon multiplicateur, 1 pour la soustraction, 1 pour la fraction réduite.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La calculatrice sur la fraction

Divisez le numérateur par le dénominateur de la fraction trouvée : l'écran doit afficher le nombre périodique de départ.

$3\div 11=0{,}272727\ldots$ : bon. Si l'écran affiche $0{,}3$ , la période a été mal décalée.
Élever la racine au carré

Une racine calculée se vérifie en l'élevant au carré ou au cube : on doit retomber sur le nombre sous le radical.

$\sqrt{0{,}25}=0{,}5$ car $0{,}5^{2}=0{,}25$ ; la réponse $0{,}05$ donne $0{,}0025$ , faux.
Tester une valeur dans l'intervalle

Prenez la borne elle-même et vérifiez avec l'énoncé si elle doit être acceptée ou refusée : le crochet doit dire la même chose.

« Au plus $50$ kg » : $50$ doit passer, donc crochet fermé en $50$ . Un crochet ouvert refuserait un bagage conforme.
Le total des régions du diagramme de Venn

Additionnez les quatre régions, seulement A, les deux, seulement B, aucun : le total doit être l'effectif de l'univers.

$48+20+25+27=120$ : bon. Un total de $140$ signale que l'intersection a été comptée deux fois.

L'exercice type décortiqué

Le sondage à deux activités, décortiqué

Dans une école de $150$ élèves, $84$ jouent à un jeu vidéo en ligne, $61$ font partie d'une équipe sportive et $30$ font les deux.

Combien d'élèves ne font ni l'un ni l'autre ? Quelle est la probabilité qu'un élève tiré au sort fasse exactement une des deux activités ?

Les

30

de l'intersection sont déjà posés : ce sont eux qui sont comptés DANS les

84

et DANS les

61

. Les trois autres régions restent à remplir.

Étape 1

Jeu vidéo seulement : $84-30=54$ . Sport seulement : $61-30=31$ .

Pourquoi

Les $30$ qui font les deux sont inclus dans chaque total ; on les retire pour isoler chaque région. C'est l'étape qu'on saute quand on additionne $84$ et $61$ directement.

Étape 2

Au moins une activité : $54+30+31=115$ , ou par la formule $84+61-30=115$ .

Pourquoi

Les deux calculs doivent coïncider ; le second est la formule de l'union, le premier son sens concret. Faire les deux est la vérification.

Étape 3

Ni l'un ni l'autre : $150-115=35$ élèves.

Pourquoi

Le complément de l'union se lit hors des deux disques, dans le rectangle. Répondre $150-84-61=5$ retirerait deux fois l'intersection.

Étape 4

Exactement une activité : $54+31=85$ élèves, probabilité $\dfrac{85}{150}=\dfrac{17}{30}\approx 0{,}567$ .

Pourquoi

« Exactement une » exclut l'intersection ; « au moins une » l'inclut. Ce sont deux régions différentes du diagramme, et le mot de l'énoncé choisit.

Étape 5

Contrôle : $54+30+31+35=150$ .

Pourquoi

Les quatre régions totalisent l'effectif de l'univers. Ce contrôle prend cinq secondes et attrape toute erreur de soustraction.

Conclusion rédigée

$35$ élèves ne font aucune des deux activités, et la probabilité qu'un élève tiré au sort fasse exactement une activité vaut $\dfrac{17}{30}$ , soit environ $57\,\%$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $150-84-61=5$ pour « ni l'un ni l'autre » : l'intersection est retirée deux fois, et $5$ est faux de $30$ exactement.

À savoir par cœur

• Rationnel : fraction d'entiers, écriture décimale finie OU périodique. Irrationnel : ni l'un ni l'autre.
• Une racine se CALCULE avant d'être classée : $\sqrt{16}=4$ rationnel, $\sqrt{20}$ irrationnel.
• $\sqrt{-9}$ n'existe pas ; $\sqrt[3]{-9}$ existe et est négatif.
• Période de $n$ chiffres : multiplier par $10^{n}$ , soustraire, résoudre.
• Crochet vers le nombre : inclus. Vers l'extérieur : exclu. Côté infini : TOUJOURS ouvert.
• Au moins, au plus : fermé. Plus de, moins de : ouvert.
• Complément : les crochets se RETOURNENT. $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$ .

Questions fréquentes

Comment savoir si un nombre est rationnel ou irrationnel en secondaire 3 ?

On regarde si le nombre peut s'écrire comme une fraction de deux entiers. Un entier, une fraction, un décimal qui s'arrête ou un décimal périodique sont rationnels. Une racine carrée est rationnelle seulement si le nombre sous le radical est un carré parfait : racine de 16 vaut 4, racine de 20 est irrationnelle. Pi et les décimaux infinis sans période sont irrationnels. On calcule toujours la racine avant de classer.

Quelle est la différence entre un crochet ouvert et un crochet fermé ?

Un crochet fermé, tourné vers le nombre, inclut la borne : l'intervalle de 2 à 5 fermé contient 2 et 5. Un crochet ouvert, tourné vers l'extérieur, exclut la borne. Dans un énoncé, « au moins » et « au plus » donnent un crochet fermé, « plus de » et « moins de » un crochet ouvert. Du côté de l'infini, le crochet est toujours ouvert, parce que l'infini n'est pas un nombre qu'on atteint.

Comment transformer 0,272727... en fraction ?

On appelle x le nombre. La période 27 a deux chiffres, donc on multiplie par 100 : 100x vaut 27,2727... On soustrait x des deux côtés : 99x vaut 27, donc x vaut 27 sur 99, c'est-à-dire 3 sur 11. On vérifie à la calculatrice : 3 divisé par 11 redonne 0,2727... Le nombre de zéros du multiplicateur est toujours le nombre de chiffres de la période.

Est-ce que la racine carrée d'un nombre négatif existe ?

Non, pas dans les nombres réels : un carré n'est jamais négatif, donc aucun nombre réel n'a moins 9 pour carré. En revanche la racine cubique d'un nombre négatif existe toujours, parce qu'un cube garde le signe de sa base : moins 2 au cube vaut moins 8, donc la racine cubique de moins 8 vaut moins 2. Seule la racine d'indice pair est interdite pour un négatif.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Nombres réels, racines et ensembles

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
120 minutes

Faire les exercices

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