Math secondaire 3 à Montréal • Arithmétique

Fiche de révision : Lois des exposants et notation scientifique (math, secondaire 3)

Cette fiche ne refait pas le cours sur les exposants, vous l'avez dans vos notes. Elle traite ce qui coûte des points : la loi appliquée à l'envers, la règle qui n'existe pas et qu'on applique quand même, et le geste qui rend chaque calcul vérifiable en dix secondes, compter les facteurs.

Les exposants reviennent dans la factorisation de SN4, les fonctions exponentielles de SN5 et partout au cégep. C'est en secondaire 3 qu'on décide s'ils seront un réflexe ou un obstacle.

Le fil du chapitre

Un exposant COMPTE des facteurs : chaque loi se retrouve en comptant, et chaque erreur du chapitre vient d'avoir additionné là où l'on multiplie, ou multiplié là où l'on additionne.

Ce chapitre fait partie de Mathématique de secondaire 3 : tous les chapitres

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Nombres réels, racines et ensembles Fiche

L'essentiel

Les cinq lois, toutes obtenues en comptant

• $a^{n}$ , c'est $n$ facteurs égaux à $a$ . Tout le reste en découle.
• Produit de même base : $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ , on met bout à bout deux listes de facteurs. Quotient : $\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ , des facteurs s'annulent.
• Puissance de puissance : $(a^{m})^{n}=a^{mn}$ , $n$ paquets de $m$ facteurs. Puissance d'un produit : $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ , chaque facteur prend l'exposant.
• Dans un produit de même base, la BASE ne change jamais : $2^{3}\times 2^{2}=2^{5}=32$ , pas $4^{5}$ .

Un rectangle de

2^{3}

colonnes et

2^{2}

rangées contient

2^{5}=32

carreaux : les exposants s'ADDITIONNENT parce qu'on compte les facteurs

2

, la base reste

2

Un élève qui doute d'une loi doit écrire les facteurs : $2^{3}\times 2^{2}=(2\cdot 2\cdot 2)(2\cdot 2)$ , cinq facteurs. Le correcteur accepte ce raisonnement, et il est infaillible.

Exposant zéro et exposants négatifs : déduits, pas décrétés

• $a^{0}=1$ pour $a\neq 0$ , parce que $\dfrac{a^{n}}{a^{n}}=a^{0}$ et qu'un quotient de deux nombres égaux vaut $1$ .
• $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$ : un exposant négatif est un INVERSE, jamais un signe. $2^{-2}=\dfrac{1}{4}$ , positif.
• $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1}=\dfrac{b}{a}$ : l'exposant $-1$ retourne la fraction. Un exposant négatif au dénominateur remonte au numérateur.
• $(-3)^{2}=9$ mais $-3^{2}=-9$ : sans parenthèse, l'exposant ne porte que sur le $3$ .

La notation scientifique

• $a\times 10^{n}$ avec $1\le a<10$ et $n$ entier. $12{,}5\times 10^{4}$ n'en est pas : c'est $1{,}25\times 10^{5}$ .
• Virgule d'un rang vers la gauche : exposant $+1$ . Vers la droite : exposant $-1$ .
• Multiplier : mantisses ensemble, puissances de $10$ ensemble, puis remettre la mantisse entre $1$ et $10$ .
• Additionner : d'abord la MÊME puissance de $10$ , puis additionner les mantisses. Les exposants ne s'additionnent jamais dans une somme.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Les lois qui existent, et celles qui n'existent pas

Une case rouge n'est pas une réponse : c'est l'ordre de laisser l'écriture telle quelle, ou de calculer autrement.

écriture	condition	vaut
$a^{m}\times a^{n}$	même base	$a^{m+n}$
Exemple : $3^{4}\times 3^{5}=3^{9}$
$\dfrac{a^{m}}{a^{n}}$	même base	$a^{m-n}$
Exemple : $\dfrac{7^{9}}{7^{4}}=7^{5}$
$(a^{m})^{n}$	toujours	$a^{mn}$
Exemple : $(5^{2})^{3}=5^{6}$
$(ab)^{n}$	un PRODUIT	$a^{n}b^{n}$
Exemple : $(2a)^{3}=8a^{3}$ , $2^{3}\times 5^{3}=10^{3}$
$(a+b)^{n}$	une SOMME	ne se distribue pas règle inexistante
Exemple : $(3+4)^{2}=49$ contre $9+16=25$ . Ce qu'il faut faire : On calcule la somme d'abord, ou on développe : $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ .
$a^{m}\times b^{n}$	bases différentes	ne se combine pas règle inexistante
Exemple : $2^{3}\times 5^{2}=8\times 25=200$ , ni $10^{5}$ ni $10^{6}$ . Ce qu'il faut faire : On calcule chaque puissance séparément, puis on multiplie les nombres.

Les deux cases rouges sont responsables de la moitié des erreurs du chapitre : la puissance traverse un produit, jamais une somme, et n'additionne les exposants que sur une même base.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Changer la base en multipliant deux puissances

2 points, et tout ce qui suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $2^{3}\times 2^{2}=4^{5}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $2^{3}\times 2^{2}=2^{5}=32$ : la base reste $2$ , seuls les exposants s'additionnent. »

Pourquoi : Multiplier deux puissances de même base met bout à bout leurs facteurs ; la base n'a aucune raison de changer. $4^{5}=1024$ , trente-deux fois trop.

2. Prendre un exposant négatif pour un signe

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $2^{-2}=-4$ » ou « $2^{-2}=-\dfrac{1}{4}$ ».

Ce qu'il faut écrire

« $2^{-2}=\dfrac{1}{2^{2}}=\dfrac{1}{4}$ , un nombre positif plus petit que $1$ . »

Pourquoi : L'exposant négatif dit « facteur de trop au dénominateur », c'est un inverse. Le signe du résultat ne dépend que de la base et de la parité de l'exposant.

3. Donner $0$ à l'exposant zéro

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $5^{0}=0$ » ou « $5^{0}=5$ ».

Ce qu'il faut écrire

« $5^{0}=1$ , parce que $\dfrac{5^{3}}{5^{3}}=5^{0}$ et que $\dfrac{125}{125}=1$ . »

Pourquoi : La loi du quotient impose la valeur $1$ ; ce n'est pas une convention arbitraire mais une conséquence.

4. Oublier le coefficient dans une puissance de produit

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(2a)^{3}=2a^{3}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $(2a)^{3}=2^{3}a^{3}=8a^{3}$ : le $2$ est un facteur, il prend l'exposant comme $a$ . »

Le cube d'arête

2a

a deux petits cubes en largeur, deux en profondeur, deux en hauteur : huit cubes d'arête

a

, soit

8a^{3}

. Deux cubes, c'est

2a^{3}

, quatre fois moins.

Pourquoi : Un cube d'arête $2a$ contient huit cubes d'arête $a$ , pas deux : la figure le montre, et $(2a)^{3}\div 2a^{3}=4$ quel que soit $a$ .

5. Oublier la parenthèse devant un carré de négatif

1 point, souvent le signe final d'un problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $-3^{2}=9$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $-3^{2}=-(3^{2})=-9$ , alors que $(-3)^{2}=9$ . Sans parenthèse, l'exposant ne porte que sur le $3$ . »

Pourquoi : Sur un exposant impair les deux écritures coïncident, $(-3)^{3}=-3^{3}=-27$ , ce qui fait croire que la parenthèse est inutile jusqu'au premier exposant pair.

6. Laisser une mantisse hors de $[1\,;10[$

1 point de forme, chaque fois

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(3\times 10^{5})(4\times 10^{-2})=12\times 10^{3}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $12\times 10^{3}=1{,}2\times 10^{4}$ : la mantisse doit être entre $1$ et $10$ , la virgule recule d'un rang et l'exposant monte de $1$ . »

Pourquoi : La notation scientifique est une convention stricte ; $12\times 10^{3}$ est un nombre juste mal écrit, et le correcteur ne l'accepte pas.

7. Additionner les exposants dans une addition

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $2{,}5\times 10^{6}+3\times 10^{5}=5{,}5\times 10^{11}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $3\times 10^{5}=0{,}3\times 10^{6}$ , donc la somme vaut $2{,}8\times 10^{6}$ . On additionne les mantisses sous la MÊME puissance de $10$ . »

Pourquoi : La loi $a^{m}a^{n}=a^{m+n}$ concerne une multiplication. Additionner, c'est comme ajouter des mètres à des kilomètres : on convertit d'abord.

8. Additionner les exposants d'une puissance de puissance

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(a^{2})^{3}=a^{5}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $(a^{2})^{3}=a^{2}\times a^{2}\times a^{2}=a^{6}$ : trois paquets de deux facteurs, on multiplie. »

Pourquoi : Avec $a=2$ : $(4)^{3}=64=2^{6}$ et non $32$ . Le test numérique tranche immédiatement.

Quelle méthode choisir

Quelle loi ? Décider sur l'opération et sur les bases

Regardez d'abord l'OPÉRATION entre les puissances, puis si les BASES sont les mêmes. Chaque combinaison a sa branche, et deux combinaisons n'ont aucune loi.

Si multiplication, même base → additionner les exposants, garder la base

Exemple : $3^{4}\times 3^{5}=3^{9}$
Si division, même base → soustraire les exposants

Exemple : $\dfrac{7^{9}}{7^{4}}=7^{5}$

un résultat négatif est un inverse : $\dfrac{2^{3}}{2^{5}}=2^{-2}=\dfrac{1}{4}$
Si multiplication, même EXPOSANT, bases différentes → multiplier les bases

Exemple : $2^{3}\times 5^{3}=10^{3}$
Si multiplication, bases ET exposants différents → aucune loi : calculer chaque puissance

Exemple : $2^{3}\times 5^{2}=8\times 25=200$
Si une puissance élevée à une puissance → multiplier les exposants

Exemple : $(5^{2})^{3}=5^{6}$
Si un produit ou un quotient entre parenthèses, élevé à une puissance → distribuer l'exposant à CHAQUE facteur, coefficient compris

Exemple : $\left(\dfrac{2a^{3}}{b}\right)^{2}=\dfrac{4a^{6}}{b^{2}}$
Si une somme entre parenthèses, élevée à une puissance → aucune loi : calculer la somme, ou développer

Exemple : $(3+4)^{2}=49$
Si une addition de puissances → aucune loi sur les exposants : mettre à la même puissance de $10$ , ou calculer

Exemple : $2{,}5\times 10^{6}+3\times 10^{5}=2{,}8\times 10^{6}$

En cas de doute, écrire les facteurs. Cinq secondes, et la loi apparaît toute seule.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Simplifier une expression à plusieurs bases, la copie attendue

Quand l'utiliser : L'énoncé demande de simplifier une expression comme $\dfrac{12a^{5}b^{2}}{4a^{2}b^{6}}$ et d'écrire le résultat sans exposant négatif.

1 Traiter les coefficients comme des nombres ordinaires : $\dfrac{12}{4}=3$ .
2 Traiter CHAQUE base séparément avec la loi du quotient : $a^{5-2}=a^{3}$ , puis $b^{2-6}=b^{-4}$ .
3 Éliminer les exposants négatifs en passant le facteur au dénominateur : $b^{-4}=\dfrac{1}{b^{4}}$ .
4 Écrire le résultat en une seule fraction, puis vérifier avec une valeur simple.

Phrase de conclusion

« $\dfrac{12a^{5}b^{2}}{4a^{2}b^{6}}=3\,a^{5-2}\,b^{2-6}=3a^{3}b^{-4}=\dfrac{3a^{3}}{b^{4}}$ . Vérification avec $a=b=2$ : $\dfrac{12\times 32\times 4}{4\times 4\times 64}=1{,}5$ et $\dfrac{3\times 8}{16}=1{,}5$ . »

Le piège : Faire deux lois à la fois : $(3^{2})^{4}\times 3^{-5}$ traité en une ligne donne presque toujours un exposant faux. Une loi par étape.

Barème : 1 point pour les coefficients, 1 par base, 1 pour l'élimination des exposants négatifs.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Tester avec $a=2$

Remplacez chaque lettre par $2$ dans l'expression de départ et dans le résultat : les deux nombres doivent coïncider. Évitez $a=1$ et $a=0$ , qui cachent trop d'erreurs.

$(2^{2})^{3}=64$ et $2^{6}=64$ : bon. Si vous aviez écrit $2^{5}=32$ , le test le dit.
Compter les facteurs

Sur un petit exposant, écrivez les facteurs et comptez-les. C'est la preuve de la loi, et elle ne se trompe jamais.

$2^{3}\times 2^{2}=(2\cdot 2\cdot 2)(2\cdot 2)$ : cinq facteurs, donc $2^{5}$ , et certainement pas $4^{5}$ .
La mantisse entre $1$ et $10$

Avant de rendre une réponse en notation scientifique, relisez la mantisse : si elle vaut $10$ ou plus, ou moins de $1$ , déplacez la virgule et corrigez l'exposant.

$12\times 10^{3}$ : mantisse $12$ , trop grande, donc $1{,}2\times 10^{4}$ . $0{,}3\times 10^{-6}$ : trop petite, donc $3\times 10^{-7}$ .
L'ordre de grandeur

Un nombre en notation scientifique $a\times 10^{n}$ a $n+1$ chiffres avant la virgule s'il est plus grand que $1$ . Comparez avec ce que vous attendiez.

$8{,}59\times 10^{9}$ octets, dix chiffres, près de neuf milliards : cohérent pour une mémoire de $8$ Go. $8{,}59\times 10^{3}$ ne le serait pas.

L'exercice type décortiqué

La vidéo qui triple ses partages chaque jour

Une vidéo est partagée par $4$ personnes le jour $0$ . Chaque jour, le nombre de nouveaux partages TRIPLE. Le diagramme montre les six premiers jours.

Écrire le nombre de nouveaux partages le jour $n$ , calculer celui du jour $8$ en notation scientifique, et trouver le premier jour où il dépasse $100\,000$ .

4

972

en cinq jours : chaque barre vaut trois fois la précédente. L'exposant compte le nombre de fois où l'on a multiplié par

3

Étape 1

Jour $n$ : on a multiplié $n$ fois par $3$ , donc $P=4\times 3^{n}$ .

Pourquoi

L'exposant compte les multiplications, c'est le fil du chapitre. $3^{n}$ n'est pas « $3$ fois $n$ » ; jour $5$ donne $4\times 243=972$ , comme sur le diagramme, et non $4\times 15=60$ .

Étape 2

Jour $8$ : $P=4\times 3^{8}=4\times 6561=26\,244\approx 2{,}62\times 10^{4}$ .

Pourquoi

On calcule la puissance d'abord, puis on multiplie par $4$ : $(4\times 3)^{8}=12^{8}$ serait la faute de la parenthèse, quatre cents millions de partages.

Étape 3

Seuil : $4\times 3^{n}>100\,000$ , donc $3^{n}>25\,000$ .

Pourquoi

On isole la puissance en divisant par $4$ des deux côtés : la comparaison porte sur $3^{n}$ seul, ce qui permet d'encadrer.

Étape 4

$3^{9}=19\,683<25\,000$ et $3^{10}=59\,049>25\,000$ , donc $n=10$ .

Pourquoi

Le premier jour est un ENTIER, trouvé en encadrant $25\,000$ entre deux puissances de $3$ consécutives, comme on encadre une racine entre deux carrés parfaits.

Étape 5

Vérification : jour $9$ , $4\times 19\,683=78\,732<100\,000$ ; jour $10$ , $4\times 59\,049=236\,196>100\,000$ .

Pourquoi

On revient à l'énoncé, en partages et non en puissances de $3$ : c'est la seule vérification qui a un sens pour le lecteur.

Conclusion rédigée

Le nombre de nouveaux partages le jour $n$ vaut $4\times 3^{n}$ ; le jour $8$ il atteint environ $2{,}62\times 10^{4}$ , et il dépasse $100\,000$ pour la première fois le jour $10$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $4\times 3^{n}=12^{n}$ : la parenthèse absente change tout, et le seuil serait franchi dès le jour $5$ .

À savoir par cœur

• $a^{n}$ : $n$ facteurs. Même base, produit : exposants ADDITIONNÉS, base inchangée.
• Quotient : exposants soustraits. Puissance de puissance : exposants MULTIPLIÉS.
• $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ , coefficient compris. $(a+b)^{n}$ ne se distribue pas.
• $a^{0}=1$ . $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$ , positif si $a$ est positif.
• $(-3)^{2}=9$ , $-3^{2}=-9$ .
• Notation scientifique : mantisse dans $[1\,;10[$ . Multiplier : mantisses et puissances séparément. Additionner : même puissance de $10$ d'abord.
• Comparer $2^{100}$ et $3^{60}$ : même exposant, $32^{20}$ contre $27^{20}$ .

Questions fréquentes

Pourquoi 2 puissance 3 fois 2 puissance 2 ne fait pas 4 puissance 5 ?

Parce qu'un exposant compte des facteurs : 2 puissance 3, c'est trois facteurs 2, et 2 puissance 2, deux facteurs 2. En les multipliant, on obtient cinq facteurs 2, donc 2 puissance 5, qui vaut 32. La base ne change jamais dans un produit de même base ; seuls les exposants s'additionnent. 4 puissance 5 vaudrait 1024, trente-deux fois trop.

Que vaut un nombre avec un exposant négatif ?

L'inverse de la puissance positive : 2 puissance moins 2 vaut 1 sur 2 puissance 2, soit un quart. Le signe moins de l'exposant ne rend pas le nombre négatif, il le rend plus petit que 1. On le déduit de la loi du quotient : 2 puissance 3 divisé par 2 puissance 5 vaut 8 sur 32, un quart, et la loi donne 2 puissance moins 2.

Comment additionner deux nombres en notation scientifique ?

On les met d'abord à la même puissance de 10, puis on additionne les mantisses. Pour 2,5 fois 10 puissance 6 plus 3 fois 10 puissance 5, on écrit 3 fois 10 puissance 5 comme 0,3 fois 10 puissance 6, et la somme vaut 2,8 fois 10 puissance 6. On n'additionne jamais les exposants : cette loi sert seulement à multiplier.

Quelle est la différence entre moins 3 au carré et (moins 3) au carré ?

Sans parenthèse, l'exposant ne porte que sur le 3 : moins 3 au carré vaut moins 9. Avec la parenthèse, on élève le nombre moins 3 au carré : moins 3 fois moins 3 vaut 9. La confusion est invisible sur les exposants impairs, où les deux écritures donnent le même résultat, et elle coûte le signe final sur les exposants pairs.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Lois des exposants et notation scientifique

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
120 minutes

Faire les exercices

Fiche précédente Nombres réels, racines et ensembles Fiche suivante Expressions algébriques et mise en évidence

Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Expressions algébriques et mise en évidence Aire et volume des solides Dénombrement et probabilité géométrique Apprécier la valeur d'une puissanceSecondaire 4 CST Les exposants, les radicaux et la valeur absolueSecondaire 4 TS

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Tous les chapitres de secondaire 3 Math SN4 : l'année suivante Math CST 4 : l'autre séquence Tuteur au secondaire à Montréal

Vous cherchez un tuteur de mathématique au secondaire à Montréal ?

Contactez-moi pour une première séance. Les lois des exposants reviennent en SN4 dans la factorisation, en SN5 dans les fonctions exponentielles et au cégep partout : c'est en secondaire 3 qu'on les installe pour de bon.

Me contacter WhatsApp

Site par Studio Squalli

Fiche de révision : Lois des exposants et notation scientifique (math, secondaire 3)

L'essentiel

Les cinq lois, toutes obtenues en comptant

Exposant zéro et exposants négatifs : déduits, pas décrétés

La notation scientifique

Les règles de calcul en tableau

Les lois qui existent, et celles qui n'existent pas

Les pièges qui coûtent des points

1. Changer la base en multipliant deux puissances

2. Prendre un exposant négatif pour un signe

3. Donner 000 à l'exposant zéro

4. Oublier le coefficient dans une puissance de produit

5. Oublier la parenthèse devant un carré de négatif

6. Laisser une mantisse hors de [1 ;10[[1\,;10[[1;10[

7. Additionner les exposants dans une addition

8. Additionner les exposants d'une puissance de puissance

Quelle méthode choisir

Quelle loi ? Décider sur l'opération et sur les bases

La rédaction attendue

Simplifier une expression à plusieurs bases, la copie attendue

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

La vidéo qui triple ses partages chaque jour

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi 2 puissance 3 fois 2 puissance 2 ne fait pas 4 puissance 5 ?

Que vaut un nombre avec un exposant négatif ?

Comment additionner deux nombres en notation scientifique ?

Quelle est la différence entre moins 3 au carré et (moins 3) au carré ?

Exercices corrigés : Lois des exposants et notation scientifique

Ce chapitre resservira dans

Voir aussi

Vous cherchez un tuteur de mathématique au secondaire à Montréal ?

3. Donner $0$ à l'exposant zéro

6. Laisser une mantisse hors de $[1\,;10[$