Exercices corrigés : apprécier la valeur d'une puissance (math CST, secondaire 4)

a) $3^{2}=3\times 3=9$ et $3^{3}=3\times 3\times 3=27$. Chaque facteur de plus MULTIPLIE par $3$ : on passe de $1$ à $3$, de $3$ à $9$, de $9$ à $27$. On n'ajoute pas $3$, on multiplie par $3$, et c'est toute la différence entre une puissance et une multiplication ordinaire.

b) $0{,}8^{2}=0{,}8\times 0{,}8=0{,}64$ et $0{,}8^{3}=0{,}64\times 0{,}8=0{,}512$. Le mécanisme est exactement le même : chaque facteur de plus multiplie par $0{,}8$. Seulement, multiplier par $0{,}8$, c'est garder $80\,\%$ de ce qu'on avait, donc RÉDUIRE. La vérification qui rassure : $0{,}64$ est bien plus petit que $0{,}8$, et $0{,}512$ plus petit que $0{,}64$.

c) La colonne de $3^{n}$ AUGMENTE, celle de $0{,}8^{n}$ DIMINUE. Ce qui décide, c'est la position de la base par rapport à $1$ : une base supérieure à $1$ fait grandir à chaque facteur, une base comprise entre $0$ et $1$ fait rétrécir. La base $1$ elle-même ne fait rien du tout, puisque $1^{n}=1$ pour tout $n$. Retenez la formulation, elle sert toute l'année : l'exposant compte, la base décide.

d) $0{,}8^{20}$ est PLUS PETIT que $0{,}8^{19}$, puisque passer de $19$ à $20$ facteurs revient à multiplier encore une fois par $0{,}8$, donc à réduire. Et $0{,}8^{20}$ ne peut pas être négatif : c'est un produit de vingt nombres positifs, donc un nombre positif. Il devient très petit, $0{,}0115$ environ, mais il reste strictement plus grand que zéro. C'est le premier piège du chapitre : « de plus en plus petit » ne veut jamais dire « négatif », et une puissance de base positive est toujours positive, quel que soit l'exposant.

a) $2^{5}=32$, $5^{2}=25$, $3^{3}=27$ et $4^{2}=16$. L'ordre croissant est donc $4^{2}<5^{2}<3^{3}<2^{5}$, c'est-à-dire $16<25<27<32$. Remarquez ce que cela dit : $2^{5}$ dépasse $5^{2}$ alors que sa base est la plus petite des quatre. Échanger la base et l'exposant ne donne pas le même nombre, et la plus grosse base ne gagne pas d'office. Quand ni la base ni l'exposant ne sont communs, il n'y a pas de raccourci : on calcule.

b) $2^{10}=1024$ et $10^{3}=1000$, donc $2^{10}>10^{3}$. L'écart est faible, environ $2{,}4\,\%$, et c'est justement ce qui rend l'approximation $2^{10}\approx 1000$ si commode en informatique. Mais faible ne veut pas dire nul : sur une comparaison, on tranche avec les valeurs exactes, pas avec l'approximation.

c) Les deux puissances ont le MÊME exposant, $5$. Quand l'exposant est le même et les bases positives, la plus grande base donne la plus grande puissance. Or $\dfrac{1}{2}>\dfrac{1}{3}$, donc $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}>\left(\dfrac{1}{3}\right)^{5}$. Vérification : $\dfrac{1}{32}\approx 0{,}031$ et $\dfrac{1}{243}\approx 0{,}0041$, soit presque huit fois moins. C'est le piège classique des bases inférieures à $1$ : on croit que « plus petit que 1 » inverse la règle, alors que non. Ce qui s'inverse, c'est le sens de variation quand l'EXPOSANT grandit, pas la comparaison à exposant fixe.

d) C'est faux. $0{,}5^{3}=0{,}125$ et $0{,}5^{5}=0{,}03125$, donc $0{,}5^{3}$ est le PLUS GRAND des deux. L'élève applique la règle des bases supérieures à $1$, où un exposant plus grand donne un nombre plus grand. Avec une base comprise entre $0$ et $1$, chaque facteur supplémentaire réduit : plus l'exposant est grand, plus la puissance est PETITE. Énoncé correct : pour $0<a<1$, si $m<n$ alors $a^{m}>a^{n}$. C'est exactement la colonne de $0{,}8^{n}$ de l'exercice 1, relue à l'envers.

a) $9^{1/2}=\sqrt{9}=3$, car $3^{2}=9$. $64^{1/3}=\sqrt[3]{64}=4$, car $4^{3}=64$. $16^{1/4}=\sqrt[4]{16}=2$, car $2^{4}=16$. La méthode est toujours la même : on cherche le nombre qui, élevé à la puissance du dénominateur, redonne la base. C'est pour cela qu'on dit que l'exposant $\dfrac{1}{n}$ DÉFAIT l'exposant $n$.

b) $0{,}25^{1/2}=\sqrt{0{,}25}=0{,}5$, car $0{,}5\times 0{,}5=0{,}25$. $0{,}81^{1/2}=\sqrt{0{,}81}=0{,}9$, car $0{,}9\times 0{,}9=0{,}81$. Vérifiez toujours par le carré plutôt que de faire confiance à la calculatrice : c'est immédiat et cela attrape les erreurs de virgule, la plus courante étant de lire $\sqrt{0{,}25}=0{,}05$.

c) Regardez les deux groupes. Pour $9$, $64$ et $16$, qui dépassent $1$, la racine est PLUS PETITE que le nombre : $3<9$, $4<64$, $2<16$. Pour $0{,}25$ et $0{,}81$, qui sont entre $0$ et $1$, la racine est PLUS GRANDE que le nombre : $0{,}5>0{,}25$ et $0{,}9>0{,}81$. Dans les deux cas, la racine s'est RAPPROCHÉE DE 1, et c'est ce que montre la figure : le $9$ redescend vers $3$, le $0{,}25$ remonte vers $0{,}5$, les deux vont dans la même direction. La raison tient en une phrase : prendre la racine, c'est prendre un exposant plus petit que $1$, donc affaiblir l'effet de la base, quel que soit le côté de $1$ où elle se trouve.

d) $0{,}49$ est entre $0$ et $1$, donc sa racine carrée est plus grande que lui et reste plus petite que $1$ : on a $0{,}49<\sqrt{0{,}49}<1$. On peut même donner la valeur, puisque $0{,}7\times 0{,}7=0{,}49$ : $\sqrt{0{,}49}=0{,}7$, et l'encadrement se lit $0{,}49<0{,}7<1$. L'erreur à ne pas commettre est de répondre « plus petit, comme pour $\sqrt{9}$ » : la règle apprise sur les grands nombres s'inverse sous $1$, et c'est exactement ce que cet exercice teste.

a) On cherche les carrés parfaits qui encadrent $40$ : $36=6^{2}$ et $49=7^{2}$, et $36<40<49$. La racine carrée conserve l'ordre pour les nombres positifs, donc $6<\sqrt{40}<7$. La calculatrice confirme, $\sqrt{40}\approx 6{,}32$, mais l'encadrement s'obtient sans elle, et c'est lui qu'on demande dans une question de raisonnement. Affinage possible : $40$ est plus près de $36$ que de $49$, donc la racine est dans la première moitié de l'intervalle, plus près de $6$ que de $7$.

b) Cette fois les repères sont des cubes parfaits : $4^{3}=64$ et $5^{3}=125$, et $64<100<125$. Donc $4<\sqrt[3]{100}<5$. La valeur exacte, $4{,}64$ environ, n'est pas l'objet : ce qu'on demande, c'est de savoir entre quels entiers elle tombe, et ce sont les cubes, pas les carrés, qui le disent.

c) Les puissances de $2$ autour de $1000$ sont $2^{9}=512$ et $2^{10}=1024$, et $512<1000<1024$. Les deux exposants sont donc $9$ et $10$. C'est l'encadrement le plus utile de tout le chapitre, parce que $2^{10}$ est tout près de $1000$ : il permet d'estimer de tête n'importe quelle grande puissance de $2$.

d) $1{,}5^{10}$ s'écrit $\left(1{,}5^{2}\right)^{5}=2{,}25^{5}$. On monte ensuite par carrés successifs : $2{,}25^{2}\approx 5{,}06$, puis $2{,}25^{4}=\left(2{,}25^{2}\right)^{2}\approx 25{,}6$, et enfin $2{,}25^{5}=2{,}25^{4}\times 2{,}25\approx 57{,}7$. Donc oui, $1{,}5^{10}$ dépasse $50$. On peut même conclure plus vite : $2{,}25^{5}>2^{5}=32$ ne suffit pas, mais $2{,}25^{4}\approx 25{,}6$ est déjà à la moitié de $50$, et il reste un facteur $2{,}25$ à appliquer. Le réflexe à garder est celui-là : élever au carré deux fois coûte deux calculs au lieu de dix.

a) $2^{-3}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}=0{,}125$. $10^{-2}=\dfrac{1}{100}=0{,}01$. $5^{-1}=\dfrac{1}{5}=0{,}2$. Aucun des trois n'est négatif, et c'est le point de l'exercice : l'exposant négatif retourne la fraction, il ne retourne pas le signe.

b) $0{,}5^{-2}=\dfrac{1}{0{,}5^{2}}=\dfrac{1}{0{,}25}=4$. $0{,}1^{-3}=\dfrac{1}{0{,}1^{3}}=\dfrac{1}{0{,}001}=1000$. Voilà deux puissances de base inférieure à $1$ qui valent bien plus que $1$. Un raccourci utile : inverser la base revient à changer le signe de l'exposant, donc $0{,}5^{-2}=2^{2}=4$ et $0{,}1^{-3}=10^{3}=1000$. C'est souvent le chemin le plus court.

c) On calcule tout : $2^{-3}=0{,}125$, $2^{0}=1$, $2^{-1}=0{,}5$ et $0{,}5^{-2}=4$. L'ordre croissant est donc $2^{-3}<2^{-1}<2^{0}<0{,}5^{-2}$, soit $0{,}125<0{,}5<1<4$. Le piège est de ranger les exposants au lieu des valeurs : $-3$, $0$, $-1$, $-2$ n'est pas l'ordre demandé, d'autant que la dernière puissance n'a pas la même base que les trois autres.

d) La règle « ça rétrécit » vaut pour un exposant POSITIF qui grandit. Avec un exposant négatif, on prend l'inverse, et l'inverse d'un tout petit nombre est un très grand nombre : c'est pour cela que $0{,}1^{3}=0{,}001$ est minuscule alors que $0{,}1^{-3}=1000$ est énorme. La formulation correcte, celle qui couvre les deux cas : une base comprise entre $0$ et $1$ et une base supérieure à $1$ font exactement le contraire l'une de l'autre, et changer le signe de l'exposant échange aussi les deux comportements. Une seule chose ne change jamais : le résultat reste positif.

a) Deux agrandissements multiplient par $1{,}25\times 1{,}25=1{,}25^{2}=1{,}5625$. La longueur a donc augmenté de $56{,}25\,\%$, et non de $50\,\%$. Les pourcentages d'augmentation ne s'additionnent pas, ce sont les FACTEURS qui se multiplient. Le supplément, $6{,}25\,\%$, est le $25\,\%$ du deuxième agrandissement appliqué au $25\,\%$ déjà gagné.

b) Le facteur total vaut $1{,}25\times 0{,}8=1$ exactement, donc la feuille revient à sa taille de départ. Ce n'est pas un hasard : $0{,}8=\dfrac{4}{5}$ et $1{,}25=\dfrac{5}{4}$ sont inverses l'un de l'autre. C'est pour cela que les deux touches se répondent sur l'appareil. Attention cependant : réduire de $25\,\%$ après avoir agrandi de $25\,\%$ ne ramènerait PAS au départ, puisque $1{,}25\times 0{,}75=0{,}9375$. L'inverse de $1{,}25$ est $0{,}8$, pas $0{,}75$.

c) $0{,}8^{4}=0{,}8\times 0{,}8\times 0{,}8\times 0{,}8=0{,}4096$, soit $0{,}410$ au millième. Comme $0{,}4096<0{,}5$, il reste MOINS de la moitié. On peut le voir sans calculatrice complète : $0{,}8^{2}=0{,}64$, puis $0{,}8^{4}=\left(0{,}8^{2}\right)^{2}=0{,}64^{2}$, et $0{,}64^{2}$ est clairement sous $0{,}5$ puisque $0{,}7^{2}=0{,}49$ et que $0{,}64<0{,}7$.

d) On compare les puissances successives à $0{,}5$ : $0{,}8^{1}=0{,}8$, $0{,}8^{2}=0{,}64$, $0{,}8^{3}=0{,}512$, $0{,}8^{4}=0{,}4096$. Les trois premières dépassent encore la moitié, la quatrième non : il faut donc QUATRE réductions. Remarquez à quel point $0{,}8^{3}=0{,}512$ est proche de la moitié sans y être : arrondir à $0{,}51$ et répondre « trois » coûte la question entière. Quand un encadrement est aussi serré, on garde les décimales jusqu'au bout.

e) C'est faux, et c'est la même erreur qu'en a), du côté des réductions. Les pourcentages enlevés ne s'additionnent pas, parce que chaque réduction porte sur ce qui RESTE, et non sur la longueur de départ. Le calcul correct est $0{,}8^{4}=0{,}4096$ : il reste environ $41\,\%$, donc on a perdu à peu près $59\,\%$, et non $80\,\%$. D'ailleurs la règle de l'élève mènerait à une absurdité : cinq réductions de $20\,\%$ feraient $100\,\%$ de moins, c'est-à-dire une feuille de longueur nulle. Une multiplication répétée par un nombre strictement positif ne donne jamais zéro, elle s'en approche sans l'atteindre.

a) Après $6$ h, une période s'est écoulée : $400\times 0{,}5^{1}=200$ mg. Après $12$ h, deux périodes : $400\times 0{,}5^{2}=100$ mg. Après $24$ h, quatre périodes : $400\times 0{,}5^{4}=400\times 0{,}0625=25$ mg. Le réflexe à prendre est de convertir les heures en NOMBRE DE PÉRIODES avant tout calcul : l'exposant compte les périodes, jamais les heures. Écrire $0{,}5^{24}$ pour une journée donne un nombre de l'ordre de $0{,}000\,000\,06$ mg, ce qui devrait alerter immédiatement.

b) $\dfrac{25}{400}=0{,}0625$, soit $6{,}25\,\%$. On peut l'obtenir sans passer par les milligrammes : quatre demi-vies laissent $0{,}5^{4}=0{,}0625$ de la dose, quelle que soit cette dose. C'est d'ailleurs ce qui rend la notion de demi-vie utile : le pourcentage restant ne dépend pas de la quantité de départ.

c) On veut $400\times 0{,}5^{n}<10$, c'est-à-dire $0{,}5^{n}<0{,}025$. On essaie les valeurs : $0{,}5^{5}=0{,}03125$ donne $12{,}5$ mg, encore au-dessus ; $0{,}5^{6}=0{,}015625$ donne $6{,}25$ mg, cette fois sous $10$ mg. Il faut donc SIX périodes, soit $6\times 6=36$ heures. La cinquième période est celle qui trompe : à $12{,}5$ mg on est proche de $10$ sans y être, et répondre « cinq » est l'erreur la plus fréquente. On vérifie toujours la période qui précède celle qu'on annonce.

d) C'est faux. Enlever la moitié, puis la moitié de ce qui reste, laisse le quart : $400\rightarrow 200\rightarrow 100$, donc $100$ mg, et non zéro. L'erreur consiste à additionner deux moitiés comme si elles portaient toutes deux sur la dose initiale, alors que la seconde porte sur les $200$ mg restants. C'est exactement l'erreur de la photocopieuse de l'exercice 6, dans un autre habillage. Et le modèle ne s'annule jamais : $400\times 0{,}5^{n}$ est un produit de nombres strictement positifs, donc la quantité devient aussi petite qu'on veut sans jamais valoir zéro.

1) FAUX. Répété $50$ fois, un facteur à peine inférieur à $1$ finit par tout ronger : $0{,}9^{50}\approx 0{,}005$, soit un demi pour cent de la valeur de départ. Un repère qui aide : $0{,}9^{7}\approx 0{,}48$, donc sept facteurs suffisent déjà à passer sous la moitié. Énoncé correct : pour toute base strictement comprise entre $0$ et $1$, la puissance tend vers $0$ quand l'exposant grandit, aussi proche de $1$ que soit la base.

2) FAUX. $2^{-4}=\dfrac{1}{2^{4}}=\dfrac{1}{16}=0{,}0625$, un nombre positif. L'exposant négatif commande l'INVERSE, pas l'opposé. Énoncé correct : avec une base positive, $a^{-n}$ est positif et vaut $\dfrac{1}{a^{n}}$. Pour obtenir un nombre négatif il faudrait un signe moins DEVANT la puissance, comme dans $-2^{4}=-16$.

3) FAUX. $\sqrt{0{,}36}=0{,}6$, et $0{,}6$ est plus GRAND que $0{,}36$. La comparaison change de sens de part et d'autre de $1$ : la racine rapproche toujours de $1$, donc elle diminue les nombres supérieurs à $1$ et augmente ceux qui sont entre $0$ et $1$. Énoncé correct : si $0<a<1$, alors $a<\sqrt{a}<1$.

4) FAUX. Les facteurs sont $1{,}25$ puis $0{,}75$, et $1{,}25\times 0{,}75=0{,}9375$ : il manque $6{,}25\,\%$. La raison est que le second pourcentage porte sur une taille déjà agrandie, donc sur une base plus grande. Énoncé correct : pour défaire un agrandissement à $125\,\%$, il faut réduire à $80\,\%$, car $0{,}8$ est l'inverse de $1{,}25$.

5) FAUX. $2^{10}=1024$ et $10^{2}=100$ : le premier est plus de dix fois le second. La base et l'exposant ne jouent pas le même rôle, l'un est le facteur répété, l'autre compte les répétitions. Énoncé correct : $a^{b}$ et $b^{a}$ diffèrent en général, et l'exercice 2 en donne un autre exemple avec $2^{5}=32$ contre $5^{2}=25$.

a) $8=2^{3}$, donc trois tours, ce que montre le schéma : huit, puis quatre, puis deux, puis le gagnant. $64=2^{6}$, donc six tours. On lit l'exposant, pas le nombre d'équipes : c'est lui qui compte les étapes.

b) Sept tours signifient sept divisions par deux, donc $2^{7}=128$ équipes au départ. On remonte en doublant sept fois depuis $1$ : $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128$. C'est la lecture inverse de a), et c'est elle qui montre le mieux ce qu'est un exposant : un compteur d'étapes.

c) Le tournoi s'allonge d'UN SEUL tour. Passer de $2^{n}$ à $2^{n+1}$ équipes n'ajoute qu'une unité à l'exposant, même si le nombre de participants, lui, est multiplié par deux. C'est le cœur de l'exercice : un doublement des effectifs coûte une étape, pas le double d'étapes. De $64$ à $128$ équipes, on passe de six à sept tours, et il faudrait $1024$ équipes pour n'atteindre que dix tours.

d) $100$ n'est pas une puissance de $2$ : on l'encadre par $2^{6}=64$ et $2^{7}=128$, donc $64<100<128$. Six tours ne suffisent pas, puisqu'ils ne peuvent départager que $64$ équipes au plus. Il faut donc SEPT tours, en donnant des laissez-passer au premier tour aux $128-100=28$ équipes de trop. Autrement dit, on cherche le plus petit exposant $n$ tel que $2^{n}\ge 100$, et c'est $n=7$.

e) Chaque match élimine exactement UNE équipe, et il faut éliminer toutes les équipes sauf la gagnante. Avec $64$ équipes, il y a donc $63$ matchs. La vérification par les tours donne la même chose, $32+16+8+4+2+1=63$, mais elle demande six termes là où le raisonnement par élimination n'en demande aucun. Retenez la forme générale : un tournoi à $N$ équipes compte $N-1$ matchs, et cela reste vrai même quand $N$ n'est pas une puissance de deux.

a) Passer de A0 à A4, c'est couper quatre fois, donc diviser l'aire par $2$ quatre fois : l'aire est multipliée par $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}=\dfrac{1}{16}=0{,}0625$. L'aire d'une A4 vaut donc $0{,}0625$ m$^{2}$. En centimètres carrés, un mètre carré vaut $10\,000$ cm$^{2}$, donc $0{,}0625\times 10\,000=625$ cm$^{2}$. Le piège de conversion est classique : un mètre carré ne vaut pas $100$ cm$^{2}$ mais $100^{2}$, et c'est encore une histoire d'exposant.

b) L'aire est divisée par $16$, et l'aire est un produit de deux longueurs, toutes deux divisées par le même facteur $k$. On a donc $k^{2}=16$, d'où $k=4$. On peut aussi le voir par les exposants fractionnaires : chaque coupe divise une longueur par $2^{1/2}$, et quatre coupes donnent $\left(2^{1/2}\right)^{4}=2^{4/2}=2^{2}=4$. Les deux chemins donnent $4$, exactement, et c'est la seule occasion du chapitre où un exposant fractionnaire produit un résultat entier bien rond.

c) On divise les deux dimensions de la A0 par $4$ : $\dfrac{841}{4}=210{,}25$ et $\dfrac{1189}{4}=297{,}25$, soit $210$ mm sur $297$ mm à l'unité près. Ce sont bien les dimensions de la feuille A4 imprimée dans le monde entier, et vous pouvez le vérifier sur n'importe quelle feuille de votre cartable.

d) Appelons $L$ la longueur et $\ell$ la largeur d'un format. Couper en deux dans le sens de la longueur donne un format de longueur $\ell$ et de largeur $\dfrac{L}{2}$ : les rôles s'échangent. Pour que tous les formats aient la même FORME, il faut que le rapport soit le même avant et après, donc $\dfrac{L}{\ell}=\dfrac{\ell}{L/2}$. En multipliant en croix, $L^{2}=2\ell^{2}$, donc $\left(\dfrac{L}{\ell}\right)^{2}=2$ et $\dfrac{L}{\ell}=\sqrt{2}$. C'est ce rapport, et lui seul, qui permet de photocopier une A4 sur une A3 sans marge perdue.

e) $\dfrac{1189}{841}\approx 1{,}4138$ et $\sqrt{2}\approx 1{,}4142$. L'écart est de $0{,}0004$, soit trois centièmes de pour cent : les dimensions officielles sont des arrondis au millimètre du rapport exact, ce qui explique cette différence minuscule. Notez la précision demandée : à deux décimales, les deux nombres seraient identiques et la vérification ne prouverait rien. C'est le moment de ne pas arrondir trop tôt.