Exercices corrigés : les fonctions exponentielles (math CST, secondaire 4)

a) Modèle A : $260-200=60$, $320-260=60$, $380-320=60$, $440-380=60$. La différence est CONSTANTE et vaut $60$. Modèle B : $240-200=40$, $288-240=48$, $345{,}6-288=57{,}6$, $414{,}72-345{,}6=69{,}12$. Les différences augmentent, elles ne sont pas constantes. Une différence constante est la signature du modèle LINÉAIRE, et le modèle A est donc linéaire.

b) Modèle A : $\dfrac{260}{200}=1{,}3$, puis $\dfrac{320}{260}\approx 1{,}231$, $\dfrac{380}{320}\approx 1{,}188$ et $\dfrac{440}{380}\approx 1{,}158$. Les rapports diminuent. Modèle B : $\dfrac{240}{200}=1{,}2$, $\dfrac{288}{240}=1{,}2$, $\dfrac{345{,}6}{288}=1{,}2$ et $\dfrac{414{,}72}{345{,}6}=1{,}2$. Le rapport est CONSTANT et vaut $1{,}2$.

c) C'est le modèle B qui est exponentiel, parce que son RAPPORT est constant. Sa base vaut $1{,}2$, ce qui correspond à une hausse de $20\,\%$ par mois : chaque mois, on garde les $100\,\%$ du mois précédent et l'on ajoute $20\,\%$, donc on multiplie par $1{,}2$. Le test à retenir vaut dans les deux sens : différence constante, c'est linéaire ; rapport constant, c'est exponentiel. Les deux ensemble n'arrivent jamais, sauf pour une constante.

d) Modèle A : on ajoute $60$, donc $440+60=500$ visiteurs. Modèle B : on multiplie par $1{,}2$, donc $414{,}72\times 1{,}2=497{,}664$ visiteurs. Remarquez qu'au mois $5$ le modèle linéaire est encore devant, de deux visiteurs environ. C'est presque toujours ainsi : l'exponentiel démarre plus lentement, puis rattrape et dépasse. L'exercice 10 chiffre exactement ce basculement.

a) Une hausse de $8\,\%$ garde les $100\,\%$ de départ et ajoute $8\,\%$, soit $108\,\%$ : la base vaut $c=1{,}08$. Une hausse de $150\,\%$ donne $100\,\%+150\,\%=250\,\%$, donc $c=2{,}5$. Attention à celle-ci : augmenter de $150\,\%$ ne revient pas à multiplier par $1{,}5$, mais par $2{,}5$, c'est-à-dire à plus que doubler.

b) Une baisse de $15\,\%$ laisse $100\,\%-15\,\%=85\,\%$, donc $c=0{,}85$. Une baisse de $60\,\%$ laisse $40\,\%$, donc $c=0{,}4$. La règle est toujours la même : on calcule ce qui RESTE. C'est pour cela qu'une base de décroissance est toujours comprise entre $0$ et $1$.

c) Doubler, c'est passer à $200\,\%$, donc $c=2$. Perdre le tiers, c'est garder les deux tiers, donc $c=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}667$. Ici encore, la question piège serait de répondre $\dfrac{1}{3}$, qui est la part ENLEVÉE.

d) Une base de $1{,}035$ vaut $103{,}5\,\%$, donc une hausse de $3{,}5\,\%$ par étape. Une base de $0{,}72$ vaut $72\,\%$, donc une baisse de $28\,\%$ par étape, puisque $100-72=28$. Pour passer de la base au pourcentage, on soustrait $1$ puis on multiplie par cent, et le signe du résultat donne le sens : positif pour une hausse, négatif pour une baisse.

e) La base $0{,}15$ décrit une quantité qui ne garde que $15\,\%$ de sa valeur à chaque étape, donc une baisse de $85\,\%$, et non de $15\,\%$. La règle correcte est $y=500\,(0{,}85)^{x}$. L'écart est énorme : au bout de trois ans, la règle de l'élève donne $500\times 0{,}15^{3}=1{,}6875$, alors que la bonne donne $500\times 0{,}85^{3}=307{,}0625$, soit cent quatre-vingts fois plus. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle se repère toujours au même endroit : une base minuscule pour une baisse modérée.

a) La valeur de départ est $a=1200$ et la hausse de $15\,\%$ donne $c=1{,}15$. La règle est $y=1200\,(1{,}15)^{x}$, où $x$ est le nombre de MOIS écoulés. Préciser l'unité de $x$ n'est pas décoratif : la même règle avec $x$ en semaines décrirait une croissance quatre fois plus rapide.

b) La valeur de départ est $a=8$ et la baisse de $12\,\%$ laisse $88\,\%$, donc $c=0{,}88$. La règle est $y=8\,(0{,}88)^{x}$, où $x$ est le nombre de JOURS écoulés et $y$ la concentration en milligrammes par litre.

c) La valeur de départ est $a=320$ et « la moitié revient » donne $c=0{,}5$. La règle est $y=320\,(0{,}5)^{x}$, où $x$ compte les soirs écoulés depuis le premier. Attention au repère : le premier soir correspond à $x=0$, pas à $x=1$, puisque c'est le moment où l'on a encore les $320$ spectateurs de départ.

d) En a), $1200\times 1{,}15^{4}=1200\times 1{,}749\ldots\approx 2098{,}81$, donc environ $2099$ abonnés, un nombre d'abonnés étant un entier. En b), $8\times 0{,}88^{5}=8\times 0{,}5277\ldots\approx 4{,}22$ mg/L. En c), $320\times 0{,}5^{3}=320\times 0{,}125=40$ spectateurs. Dans les trois cas, on remplace $x$ et l'on calcule : c'est la seule opération du chapitre, et la difficulté était entièrement dans l'écriture de la règle.

a) La valeur de départ est $500$ mg, et elle se lit à l'ORDONNÉE À L'ORIGINE, c'est-à-dire au point où la courbe coupe l'axe vertical, en $x=0$. C'est toujours le paramètre $a$ de la règle $y=a\,c^{x}$, puisque $c^{0}=1$ quelle que soit la base.

b) La fonction est DÉCROISSANTE, et c'est la base qui le décide : $0{,}8$ est compris entre $0$ et $1$, donc chaque jour on ne garde que $80\,\%$ de la veille. Une base supérieure à $1$ donnerait une courbe montante. On n'a donc pas besoin du graphique pour répondre : la base suffit, et c'est ce que le correcteur attend comme justification.

c) Non, la courbe n'atteint JAMAIS l'axe horizontal. Elle s'en approche indéfiniment : c'est une ASYMPTOTE, d'équation $y=0$. Au bout de $30$ jours, la masse vaut $500\times 0{,}8^{30}\approx 0{,}62$ mg, un nombre très petit mais strictement positif. La raison est celle de l'arithmétique du chapitre précédent : un produit de facteurs tous positifs ne peut pas valoir zéro. Concrètement, cela veut dire qu'un modèle exponentiel décroissant ne décrit jamais une disparition complète, seulement une quantité qui devient négligeable.

d) On essaie les valeurs entières autour de la réponse. À $7$ jours : $500\times 0{,}8^{7}\approx 104{,}86$ mg, encore au-dessus de $100$. À $8$ jours : $500\times 0{,}8^{8}\approx 83{,}89$ mg, cette fois en dessous. C'est donc à partir du HUITIÈME jour que la masse passe sous $100$ mg. La justification attendue est exactement celle-là : deux valeurs qui encadrent le seuil, l'une au-dessus et l'autre en dessous. Donner la seule valeur $8$ sans montrer que $7$ ne convenait pas ne prouve rien et coûte la moitié des points.

a) La hausse de $25\,\%$ donne la base $c=1{,}25$, et la règle est $y=60\,(1{,}25)^{x}$, où $x$ compte les mois. Mois $0$ : $60$. Mois $1$ : $75$. Mois $2$ : $93{,}75$. Mois $3$ : $117{,}19$. Mois $4$ : $146{,}48$. Chaque valeur s'obtient de la précédente en multipliant par $1{,}25$, ce qui est plus rapide et plus sûr que de recalculer une puissance à chaque ligne.

b) Le double du départ vaut $120$. Au mois $3$, on a $117{,}19$, encore en dessous ; au mois $4$, on a $146{,}48$, au-dessus. C'est donc au QUATRIÈME mois que le nombre dépasse $120$. Le mois $3$ est vraiment proche du seuil, $117{,}19$ contre $120$ : c'est exactement le genre de valeur qu'un arrondi trop rapide fait basculer du mauvais côté. On garde les décimales jusqu'au bout.

c) Avec $200$ au départ, la règle devient $y=200\,(1{,}25)^{x}$ et le double vaut $400$. Mois $0$ : $200$. Mois $1$ : $250$. Mois $2$ : $312{,}5$. Mois $3$ : $390{,}63$. Mois $4$ : $488{,}28$. Le seuil de $400$ est franchi au QUATRIÈME mois, exactement comme dans la question b).

d) Non, le temps de doublement ne dépend PAS de la valeur de départ : il ne dépend que du taux. La raison se voit sur les nombres : doubler, c'est atteindre un rapport de $2$ avec le départ, et ce rapport vaut $1{,}25^{x}$ quelle que soit la valeur initiale, puisque celle-ci se simplifie. Dans les deux cas, on cherche donc le même $x$ tel que $1{,}25^{x}$ dépasse $2$, et c'est $x=4$, avec $1{,}25^{3}\approx 1{,}95$ et $1{,}25^{4}\approx 2{,}44$. C'est ce qui rend la notion utile : on peut annoncer « ce phénomène double tous les quatre mois » sans jamais préciser de quelle quantité on part.

a) La valeur de départ est $8$ et la baisse de $12\,\%$ laisse $88\,\%$, donc la base vaut $0{,}88$. La règle est $C(x)=8\,(0{,}88)^{x}$, où $x$ est le nombre de jours et $C$ la concentration en mg/L.

b) $C(3)=8\times 0{,}88^{3}=8\times 0{,}681472=5{,}451776$, soit $5{,}45$ mg/L au centième. Un contrôle de bon sens avant d'écrire : trois baisses de $12\,\%$ doivent laisser un peu plus des deux tiers de la valeur initiale, donc entre $5$ et $6$ mg/L. Le résultat est cohérent.

c) On essaie les jours entiers autour du seuil. $C(7)=8\times 0{,}88^{7}\approx 8\times 0{,}4087=3{,}27$ mg/L, encore au-dessus de $3$. $C(8)=8\times 0{,}88^{8}\approx 8\times 0{,}3596=2{,}88$ mg/L, cette fois en dessous. C'est donc à partir du HUITIÈME jour que la concentration passe sous le seuil, et les deux valeurs qui l'encadrent sont la justification attendue.

d) Oui, c'est suffisant, et de justesse. Au septième jour, juste avant le nouveau traitement, il reste $3{,}27$ mg/L, donc encore au-dessus des $3$ mg/L exigés. La marge est mince, $0{,}27$ mg/L : un seul jour de retard ferait passer la piscine sous le seuil, puisque le huitième jour donne $2{,}88$ mg/L. Une réponse complète le dit, parce que c'est exactement ce que le règlement cherche à éviter.

e) Après $5$ jours, il reste $0{,}88^{5}\approx 0{,}5277$ de la quantité initiale, soit environ $52{,}77\,\%$. Il a donc disparu $100-52{,}77=47{,}23\,\%$ du chlore, soit un peu moins de la moitié. Notez que ce n'est pas $5\times 12=60\,\%$ : les pourcentages ne s'additionnent pas, et chaque baisse porte sur ce qui reste, donc sur une quantité de plus en plus petite. L'erreur d'addition surestime toujours la perte.

a) La règle est $A(x)=1200\,(1{,}15)^{x}$, où $x$ compte les mois. $A(6)=1200\times 1{,}15^{6}=1200\times 2{,}313061\ldots\approx 2775{,}67$, soit environ $2776$ abonnés. Un nombre d'abonnés étant entier, on arrondit, et l'on précise que c'est une valeur approchée du modèle.

b) $A(10)=1200\times 1{,}15^{10}\approx 1200\times 4{,}0456=4854{,}68$, encore sous $5000$. $A(11)=1200\times 1{,}15^{11}\approx 1200\times 4{,}6524=5582{,}88$, cette fois au-dessus. Le contrat s'active donc au ONZIÈME mois. Comme toujours en CST, la justification est l'encadrement : une valeur sous le seuil, la suivante au-dessus.

c) Premier mois : on passe de $1200$ à $1200\times 1{,}15=1380$, donc un gain de $180$ abonnés. Sixième mois : on passe de $A(5)=1200\times 1{,}15^{5}\approx 2413{,}63$ à $A(6)\approx 2775{,}67$, donc un gain d'environ $362$ abonnés. On calcule toujours un gain comme une DIFFÉRENCE entre deux valeurs consécutives, jamais en appliquant le pourcentage à la valeur de départ initiale.

d) Le gain du sixième mois est environ DEUX FOIS celui du premier, alors que le pourcentage n'a pas changé. C'est le coeur du modèle exponentiel : $15\,\%$ d'une grande quantité représente plus d'abonnés que $15\,\%$ d'une petite. Le taux reste constant, le gain absolu grossit. C'est exactement ce qui distingue ce modèle du modèle linéaire de l'exercice 1, où le gain, lui, était le même tous les mois.

e) C'est faux. Les pourcentages mensuels ne s'additionnent pas : ils se multiplient. Sur douze mois, le facteur total vaut $1{,}15^{12}\approx 5{,}35$, donc la chaîne est multipliée par $5{,}35$ environ, ce qui correspond à une hausse de $435\,\%$ et non de $180\,\%$. En abonnés : $1200\times 5{,}35\approx 6420$, alors que le calcul de l'élève en prévoyait $1200\times 2{,}8=3360$. L'écart est de plus de trois mille abonnés, c'est-à-dire de tout le contrat publicitaire.

1) FAUX. La base est ce qui RESTE, soit $100\,\%-12\,\%=88\,\%$ : la règle correcte est $y=8\,(0{,}88)^{x}$. La base $0{,}12$ décrirait une eau qui ne garde que $12\,\%$ de son chlore chaque jour, donc une baisse de $88\,\%$. Après trois jours, la règle fausse donne $8\times 0{,}12^{3}\approx 0{,}014$ mg/L au lieu de $5{,}45$.

2) FAUX. Les pourcentages se multiplient, ils ne s'additionnent pas. Le facteur annuel vaut $1{,}15^{12}\approx 5{,}35$, soit une hausse d'environ $435\,\%$. Énoncé correct : pour cumuler un taux périodique, on élève sa base à la puissance du nombre de périodes, puis on retranche $1$.

3) FAUX. La courbe s'approche de l'axe sans jamais le toucher : $y=0$ est une ASYMPTOTE. $500\times 0{,}8^{30}\approx 0{,}62$ mg reste strictement positif, et il en irait de même au centième jour. Énoncé correct : une fonction exponentielle décroissante tend vers zéro sans jamais l'atteindre, parce qu'un produit de facteurs positifs n'est jamais nul.

4) FAUX. Des écarts croissants ne suffisent pas : la fonction $y=x^{2}$ a des écarts croissants et n'est pas exponentielle, ses écarts valant $1$, $3$, $5$, $7$ pour $x$ entier. Énoncé correct : le modèle est exponentiel quand le RAPPORT de deux valeurs successives est constant. C'est le test de l'exercice 1, et lui seul tranche.

5) FAUX. Le temps de doublement ne dépend que du TAUX. Avec une hausse de $25\,\%$ par mois, on double au quatrième mois qu'on parte de $60$ ou de $200$, puisque dans les deux cas on cherche quand $1{,}25^{x}$ dépasse $2$. Énoncé correct : le temps de doublement est une propriété du taux, et c'est pour cela qu'on peut l'annoncer sans préciser la quantité de départ.

a) La MOITIÉ. Puisque la surface double chaque jour, celle du jour $30$ vaut le double de celle du jour $29$ : la veille du recouvrement complet, l'étang n'est donc couvert qu'à moitié. Aucune aire n'est nécessaire pour le dire, et c'est ce qui rend le résultat frappant : le nénuphar met vingt-neuf jours à couvrir la première moitié, et un seul jour pour la seconde.

b) On redescend de trois jours depuis le jour $30$, donc on divise par $2$ trois fois : $\dfrac{1}{2}$, puis $\dfrac{1}{4}$, puis $\dfrac{1}{8}$. Au jour $27$, l'étang est donc couvert au HUITIÈME, soit $12{,}5\,\%$. Trois jours avant la fin, plus de $87\,\%$ de l'étang est encore libre.

c) L'aire du jour $x$ vaut $2^{x}$ mètres carrés, puisqu'on part de $1$ et qu'on double chaque jour. Au jour $30$, cela donne $2^{30}=1\,073\,741\,824$ mètres carrés, soit environ $1{,}07$ milliard, c'est-à-dire plus de mille kilomètres carrés. Le repère du chapitre d'arithmétique le confirme de tête : $2^{30}=2^{10}\times 2^{10}\times 2^{10}$, soit environ $1000\times 1000\times 1000$, un milliard.

d) Le quart, c'est deux divisions par deux depuis le recouvrement complet, donc deux jours avant : au jour $28$. On peut le vérifier : au jour $28$ l'aire vaut $2^{28}=268\,435\,456$ mètres carrés, et $\dfrac{268\,435\,456}{1\,073\,741\,824}=\dfrac{1}{4}$, ce qui correspond.

e) Avec deux nénuphars au départ, l'aire vaut $2\times 2^{x}=2^{x+1}$ : on a exactement UN JOUR D'AVANCE sur la situation précédente. L'étang est donc couvert au jour $29$. Doubler la quantité de départ ne divise pas le temps par deux, elle ne fait gagner qu'une seule période de doublement. C'est la même leçon que le tournoi à élimination du chapitre d'arithmétique : doubler l'effectif ne coûte qu'un tour de plus, et ici, qu'un jour de moins.

a) Entreprise L : elle ajoute toujours le même nombre, donc son modèle est LINÉAIRE, $L(x)=5000+900x$. Entreprise E : elle multiplie toujours par le même facteur, donc son modèle est EXPONENTIEL, $E(x)=2000\,(1{,}25)^{x}$. Dans les deux cas, $x$ est le nombre d'années écoulées.

b) Après $4$ ans : $L(4)=5000+3600=8600$ clients, et $E(4)=2000\times 1{,}25^{4}=2000\times 2{,}4414\ldots\approx 4883$ clients. L'entreprise L a presque le double. Après $8$ ans : $L(8)=5000+7200=12\,200$ clients, et $E(8)=2000\times 1{,}25^{8}\approx 11\,921$ clients. L'écart s'est refermé, il ne reste que $279$ clients de différence.

c) À la huitième année, $L$ mène encore, $12\,200$ contre $11\,921$. À la neuvième, $L(9)=5000+8100=13\,100$ et $E(9)=2000\times 1{,}25^{9}\approx 14\,901$ : l'entreprise E est passée devant. C'est donc à la NEUVIÈME année que E dépasse L, et les deux valeurs qui encadrent le croisement sont la justification. Le graphique le confirme, les deux courbes se coupant entre la huitième et la neuvième année.

d) Après $12$ ans : $L(12)=5000+10\,800=15\,800$ clients, et $E(12)=2000\times 1{,}25^{12}=2000\times 14{,}5519\ldots\approx 29\,104$ clients. L'entreprise E a donc presque le DOUBLE de clients, alors qu'elle en avait deux fois moins au départ et qu'elle était encore derrière trois ans plus tôt. Trois ans après le croisement, l'écart est de plus de treize mille clients.

e) Un modèle exponentiel finit TOUJOURS par dépasser un modèle linéaire, quels que soient les points de départ et les taux, à condition que sa base soit supérieure à $1$. La seule question est de savoir QUAND, et la réponse peut être très tardive : ici, il a fallu neuf ans, pendant lesquels l'entreprise L a semblé gagner. C'est pourquoi on ne juge jamais un modèle exponentiel sur ses premières valeurs : un taux constant produit un gain qui grossit à chaque étape, et ce gain finit par écraser n'importe quelle addition répétée.