Math CST, secondaire 4 à Montréal • Fonctions

Fiche de révision : les fonctions exponentielles (math CST, secondaire 4)

Q: Comment trouver la base d'une fonction exponentielle à partir d'un pourcentage ?

La base est ce qui reste après une étape. Pour une hausse de 8 pour cent, on garde tout et on ajoute 8 pour cent, donc la base vaut 1,08. Pour une baisse de 15 pour cent, il reste 85 pour cent, donc la base vaut 0,85. L'erreur la plus fréquente est d'écrire 0,15 pour une baisse de 15 pour cent : cette base décrirait une quantité qui ne garde que 15 pour cent de sa valeur, donc une baisse de 85 pour cent.

Q: Comment reconnaître un modèle exponentiel dans une table de valeurs ?

On compare deux valeurs successives de deux façons. Si leur différence est toujours la même, le modèle est linéaire. Si leur rapport est toujours le même, le modèle est exponentiel, et ce rapport est la base. Attention, des écarts qui augmentent ne suffisent pas à conclure : la fonction qui élève au carré a elle aussi des écarts croissants sans être exponentielle. Calculez au moins trois rapports avant de trancher.

Q: Une quantité qui diminue de façon exponentielle finit-elle par disparaître ?

Non, jamais. La courbe se rapproche de l'axe horizontal sans jamais le toucher : cette droite est une asymptote. Une masse de 500 milligrammes qui perd 20 pour cent par jour vaut encore 0,62 milligramme au bout de trente jours, et il en resterait au centième jour. C'est pourquoi les questions d'examen demandent toujours à partir de quand on passe sous un seuil, jamais quand la quantité devient nulle.

Q: Pourquoi 15 pour cent par mois ne font-ils pas 180 pour cent par an ?

Parce que chaque mois porte sur le total du mois précédent, déjà augmenté. Les pourcentages ne s'additionnent pas, ce sont les facteurs qui se multiplient. Le facteur annuel vaut 1,15 élevé à la puissance 12, soit environ 5,35 : la quantité est donc multipliée par plus de cinq, ce qui correspond à une hausse d'environ 435 pour cent. L'addition sous-estime toujours une hausse répétée.

Q: Comment calculer un temps de doublement en secondaire 4 CST ?

Par la table, pas par un logarithme, qui n'est pas au programme de la séquence. On calcule le double de la valeur de départ, puis on dresse la table jusqu'à dépasser ce seuil, et on nomme la période où cela se produit. Il faut donner les deux valeurs qui encadrent le seuil pour justifier. Bonne nouvelle : ce temps ne dépend que du taux, donc il est le même quelle que soit la quantité de départ.

Q: Un modèle linéaire peut-il rester devant un modèle exponentiel ?

Au début, oui, et parfois très longtemps. Mais si la base de l'exponentiel dépasse 1, il finit toujours par passer devant, quels que soient les points de départ. Une entreprise qui gagne 900 clients par an en partant de 5000 reste devant une entreprise qui grandit de 25 pour cent par an en partant de 2000 pendant huit ans, puis se fait dépasser la neuvième année et distancer du double en trois ans de plus.

En séquence CST, la fonction exponentielle sert à ANALYSER des situations : une population, une concentration, un nombre d'abonnés. On ne résout pas d'équation exponentielle, on ne passe pas par les logarithmes, on ne transforme pas de courbe. Tout se joue sur deux nombres, la valeur de départ et la base.

Gardez une phrase en tête pendant la révision : la base est ce qui RESTE après une étape. Une hausse de 8 pour cent donne 1,08 parce qu'on garde tout et qu'on ajoute ; une baisse de 15 pour cent donne 0,85 parce qu'on garde 85 pour cent. La moitié des pièges de cette fiche tombent d'eux-mêmes une fois cette phrase installée.

Le fil du chapitre

Un pourcentage répété n'est pas une addition, c'est une BASE : tout ce qui se perd sur ce chapitre vient d'un taux qu'on additionne au lieu de le multiplier, ou d'une base qu'on lit comme la part enlevée au lieu de la part qui reste.

Ce chapitre fait partie de Mathématique CST, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Apprécier la valeur d'une puissance Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (3 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3
3Apprécier la valeur d'une puissance

Notions couvertes

Fonction exponentielle
Valeur initiale
Base d'une exponentielle
Taux de variation en pourcentage
Croissance exponentielle
Décroissance exponentielle
Asymptote horizontale
Temps de doublement
Modèle linéaire et modèle exponentiel

L'essentiel

Deux nombres suffisent : la valeur de départ et la base

• La règle s'écrit $y=a\,c^{x}$ . Le nombre $a$ est la VALEUR DE DÉPART, celle de $x=0$ , et elle se lit à l'ordonnée à l'origine puisque $c^{0}=1$ pour toute base.
• Le nombre $c$ est la BASE, le facteur par lequel on multiplie à chaque étape. Si $c>1$ la courbe monte, si $0<c<1$ elle descend, et la base seule suffit à le justifier.
• Reconnaître le modèle dans une table : différence constante entre deux valeurs successives, c'est LINÉAIRE ; RAPPORT constant, c'est EXPONENTIEL.
• Les deux modèles peuvent partir du même point et se ressembler longtemps. Sur la figure, tous deux valent $200$ au départ, et il faut attendre le cinquième mois pour que l'exponentiel passe devant.

Même valeur de départ, deux modèles : le linéaire monte en ligne droite, l'exponentiel se creuse puis décolle et le dépasse vers le cinquième mois.

Toujours préciser ce que compte $x$ : la même règle avec $x$ en semaines plutôt qu'en mois décrit une croissance quatre fois plus rapide.

La base est ce qui RESTE, jamais ce qui bouge

• HAUSSE de $p$ pour cent : on garde $100\,\%$ et on ajoute $p$ , donc $c=1+\dfrac{p}{100}$ . Une hausse de $8\,\%$ donne $c=1{,}08$ , une hausse de $150\,\%$ donne $c=2{,}5$ .
• BAISSE de $p$ pour cent : il reste $100-p$ pour cent, donc $c=1-\dfrac{p}{100}$ . Une baisse de $15\,\%$ donne $c=0{,}85$ , une baisse de $60\,\%$ donne $c=0{,}4$ .
• Retour de la base au pourcentage : on soustrait $1$ puis on multiplie par cent. $c=1{,}035$ donne $+3{,}5\,\%$ et $c=0{,}72$ donne $-28\,\%$ .
• Une base de décroissance est toujours comprise entre $0$ et $1$ . Une base de $0{,}15$ ne décrit PAS une baisse de $15\,\%$ mais une baisse de $85\,\%$ .

Cumuler $n$ périodes, c'est élever la base à la puissance $n$ , jamais multiplier le pourcentage par $n$ : douze mois à $+15\,\%$ donnent $1{,}15^{12}\approx 5{,}35$ .

L'asymptote : la courbe s'approche, elle n'atteint pas

• Une exponentielle décroissante tend vers $0$ sans jamais y arriver : la droite $y=0$ est une ASYMPTOTE HORIZONTALE.
• La raison est arithmétique : $a\,c^{x}$ est un produit de nombres strictement positifs, et un tel produit n'est jamais nul.
• Concrètement, un modèle exponentiel ne décrit jamais une disparition complète. $500\times 0{,}8^{30}\approx 0{,}62$ mg au trentième jour, et il en resterait encore au centième.
• C'est pourquoi les questions demandent toujours « à partir de quand passe-t-on SOUS un seuil », et jamais « quand la quantité devient-elle nulle ».

Pour justifier un seuil, on donne DEUX valeurs : celle qui est encore au-dessus et celle qui est en dessous. Une seule valeur ne prouve rien et coûte la moitié des points.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Du pourcentage à la base, et retour

La colonne de droite est la seule qu'on écrit dans la règle. On la calcule toujours en se demandant ce qui RESTE après une étape, jamais ce qui bouge.

Ce que dit l'énoncé	Ce qui reste	Base $c$
augmente de $8\,\%$	$108\,\%$	$1{,}08$
Exemple : $500$ devient $500\times 1{,}08=540$ après une étape.
augmente de $150\,\%$	$250\,\%$	$2{,}5$
Exemple : $500$ devient $1250$ : augmenter de $150\,\%$ , c'est plus que doubler.
diminue de $15\,\%$	$85\,\%$	$0{,}85$
Exemple : $500$ devient $425$ , et après trois étapes $500\times 0{,}85^{3}=307{,}06$ .
perd le tiers	les deux tiers	$\dfrac{2}{3}\approx 0{,}667$
Exemple : $900$ devient $600$ , puis $400$ : on garde deux tiers à chaque étape.
diminue de $15\,\%$	$15\,\%$	$0{,}15$ lecture fausse
Exemple : $500\times 0{,}15=75$ : il ne resterait que $15\,\%$ , donc la baisse serait de $85\,\%$ et non de $15\,\%$ . Même forme, autre résultat : La bonne base donne $500\times 0{,}85=425$ , soit $350$ de plus. Après trois étapes, l'écart passe de $1{,}69$ à $307{,}06$ . Ce qu'il faut faire : Se demander ce qui RESTE, jamais ce qui part : $c=1-\dfrac{p}{100}$ , donc $1-0{,}15=0{,}85$ .

Une base de décroissance est toujours entre $0$ et $1$ , et une base proche de $0$ signale une chute presque totale à chaque étape. C'est le contrôle le plus rapide.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Traduire une baisse en pourcentage

toute la situation d'application, soit 4 à 6 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Une baisse de $12\,\%$ par jour à partir de $8$ mg/L donne $y=8\,(0{,}12)^{x}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Il reste $88\,\%$ chaque jour, donc $y=8\,(0{,}88)^{x}$ . »

Deux courbes partant de

500

: la base

0{,}85

descend doucement, la base

0{,}15

s'écrase dès le premier pas. Elles ne décrivent pas la même baisse.

Pourquoi : La base est ce qui reste, pas ce qui part. L'écart est spectaculaire : au bout de trois jours, la règle fausse donne $0{,}014$ mg/L au lieu de $5{,}45$ . Le signal d'alarme est toujours le même, une base minuscule pour une baisse modérée.

2. Cumuler un taux sur plusieurs périodes

la question entière, et l'erreur se propage à tout le problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $15\,\%$ par mois, donc $15\times 12=180\,\%$ par an. »

Ce qu'il faut écrire

« Le facteur annuel vaut $1{,}15^{12}\approx 5{,}35$ , soit une hausse d'environ $435\,\%$ par an. »

Pourquoi : Les pourcentages se MULTIPLIENT, ils ne s'additionnent pas, parce que chaque mois porte sur le total du mois précédent. L'addition sous-estime toujours une hausse et surestime toujours une baisse.

3. Reconnaître un modèle exponentiel dans une table

2 points, et le raisonnement est faux même quand la conclusion est juste

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les écarts augmentent, $40$ puis $48$ puis $57{,}6$ : c'est exponentiel. »

Ce qu'il faut écrire

« Le rapport est constant, $\dfrac{240}{200}=\dfrac{288}{240}=1{,}2$ : c'est exponentiel. »

Pourquoi : Des écarts croissants ne suffisent pas : $y=x^{2}$ a des écarts croissants ( $1$ , $3$ , $5$ , $7$ ) sans être exponentielle. Seul le rapport tranche, et il faut le calculer au moins deux fois pour affirmer qu'il est constant.

4. Lire la fin d'une décroissance

1 à 2 points, et une réponse fausse à « quand n'y en aura-t-il plus »

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La courbe descend, donc la quantité finit par atteindre zéro. »

Ce qu'il faut écrire

« La droite $y=0$ est une asymptote : au trentième jour il reste encore $500\times 0{,}8^{30}\approx 0{,}62$ mg. »

Pourquoi : Un produit de facteurs strictement positifs n'est jamais nul. La question posée en examen est donc toujours un passage SOUS un seuil, jamais une annulation.

5. Calculer le gain d'une période

2 points, et la comparaison demandée dans la question suivante devient impossible

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Au sixième mois, la chaîne gagne $15\,\%$ de $1200$ , soit $180$ abonnés. »

Ce qu'il faut écrire

« Elle gagne $A(6)-A(5)\approx 2775{,}67-2413{,}63=362$ abonnés. »

Pourquoi : Un gain est une DIFFÉRENCE entre deux valeurs consécutives. À taux constant, ce gain grossit à chaque étape, puisque le même pourcentage porte sur une quantité de plus en plus grande : c'est exactement ce qui définit l'exponentiel.

6. Croire que le temps de doublement dépend du départ

1 point, et une mauvaise compréhension de toute la notion

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Avec $200$ pourriels au départ au lieu de $60$ , le doublement prendra plus longtemps. »

Ce qu'il faut écrire

« Dans les deux cas on double au quatrième mois, puisqu'on cherche quand $1{,}25^{x}$ dépasse $2$ . »

Pourquoi : La valeur de départ se simplifie dans le rapport : doubler, c'est atteindre un facteur $2$ , et ce facteur ne dépend que de la base. C'est ce qui permet d'annoncer « cela double tous les quatre mois » sans préciser la quantité.

7. Justifier un seuil avec une seule valeur

la moitié des points de la question, systématiquement

Ce qu'il ne faut pas écrire

« À $8$ jours il reste $83{,}89$ mg, donc c'est au huitième jour. »

Ce qu'il faut écrire

« À $7$ jours il reste $104{,}86$ mg, encore au-dessus de $100$ ; à $8$ jours $83{,}89$ mg, en dessous : c'est donc au huitième jour. »

Pourquoi : Une seule valeur ne prouve pas que la précédente ne convenait pas. L'encadrement est la seule justification acceptée, et c'est la forme de réponse la plus rentable de tout le chapitre, parce qu'elle revient dans chaque problème.

8. Juger un modèle exponentiel sur ses premières valeurs

la question de conclusion, souvent notée sur 3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'entreprise L a $8600$ clients contre $4883$ après quatre ans : elle restera devant. »

Ce qu'il faut écrire

« L'écart se referme, et à la neuvième année E passe devant, $14\,901$ contre $13\,100$ . À douze ans elle a presque le double. »

Pourquoi : Un modèle exponentiel de base supérieure à $1$ dépasse toujours un modèle linéaire, quels que soient les départs. La seule question est de savoir quand, et la réponse peut être très tardive : la lenteur du début ne prouve rien.

Quelle méthode choisir

Quel modèle décrit cette table ?

On calcule les différences successives, puis les rapports successifs. L'un des deux est constant, et il nomme le modèle.

Si Les DIFFÉRENCES successives sont constantes → modèle LINÉAIRE, $y=b+ax$ , où $a$ est la différence commune

Exemple : $200$ , $260$ , $320$ , $380$ : différence $60$ , donc $y=200+60x$
Si Les RAPPORTS successifs sont constants → modèle EXPONENTIEL, $y=a\,c^{x}$ , où $c$ est le rapport commun

Exemple : $200$ , $240$ , $288$ , $345{,}6$ : rapport $1{,}2$ , donc $y=200\,(1{,}2)^{x}$
Si Ni l'un ni l'autre n'est constant → ce n'est aucun des deux modèles du chapitre

Exemple : $1$ , $4$ , $9$ , $16$ : écarts $3$ , $5$ , $7$ et rapports $4$ , $2{,}25$ , $1{,}78$

Deux rapports identiques ne suffisent pas toujours : on en calcule au moins trois avant de conclure, surtout quand la table est courte.

Comment traduire l'énoncé en base ?

On cherche la phrase qui dit ce qui arrive à chaque étape, puis on la convertit en facteur. La base est toujours ce qui RESTE après l'étape.

Si L'énoncé dit « augmente de $p$ pour cent » → $c=1+\dfrac{p}{100}$ , une base supérieure à $1$

Exemple : $+15\,\%$ donne $c=1{,}15$ , et $+150\,\%$ donne $c=2{,}5$
Si L'énoncé dit « diminue de $p$ pour cent » → $c=1-\dfrac{p}{100}$ , une base entre $0$ et $1$

Exemple : $-12\,\%$ donne $c=0{,}88$ , et $-60\,\%$ donne $c=0{,}4$
Si L'énoncé dit « double », « triple » ou « il reste la moitié » → la base est le facteur annoncé, sans calcul

Exemple : doubler donne $c=2$ , il reste la moitié donne $c=0{,}5$ , perdre le tiers donne $c=\dfrac{2}{3}$

Le piège est toujours le même dans la troisième branche : « perdre le tiers » donne $c=\dfrac{2}{3}$ et non $\dfrac{1}{3}$ , parce que la base compte ce qui reste.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Modéliser une situation par une fonction exponentielle

Quand l'utiliser : L'énoncé annonce une variation en POURCENTAGE par période, ou un doublement, ou une réduction de moitié répétée.

1 Nommer les variables avec leur unité : « soit $x$ le nombre de jours écoulés et $C(x)$ la concentration en mg/L ».
2 Identifier la valeur de départ $a$ , celle qui correspond à $x=0$ .
3 Traduire le pourcentage en base, en l'écrivant : « une baisse de $12\,\%$ laisse $88\,\%$ , donc $c=0{,}88$ ».
4 Écrire la règle complète avant tout calcul : « $C(x)=8\,(0{,}88)^{x}$ ».
5 Répondre à la question en remplaçant $x$ , puis arrondir selon le contexte, un nombre d'abonnés étant entier et une concentration décimale.

Phrase de conclusion

« Une baisse de $12\,\%$ par jour laisse $88\,\%$ de la veille, donc la situation se modélise par $C(x)=8\,(0{,}88)^{x}$ , où $x$ est le nombre de jours. »

Le piège : Écrire la règle sans dire ce que compte $x$ . La même expression avec $x$ en semaines décrirait une tout autre situation, et le correcteur ne peut pas deviner.

Barème : 1 point pour la valeur initiale, 1 point pour la base, 1 point pour la règle écrite, 1 point pour le calcul demandé

Justifier le moment où un seuil est franchi

Quand l'utiliser : L'énoncé demande « à partir de quand », « au bout de combien de temps » ou « quand la quantité dépasse-t-elle ».

1 Écrire la règle et le seuil à atteindre, en une ligne.
2 Calculer la valeur juste AVANT le franchissement, et constater qu'elle ne convient pas encore.
3 Calculer la valeur juste APRÈS, et constater qu'elle convient.
4 Conclure en nommant la période, avec son unité : « c'est au huitième jour ».
5 Garder assez de décimales dans les deux calculs : les valeurs qui encadrent un seuil sont souvent très proches de lui.

Phrase de conclusion

« À $7$ jours, $C(7)\approx 3{,}27$ mg/L, encore au-dessus de $3$ ; à $8$ jours, $C(8)\approx 2{,}88$ mg/L, en dessous. La concentration passe donc sous le seuil au huitième jour. »

Le piège : Arrondir trop tôt. Une valeur comme $117{,}19$ devient $117$ puis « environ $120$ », et le seuil bascule du mauvais côté.

Barème : 1 point par valeur d'encadrement, 1 point pour la conclusion nommée avec son unité

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La base, comparée à 1

Regardez votre base et demandez-vous si la quantité doit monter ou descendre. Une base supérieure à $1$ fait monter, une base entre $0$ et $1$ fait descendre.

Pour une baisse, une base de $0{,}12$ au lieu de $0{,}88$ ferait perdre $88\,\%$ par étape : la courbe s'écrase dès le premier pas.
La valeur de départ, en remplaçant x par zéro

Calculez $y$ pour $x=0$ : vous devez retrouver exactement la valeur annoncée par l'énoncé, puisque $c^{0}=1$ .

$8\times 0{,}88^{0}=8\times 1=8$ mg/L, ce qui correspond bien à l'eau juste traitée.
L'ordre de grandeur, sur une étape

Vérifiez la première étape à la main avant de faire confiance à la calculatrice : une baisse de $12\,\%$ sur $8$ doit donner un peu plus de $7$ .

$8\times 0{,}88=7{,}04$ mg/L. Obtenir $0{,}96$ signalerait qu'on a multiplié par $0{,}12$ au lieu de $0{,}88$ .
Le seuil, par les deux valeurs voisines

Avant d'écrire votre réponse, recalculez la période PRÉCÉDENTE. Elle doit être du mauvais côté du seuil, sinon votre réponse est décalée d'une unité.

Si vous annoncez le huitième jour, le septième doit encore être au-dessus : $3{,}27$ mg/L contre un seuil de $3$ , ce qui confirme.
Le contexte, avant de recopier

Arrondissez selon ce que compte la variable. Un nombre d'abonnés, de personnes ou d'objets est un entier ; une concentration ou une masse garde ses décimales.

$2775{,}67$ abonnés se rend par « environ $2776$ abonnés », et non par $2775{,}67$ abonnés.

L'exercice type décortiqué

Une situation complète : les pourriels du compte de messagerie

Un compte reçoit $60$ pourriels le premier mois, et ce nombre augmente de $25\,\%$ chaque mois.

Écrivez la règle, puis déterminez à partir de quel mois le nombre de pourriels dépasse le double du nombre de départ.

Étape 1

Soit $x$ le nombre de mois écoulés et $P(x)$ le nombre de pourriels reçus.

Pourquoi

Sans cette ligne, on ne sait pas si le premier mois correspond à $x=0$ ou à $x=1$ , et toute la réponse se décale d'une unité. Ici le premier mois est $x=0$ , puisque c'est le moment où l'on compte $60$ pourriels.

Étape 2

Hausse de $25\,\%$ , donc $c=1{,}25$ , et $P(x)=60\,(1{,}25)^{x}$ .

Pourquoi

On traduit le pourcentage en base AVANT d'écrire la règle, et on écrit les deux. La base est ce qui reste plus ce qu'on ajoute, donc $1+0{,}25$ , et non $0{,}25$ .

Étape 3

Le double du départ vaut $2\times 60=120$ pourriels.

Pourquoi

On nomme le seuil en clair. Une question de doublement ne donne jamais le seuil tel quel : il faut le calculer, et l'oublier fait chercher le mauvais nombre.

Étape 4

$P(3)=60\times 1{,}25^{3}=117{,}19$ et $P(4)=60\times 1{,}25^{4}=146{,}48$ .

Pourquoi

On encadre le seuil par deux valeurs consécutives, la première encore en dessous et la seconde au-dessus. Remarquez que $117{,}19$ est très proche de $120$ : un arrondi hâtif ferait répondre « trois » et coûterait la question.

Étape 5

Contrôle : avec $200$ pourriels au départ, le seuil serait $400$ , et $200\times 1{,}25^{3}=390{,}63$ puis $200\times 1{,}25^{4}=488{,}28$ .

Pourquoi

Le doublement arrive encore au quatrième mois, ce qui confirme qu'il ne dépend que du taux. Ce contrôle prend trente secondes et il valide le raisonnement autant que le calcul.

Conclusion rédigée

Avec $P(x)=60\,(1{,}25)^{x}$ , le nombre de pourriels dépasse $120$ au QUATRIÈME mois : $117{,}19$ au troisième, $146{,}48$ au quatrième.

L'erreur classique sur cet exercice : Chercher quand la hausse cumulée atteint $100\,\%$ en additionnant : $25+25+25+25$ donnerait « quatre mois » par hasard, mais le même raisonnement donnerait « deux mois » pour un taux de $50\,\%$ , alors qu'il en faut trois.

À savoir par cœur

• $y=a\,c^{x}$ : $a$ est la valeur de départ, lue à l'ordonnée à l'origine ; $c$ est le facteur par étape.
• Hausse de $p\,\%$ : $c=1+\dfrac{p}{100}$ . Baisse de $p\,\%$ : $c=1-\dfrac{p}{100}$ . La base est ce qui RESTE.
• De la base au pourcentage : $(c-1)\times 100$ . $c=1{,}035$ donne $+3{,}5\,\%$ , $c=0{,}72$ donne $-28\,\%$ .
• Différence constante : linéaire. Rapport constant : exponentiel. Des écarts croissants ne prouvent rien.
• Base supérieure à $1$ : la courbe monte. Base entre $0$ et $1$ : elle descend. On justifie par la base.
• L'asymptote $y=0$ n'est jamais atteinte : un produit de facteurs positifs n'est jamais nul.
• Cumuler $n$ périodes : $c^{n}$ , jamais $n\times p$ . Douze mois à $+15\,\%$ font $+435\,\%$ , pas $+180\,\%$ .
• Le temps de doublement ne dépend que du taux, jamais de la valeur de départ.
• Un gain de période est une DIFFÉRENCE entre deux valeurs consécutives, et il grossit à taux constant.

Questions fréquentes

Comment trouver la base d'une fonction exponentielle à partir d'un pourcentage ?

La base est ce qui reste après une étape. Pour une hausse de 8 pour cent, on garde tout et on ajoute 8 pour cent, donc la base vaut 1,08. Pour une baisse de 15 pour cent, il reste 85 pour cent, donc la base vaut 0,85. L'erreur la plus fréquente est d'écrire 0,15 pour une baisse de 15 pour cent : cette base décrirait une quantité qui ne garde que 15 pour cent de sa valeur, donc une baisse de 85 pour cent.

Comment reconnaître un modèle exponentiel dans une table de valeurs ?

On compare deux valeurs successives de deux façons. Si leur différence est toujours la même, le modèle est linéaire. Si leur rapport est toujours le même, le modèle est exponentiel, et ce rapport est la base. Attention, des écarts qui augmentent ne suffisent pas à conclure : la fonction qui élève au carré a elle aussi des écarts croissants sans être exponentielle. Calculez au moins trois rapports avant de trancher.

Une quantité qui diminue de façon exponentielle finit-elle par disparaître ?

Non, jamais. La courbe se rapproche de l'axe horizontal sans jamais le toucher : cette droite est une asymptote. Une masse de 500 milligrammes qui perd 20 pour cent par jour vaut encore 0,62 milligramme au bout de trente jours, et il en resterait au centième jour. C'est pourquoi les questions d'examen demandent toujours à partir de quand on passe sous un seuil, jamais quand la quantité devient nulle.

Pourquoi 15 pour cent par mois ne font-ils pas 180 pour cent par an ?

Parce que chaque mois porte sur le total du mois précédent, déjà augmenté. Les pourcentages ne s'additionnent pas, ce sont les facteurs qui se multiplient. Le facteur annuel vaut 1,15 élevé à la puissance 12, soit environ 5,35 : la quantité est donc multipliée par plus de cinq, ce qui correspond à une hausse d'environ 435 pour cent. L'addition sous-estime toujours une hausse répétée.

Comment calculer un temps de doublement en secondaire 4 CST ?

Par la table, pas par un logarithme, qui n'est pas au programme de la séquence. On calcule le double de la valeur de départ, puis on dresse la table jusqu'à dépasser ce seuil, et on nomme la période où cela se produit. Il faut donner les deux valeurs qui encadrent le seuil pour justifier. Bonne nouvelle : ce temps ne dépend que du taux, donc il est le même quelle que soit la quantité de départ.

Un modèle linéaire peut-il rester devant un modèle exponentiel ?

Au début, oui, et parfois très longtemps. Mais si la base de l'exponentiel dépasse 1, il finit toujours par passer devant, quels que soient les points de départ. Une entreprise qui gagne 900 clients par an en partant de 5000 reste devant une entreprise qui grandit de 25 pour cent par an en partant de 2000 pendant huit ans, puis se fait dépasser la neuvième année et distancer du double en trois ans de plus.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les fonctions exponentielles

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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Les mathématiques financièresSecondaire 5 CST

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