Exercices corrigés : les mathématiques financières (math CST, secondaire 5)

a) À intérêt simple, les intérêts se calculent chaque année sur le CAPITAL DE DÉPART seulement, jamais sur les intérêts déjà versés. On a donc $I = C\times i\times t = 2000\times 0{,}06\times 5 = 600$ dollars, et la valeur finale vaut $2000+600=2600$ dollars. On peut aussi écrire directement $VF = C(1+it) = 2000\times(1+0{,}30)=2600$ dollars. Chaque année rapporte exactement $120$ dollars, ce qui explique que le graphique montre une DROITE : un accroissement constant d'une année à l'autre est la signature d'une fonction affine.

b) À intérêt composé, les intérêts d'une année s'ajoutent au capital et rapportent à leur tour l'année suivante. On multiplie donc le capital par $1{,}06$ à chaque année, ce qui donne $VF = C(1+i)^n = 2000\times(1{,}06)^5$. On calcule $(1{,}06)^5 \approx 1{,}338226$, d'où $VF \approx 2676{,}45$ dollars. Le temps est ici dans l'EXPOSANT, pas dans un facteur : c'est toute la différence avec la formule précédente, et c'est ce qui donne une courbe au lieu d'une droite.

c) L'écart vaut $2676{,}45-2600=76{,}45$ dollars. Il ne vient pas du capital, identique dans les deux cas, mais uniquement des intérêts qui ont rapporté des intérêts. Détaillons la première année : les deux placements rapportent $120$ dollars. La deuxième année, l'intérêt simple rapporte encore $120$ dollars sur les $2000$ de départ, alors que l'intérêt composé rapporte $6\,\%$ de $2120$, soit $127{,}20$ dollars. Les $7{,}20$ dollars de différence sont les intérêts produits par les intérêts de la première année, et ce petit supplément grossit chaque année.

d) À $t=0$, aucun intérêt n'a encore été versé : les deux placements valent le capital de départ, $2000$ dollars, donc les deux graphiques passent par le même point. Ils s'écartent ensuite parce que leurs taux de croissance ne sont pas de même nature : la droite monte de $120$ dollars par année, toujours la même quantité, alors que la courbe est multipliée par $1{,}06$ chaque année, donc sa hausse annuelle grandit avec le capital accumulé. Sur $5$ ans l'écart reste modeste ; sur $30$ ans il deviendrait spectaculaire, et c'est pourquoi la question de la durée est toujours décisive en mathématiques financières.

a) Placer $4$ ans puis $8$ ans de plus, c'est multiplier par $(1{,}05)^4$ puis par $(1{,}05)^8$. La loi du produit de puissances de même base donne $(1{,}05)^4\times(1{,}05)^8=(1{,}05)^{4+8}=(1{,}05)^{12}$, dont la valeur est environ $1{,}7959$. On additionne les exposants et on ne les multiplie surtout pas : $12$ périodes de placement, pas $32$. Le capital est donc multiplié par environ $1{,}7959$, soit une hausse de près de $80\,\%$.

b) La loi du quotient donne $\dfrac{(1{,}03)^{20}}{(1{,}03)^{8}}=(1{,}03)^{20-8}=(1{,}03)^{12}\approx 1{,}4258$. Ce quotient représente le facteur de croissance entre la $8^\text{e}$ et la $20^\text{e}$ période, c'est-à-dire ce que le capital gagne pendant les $12$ périodes qui les séparent. C'est la lecture utile de la soustraction des exposants : elle isole un intervalle de temps à l'intérieur d'un placement plus long.

c) L'inconnue est dans l'exposant, donc on prend le logarithme des deux membres : $\log\left((1{,}05)^n\right)=\log 2$, ce qui donne $n\log(1{,}05)=\log 2$, puis $n = \dfrac{\log 2}{\log(1{,}05)} \approx \dfrac{0{,}301030}{0{,}021189}\approx 14{,}21$. Il faut donc environ $14{,}21$ périodes pour doubler le capital. La base du logarithme n'a aucune importance ici puisqu'elle apparaît au numérateur et au dénominateur : le résultat est le même avec $\log$ ou avec $\ln$.

d) Le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes, donc $\log\left(C(1+i)^n\right)=\log C + \log\left((1+i)^n\right)$ ; et le logarithme d'une puissance fait descendre l'exposant en facteur, d'où $\log\left((1+i)^n\right)=n\log(1+i)$. En rassemblant, on obtient l'égalité demandée. Elle sert exactement à une chose, et c'est la question la plus fréquente du chapitre : quand la durée $n$ est l'inconnue, cette égalité la fait descendre de l'exposant vers un simple facteur, où elle s'isole par une division.

a) Le taux périodique est le taux nominal divisé par le nombre de périodes dans l'année, et le nombre de périodes est ce même nombre multiplié par la durée en années. Capitalisation annuelle : $i=0{,}08$ et $n=3$. Semestrielle : $i=0{,}04$ et $n=6$. Trimestrielle : $i=0{,}02$ et $n=12$. Mensuelle : $i=\dfrac{0{,}08}{12}\approx 0{,}006667$ et $n=36$. L'erreur classique consiste à diviser le taux sans multiplier le nombre de périodes, ou l'inverse : les deux vont toujours ensemble.

b) On applique $VF=C(1+i)^n$ à chaque ligne. Annuelle : $10\,000\times(1{,}08)^3 \approx 12\,597{,}12$ dollars. Semestrielle : $10\,000\times(1{,}04)^6 \approx 12\,653{,}19$ dollars. Trimestrielle : $10\,000\times(1{,}02)^{12} \approx 12\,682{,}42$ dollars. Mensuelle : $10\,000\times(1{,}006667)^{36} \approx 12\,702{,}37$ dollars. Les quatre montants augmentent, ce qui est logique : plus on capitalise souvent, plus tôt les intérêts commencent à rapporter à leur tour.

c) Le taux effectif annuel se lit sur une seule année. En capitalisation mensuelle, une année vaut $12$ périodes, donc le capital est multiplié par $(1{,}006667)^{12}\approx 1{,}0830$. Le taux effectif annuel vaut donc environ $8{,}30\,\%$, contre un taux nominal annoncé de $8\,\%$. C'est le seul taux qui permette de comparer deux offres entre elles, et c'est aussi celui que la publicité ne met jamais en avant lorsqu'il s'agit d'un emprunt.

d) On gagne $12\,702{,}37-12\,597{,}12=105{,}25$ dollars sur trois ans, ce qui est réel mais modeste au regard du passage de $3$ à $36$ périodes. Le gain n'est donc pas du tout proportionnel : passer de $1$ à $2$ capitalisations par année rapporte déjà $56{,}07$ dollars, alors que passer de $2$ à $12$ n'en rapporte que $49{,}18$ de plus. Les gains successifs diminuent et le résultat plafonne, aussi souvent qu'on capitalise. C'est pourquoi la fréquence de capitalisation change moins de choses que le taux lui-même ou que la durée du placement.

a) On cherche le capital $C$ tel que $C\times(1{,}05)^6 = 8000$, donc $C = \dfrac{8000}{(1{,}05)^6} = 8000\times(1{,}05)^{-6}$. Comme $(1{,}05)^6 \approx 1{,}340096$, on obtient $C \approx 5969{,}72$ dollars. La vérification est immédiate et il faut la faire : $5969{,}72\times(1{,}05)^6 \approx 8000$ dollars. Cette somme s'appelle la valeur actuelle des $8000$ dollars, et elle est toujours PLUS PETITE que le montant futur, puisque le placement travaille entre les deux dates.

b) On ramène les $5000$ dollars futurs à aujourd'hui : leur valeur actuelle vaut $\dfrac{5000}{(1{,}05)^3} = \dfrac{5000}{1{,}157625} \approx 4319{,}19$ dollars. On compare alors deux montants pris à la même date, aujourd'hui : $4319{,}19$ dollars contre $4200$ dollars. Il vaut donc mieux attendre trois ans et recevoir les $5000$ dollars ; l'avantage est d'environ $119{,}19$ dollars en valeur d'aujourd'hui.

c) On peut aussi tout amener dans trois ans. Les $4200$ dollars reçus aujourd'hui et placés à $5\,\%$ vaudraient $4200\times(1{,}05)^3 = 4200\times 1{,}157625 \approx 4862{,}03$ dollars, à comparer aux $5000$ dollars de l'autre option. La conclusion est la même, recevoir $5000$ dollars dans trois ans reste préférable, et l'écart vaut cette fois $137{,}97$ dollars, exprimés en dollars de l'année $3$. Les deux méthodes donnent forcément la même DÉCISION, jamais le même écart chiffré : un écart n'a de sens que si l'on précise à quelle date il est mesuré.

d) Parce qu'un dollar disponible aujourd'hui peut être placé et vaudra davantage demain : la valeur d'un montant dépend de sa date au même titre que de son nombre. Comparer $4200$ dollars d'aujourd'hui à $5000$ dollars dans trois ans sans rien faire reviendrait à comparer deux longueurs mesurées avec des unités différentes. La règle du chapitre est donc de choisir une date de référence, d'y ramener TOUS les montants par capitalisation ou par actualisation, puis seulement à ce moment de les comparer.

a) Doubler, c'est atteindre $6000$ dollars, donc l'équation est $3000\times(1{,}045)^n = 6000$, qui se simplifie en $(1{,}045)^n = 2$. Le capital de départ disparaît, ce qui est un résultat important : le temps de doublement ne dépend PAS de la somme placée, seulement du taux. On prend le logarithme des deux membres, $n\log(1{,}045)=\log 2$, d'où $n = \dfrac{\log 2}{\log(1{,}045)} \approx 15{,}75$ années.

b) Après $15$ ans, le placement vaut $3000\times(1{,}045)^{15} \approx 5805{,}85$ dollars, donc il n'a pas encore doublé. Après $16$ ans, il vaut $3000\times(1{,}045)^{16} \approx 6067{,}11$ dollars, donc il a dépassé le double. Le résultat $15{,}75$ est bien encadré par ces deux valeurs. En pratique, comme les intérêts ne sont versés qu'à la fin de chaque année, il faut attendre la $16^\text{e}$ année complète : une réponse purement algébrique doit toujours être relue avec le contexte.

c) On résout $3000\times(1{,}045)^n = 5000$, soit $(1{,}045)^n = \dfrac{5}{3} \approx 1{,}6667$. Le logarithme donne $n = \dfrac{\log(5/3)}{\log(1{,}045)} \approx 11{,}61$ années. Ici le capital de départ ne disparaît pas, puisque l'objectif n'est plus exprimé comme un multiple choisi mais comme un montant fixe : il faut donc bien commencer par isoler la puissance en divisant par $3000$.

d) La règle du $72$ donne $\dfrac{72}{4{,}5}=16$ années, contre $15{,}75$ pour le calcul exact : l'écart est de trois mois sur seize ans, ce qui en fait une excellente estimation de tête. Elle reste une approximation, valable pour des taux de quelques pour cent seulement, et elle se dégrade nettement au-delà de $15\,\%$. On s'en sert pour vérifier l'ordre de grandeur d'un résultat obtenu par logarithme, jamais pour remplacer le calcul dans une réponse d'examen.

a) À la seule lecture des taux annoncés, l'offre B paraît meilleure : $5{,}95\,\%$ est plus grand que $5{,}8\,\%$. C'est exactement la comparaison que la publicité invite à faire, et elle est incomplète parce que les deux taux ne décrivent pas la même chose : l'un s'applique douze fois par année, l'autre une seule fois.

b) Offre A : le taux périodique vaut $\dfrac{0{,}058}{12}\approx 0{,}0048333$, appliqué $12$ fois par année, donc le facteur annuel vaut $(1{,}0048333)^{12}\approx 1{,}059567$ et le taux effectif annuel environ $5{,}957\,\%$. Offre B : la capitalisation est annuelle, donc le taux effectif est le taux nominal lui-même, $5{,}95\,\%$. L'écart est mince, sept millièmes de pour cent, mais il change le classement : c'est l'offre A qui rapporte le plus.

c) Offre A : $20\,000\times(1{,}0048333)^{48} \approx 25\,208{,}30$ dollars. Offre B : $20\,000\times(1{,}0595)^{4} \approx 25\,201{,}93$ dollars. L'offre A rapporte donc $6{,}37$ dollars de plus sur quatre ans. Le classement annoncé par les taux effectifs est confirmé, et l'écart est bien celui d'un écart de taux de sept millièmes de pour cent : très faible, mais du bon côté.

d) Il faut comparer les TAUX EFFECTIFS ANNUELS, jamais les taux nominaux. Un taux nominal n'a aucun sens tant qu'on ne dit pas à quelle fréquence il est appliqué : $6\,\%$ capitalisé mensuellement et $6\,\%$ capitalisé annuellement ne rapportent pas la même chose. Le taux effectif, lui, ramène toutes les offres à une convention commune, une seule application par année, ce qui les rend enfin comparables. Sur un emprunt, le raisonnement est identique et l'enjeu est inversé : c'est le taux effectif le plus BAS qu'il faut chercher.

a) Perdre $18\,\%$, c'est conserver $82\,\%$, donc la valeur est multipliée par $0{,}82$ chaque année et la fonction est $V(n) = 32\,000\times(0{,}82)^n$. Après $5$ ans, $V(5)=32\,000\times(0{,}82)^5$. Comme $(0{,}82)^5 \approx 0{,}370740$, on obtient environ $11\,863{,}67$ dollars. Le réflexe à prendre est de raisonner sur ce qui RESTE, $1-0{,}18=0{,}82$, plutôt que sur ce qui part : c'est le facteur $0{,}82$ qui s'élève à la puissance, jamais le $0{,}18$.

b) Non. La voiture vaut environ $11\,863{,}67$ dollars sur les $32\,000$ de départ, soit environ $37{,}07\,\%$ de sa valeur initiale : elle a donc perdu environ $62{,}93\,\%$, et non $90\,\%$. L'acheteur a multiplié $18$ par $5$, ce qui reviendrait à retirer chaque année $18\,\%$ de la valeur NEUVE. Or le pourcentage s'applique à la valeur de l'année en cours, qui diminue : la première année coûte $5760$ dollars, la cinquième seulement $2605$ dollars environ. Des pourcentages successifs ne s'additionnent jamais, ils se multiplient.

c) On résout $32\,000\times(0{,}82)^n < 10\,000$, soit $(0{,}82)^n < 0{,}3125$. En passant au logarithme, $n\log(0{,}82) < \log(0{,}3125)$ ; mais $\log(0{,}82)$ est NÉGATIF, donc la division renverse le sens de l'inégalité et donne $n > \dfrac{\log(0{,}3125)}{\log(0{,}82)} \approx 5{,}86$. La voiture passe donc sous les $10\,000$ dollars au cours de la sixième année. L'inversion du sens de l'inégalité est le piège de la question : avec un taux de baisse, elle est systématique.

d) Parce qu'à chaque année on retire une part de ce qui reste, jamais une somme fixe. La valeur est multipliée par $0{,}82$, un nombre strictement positif : le produit d'un nombre positif par $0{,}82$ reste positif, aussi souvent qu'on répète l'opération. La valeur se rapproche donc de zéro sans jamais l'atteindre, ce qui se voit sur la courbe, qui s'aplatit en restant au-dessus de l'axe. Dans la réalité c'est le marché qui tranche, la voiture finissant par valoir sa valeur de revente en pièces, mais le MODÈLE, lui, ne prévoit jamais une valeur nulle.

1) FAUX, c'est le calcul de l'intérêt SIMPLE. En intérêt composé, la valeur finale vaut $1000\times(1{,}10)^2 = 1210$ dollars, donc les intérêts s'élèvent à $210$ dollars. Les $10$ dollars supplémentaires sont les intérêts produits la seconde année par les $100$ dollars d'intérêts de la première. Énoncé correct : à intérêt composé, les intérêts valent $C\left((1+i)^n-1\right)$, ici $1000\times(1{,}21-1)=210$ dollars.

2) FAUX, et l'erreur est coûteuse : elle multiplie le taux réel par douze. Un taux NOMINAL est un taux annuel qu'il faut partager entre les périodes. Énoncé correct : $6\,\%$ capitalisé mensuellement signifie $\dfrac{6\,\%}{12}=0{,}5\,\%$ par mois, ce qui donne un taux effectif annuel de $(1{,}005)^{12}-1\approx 6{,}17\,\%$. Retenez la formule du taux périodique, taux nominal divisé par le nombre de périodes par année, et rappelez-vous que le taux effectif est toujours un peu plus grand que le nominal.

3) FAUX. Un montant n'a de valeur qu'à une date donnée, parce que de l'argent disponible aujourd'hui peut être placé. À $5\,\%$ composé annuellement, $1000$ dollars reçus dans cinq ans ne valent aujourd'hui que $\dfrac{1000}{(1{,}05)^5}\approx 783{,}53$ dollars. Énoncé correct : deux montants ne se comparent qu'après avoir été ramenés à la MÊME date, par capitalisation ou par actualisation.

4) FAUX. En écrivant l'équation du doublement, $C(1+i)^n = 2C$, on divise les deux membres par $C$ et il reste $(1+i)^n = 2$, où le capital a disparu. Énoncé correct : le temps de doublement ne dépend que du taux périodique, pas de la somme placée. $1000$ dollars et $100\,000$ dollars placés au même taux doublent exactement en même temps, seule la somme gagnée diffère.

5) FAUX : ce quotient donne le FACTEUR de croissance, pas la durée. Diviser $6000$ par $3000$ donne $2$, ce qui signifie que le capital a doublé, et non qu'il a fallu deux ans. Énoncé correct : on isole d'abord la puissance en divisant, puis on descend l'exposant par un logarithme, $n=\dfrac{\log\left(VF/C\right)}{\log(1+i)}$. Au taux de $4{,}5\,\%$, un doublement demande environ $15{,}75$ années, pas $2$.

a) On applique la capitalisation sur $18$ périodes annuelles : $VF = 6000\times(1{,}042)^{18}$. Comme $(1{,}042)^{18} \approx 2{,}097098$, la famille récupère environ $12\,582{,}59$ dollars. Le capital a donc plus que doublé, ce qui est cohérent avec la règle du $72$ : $\dfrac{72}{4{,}2}\approx 17{,}1$ années suffisent pour un doublement, et le placement en dure $18$.

b) À intérêt simple, $VF = 6000\times(1+0{,}042\times 18) = 6000\times 1{,}756 = 10\,536$ dollars. L'écart avec le placement composé vaut $12\,582{,}59-10\,536 = 2046{,}59$ dollars, soit plus du tiers du capital de départ, obtenu sans placer un dollar de plus. C'est l'argument central du chapitre : sur une longue durée, la composition des intérêts pèse plus lourd que le montant initial.

c) On actualise l'objectif : $C = \dfrac{20\,000}{(1{,}042)^{18}} = \dfrac{20\,000}{2{,}097098} \approx 9536{,}98$ dollars. On vérifie en capitalisant : $9536{,}98\times(1{,}042)^{18} \approx 20\,000$ dollars. Notez que viser $20\,000$ au lieu de $12\,582{,}59$, soit environ $1{,}59$ fois plus, exige exactement $1{,}59$ fois plus de capital au départ : à durée et à taux fixés, la valeur finale est PROPORTIONNELLE au capital investi.

d) Les premières années, les intérêts accumulés sont petits, donc les intérêts qu'ils produisent à leur tour sont négligeables : les deux modèles rapportent presque la même chose, environ $252$ dollars par année, et les deux graphiques se confondent. Ensuite le capital composé grossit, et comme les intérêts se calculent sur ce capital grossi, leur montant annuel augmente, alors que celui de l'intérêt simple reste bloqué à $252$ dollars. L'écart annuel se creuse donc chaque année, et l'écart cumulé encore plus vite. C'est pourquoi une même somme placée cinq ans plus tôt change beaucoup plus le résultat qu'un taux légèrement supérieur.

a) Le taux périodique mensuel vaut $\dfrac{0{,}199}{12}\approx 0{,}0165833$, et un an compte $12$ périodes. Le solde devient $2400\times(1{,}0165833)^{12}$. Comme $(1{,}0165833)^{12}\approx 1{,}218192$, le solde atteint environ $2923{,}66$ dollars, donc les intérêts s'élèvent à $523{,}66$ dollars. C'est près du quart de la somme empruntée, pour une seule année sans versement.

b) Le facteur annuel calculé en a) vaut environ $1{,}218192$, donc le taux effectif annuel est d'environ $21{,}82\,\%$, et non $19{,}9\,\%$. L'écart de près de deux points vient entièrement de la capitalisation mensuelle : chaque mois, les intérêts du mois précédent sont ajoutés au solde et produisent à leur tour des intérêts. Le taux annoncé est un taux nominal ; le taux réellement supporté est le taux effectif, et il est toujours plus élevé dès que la capitalisation est plus fréquente qu'annuelle.

c) À la caisse, la capitalisation est annuelle, donc le solde après un an vaut $2400\times 1{,}11 = 2664$ dollars et les intérêts s'élèvent à $264$ dollars. L'économie manquée est de $523{,}66-264 = 259{,}66$ dollars : les intérêts de la carte sont pratiquement le double de ceux de l'emprunt, pour la même somme et la même durée.

d) Non, le raisonnement est faux deux fois. D'abord il compare un taux nominal, $19{,}9\,\%$, à un taux effectif, $11\,\%$ : la comparaison honnête oppose $21{,}82\,\%$ à $11\,\%$, soit un écart de $10{,}82$ points et non de $8{,}9$. Ensuite, appliquer cet écart au solde de départ donne $2400\times 0{,}1082 \approx 259{,}68$ dollars, ce qui retombe bien sur l'écart réel de $259{,}66$ dollars, aux arrondis près. Le raisonnement de l'ami sous-estimait donc le coût de la carte d'environ $46$ dollars, uniquement pour avoir oublié la capitalisation mensuelle.