Math CST, secondaire 5 à Montréal • Mathématiques financières

Fiche de révision : Les mathématiques financières

Cette fiche ne refait pas le cours sur les mathématiques financières : elle traite ce qui coûte réellement des points en évaluation de mathématique CST de cinquième secondaire. Le chapitre tient en deux formules, et pourtant la moitié des copies se perd avant de les écrire, sur la question qui vient toujours en premier : quel est le taux d'une période, et combien y a-t-il de périodes ?

Lisez-la avant de faire la série d'exercices du même chapitre, puis relisez le mémo la veille de l'évaluation.

Le fil du chapitre

Le temps est dans l'EXPOSANT : on multiplie par un facteur, on n'ajoute jamais un montant. Rien ne se calcule tant que le taux PÉRIODIQUE et le nombre de PÉRIODES ne sont pas écrits, et deux montants ne se comparent qu'à la même date.

Ce chapitre fait partie de Mathématique CST, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les fonctions exponentiellesSecondaire 4 CST Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3
3Apprécier la valeur d'une puissanceSecondaire 4 CST
4Les fonctions exponentiellesSecondaire 4 CST

L'essentiel

Les deux modèles, et comment on les reconnaît

• INTÉRÊT SIMPLE : les intérêts se calculent toujours sur le capital de DÉPART. $I=Cit$ et $VF=C(1+it)$ . Le montant gagné est le même chaque année, donc le graphique est une DROITE.
• INTÉRÊT COMPOSÉ : les intérêts s'ajoutent au capital et rapportent à leur tour. $VF=C(1+i)^n$ . Le capital est multiplié par le même facteur chaque période, donc le graphique est une COURBE.
• Dans la formule simple, le temps est un FACTEUR ; dans la formule composée, il est un EXPOSANT. C'est la seule différence d'écriture, et c'est elle qui change tout sur une longue durée.
• Les mots qui déclenchent le modèle composé : « composé », « capitalisé », « les intérêts sont ajoutés au capital », « le taux nominal est de ... capitalisé mensuellement », et toute baisse « de $x\,\%$ par année ».

Même capital de

5000

dollars, même taux de

6\,\%

: la droite monte de

300

dollars par an, la courbe accélère et atteint

21\,459

dollars contre

12\,500

au bout de

25

ans.

Écrire la formule choisie AVANT de remplacer les nombres rapporte souvent un demi-point, et évite surtout de mélanger les deux modèles en cours de calcul.

Taux périodique et nombre de périodes : les deux vont toujours ensemble

• Le TAUX PÉRIODIQUE est le taux nominal annuel DIVISÉ par le nombre de périodes dans l'année ; le NOMBRE DE PÉRIODES est ce même nombre MULTIPLIÉ par la durée en années.
• Sur $3$ ans à $8\,\%$ nominal : annuelle donne $i=0{,}08$ et $n=3$ ; semestrielle $i=0{,}04$ et $n=6$ ; trimestrielle $i=0{,}02$ et $n=12$ ; mensuelle $i=\dfrac{0{,}08}{12}$ et $n=36$ .
• Un taux nominal ne veut rien dire seul : il faut toujours l'accompagner de sa fréquence de capitalisation.
• Plus la capitalisation est fréquente, plus le placement rapporte, mais les gains successifs DIMINUENT : le résultat plafonne, et l'écart entre annuelle et mensuelle reste modeste devant l'effet de la durée.

Capitaliser, actualiser, comparer

• CAPITALISER, c'est avancer dans le temps : $VF=C(1+i)^n$ , on MULTIPLIE.
• ACTUALISER, c'est revenir à aujourd'hui : $C=VF(1+i)^{-n}$ , on DIVISE. La valeur actuelle est toujours plus petite que le montant futur.
• TAUX EFFECTIF ANNUEL : $(1+i)^m-1$ , où $m$ est le nombre de périodes dans une année. C'est le seul taux qui permette de comparer deux offres, et il est toujours supérieur au taux nominal dès que la capitalisation est plus fréquente qu'annuelle.
• Quand la DURÉE est l'inconnue : on isole la puissance, puis $n=\dfrac{\log\left(VF/C\right)}{\log(1+i)}$ . La base du logarithme n'a aucune importance.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Prendre le taux nominal pour le taux d'une période

toute la question, 4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le taux est de $6\,\%$ capitalisé mensuellement, donc $VF=C(1{,}06)^{12}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $6\,\%$ capitalisé mensuellement signifie $\dfrac{0{,}06}{12}=0{,}5\,\%$ par mois, donc $VF=C(1{,}005)^{12}$ , soit un taux effectif annuel d'environ $6{,}17\,\%$ . »

Pourquoi : L'erreur multiplie le taux réel par douze et produit un résultat absurde, ici un capital doublé en un an. Un taux nominal est TOUJOURS annuel, quelle que soit la fréquence annoncée derrière.

2. Diviser le taux sans multiplier le nombre de périodes

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Trimestriel, donc $i=0{,}02$ , et le placement dure $3$ ans, donc $n=3$ : $VF=10\,000(1{,}02)^3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Trimestriel sur $3$ ans : $i=0{,}02$ ET $n=4\times 3=12$ , donc $VF=10\,000(1{,}02)^{12}\approx 12\,682{,}42$ dollars. »

Pourquoi : Le taux et le nombre de périodes changent toujours ensemble : diviser l'un sans multiplier l'autre revient à placer l'argent trois trimestres au lieu de trois ans.

3. Calculer des intérêts composés comme des intérêts simples

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $1000$ dollars à $10\,\%$ composé pendant $2$ ans rapportent $1000\times 0{,}10\times 2=200$ dollars. »

Ce qu'il faut écrire

« $VF=1000(1{,}10)^2=1210$ dollars, donc les intérêts valent $210$ dollars : les $100$ dollars de la première année ont rapporté $10$ dollars la seconde. »

Pourquoi : La formule $Cit$ n'existe que pour l'intérêt simple. En composé, les intérêts se lisent comme $C\left((1+i)^n-1\right)$ , jamais comme un produit du temps par le taux.

4. Départager deux offres sur leurs taux annoncés

2 points de justification, et la question suivante

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'offre A est à $4{,}8\,\%$ et l'offre B à $4{,}95\,\%$ : B est la meilleure, c'est écrit. »

Ce qu'il faut écrire

« L'offre A est capitalisée trimestriellement, son taux effectif annuel vaut $(1{,}012)^4-1\approx 4{,}887\,\%$ ; l'offre B est annuelle, donc $4{,}95\,\%$ . B reste la meilleure, mais parce que $4{,}95>4{,}887$ , pas parce que $4{,}95>4{,}8$ . »

Pourquoi : Deux taux nominaux ne sont comparables que s'ils ont la même fréquence de capitalisation. Ici la conclusion tombe juste par hasard, et un autre jeu de chiffres l'inverserait : seul le taux effectif tranche.

5. Comparer deux montants situés à des dates différentes

3 points sur 4 : la conclusion peut être juste et la justification nulle

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $4200$ dollars aujourd'hui, c'est moins que $5000$ dollars dans trois ans : je prends les $5000$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Au taux de $5\,\%$ , les $5000$ dollars futurs valent aujourd'hui $\dfrac{5000}{(1{,}05)^3}\approx 4319{,}19$ dollars. Comme $4319{,}19>4200$ , je prends bien les $5000$ dollars, et l'avantage vaut $119{,}19$ dollars en dollars d'aujourd'hui. »

Les deux montants sont à des dates différentes, donc incomparables tels quels. Ramenés à l'année

0

, les

5000

dollars valent

4319{,}19

dollars, ce qui dépasse les

4200

dollars immédiats.

Pourquoi : Un montant n'a de valeur qu'à une date, puisqu'un dollar disponible aujourd'hui peut être placé. Une comparaison directe est refusée même quand elle tombe sur la bonne réponse.

6. Multiplier un taux de dépréciation par le nombre d'années

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La voiture perd $18\,\%$ par année pendant $5$ ans, donc elle perd $90\,\%$ et il reste $3200$ dollars. »

Ce qu'il faut écrire

« Perdre $18\,\%$ , c'est garder $82\,\%$ : $V(5)=32\,000\times(0{,}82)^5\approx 11\,863{,}67$ dollars, soit environ $37\,\%$ de la valeur neuve. La perte est de $63\,\%$ , pas de $90\,\%$ . »

La courbe est la valeur réelle, qui se rapproche de zéro sans jamais l'atteindre ; la droite est le modèle faux, celui qui retire chaque année

18\,\%

de la valeur NEUVE et annule la voiture avant six ans.

Pourquoi : Le pourcentage s'applique chaque année à la valeur de l'année en cours, qui diminue : la première année coûte $5760$ dollars et la cinquième environ $2605$ dollars. Des pourcentages successifs se multiplient, ils ne s'additionnent jamais.

7. Chercher une durée sans passer par le logarithme

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le capital passe de $3000$ à $6000$ dollars, donc $\dfrac{6000}{3000}=2$ : il faut $2$ ans. »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{6000}{3000}=2$ est le FACTEUR de croissance, pas la durée. On résout $(1{,}045)^n=2$ , donc $n=\dfrac{\log 2}{\log(1{,}045)}\approx 15{,}75$ années. »

Pourquoi : L'inconnue est dans l'exposant : seul le logarithme la fait descendre. Le quotient des montants sert à isoler la puissance, il n'est jamais la réponse.

8. Arrondir le facteur en cours de calcul

1 point de précision, et bien plus sur un gros capital

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(1{,}0165833)^{12}\approx 1{,}22$ , donc le solde vaut $2400\times 1{,}22 = 2928$ dollars. »

Ce qu'il faut écrire

« $(1{,}0165833)^{12}\approx 1{,}218192$ , donc le solde vaut $2400\times 1{,}218192\approx 2923{,}66$ dollars. »

Pourquoi : Un facteur arrondi au centième est multiplié par le capital : l'erreur est amplifiée d'autant. On garde au moins six décimales au facteur et on n'arrondit qu'à la toute fin, au cent près.

Quelle méthode choisir

Quelle formule, selon ce que l'énoncé demande

L'inconnue de la question, une fois le taux périodique et le nombre de périodes écrits

Si on connaît le capital et on cherche ce qu'il vaudra plus tard → CAPITALISER : $VF=C(1+i)^n$

Exemple : $10\,000$ dollars à $2\,\%$ par trimestre pendant $12$ trimestres

on multiplie, la valeur trouvée est plus grande que le capital
Si on connaît le montant futur visé et on cherche ce qu'il faut placer aujourd'hui → ACTUALISER : $C=VF(1+i)^{-n}$

Exemple : disposer de $15\,000$ dollars dans $8$ ans

on divise, la valeur trouvée est plus petite que l'objectif
Si on connaît les deux montants et on cherche la durée → LOGARITHME : $n=\dfrac{\log\left(VF/C\right)}{\log(1+i)}$

Exemple : combien d'années pour doubler à $4{,}5\,\%$

isoler d'abord la puissance en divisant par le capital
Si on doit départager deux offres de fréquences différentes → TAUX EFFECTIF ANNUEL : $(1+i)^m-1$ pour chacune

Exemple : $4{,}8\,\%$ trimestriel contre $4{,}95\,\%$ annuel

sur un emprunt, c'est le taux effectif le plus BAS qu'on cherche
Si l'énoncé dit explicitement « intérêt simple » → $VF=C(1+it)$ , sans aucun exposant

Exemple : $2000$ dollars à $6\,\%$ simple pendant $5$ ans

le temps est ici un facteur, la croissance est une droite

Si l'énoncé donne un versement à chaque période et non un capital unique, on sort du programme de la CST : la question porte alors sur une suite de placements et elle sera toujours décomposée en étapes dans l'énoncé.

Simple ou composé ? Lire les mots de l'énoncé

La façon dont l'énoncé décrit le versement des intérêts

Si « intérêt simple », « les intérêts sont calculés sur le capital initial » → modèle SIMPLE, $VF=C(1+it)$

Exemple : un prêt entre particuliers sur deux ans

le gain annuel est constant
Si « composé », « capitalisé », « les intérêts s'ajoutent au capital » → modèle COMPOSÉ, $VF=C(1+i)^n$

Exemple : un dépôt à terme capitalisé semestriellement

chercher tout de suite la fréquence, elle est toujours écrite
Si « taux nominal de $x\,\%$ capitalisé mensuellement » → COMPOSÉ, avec $i=\dfrac{x}{12}$ et $n=12\times$ le nombre d'années

Exemple : une carte de crédit à $19{,}9\,\%$

le taux effectif dépasse alors nettement le taux annoncé
Si « la valeur diminue de $x\,\%$ par année » → COMPOSÉ à taux négatif : $V(n)=V_0(1-x)^n$

Exemple : une voiture qui perd $18\,\%$ par an

c'est $1-x$ qu'on élève à la puissance, jamais $x$

Aucune de ces branches ne se reconnaît sur les nombres : elles se reconnaissent sur les mots. Souligner ces mots dans l'énoncé avant de calculer est le geste qui évite l'erreur la plus chère du chapitre.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Départager deux offres de placement

Quand l'utiliser : L'énoncé propose deux taux avec des fréquences de capitalisation différentes

1 Écrire, pour chaque offre, le taux périodique et le nombre de périodes dans une année.
2 Calculer le taux effectif annuel de chaque offre par $(1+i)^m-1$ , en gardant au moins quatre décimales.
3 Comparer les deux taux effectifs et annoncer le classement, en une phrase.
4 Calculer la valeur finale du placement dans les deux cas, au cent près, pour confirmer le classement par un montant.
5 Conclure en nommant l'offre retenue ET l'écart en dollars sur la durée demandée.

Phrase de conclusion

« Le taux effectif annuel de l'offre A vaut $(1{,}012)^4-1\approx 4{,}887\,\%$ et celui de l'offre B vaut $4{,}95\,\%$ . L'offre B est donc la plus avantageuse, et elle rapporte $49$ dollars de plus sur les huit ans du placement. »

Le piège : Comparer les taux nominaux et s'arrêter là. Le taux effectif est l'étape notée : sans lui, la conclusion n'est pas justifiée même si elle est juste.

Barème : 1 point par taux effectif, 1 point pour la comparaison rédigée, 1 point pour la vérification chiffrée.

Trouver une durée par les logarithmes

Quand l'utiliser : L'énoncé demande au bout de combien de temps un capital atteint un montant donné

1 Écrire l'équation complète, capital compris : $C(1+i)^n=VF$ .
2 Isoler la puissance en divisant les deux membres par le capital.
3 Prendre le logarithme des deux membres et faire descendre l'exposant.
4 Isoler $n$ par une division, et donner la valeur au centième.
5 Revenir au contexte : si les intérêts sont versés en fin de période, arrondir à la période SUPÉRIEURE.
6 Vérifier en calculant la valeur du placement à la période inférieure puis à la période supérieure.

Phrase de conclusion

« On résout $3000(1{,}045)^n=6000$ , soit $(1{,}045)^n=2$ , d'où $n=\dfrac{\log 2}{\log(1{,}045)}\approx 15{,}75$ années. Comme les intérêts sont versés en fin d'année, le capital n'aura doublé qu'au bout de $16$ années complètes. »

Le piège : Rendre $15{,}75$ sans revenir au contexte. La question porte sur un nombre d'années entières dès que les intérêts sont annuels, et cette phrase vaut un point à elle seule.

Barème : 1 point pour l'équation, 1 point pour le logarithme, 1 point pour la valeur, 1 point pour le retour au contexte.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La règle du $72$ donne l'ordre de grandeur

Un capital double en environ $\dfrac{72}{r}$ années, où $r$ est le taux annuel en pourcentage. Comparez votre durée calculée à cette estimation.

À $4{,}5\,\%$ , la règle annonce $16$ ans et le logarithme donne $15{,}75$ : cohérent. Un résultat de $7$ ans ou de $40$ ans signale une erreur de taux périodique.
Une actualisation se vérifie en capitalisant

Reprenez la somme trouvée, multipliez-la par $(1+i)^n$ et vérifiez que vous retombez sur l'objectif de l'énoncé.

$10\,191{,}35\times(1{,}0495)^8\approx 15\,000$ dollars : l'actualisation est bonne. Si vous retombez sur un montant plus grand que l'objectif, vous avez multiplié au lieu de diviser.
Le taux effectif dépasse toujours le taux nominal

Dès que la capitalisation est plus fréquente qu'annuelle, le taux effectif est strictement supérieur au taux annoncé. S'il est plus petit, le calcul est faux.

$8\,\%$ capitalisé mensuellement donne $8{,}30\,\%$ effectif. Un résultat de $7{,}7\,\%$ signale une multiplication et une division inversées.
Le sens de variation est cohérent

Un placement donne une valeur future plus GRANDE que le capital ; une valeur actuelle est plus PETITE que le montant futur ; une dépréciation donne une valeur plus petite chaque année et jamais négative.

Une valeur actuelle supérieure à l'objectif, ou une voiture qui vaut moins que zéro au bout de six ans : le modèle a été appliqué à l'envers.
Les montants sont en dollars, arrondis au cent

Relisez la dernière ligne : un montant se donne avec deux décimales et son unité, un taux avec son symbole de pourcentage, une durée avec son unité de temps.

Écrire « $12\,682$ » sans unité, ou « $4{,}887$ » pour un taux sans le pourcentage, coûte le demi-point de rédaction à chaque question.

L'exercice type décortiqué

Choisir une offre, puis calculer ce qu'il faut placer aujourd'hui

Une famille veut disposer de $15\,000$ dollars dans $8$ ans pour les études de son enfant. Deux institutions lui font une offre.

Offre A : taux nominal de $4{,}8\,\%$ par année, capitalisé trimestriellement. Offre B : taux de $4{,}95\,\%$ par année, capitalisé annuellement.

Quelle offre choisir, et quelle somme faut-il y placer aujourd'hui ?

L'objectif est posé à l'année

8

; la question porte sur l'année

0

, donc on remonte le temps en divisant par le facteur de capitalisation.

Étape 1

Offre A : $i=\dfrac{0{,}048}{4}=0{,}012$ par trimestre, et $m=4$ périodes par année. Offre B : $i=0{,}0495$ par année, et $m=1$ .

Pourquoi

Rien ne peut être calculé avant cette ligne. L'écrire séparément pour chaque offre évite de traîner un taux annuel dans une formule qui attend un taux périodique.

Étape 2

Taux effectif de A : $(1{,}012)^4-1\approx 0{,}048871$ , soit $4{,}887\,\%$ .

Pourquoi

On ramène A à une convention annuelle, sinon les deux offres ne sont pas comparables. Le résultat dépasse bien le nominal de $4{,}8\,\%$ , ce qui est le contrôle de cohérence.

Étape 3

Taux effectif de B : la capitalisation est annuelle, donc le taux effectif est le taux nominal lui-même, $4{,}95\,\%$ .

Pourquoi

Une capitalisation annuelle ne change rien : c'est le seul cas où nominal et effectif coïncident, et il faut le dire plutôt que de faire un calcul inutile.

Étape 4

$4{,}95\,\% > 4{,}887\,\%$ : l'offre B est la plus avantageuse.

Pourquoi

La comparaison porte sur les taux effectifs et sur eux seuls. Ici la conclusion coïncide avec celle des taux annoncés, mais l'écart réel n'est que de $0{,}063$ point et non de $0{,}15$ .

Étape 5

Somme à placer avec l'offre B : $C=\dfrac{15\,000}{(1{,}0495)^8}$ . Comme $(1{,}0495)^8\approx 1{,}471835$ , on obtient $C\approx 10\,191{,}35$ dollars.

Pourquoi

On actualise, donc on divise : l'objectif est dans le futur et la question porte sur aujourd'hui. Le résultat doit être plus petit que $15\,000$ , ce qui est le premier contrôle.

Étape 6

Avec l'offre A, il aurait fallu $\dfrac{15\,000}{(1{,}012)^{32}}\approx 10\,240{,}35$ dollars, soit $49$ dollars de plus.

Pourquoi

Chiffrer l'écart en dollars transforme une comparaison de taux en argument concret, et c'est ce que l'énoncé attend d'une question de choix. Noter le $n=4\times 8=32$ trimestres.

Étape 7

Vérification : $10\,191{,}35\times(1{,}0495)^8\approx 15\,000$ dollars.

Pourquoi

Une actualisation se contrôle en la capitalisant à nouveau. Si le produit ne redonne pas l'objectif, c'est que la division a été faite avec le mauvais exposant.

Conclusion rédigée

L'offre B est la plus avantageuse, avec un taux effectif annuel de $4{,}95\,\%$ contre $4{,}887\,\%$ pour l'offre A. Il faut y placer $10\,191{,}35$ dollars aujourd'hui pour disposer de $15\,000$ dollars dans huit ans, soit $49$ dollars de moins qu'avec l'offre A.

L'erreur classique sur cet exercice : Choisir A parce que « capitalisé trimestriellement, donc ça rapporte plus souvent ». La fréquence joue, mais elle ne compense pas toujours un taux nominal plus faible : ici elle n'apporte que $0{,}087$ point, alors que l'écart de taux nominal est de $0{,}15$ point.

À savoir par cœur

• Intérêt SIMPLE : $VF=C(1+it)$ , le temps est un facteur, le graphique est une droite. Intérêt COMPOSÉ : $VF=C(1+i)^n$ , le temps est un exposant, le graphique est une courbe.
• Taux périodique $=$ taux nominal $\div$ nombre de périodes par année. Nombre de périodes $=$ ce même nombre $\times$ la durée en années. Les DEUX changent ensemble.
• ACTUALISER, c'est diviser par $(1+i)^n$ . La valeur actuelle est toujours plus petite que le montant futur.
• TAUX EFFECTIF ANNUEL $=(1+i)^m-1$ . C'est le seul taux comparable d'une offre à l'autre, et il dépasse toujours le nominal dès que la capitalisation est plus fréquente qu'annuelle.
• Durée inconnue : $n=\dfrac{\log\left(VF/C\right)}{\log(1+i)}$ . Le temps de doublement ne dépend PAS du capital placé.
• Baisser de $x\,\%$ par année, c'est multiplier par $(1-x)$ chaque année. Les pourcentages successifs se multiplient, ils ne s'additionnent jamais.
• Règle du $72$ : un capital double en environ $\dfrac{72}{r}$ années, $r$ étant le taux en pourcentage. À utiliser pour vérifier, jamais pour répondre.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre intérêt simple et intérêt composé ?

En intérêt simple, les intérêts se calculent toujours sur le capital de départ, donc le gain est le même chaque année et la croissance est une droite. En intérêt composé, les intérêts s'ajoutent au capital et rapportent à leur tour : le capital est multiplié par le même facteur à chaque période, et la croissance est une courbe qui accélère.

Que veut dire un taux de 6 pour cent capitalisé mensuellement ?

Cela veut dire un taux annuel de 6 pour cent partagé entre les douze mois, donc 0,5 pour cent par mois, appliqué douze fois par année. Ce n'est surtout pas 6 pour cent par mois. Le taux réellement obtenu sur une année, appelé taux effectif annuel, vaut alors environ 6,17 pour cent.

Comment calculer le taux effectif annuel ?

Élevez le facteur d'une période à la puissance du nombre de périodes contenues dans une année, puis retirez un. Avec un taux nominal de 8 pour cent capitalisé trimestriellement, le taux périodique vaut 2 pour cent, et le taux effectif annuel vaut 1,02 puissance 4 moins 1, soit environ 8,24 pour cent.

Comment savoir combien de temps un placement met à doubler ?

Écrivez que la valeur future vaut le double du capital, simplifiez par le capital, puis prenez le logarithme des deux membres pour faire descendre l'exposant. La durée vaut le logarithme de 2 divisé par le logarithme de un plus le taux périodique. Le capital placé n'intervient pas : seul le taux décide.

Pourquoi une voiture qui perd 18 pour cent par an ne perd pas 90 pour cent en cinq ans ?

Parce que le pourcentage s'applique chaque année à la valeur de l'année en cours, qui diminue, et non à la valeur neuve. On garde 82 pour cent cinq fois de suite, ce qui laisse environ 37 pour cent de la valeur initiale : la perte réelle est d'environ 63 pour cent. Des pourcentages successifs se multiplient, ils ne s'additionnent pas.

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Exercices corrigés : Les mathématiques financières

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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