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Cégep • Montréal

Calcul intégral 201-SN3-RE (ancien 201-NYB)

Le cours de calcul intégral 201-SN3-RE (ancien 201-NYB) demande deux choses très différentes : une virtuosité technique sur les méthodes d'intégration, puis une rigueur nouvelle sur les séries et leur convergence. Beaucoup d'élèves passent la première partie et butent sur la seconde.

19 séries d'exercices entièrement corrigés (302 exercices), 19 fiches de révision, un examen blanc. Gratuit, sans compte. Le même cours en anglais.

Primitives et techniques d'intégration

  1. 1 Primitives et intégrale indéfinie Le tout premier chapitre du calcul intégral : ce qu'est vraiment une primitive, pourquoi la constante d'intégration n'est pas un détail, la table des formules de base avec le trou en n = -1, la linéarité et les deux fausses règles que tout le monde invente, puis le changement de variable du réflexe direct jusqu'aux substitutions avec retour en arrière. S'y ajoutent les primitives avec valeur absolue et sur un domaine en deux morceaux (où la constante peut différer d'un côté à l'autre), les trois formes à reconnaître d'un coup d'oeil (f'/f, f'f^n, f'e^f), les primitives qui n'existent pas en termes élémentaires avec les deux voies de secours, et la méthode des coefficients indéterminés qui remplace deux intégrations par parties par un système linéaire. Une partie C ajoute cinq classiques : les bases autres que e, la fonction retrouvée par sa tangente, cinq primitives de copie, la flèche d'une poutre et les ventes d'un jeu. En ouverture, deux exercices de calculs, des primitives à calculer directement, douze avec la table et dix par changement de variable. Fiche
  2. 2 La décomposition des fractions rationnelles La division euclidienne des polynômes posée en potence, avec le cas du diviseur non unitaire qui fait apparaître des fractions dans le quotient ; la lecture d'un dénominateur pour décider si une fraction est déjà décomposée, discriminant à l'appui ; les deux pôles simples traités par identification terme à terme, avec le graphe et ses deux asymptotes verticales ; l'astuce du cache, qui donne chaque coefficient en une ligne au lieu d'un système ; le facteur répété et la démonstration qu'une seule case ne peut pas suffire ; le trinôme irréductible et son numérateur de degré 1, justifié par un compte d'inconnues ; la forme de la décomposition donnée sans calculer les coefficients, sur cinq dénominateurs dont deux cachent un trinôme factorisable ; cinq affirmations à corriger, de l'identité de Sophie Germain à la portée réelle de l'astuce du cache ; les primitives et une aire, où le logarithme, l'arc tangente et la division préalable se répartissent le travail ; et une épidémie de 1200 élèves modélisée par l'équation logistique, qui ne s'intègre que par décomposition. Puis une partie C d'entraînement pur, au format des feuilles distribuées en classe : vingt-cinq décompositions à faire, classées par forme de dénominateur, du premier degré à la puissance quatrième, avec les deux pôles simples, le facteur non unitaire, le facteur répété, le trinôme irréductible seul puis au carré, la simplification qui fait disparaître un pôle, la différence de carrés, le changement d'inconnue, la différence de cubes, l'identité de Sophie Germain, et six formes à donner sans calculer un seul coefficient. Fiche
  3. 3 Techniques d'intégration Le changement de variable du réflexe u-du jusqu'aux bornes transformées, l'intégration par parties simple, répétée et cyclique, les fractions partielles avec division préalable et facteur répété, les puissances de sinus et cosinus avec leurs règles de parité, les substitutions trigonométriques reliées à leurs triangles, et l'exercice stratégie : choisir la bonne technique en trente secondes. S'y ajoutent les puissances de tangente et de sécante avec leurs deux règles propres et le cas cyclique de sec cube, les produits de sinus et cosinus d'angles différents transformés en sommes, dont l'orthogonalité qui fonde les séries de Fourier, les techniques combinées (substituer pour nettoyer, intégrer par parties pour conclure), et la complétion du carré qui décide entre logarithme, arc tangente et arc sinus selon le discriminant. Une partie C ajoute cinq classiques : les arches de x sin x, deux chemins pour une même intégrale, une intégrale à trois pôles, l'oscillateur amorti et la crue d'une rivière. En ouverture, deux exercices de calculs : vingt intégrales à calculer directement, dix par parties et dix puissances ou produits trigonométriques. Fiche
  4. 4 Astuces d'intégration : Weierstrass, roi, Wallis La suite directe des techniques d'intégration, pour les intégrales qui résistent aux quatre méthodes du cours : l'astuce du roi qui replie les bornes, la substitution de Weierstrass qui rationalise sinus et cosinus, les fonctions hyperboliques qui remplacent la substitution trigonométrique, les formules de réduction et les intégrales de Wallis, le système de deux intégrales, la substitution qui échange x et son inverse, et les cinq pièges qui font perdre des points à des élèves qui savent pourtant intégrer. Une partie C ajoute cinq classiques : les règles de Bioche, la réciproque intégrée sans formule, trois intégrales célèbres, l'aiguille de Buffon et la distance moyenne sur un cercle. Fiche

Formes indéterminées et intégrales impropres

  1. 5 L'Hôpital et formes indéterminées Les sept formes indéterminées et ce que « indéterminé » veut vraiment dire, la règle de L'Hôpital avec ses hypothèses et ses deux pièges classiques, les formes produit et différence ramenées à un quotient, les trois formes exponentielles traitées par logarithme, et les limites où L'Hôpital tourne en rond ou échoue franchement. S'y ajoutent la démonstration de la règle par le théorème des accroissements finis généralisé, avec le raisonnement circulaire caché derrière la limite du sinus, les formes indéterminées au travail (asymptote oblique et son piège de signe, prolongement par continuité, paramètre à ajuster pour qu'une limite soit finie), la discussion d'une limite selon un paramètre réel, dont un quotient qui croît jusqu'à dix puissance vingt-et-un avant de tendre vers zéro, et le choix de la méthode en trente secondes entre algèbre, logarithme et L'Hôpital. En ouverture, un exercice de calculs : douze limites à calculer directement par la règle de L'Hôpital, du quotient trigonométrique aux formes exponentielles. Fiche
  2. 6 Intégrale définie et impropre Les sommes de Riemann calculées à la main jusqu'à la limite exacte, le théorème fondamental dans ses deux sens, les techniques (substitution, parties) et les propriétés qui évitent de calculer, l'aire entre deux courbes et le volume de révolution, puis les intégrales impropres : le critère en p aux deux frontières, la trompette de Gabriel au volume fini et à l'aire infinie, et la comparaison niveau examen. S'y ajoutent les propriétés qui encadrent sans calculer (relation de Chasles, orientation des bornes, inégalité de la valeur absolue et théorème de la moyenne avec son contre-exemple discontinu), la lecture de l'aire accumulée qui déduit variations, maximum et points d'inflexion de la primitive à partir du seul graphe de la fonction, une loi de probabilité parfaitement valide mais dépourvue de moyenne finie (densités en puissances de x, moments et fonction Gamma), et les intégrales doublement impropres où la symétrie ment tant que la convergence de chaque moitié n'est pas établie. Une partie C ajoute cinq classiques : le théorème fondamental au travail, la transformée de Laplace, la comparaison par limite, la rente perpétuelle et la décharge d'un condensateur. En ouverture, un exercice de calculs : dix intégrales impropres à évaluer directement ou à déclarer divergentes, de la borne infinie à la singularité intérieure. Fiche

Applications de l'intégrale

  1. 7 Aire entre deux courbes La différence entre une aire et une intégrale signée, sur une cubique dont l'intégrale est nulle et l'aire vaut huit. Les bornes qu'aucun énoncé ne donne et qu'il faut trouver en résolvant l'intersection, le point test qui décide qui est au-dessus, le découpage obligatoire quand les rôles s'échangent, les tranches horizontales qui ramènent trois intégrales à une seule, sinus contre cosinus sur un tour complet, une région bornée par trois droites vérifiée par le déterminant, le paramètre qui partage une aire en deux parts égales, le surplus du consommateur et du producteur, et l'écart de distance entre deux coureurs lu comme une aire. Une partie C ajoute cinq classiques : sinus contre sinus 2x, la lentille entre un cercle et une parabole, une aire égale à ln 2, la courbe de Lorenz et le bassin de rétention. En ouverture, un exercice de calculs : huit aires entre deux courbes à calculer directement, de la parabole contre une droite à la cubique qui la croise trois fois. Fiche
  2. 8 L'intégration numérique Ce qu'on fait quand la primitive n'existe pas : les sommes de rectangles gauche, droite et milieu, la méthode des trapèzes et celle de Simpson avec sa contrainte de parité, les bornes d'erreur et l'ordre de convergence (diviser par 4 contre diviser par 16), le calcul du nombre de sous-intervalles pour une précision imposée, et les deux situations réelles où aucune autre méthode n'existe. S'y ajoutent la règle du milieu et les relations exactes entre les trois méthodes (l'erreur du milieu vaut la moitié de celle des trapèzes et de signe opposé, et Simpson à 2n s'obtient gratuitement par (2M+T)/3), la longueur d'arc comme usage le plus courant de la méthode, le plancher de précision de la machine au-delà duquel raffiner ne sert plus à rien, et les singularités où la borne d'erreur devient vide et où seul un changement de variable sauve le calcul. Une partie C ajoute cinq classiques : l'encadrement par les rectangles, l'arche de sinus où les trapèzes battent Simpson, une fonction concave, la section d'une rivière et le pendule aux grandes amplitudes. Fiche
  3. 9 Applications de l'intégrale Les volumes de révolution par disques et rondelles jusqu'à la démonstration de la formule de la sphère, les coquilles cylindriques vérifiées contre les disques sur la même région, la longueur d'arc et l'aire de surface (avec la sphère encore), la valeur moyenne et la valeur efficace du courant alternatif, le travail du ressort au réservoir à vider jusqu'à la vitesse de libération, et les taux d'accumulation : distance contre déplacement, coût marginal, probabilité. S'y ajoutent les volumes par sections connues (carrés, triangles équilatéraux, coin de cylindre) et le principe de Cavalieri qui donne la sphère sans intégrale, le centre de masse d'une plaque et le théorème de Pappus qui retrouve en une ligne les volumes calculés par coquilles (et le tore au passage), la force hydrostatique sur une vanne avec le paradoxe du barrage et le centre de poussée aux deux tiers de la profondeur, et quatre mises en équation venues d'ailleurs : surplus du consommateur, débit cardiaque par dilution, tige de densité variable et temps de vidange d'un réservoir par la loi de Torricelli. Une partie C ajoute cinq classiques : la sphère percée, les rondelles autour d'un axe décalé, les aires de surface, la masse d'une planète et le travail d'un gaz. Fiche

Courbes paramétrées et coordonnées polaires

  1. 10 Les courbes paramétrées Le chapitre que beaucoup de plans de cours placent juste après les applications de l'intégrale, et qui manque le plus souvent aux révisions : passer du paramétrage à l'équation cartésienne sans perdre le domaine ni l'orientation, calculer une pente par le quotient des dérivées, reconnaître un point de rebroussement, trouver un point double, puis calculer l'aire, la longueur d'arc et l'aire d'une surface de révolution directement en fonction du paramètre. Cycloïde et astroïde traitées en entier. Une partie C ajoute cinq classiques : une hyperbole paramétrée, la développante du cercle, la courbe de Bézier, deux drones qui se croisent et le tir d'un projectile. En ouverture, un exercice de calculs : dix pentes et dérivées secondes à calculer directement sur des courbes paramétrées, du polynôme à l'ellipse décentrée. Fiche
  2. 11 Les coordonnées polaires Le repérage polaire et ses pièges : l'arctangente qui se trompe de quadrant, le cercle parcouru deux fois si l'on intègre sur un tour complet, la rosace qui a k pétales ou 2k selon la parité, les bornes d'une boucle intérieure qui sont les zéros de r, et le pôle qui est une intersection que l'algèbre ne voit jamais. Aire en un demi r au carré, longueur d'arc, cardioïde, limaçon et lemniscate traités en entier. Une partie C ajoute cinq classiques : traduire en polaire, la spirale d'Archimède, le limaçon et sa tangente horizontale, l'orbite d'une comète et un gicleur à portée variable. Fiche

Suites et séries

  1. 12 Les suites numériques La porte d'entrée des séries : terme général explicite ou récurrent, définition propre de la convergence, les techniques de calcul de limites de suites, la suite géométrique et ses quatre régimes, le théorème de la convergence monotone, les suites récurrentes avec le piège du point fixe, et la distinction entre suite et série qui décide de tout le reste de la session. S'y ajoutent les trois outils de monotonie (différence, rapport, fonction associée) avec le rang où le rapport vaut exactement 1, les sommes de Riemann lues à l'envers pour calculer la limite d'une somme dont le nombre de termes augmente, jusqu'à la racine n-ième de factorielle n qui tend vers un sur e, les suites adjacentes qui encadrent e et fondent la dichotomie, et les points fixes attractifs ou répulsifs, où le critère sur la dérivée explique enfin pourquoi une récurrence converge, oscille ou s'installe sur un cycle. Une partie C ajoute cinq classiques : une dose de médicament chaque jour, Fibonacci et le nombre d'or, cinq limites à exposant variable, le remboursement d'un prêt et le flocon de Koch. En ouverture, un exercice de calculs : dix limites de suites à calculer directement, du terme dominant à l'encadrement. Fiche
  2. 13 Séries numériques La série géométrique démontrée et appliquée jusqu'à la balle qui rebondit, le test du terme général et sa réciproque fausse, la série harmonique qui diverge en douceur, le test de l'intégrale relié aux intégrales impropres, le critère de d'Alembert avec ses succès et son cas muet, les séries alternées avec l'erreur contrôlée par le premier terme négligé, et une synthèse de classification niveau examen. S'y ajoutent la comparaison par limite, qui conclut là où l'inégalité tombe du mauvais côté, jusqu'aux séries en sinus et cosinus de un sur n; l'algèbre des sommes infinies, avec la série de Grandi dont deux groupements donnent 0 et 1 et la règle exacte sur la somme de deux séries; le critère de la racine, qui survit aux oscillations qui tuent le rapport; et la frontière fine au-delà de Riemann, où la série en un sur n log n diverge encore alors que celle en un sur n log carré converge déjà. La partie des classiques reprend la série géométrique et ses indices de départ, le test du terme général en cinq verdicts, le choix entre comparaison et critère de d'Alembert, l'effet multiplicateur d'une dépense publique et les carrés emboîtés. Fiche
  3. 14 Séries à termes en sin, cos, exp et ln Une série entièrement au niveau de l'examen, centrée sur le cas que les étudiants ratent le plus : le terme général contient un sinus, un cosinus, une exponentielle ou un logarithme. Critère de d'Alembert et ses deux limites remarquables en k sur e, séries alternées et semi-convergence, équivalents usuels, discussion selon un paramètre, et estimation du reste. La partie des classiques ajoute les équivalents usuels en une ligne, les séries alternées à fonctions usuelles, les croissances comparées placées sur l'échelle, la pile de livres qui surplombe le vide aussi loin qu'on veut et la série harmonique alternée réarrangée jusqu'à changer de somme. Fiche
  4. 15 Critères avancés : Cauchy, condensation, Raabe, Abel La troisième série sur les séries numériques, celle qui ferme les trous : critère de Cauchy comme condition nécessaire et suffisante, condensation qui démontre Riemann et Bertrand en une ligne, comparaison de la force du critère de Cauchy et de celui de d'Alembert, règle de Raabe-Duhamel quand le rapport tend vers 1, critère d'Abel pour les séries qui ne sont pas alternées, produit de Cauchy, et surtout le piège majeur : un équivalent ne se manipule que sur des termes de signe constant. La partie des classiques ajoute des télescopages avec racines, arctangente et factorielles, la règle de Raabe-Duhamel sur des produits, le critère d'Abel en pratique, le produit de Cauchy de deux lois géométriques et l'accélération de la série harmonique alternée par moyenne de deux sommes partielles. Fiche
  5. 16 Séries entières et Taylor Le rayon de convergence par d'Alembert avec les bornes à tester une à une, la série géométrique promue en série entière et manipulée (dérivation, intégration terme à terme jusqu'à ln 2 et pi/4), la construction des séries de Maclaurin de l'exponentielle, du sinus et du cosinus, les polynômes de Taylor qui épousent la courbe, l'approximation avec erreur contrôlée, les intégrales impossibles calculées par séries, et les limites qui tombent en une ligne. S'y ajoutent la fabrication de séries par produit, composition et division, sans calculer une seule dérivée (jusqu'à la tangente et à la série du binôme); le reste de Lagrange, qui borne l'erreur quand la série n'est pas alternée et fixe le nombre de termes pour six décimales de e; l'explication du rayon de convergence par les singularités complexes, avec la fonction lisse sur toute la droite dont la série s'arrête pourtant à 1, et la fonction indéfiniment dérivable que sa propre série de Taylor ne représente pas; et le calcul de sommes exactes par évaluation de séries entières. La partie des classiques ajoute cinq rayons et intervalles de convergence types, la fabrication de développements avec lecture des dérivées d'ordre élevé, des approximations à erreur garantie, l'énergie cinétique relativiste à faible vitesse et une série rapide qui calcule ln 3 et ln 2. Fiche

Équations différentielles

  1. 17 Équations différentielles Vérifier une solution et résoudre les équations séparables jusqu'à la famille de cercles, le facteur intégrant des équations linéaires avec le pont vers le circuit RC, la croissance et la décroissance exponentielles (carbone 14, bactéries, intérêts composés), le refroidissement de Newton sur courbe exacte, le réservoir de saumure qui tend vers son régime permanent, et le modèle logistique avec son point d'inflexion à mi-capacité. S'y ajoutent l'analyse qualitative qui prédit tout sans résoudre (champ de pentes, ligne de phase, stabilité des équilibres, méthode d'Euler et son erreur de convexité), les substitutions qui linéarisent l'équation homogène et l'équation de Bernoulli, cette dernière démontrant enfin la solution logistique admise plus haut, les trajectoires orthogonales des cercles et des paraboles, la chute avec résistance de l'air et sa vitesse limite qui oublie l'état initial, et la pêche avec son seuil d'effondrement, où le rendement maximal soutenable coïncide exactement avec la croissance maximale au point d'inflexion. La partie des classiques ajoute cinq équations séparables jusqu'à la perte d'unicité, le facteur intégrant sur cinq équations linéaires, les méthodes d'Euler et de Heun face à la solution exacte, la vidange d'un réservoir selon Torricelli et une réaction chimique résolue par fractions partielles. En ouverture, dix équations à résoudre en rafale : cinq du premier ordre dont il faut d'abord reconnaître le type, séparable, linéaire, homogène ou linéaire en x, et cinq du second ordre, intégrées deux fois ou réduites au premier ordre. Fiche

Révisions

Quand les chapitres sont faits

Une épreuve complète, en conditions d'examen. À faire une fois derrière vous les chapitres qu'elle couvre : elle mesure ce que vous savez faire sur une question jamais vue.

Examen blanc

Examen final blanc : tout le 201-SN3-RE

Un examen final de 3 heures qui traverse le cours complet de calcul intégral : techniques d'intégration, formes indéterminées, intégrales impropres, volumes et applications, suites, séries numériques et entières, polynômes de Taylor et équations différentielles. Aucune question n'annonce la technique à employer.

  • 12 exercices
  • 100 points
  • 180 minutes
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Ce qu'il faut tenir avant

Le programme de Calcul intégral 201-SN3-RE (ancien 201-NYB) s'appuie sur 2 chapitres venus d'avant. Ce ne sont pas des révisions de confort : chacun est le point d'appui d'un chapitre listé ci-dessus, et un élève qui décroche en cours d'année décroche presque toujours sur l'un d'eux. Tous ont leur fiche de révision, à lire d'une traite avant la rentrée.

Calcul différentiel 201-SN2-RE (ancien 201-NYA)

À lire sur ce niveau

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