Exercices corrigés : séries entières et séries de Taylor (201-NYB)

a) D'Alembert : $\left|\frac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{x^{n}}\right|=|x|\frac{n}{n+1}\to|x|$ : convergence pour $|x|<1$, donc $R=1$. Bornes : en $x=1$, la série harmonique $\sum\frac{1}{n}$ DIVERGE; en $x=-1$, la harmonique alternée CONVERGE (Leibniz). Intervalle : $[-1,1[$ : fermé d'un côté, ouvert de l'autre, et il fallait les deux tests pour le savoir.

b) $\sum n!x^{n}$ : rapport $(n+1)|x|\to\infty$ pour tout $x\ne 0$ : $R=0$, la série ne vit qu'au point $x=0$ : un polynôme infini mort-né. $\sum\frac{x^{n}}{n!}$ : rapport $\frac{|x|}{n+1}\to 0<1$ pour TOUT $x$ : $R=\infty$, convergence partout : c'est la série de l'exponentielle. Les deux extrêmes encadrent tous les cas possibles : un rayon peut être nul, fini ou infini, selon que les coefficients explosent ou s'effondrent.

c) Rapport : $\frac{|x-2|}{3}\cdot\frac{n}{n+1}\to\frac{|x-2|}{3}<1$, soit $|x-2|<3$ : $R=3$, centré en 2, donc $]-1,5[$ provisoirement. Bornes : en $x=5$ : $\sum\frac{3^{n}}{n3^{n}}=\sum\frac{1}{n}$ diverge; en $x=-1$ : $\sum\frac{(-3)^{n}}{n3^{n}}=\sum\frac{(-1)^{n}}{n}$ converge. Intervalle : $[-1,5[$. La série de a) translatée et dilatée : mêmes comportements aux bornes, recentrés.

d) À l'intérieur, $|x-a|<R$ signifie que le rapport limite est strictement inférieur à 1 : le critère de d'Alembert conclut à la convergence ABSOLUE, la plus robuste. Aux bornes, le rapport vaut exactement 1 : d'Alembert devient muet (son cas aveugle), et chaque borne retombe sur une série NUMÉRIQUE ordinaire qu'il faut juger avec les outils du chapitre précédent : Riemann, comparaison, Leibniz. Tout l'intervalle sauf deux points se décide en une ligne; les deux points restants concentrent toute la subtilité.

a) $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}$ pour $|x|<1$ : la géométrique, mère de toutes les séries entières, celle de la figure. Substitution $x\to-x^{2}$ : $\frac{1}{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}=1-x^{2}+x^{4}-\cdots$, valide pour $|x|<1$ : aucune dérivée à calculer, la substitution hérite de tout.

b) Dérivation terme à terme (permise à l'intérieur du rayon) : $\frac{1}{(1-x)^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}$, donc $\frac{x}{(1-x)^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n}$. En $x=\frac{1}{2}$ : $\sum\frac{n}{2^{n}}=\frac{1/2}{(1/2)^{2}}=2$ : la somme que le critère de d'Alembert déclarait convergente sans donner sa valeur tombe ici en une ligne. Les séries entières sont la machine à CALCULER les sommes que les critères se contentent d'annoncer.

c) $\ln(1+x)=\int_{0}^{x}\frac{dt}{1+t}$ et $\frac{1}{1+t}=\sum(-1)^{n}t^{n}$ : en intégrant terme à terme, $\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n}=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots$. En $x=1$ (borne incluse, par Leibniz) : $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots=\ln 2$ : la valeur admise au chapitre des séries alternées reçoit ici sa démonstration.

d) $\arctan x=\int_{0}^{x}\frac{dt}{1+t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\cdots$. En $x=1$ : $\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$ : la formule de Leibniz, $\pi$ écrit avec les inverses impairs. Beauté maximale, efficacité minimale : l'erreur après $n$ termes est d'ordre $\frac{1}{2n+1}$, il faut des CENTAINES de termes pour trois décimales (les cinq premiers donnent 0,835 pour un vrai 0,785). Les calculs réels de $\pi$ utilisent des arctangentes de petits arguments, où la même série file exponentiellement vite.

a) Toutes les dérivées de $e^{x}$ valent $e^{x}$, donc $f^{(n)}(0)=1$ pour tout $n$ : $e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\cdots$, valide partout ($R=\infty$, exercice 1b). Dérivation terme à terme : $\frac{d}{dx}\frac{x^{n}}{n!}=\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$ : chaque terme devient son prédécesseur, la série glisse sur elle-même : elle est sa propre dérivée, la propriété qui DÉFINIT l'exponentielle. En $x=1$, elle donne $e=\sum\frac{1}{n!}$.

b) Les dérivées de $\sin$ tournent en carrousel : $\sin,\cos,-\sin,-\cos,\ldots$; en 0 : $0,1,0,-1,\ldots$ : seuls les rangs IMPAIRS survivent, en signes alternés : $\sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots$. Pour $\cos$ : $1,0,-1,0,\ldots$ : rangs PAIRS : $\cos x=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots$. La structure des exposants EST la parité des fonctions : $\sin(-x)=-\sin x$ exige des puissances impaires, $\cos(-x)=\cos x$ des paires : la série porte la symétrie sur sa figure.

c) En $a=1$ : $f=\ln x$, $f'=x^{-1}$, $f''=-x^{-2}$, $f'''=2x^{-3}$, d'où $f^{(n)}(1)=(-1)^{n+1}(n-1)!$ pour $n\ge 1$. Coefficients : $\frac{f^{(n)}(1)}{n!}=\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ : $\ln x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(x-1)^{n}}{n}$. C'est EXACTEMENT la série de $\ln(1+u)$ de l'exercice 2c avec $u=x-1$ : les deux chemins (dérivées calculées, ou géométrique intégrée) mènent au même développement : la série de Taylor d'une fonction est unique.

d) $\frac{d}{dx}\left(x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots\right)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots$ : la série du cosinus, terme pour terme. Aucun hasard : la série de Taylor d'une fonction est UNIQUE, et la dérivation terme à terme est légitime dans le rayon; comme $(\sin)'=\cos$, leurs séries doivent se dériver l'une dans l'autre. Ce réseau de cohérences (dérivées, parités, valeurs spéciales) est le meilleur détecteur de fautes de calcul du chapitre : une série de Maclaurin fausse trahit toujours quelque part.

a) $T_{n}$ est l'unique polynôme de degré au plus $n$ qui partage avec $f$, au point de contact, sa VALEUR et ses $n$ premières DÉRIVÉES : même position, même pente, même courbure, et ainsi de suite. $T_{1}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ est exactement la TANGENTE : l'approximation linéaire déjà connue. Le chapitre de Taylor n'est que la suite logique : après la tangente, la parabole osculatrice, puis toujours mieux.

b) $T_{1}=x$ (la tangente en 0) colle sur environ $[-0{,}5,0{,}5]$ puis file tout droit pendant que le sinus s'incurve. $T_{3}$ suit fidèlement jusque vers $|x|\approx 1{,}5$ et reproduit déjà la première bosse, avant de plonger. $T_{5}$ épouse la courbe au-delà de $|x|\approx 2{,}5$, bosses comprises. Chaque degré impair ajouté repousse la frontière du décrochage : localement, le gain est d'un facteur $\frac{x^{2}}{(n+2)(n+3)}$ par étage : spectaculaire près de 0, de plus en plus coûteux loin de 0.

c) $T_{5}(0{,}5)=0{,}5-\frac{0{,}125}{6}+\frac{0{,}03125}{120}=0{,}479427$. La série du sinus est alternée à termes décroissants : l'erreur est bornée par le premier terme négligé, $\frac{0{,}5^{7}}{5040}\approx 1{,}6\times 10^{-6}$. Cinq décimales garanties ($\sin 0{,}5=0{,}4794255\ldots$ : l'erreur réelle, $1{,}5\times 10^{-6}$, frôle la borne). Trois termes, six chiffres : c'est très exactement l'algorithme d'une calculatrice, réduction d'angle comprise.

d) L'erreur de $\sin\theta\approx\theta$ est dominée par $\frac{\theta^{3}}{6}$ : à $\theta=0{,}1745$, erreur absolue $\approx 8{,}9\times 10^{-4}$, soit une erreur RELATIVE $\frac{\theta^{2}}{6}\approx 0{,}5$ %. L'équation du pendule $\ddot{\theta}=-\frac{g}{L}\sin\theta$ devient linéaire, $\ddot{\theta}=-\frac{g}{L}\theta$, avec une période indépendante de l'amplitude, fausse d'à peine 0,2 % à 10° (l'erreur sur la période vaut environ $\frac{\theta^{2}}{16}$). Toute la physique des « petits angles », des « petites oscillations », des « faibles amplitudes » est un premier terme de série de Taylor assumé : ce chapitre est la caution mathématique de ces raccourcis.

a) $e^{u}=\sum\frac{u^{n}}{n!}$ avec $u=-x^{2}$ : $e^{-x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{n!}=1-x^{2}+\frac{x^{4}}{2}-\frac{x^{6}}{6}+\cdots$ (valide partout). Intégration terme à terme : $\int_{0}^{0{,}5}e^{-x^{2}}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(0{,}5)^{2n+1}}{n!(2n+1)}=0{,}5-\frac{0{,}5^{3}}{3}+\frac{0{,}5^{5}}{10}-\frac{0{,}5^{7}}{42}+\cdots$.

b) Quatre termes : $0{,}5-0{,}0416667+0{,}0031250-0{,}0001860=0{,}461272$. Série alternée : erreur bornée par le cinquième terme, $\frac{0{,}5^{9}}{216}\approx 9\times 10^{-6}$ : quatre décimales sûres (valeur vraie $0{,}461281$). Cette intégrale est LA gaussienne : loi normale des statistiques, diffusion de la chaleur, mesures d'erreur : la fonction la plus intégrée des sciences n'a pas de primitive, et tout le monde l'intègre quand même, par séries et tables.

c) $\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^{2}}{3!}+\frac{x^{4}}{5!}-\frac{x^{6}}{7!}+\cdots$ (diviser la série du sinus par $x$ : la singularité en 0 disparaît, la fonction vaut 1). $\int_{0}^{1}\frac{\sin x}{x}dx=1-\frac{1}{3\cdot 3!}+\frac{1}{5\cdot 5!}-\frac{1}{7\cdot 7!}+\cdots=1-0{,}055556+0{,}001667-0{,}000028=0{,}946083$, erreur bornée par $\frac{1}{9\cdot 9!}\approx 3\times 10^{-7}$ : six décimales en quatre termes. Cette fonction (le sinus cardinal) gouverne la diffraction et le traitement du signal.

d) La série CONVERGE vers la valeur exacte : la donner, avec une borne d'erreur explicite et arbitrairement réductible, c'est donner le nombre lui-même, exactement comme « $\sqrt{2}$ » désigne un nombre qu'aucun décimal fini n'écrit, mais qu'on approche à volonté. $\pi$, $e$, $\ln 2$ n'ont pas d'autre statut : des limites de séries qu'on tronque à la précision voulue. La « forme close » est un confort culturel, pas une exigence mathématique : le chapitre des séries élargit simplement la liste des réponses exactes acceptables.

a) $\sin x=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}-\cdots$, donc $\sin x-x=-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}-\cdots$ et $\frac{\sin x-x}{x^{3}}=-\frac{1}{6}+\frac{x^{2}}{120}-\cdots\to-\frac{1}{6}$. Par L'Hôpital : TROIS applications successives (les formes $\frac{0}{0}$ s'enchaînent), avec trois dérivations à ne pas rater. La série donne mieux qu'une limite : tout le développement, donc aussi la VITESSE d'approche.

b) $1-\cos x=\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{24}+\cdots$ : la limite vaut $\frac{1}{2}$. $e^{x}-1-x=\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\cdots$ : la limite vaut $\frac{1}{2}$ aussi. Morale : soustraire à une fonction son début de développement, c'est révéler le terme suivant : ces limites ne font que LIRE un coefficient de Taylor, $\frac{f''(0)}{2}$ dans les deux cas.

c) « Équivalents » signifie : même premier terme de développement ($\frac{\sin x}{x}\to 1$), donc interchangeables dans les produits et quotients. Le DANGER : les soustractions. Dans $\frac{\sin x-x}{x^{3}}$, remplacer $\sin x$ par $x$ donnerait 0 : FAUX, car la soustraction annule justement les premiers termes et la limite vit dans le terme d'ordre 3, que l'équivalence a jeté. Règle de sécurité : dans une différence, développer un ordre de plus que ce qui s'annule; l'équivalence brute est réservée aux facteurs.

d) Étapes réelles : 1) conversion en radians : $37°=0{,}6458$ rad; 2) RÉDUCTION d'argument : ramener l'angle près de 0 par les symétries du cercle (périodicité, $\sin(\pi-x)$, etc.) : ici il y est déjà; 3) évaluation d'un POLYNÔME de type Taylor (optimisé, degré 7 à 9 environ) en quelques multiplications; 4) précision garantie par la borne du reste, poussée sous le dernier chiffre affiché. Ni table, ni cercle magique : la touche « sin » exécute un polynôme de ce chapitre. Les séries de Taylor ne sont pas une curiosité de fin de session : elles sont le moteur numérique de toutes les fonctions « spéciales » de tous les processeurs.