Exercices corrigés : séries entières et séries de Taylor (201-SN3-RE, ancien 201-NYB)

D'Alembert : $\left|\frac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{x^{n}}\right|=|x|\frac{n}{n+1}\to|x|$ : convergence pour $|x|<1$, donc $R=1$. Bornes : en $x=1$, la série harmonique $\sum\frac{1}{n}$ DIVERGE; en $x=-1$, la harmonique alternée CONVERGE (Leibniz). Intervalle : $[-1,1[$ : fermé d'un côté, ouvert de l'autre, et il fallait les deux tests pour le savoir.

$\sum n!x^{n}$ : rapport $(n+1)|x|\to\infty$ pour tout $x\ne 0$ : $R=0$, la série ne vit qu'au point $x=0$ : un polynôme infini mort-né. $\sum\frac{x^{n}}{n!}$ : rapport $\frac{|x|}{n+1}\to 0<1$ pour TOUT $x$ : $R=\infty$, convergence partout : c'est la série de l'exponentielle. Les deux extrêmes encadrent tous les cas possibles : un rayon peut être nul, fini ou infini, selon que les coefficients explosent ou s'effondrent.

Rapport : $\frac{|x-2|}{3}\cdot\frac{n}{n+1}\to\frac{|x-2|}{3}<1$, soit $|x-2|<3$ : $R=3$, centré en 2, donc $]-1,5[$ provisoirement. Bornes : en $x=5$ : $\sum\frac{3^{n}}{n3^{n}}=\sum\frac{1}{n}$ diverge; en $x=-1$ : $\sum\frac{(-3)^{n}}{n3^{n}}=\sum\frac{(-1)^{n}}{n}$ converge. Intervalle : $[-1,5[$. La série de a) translatée et dilatée : mêmes comportements aux bornes, recentrés.

À l'intérieur, $|x-a|<R$ signifie que le rapport limite est strictement inférieur à 1 : le critère de d'Alembert conclut à la convergence ABSOLUE, la plus robuste. Aux bornes, le rapport vaut exactement 1 : d'Alembert devient muet (son cas aveugle), et chaque borne retombe sur une série NUMÉRIQUE ordinaire qu'il faut juger avec les outils du chapitre précédent : Riemann, comparaison, Leibniz. Tout l'intervalle sauf deux points se décide en une ligne; les deux points restants concentrent toute la subtilité.

$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}$ pour $|x|<1$ : la géométrique, mère de toutes les séries entières, celle de la figure. Substitution $x\to-x^{2}$ : $\frac{1}{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}=1-x^{2}+x^{4}-\cdots$, valide pour $|x|<1$ : aucune dérivée à calculer, la substitution hérite de tout.

Dérivation terme à terme (permise à l'intérieur du rayon) : $\frac{1}{(1-x)^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}$, donc $\frac{x}{(1-x)^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n}$. En $x=\frac{1}{2}$ : $\sum\frac{n}{2^{n}}=\frac{1/2}{(1/2)^{2}}=2$ : la somme que le critère de d'Alembert déclarait convergente sans donner sa valeur tombe ici en une ligne. Les séries entières sont la machine à CALCULER les sommes que les critères se contentent d'annoncer.

$\ln(1+x)=\int_{0}^{x}\frac{dt}{1+t}$ et $\frac{1}{1+t}=\sum(-1)^{n}t^{n}$ : en intégrant terme à terme, $\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n}=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots$. En $x=1$ (borne incluse, par Leibniz) : $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots=\ln 2$ : la valeur admise au chapitre des séries alternées reçoit ici sa démonstration.

$\arctan x=\int_{0}^{x}\frac{dt}{1+t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\cdots$. En $x=1$ : $\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$ : la formule de Leibniz, $\pi$ écrit avec les inverses impairs. Beauté maximale, efficacité minimale : l'erreur après $n$ termes est d'ordre $\frac{1}{2n+1}$, il faut des CENTAINES de termes pour trois décimales (les cinq premiers donnent 0,835 pour un vrai 0,785). Les calculs réels de $\pi$ utilisent des arctangentes de petits arguments, où la même série file exponentiellement vite.

Toutes les dérivées de $e^{x}$ valent $e^{x}$, donc $f^{(n)}(0)=1$ pour tout $n$ : $e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\cdots$, valide partout ($R=\infty$, exercice 1b). Dérivation terme à terme : $\frac{d}{dx}\frac{x^{n}}{n!}=\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$ : chaque terme devient son prédécesseur, la série glisse sur elle-même : elle est sa propre dérivée, la propriété qui DÉFINIT l'exponentielle. En $x=1$, elle donne $e=\sum\frac{1}{n!}$.

Les dérivées de $\sin$ tournent en carrousel : $\sin,\cos,-\sin,-\cos,\ldots$; en 0 : $0,1,0,-1,\ldots$ : seuls les rangs IMPAIRS survivent, en signes alternés : $\sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots$. Pour $\cos$ : $1,0,-1,0,\ldots$ : rangs PAIRS : $\cos x=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots$. La structure des exposants EST la parité des fonctions : $\sin(-x)=-\sin x$ exige des puissances impaires, $\cos(-x)=\cos x$ des paires : la série porte la symétrie sur sa figure.

En $a=1$ : $f=\ln x$, $f'=x^{-1}$, $f''=-x^{-2}$, $f'''=2x^{-3}$, d'où $f^{(n)}(1)=(-1)^{n+1}(n-1)!$ pour $n\ge 1$. Coefficients : $\frac{f^{(n)}(1)}{n!}=\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ : $\ln x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(x-1)^{n}}{n}$. C'est EXACTEMENT la série de $\ln(1+u)$ de l'exercice 2c avec $u=x-1$ : les deux chemins (dérivées calculées, ou géométrique intégrée) mènent au même développement : la série de Taylor d'une fonction est unique.

$\frac{d}{dx}\left(x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots\right)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots$ : la série du cosinus, terme pour terme. Aucun hasard : la série de Taylor d'une fonction est UNIQUE, et la dérivation terme à terme est légitime dans le rayon; comme $(\sin)'=\cos$, leurs séries doivent se dériver l'une dans l'autre. Ce réseau de cohérences (dérivées, parités, valeurs spéciales) est le meilleur détecteur de fautes de calcul du chapitre : une série de Maclaurin fausse trahit toujours quelque part.

On écrit $e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{24}+\cdots$ et $\sin x=x-\frac{x^{3}}{6}+\cdots$, puis on multiplie en collectant par degré, en n'oubliant aucun croisement. Degré 1 : $1\times x=x$. Degré 2 : $x\times x=x^{2}$. Degré 3 : $\frac{x^{2}}{2}\times x=\frac{x^{3}}{2}$ et $1\times\left(-\frac{x^{3}}{6}\right)=-\frac{x^{3}}{6}$, total $\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$. Degré 4 : $\frac{x^{3}}{6}\times x=\frac{x^{4}}{6}$ et $x\times\left(-\frac{x^{3}}{6}\right)=-\frac{x^{4}}{6}$, total $\frac{1}{6}-\frac{1}{6}=0$. Donc $e^{x}\sin x=x+x^{2}+\frac{x^{3}}{3}+0\cdot x^{4}+\cdots$. Le coefficient de $x^{4}$ est EXACTEMENT nul, ce qui n'a rien d'un hasard de calcul : cela signifie que la quatrième dérivée de $e^{x}\sin x$ s'annule en 0, et l'on peut le vérifier par la formule de Leibniz du produit. Contrôle numérique en $x=0{,}2$ : le produit vaut $0{,}2426553$ et l'approximation $0{,}2426667$, l'écart provenant du terme en $x^{5}$.

Composition. On pose $u=\sin x=x-\frac{x^{3}}{6}+\cdots$ et l'on reporte dans $e^{u}=1+u+\frac{u^{2}}{2}+\frac{u^{3}}{6}+\frac{u^{4}}{24}+\cdots$. Il faut d'abord les puissances de $u$ au degré 4 : $u=x-\frac{x^{3}}{6}$; $u^{2}=x^{2}-\frac{x^{4}}{3}$ (le double produit $2\cdot x\cdot\left(-\frac{x^{3}}{6}\right)$ donne le terme en $x^{4}$); $u^{3}=x^{3}$ et $u^{4}=x^{4}$, les corrections étant de degré supérieur à 4. En reportant : $e^{\sin x}=1+\left(x-\frac{x^{3}}{6}\right)+\frac{1}{2}\left(x^{2}-\frac{x^{4}}{3}\right)+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{24}$. On collecte : degré 3, $-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=0$; degré 4, $-\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=-\frac{1}{8}$. D'où $e^{\sin x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+0\cdot x^{3}-\frac{x^{4}}{8}+\cdots$. Contrôle numérique en $x=0{,}2$ : la fonction vaut $1{,}2197786$ et l'approximation $1{,}2198000$. Le calcul direct aurait exigé QUATRE dérivées successives de $e^{\sin x}$, chacune produisant par la règle de chaîne et la règle du produit une expression plus longue que la précédente; la quatrième tient sur plusieurs lignes. La composition de séries fait le même travail en deux lignes, et c'est la raison d'être de la méthode. Une seule précaution est essentielle : la composition n'est licite que si $u\to 0$ quand $x\to 0$, ce qui est bien le cas de $\sin x$; composer avec une quantité qui ne tend pas vers 0 n'aurait aucun sens.

On pose $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ et l'on cherche $\tan x=a_{1}x+a_{3}x^{3}+a_{5}x^{5}+\cdots$, en n'écrivant que des puissances impaires puisque la tangente est impaire. La division se mène en écrivant $\sin x=\tan x\cdot\cos x$, soit $x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}=\left(a_{1}x+a_{3}x^{3}+a_{5}x^{5}\right)\left(1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}\right)$, puis en identifiant degré par degré. Degré 1 : $a_{1}=1$. Degré 3 : $a_{3}-\frac{a_{1}}{2}=-\frac{1}{6}$, donc $a_{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$. Degré 5 : $a_{5}-\frac{a_{3}}{2}+\frac{a_{1}}{24}=\frac{1}{120}$, donc $a_{5}=\frac{1}{120}+\frac{1}{6}-\frac{1}{24}=\frac{1+20-5}{120}=\frac{16}{120}=\frac{2}{15}$. D'où $\tan x=x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2x^{5}}{15}+\cdots$. Vérification numérique en $x=0{,}1$ : la série donne $0{,}10033467$ et la calculatrice $0{,}10033467$, identiques aux huit décimales. Remarquez que les coefficients de la tangente ne suivent aucune formule simple, contrairement à ceux du sinus et du cosinus : ils font intervenir les nombres de Bernoulli, ce qui explique qu'on ne demande jamais la série de la tangente de mémoire mais toujours par division.

Avec $x=0{,}1$ : $\sqrt{1{,}1}\approx 1+\frac{0{,}1}{2}-\frac{0{,}01}{8}+\frac{0{,}001}{16}=1+0{,}05-0{,}00125+0{,}0000625=1{,}0488125$. La série est alternée à termes décroissants, donc l'erreur est bornée par le premier terme négligé, qui est $\frac{5x^{4}}{128}=\frac{5\times 10^{-4}}{128}\approx 3{,}91\times 10^{-6}$. Valeur exacte : $\sqrt{1{,}1}=1{,}0488088$, donc l'erreur réelle vaut $3{,}65\times 10^{-6}$, effectivement inférieure à la borne et très proche d'elle, ce qui est la signature d'une série alternée bien conditionnée. Quatre termes suffisent donc pour cinq décimales. Cette série du binôme mérite d'être connue : elle généralise la formule du binôme de Newton aux exposants non entiers, la somme devenant alors infinie au lieu de s'arrêter, et son rayon de convergence vaut 1. C'est elle qui justifie l'approximation $\sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2}$ omniprésente en physique, par exemple dans les développements relativistes à faible vitesse.

Théorème de Taylor avec reste de Lagrange : si $f$ est $(n+1)$ fois dérivable sur un intervalle contenant $a$ et $x$, alors $f(x)=T_{n}(x)+R_{n}(x)$, où $T_{n}$ est le polynôme de Taylor de degré $n$ en $a$ et où il existe un point $c$ STRICTEMENT COMPRIS entre $a$ et $x$ tel que $R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$. Comme ce point $c$ est inconnu, on majore : si $\left|f^{(n+1)}(t)\right|\le M$ pour tout $t$ de l'intervalle $[a,x]$ (ou $[x,a]$ si $x<a$), alors $\left|R_{n}(x)\right|\le\frac{M\left|x-a\right|^{n+1}}{(n+1)!}$. Le point crucial de rédaction est là : $M$ doit majorer la dérivée d'ordre $n+1$ sur TOUT l'intervalle entre le centre et le point évalué, et non pas seulement au centre. Prendre $M=\left|f^{(n+1)}(a)\right|$ est l'erreur classique, et elle rend la borne fausse dès que la dérivée croît. Notez enfin la structure du reste : c'est exactement le terme suivant du développement, avec la dérivée évaluée en un point intermédiaire au lieu du centre.

$T_{3}(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}$, donc $T_{3}(0{,}5)=1+0{,}5+0{,}125+0{,}0208333=1{,}6458333$. Reste de Lagrange avec $n=3$ : la dérivée quatrième de $e^{x}$ est $e^{x}$, croissante, donc sur $[0;0{,}5]$ elle est majorée par $e^{0{,}5}\approx 1{,}6487$, et l'on peut prendre commodément $M=2$, un majorant simple et sûr. Alors $\left|R_{3}\right|\le\frac{2\times(0{,}5)^{4}}{4!}=\frac{2\times 0{,}0625}{24}\approx 0{,}0052$. Erreur réelle : $e^{0{,}5}=1{,}6487213$, donc l'écart vaut $0{,}0028879$. La borne est donc respectée, et elle surestime l'erreur d'un facteur d'environ 1,8. C'est normal et sain : une borne d'erreur est faite pour être GARANTIE, pas serrée. Ici la surestimation vient de deux sources cumulées, le choix de $M=2$ au lieu de $1{,}649$, et le fait que le point $c$ inconnu est en réalité plus proche de 0 que de 0,5.

On veut $e=e^{1}$, donc $a=0$ et $x=1$. La dérivée d'ordre $n+1$ de $e^{x}$ est $e^{x}$, majorée sur $[0,1]$ par $e^{1}=e\approx 2{,}718$; on prend donc $M=3$, majorant simple et sûr, choisi précisément pour éviter de faire intervenir la valeur de $e$ qu'on cherche justement à calculer, ce qui serait circulaire. La condition devient $\frac{3}{(n+1)!}\le 10^{-6}$, soit $(n+1)!\ge 3\times 10^{6}$. Or $9!=362\,880$, insuffisant, et $10!=3\,628\,800\ge 3\times 10^{6}$ ✓. Il faut donc $n+1=10$, c'est-à-dire $n=9$ : le polynôme de degré 9, soit DIX termes de $1$ à $\frac{x^{9}}{9!}$. Vérification : $\frac{3}{10!}\approx 8{,}27\times 10^{-7}<10^{-6}$, tandis que $\frac{3}{9!}\approx 8{,}27\times 10^{-6}$ serait insuffisant. Dix termes pour six décimales de $e$ : la convergence factorielle est redoutablement efficace, à comparer aux centaines de termes qu'exigeait la formule de Leibniz pour $\pi$ à l'exercice 2.

Borne des séries alternées : la série du sinus est alternée à termes décroissants en $x=0{,}5$, donc l'erreur après $T_{5}$ est bornée par le premier terme négligé, $\frac{0{,}5^{7}}{7!}=\frac{0{,}0078125}{5040}\approx 1{,}55\times 10^{-6}$. Borne de Lagrange avec $n=5$ : toutes les dérivées du sinus sont $\pm\sin$ ou $\pm\cos$, donc $M=1$ convient toujours, et $\left|R_{5}\right|\le\frac{1\times 0{,}5^{6}}{6!}=\frac{0{,}015625}{720}\approx 2{,}17\times 10^{-5}$. La borne alternée est donc QUATORZE fois meilleure, et l'erreur réelle, $1{,}54\times 10^{-6}$, la frôle. Le choix astucieux : puisque le développement du sinus ne contient AUCUN terme de degré 6, son coefficient étant nul, le polynôme $T_{6}$ est identique à $T_{5}$. On a donc parfaitement le droit d'appliquer Lagrange avec $n=6$ tout en n'ayant calculé que $T_{5}$, ce qui donne $\left|R_{6}\right|\le\frac{1\times 0{,}5^{7}}{7!}\approx 1{,}55\times 10^{-6}$ : exactement la borne alternée. Les deux méthodes coïncident dès qu'on exploite la parité. La leçon générale vaut pour l'examen : quand les deux bornes sont disponibles, prendre la plus petite, et vérifier si le développement saute des degrés, car chaque degré manquant offre un cran gratuit de précision dans la borne de Lagrange.

$T_{n}$ est l'unique polynôme de degré au plus $n$ qui partage avec $f$, au point de contact, sa VALEUR et ses $n$ premières DÉRIVÉES : même position, même pente, même courbure, et ainsi de suite. $T_{1}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ est exactement la TANGENTE : l'approximation linéaire déjà connue. Le chapitre de Taylor n'est que la suite logique : après la tangente, la parabole osculatrice, puis toujours mieux.

$T_{1}=x$ (la tangente en 0) colle sur environ $[-0{,}5,0{,}5]$ puis file tout droit pendant que le sinus s'incurve. $T_{3}$ suit fidèlement jusque vers $|x|\approx 1{,}5$ et reproduit déjà la première bosse, avant de plonger. $T_{5}$ épouse la courbe au-delà de $|x|\approx 2{,}5$, bosses comprises. Chaque degré impair ajouté repousse la frontière du décrochage : localement, le gain est d'un facteur $\frac{x^{2}}{(n+2)(n+3)}$ par étage : spectaculaire près de 0, de plus en plus coûteux loin de 0.

$T_{5}(0{,}5)=0{,}5-\frac{0{,}125}{6}+\frac{0{,}03125}{120}=0{,}479427$. La série du sinus est alternée à termes décroissants : l'erreur est bornée par le premier terme négligé, $\frac{0{,}5^{7}}{5040}\approx 1{,}6\times 10^{-6}$. Cinq décimales garanties ($\sin 0{,}5=0{,}4794255\ldots$ : l'erreur réelle, $1{,}5\times 10^{-6}$, frôle la borne). Trois termes, six chiffres : c'est très exactement l'algorithme d'une calculatrice, réduction d'angle comprise.

L'erreur de $\sin\theta\approx\theta$ est dominée par $\frac{\theta^{3}}{6}$ : à $\theta=0{,}1745$, erreur absolue $\approx 8{,}9\times 10^{-4}$, soit une erreur RELATIVE $\frac{\theta^{2}}{6}\approx 0{,}5$ %. L'équation du pendule $\ddot{\theta}=-\frac{g}{L}\sin\theta$ devient linéaire, $\ddot{\theta}=-\frac{g}{L}\theta$, avec une période indépendante de l'amplitude, fausse d'à peine 0,2 % à 10° (l'erreur sur la période vaut environ $\frac{\theta^{2}}{16}$). Toute la physique des « petits angles », des « petites oscillations », des « faibles amplitudes » est un premier terme de série de Taylor assumé : ce chapitre est la caution mathématique de ces raccourcis.

$e^{u}=\sum\frac{u^{n}}{n!}$ avec $u=-x^{2}$ : $e^{-x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{n!}=1-x^{2}+\frac{x^{4}}{2}-\frac{x^{6}}{6}+\cdots$ (valide partout). Intégration terme à terme : $\int_{0}^{0{,}5}e^{-x^{2}}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(0{,}5)^{2n+1}}{n!(2n+1)}=0{,}5-\frac{0{,}5^{3}}{3}+\frac{0{,}5^{5}}{10}-\frac{0{,}5^{7}}{42}+\cdots$.

Quatre termes : $0{,}5-0{,}0416667+0{,}0031250-0{,}0001860=0{,}461272$. Série alternée : erreur bornée par le cinquième terme, $\frac{0{,}5^{9}}{216}\approx 9\times 10^{-6}$ : quatre décimales sûres (valeur vraie $0{,}461281$). Cette intégrale est LA gaussienne : loi normale des statistiques, diffusion de la chaleur, mesures d'erreur : la fonction la plus intégrée des sciences n'a pas de primitive, et tout le monde l'intègre quand même, par séries et tables.

$\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^{2}}{3!}+\frac{x^{4}}{5!}-\frac{x^{6}}{7!}+\cdots$ (diviser la série du sinus par $x$ : la singularité en 0 disparaît, la fonction vaut 1). $\int_{0}^{1}\frac{\sin x}{x}dx=1-\frac{1}{3\cdot 3!}+\frac{1}{5\cdot 5!}-\frac{1}{7\cdot 7!}+\cdots=1-0{,}055556+0{,}001667-0{,}000028=0{,}946083$, erreur bornée par $\frac{1}{9\cdot 9!}\approx 3\times 10^{-7}$ : six décimales en quatre termes. Cette fonction (le sinus cardinal) gouverne la diffraction et le traitement du signal.

La série CONVERGE vers la valeur exacte : la donner, avec une borne d'erreur explicite et arbitrairement réductible, c'est donner le nombre lui-même, exactement comme « $\sqrt{2}$ » désigne un nombre qu'aucun décimal fini n'écrit, mais qu'on approche à volonté. $\pi$, $e$, $\ln 2$ n'ont pas d'autre statut : des limites de séries qu'on tronque à la précision voulue. La « forme close » est un confort culturel, pas une exigence mathématique : le chapitre des séries élargit simplement la liste des réponses exactes acceptables.

$\sin x=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}-\cdots$, donc $\sin x-x=-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}-\cdots$ et $\frac{\sin x-x}{x^{3}}=-\frac{1}{6}+\frac{x^{2}}{120}-\cdots\to-\frac{1}{6}$. Par L'Hôpital : TROIS applications successives (les formes $\frac{0}{0}$ s'enchaînent), avec trois dérivations à ne pas rater. La série donne mieux qu'une limite : tout le développement, donc aussi la VITESSE d'approche.

$1-\cos x=\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{24}+\cdots$ : la limite vaut $\frac{1}{2}$. $e^{x}-1-x=\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\cdots$ : la limite vaut $\frac{1}{2}$ aussi. Morale : soustraire à une fonction son début de développement, c'est révéler le terme suivant : ces limites ne font que LIRE un coefficient de Taylor, $\frac{f''(0)}{2}$ dans les deux cas.

« Équivalents » signifie : même premier terme de développement ($\frac{\sin x}{x}\to 1$), donc interchangeables dans les produits et quotients. Le DANGER : les soustractions. Dans $\frac{\sin x-x}{x^{3}}$, remplacer $\sin x$ par $x$ donnerait 0 : FAUX, car la soustraction annule justement les premiers termes et la limite vit dans le terme d'ordre 3, que l'équivalence a jeté. Règle de sécurité : dans une différence, développer un ordre de plus que ce qui s'annule; l'équivalence brute est réservée aux facteurs.

Étapes réelles : 1) conversion en radians : $37°=0{,}6458$ rad; 2) RÉDUCTION d'argument : ramener l'angle près de 0 par les symétries du cercle (périodicité, $\sin(\pi-x)$, etc.) : ici il y est déjà; 3) évaluation d'un POLYNÔME de type Taylor (optimisé, degré 7 à 9 environ) en quelques multiplications; 4) précision garantie par la borne du reste, poussée sous le dernier chiffre affiché. Ni table, ni cercle magique : la touche « sin » exécute un polynôme de ce chapitre. Les séries de Taylor ne sont pas une curiosité de fin de session : elles sont le moteur numérique de toutes les fonctions « spéciales » de tous les processeurs.