Exercices corrigés : les dérivées des fonctions transcendantes (201-NYA)

a) $(\sin x)'=\cos x$ et $(\cos x)'=-\sin x$ : le signe moins est sur le cosinus, c'est la seule chose à retenir. Quotient : $(\tan x)'=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x}=\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\frac{1}{\cos^{2}x}=\sec^{2}x$. En coupant plutôt la fraction terme à terme : $\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=1+\tan^{2}x$. Les deux écritures sont la même chose, et on choisit celle qui simplifie la suite : $\sec^{2}x$ quand on intègre, $1+\tan^{2}x$ quand l'énoncé donne déjà $\tan x$. Vérification numérique en $x=0{,}6$ : $\sec^{2}(0{,}6)\approx 1{,}4718$ et $1+\tan^{2}(0{,}6)\approx 1+0{,}4718=1{,}4718$ ✓.

b) $\sec x=\frac{1}{\cos x}$, donc par le quotient $(\sec x)'=\frac{0\cdot\cos x-1\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x}=\frac{\sin x}{\cos^{2}x}=\frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}=\sec x\tan x$. De même $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ donne $(\cot x)'=\frac{-\sin x\cdot\sin x-\cos x\cos x}{\sin^{2}x}=\frac{-1}{\sin^{2}x}=-\csc^{2}x$. Retenez la symétrie : les quatre fonctions en « co » (cosinus, cotangente, cosécante) portent toutes un signe moins.

c) $f'(x)=3\cos(3x)$ : chaîne, l'intérieur $3x$ a pour dérivée 3. $g(x)=(\cos x)^{2}$ donc $g'(x)=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x=-\sin(2x)$ : la forme compacte est plus courte, et elle confirme le calcul par l'identité du double angle. $h'(x)=\sec^{2}(x^{2}+1)\cdot 2x=\frac{2x}{\cos^{2}(x^{2}+1)}$. Le piège classique est d'écrire $g'(x)=-2\sin x$ en oubliant la chaîne : vérification en $x=1$, $g'(1)=-\sin 2\approx-0{,}909$, alors que $-2\sin 1\approx-1{,}683$, deux fois trop grand.

d) $\tan x$ n'est pas définie là où $\cos x=0$, c'est-à-dire en $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ : ce sont les deux asymptotes verticales de la figure. Sa dérivée $\sec^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}$ est un carré au dénominateur, donc elle est strictement positive partout où elle existe, et vaut au minimum 1 (atteint quand $\cos^{2}x=1$). Conséquence lue sur le graphe : la tangente est strictement croissante sur chaque branche et n'a AUCUNE tangente horizontale, donc aucun extremum local. Une fonction peut être croissante sur chaque morceau sans être croissante sur son domaine tout entier : entre deux branches, elle chute de $+\infty$ à $-\infty$.

a) $f'(x)=3e^{3x}$ : chaîne, la dérivée de l'intérieur $3x$ sort en facteur. $g'(x)=e^{-x^{2}}\cdot(-2x)=-2xe^{-x^{2}}$ : c'est la gaussienne, sa dérivée s'annule en $x=0$, qui est son maximum. $h'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})=e^{-x}(1-x)$ : produit, puis on met l'exponentielle en facteur, toujours. Comme $e^{-x}>0$, la dérivée s'annule uniquement en $x=1$, où $h(1)=e^{-1}\approx 0{,}368$. C'est un maximum : $h'>0$ avant, $h'<0$ après.

b) $u'(x)=2^{x}\ln 2\approx 0{,}693\cdot 2^{x}$ : le facteur $\ln 2$ est ce qu'on oublie le plus souvent, et il coûte tout le calcul de pente. $v(x)=3^{x^{2}}$ demande la chaîne EN PLUS de la formule : $v'(x)=3^{x^{2}}\ln 3\cdot 2x=2x\ln 3\cdot 3^{x^{2}}$. Pour $a=e$, $\ln e=1$ et la formule redonne $(e^{x})'=e^{x}$ : la formule générale contient le cas particulier, ce n'est pas une règle de plus à retenir.

c) Les pentes en 0 valent $\ln 2\approx 0{,}693$, $\ln e=1$ et $\ln 3\approx 1{,}099$. C'est exactement la caractérisation de $e$ : c'est l'UNIQUE base dont la courbe exponentielle traverse le point de coordonnées (0 ; 1) avec une pente de 1, donc l'unique exponentielle égale à sa propre dérivée. Les autres bases sont des versions dilatées horizontalement de celle-là, puisque $a^{x}=e^{x\ln a}$.

d) $(e^{x})^{2}=e^{2x}$ par la règle des exposants, donc sa dérivée vaut $2e^{2x}$. En revanche $e^{x^{2}}$ a pour dérivée $2xe^{x^{2}}$. En $x=2$ : $2e^{4}\approx 109{,}2$ contre $4e^{4}\approx 218{,}4$ ; et les fonctions elles-mêmes valent $e^{4}\approx 54{,}6$ contre $e^{4}\approx 54{,}6$, égales en $x=0$ et en $x=2$ seulement, les deux solutions de $2x=x^{2}$. En $x=3$ elles valent $e^{6}\approx 403$ et $e^{9}\approx 8103$ : un facteur 20. Retenez la lecture : l'exposant d'une puissance de puissance se MULTIPLIE, il ne se compose pas.

a) $f'(x)=\frac{3}{3x}=\frac{1}{x}$, sur $x>0$. $g'(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}$, définie sur $\mathbb{R}$ tout entier puisque $x^{2}+1>0$ toujours : c'est le rare logarithme sans restriction. $h'(x)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x$, sur les intervalles où $\cos x>0$, par exemple $\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[$. Le logarithme exige un argument STRICTEMENT positif, pas seulement non nul.

b) Parce que $\ln(3x)=\ln 3+\ln x$ : les deux fonctions diffèrent d'une CONSTANTE, et deux fonctions qui diffèrent d'une constante ont la même dérivée. Géométriquement, la courbe de $\ln(3x)$ est celle de $\ln x$ translatée verticalement de $\ln 3\approx 1{,}099$ : une translation verticale ne change aucune pente. C'est le premier exemple utile du théorème « dérivée nulle donc fonction constante », qui reviendra au chapitre des primitives.

c) $u(x)=\log_{2}x=\frac{\ln x}{\ln 2}$, donc $u'(x)=\frac{1}{x\ln 2}\approx\frac{1{,}4427}{x}$ : changer de base ne fait que multiplier par une constante. $v'(x)=\left(1\cdot\ln x+x\cdot\frac{1}{x}\right)-1=\ln x+1-1=\ln x$. Autrement dit $v$ est une primitive de $\ln$, résultat qu'on redémontrera par parties en 201-NYB : il est utile de savoir dès maintenant qu'il se vérifie en une ligne par dérivation.

d) Pour $x>0$, $|x|=x$ et $(\ln x)'=\frac{1}{x}$. Pour $x<0$, $|x|=-x$, donc $\ln|x|=\ln(-x)$ et par la chaîne $(\ln(-x))'=\frac{-1}{-x}=\frac{1}{x}$ : le signe moins de l'intérieur et celui du dénominateur s'annulent. Les deux morceaux donnent la même formule, d'où le résultat sur $\mathbb{R}^{*}$. Vérification en $x=-2$ : $\frac{\ln|-2+0{,}000001|-\ln|-2|}{0{,}000001}\approx-0{,}5=\frac{1}{-2}$ ✓. C'est pour cela que la primitive de $\frac{1}{x}$ s'écrit $\ln|x|$ et non $\ln x$.

e) $x^{2}-4>0$ équivaut à $|x|>2$, donc le domaine est $\left]-\infty;-2\right[\cup\left]2;+\infty\right[$. La dérivée vaut $w'(x)=\frac{2x}{x^{2}-4}$. Cette fraction se CALCULE en $x=0$ et donne 0, mais $w(0)=\ln(-4)$ n'existe pas : une expression algébrique ne connaît pas le domaine de la fonction dont elle est issue. La dérivée d'une fonction n'est jamais définie ailleurs que sur le domaine de la fonction, même quand la formule, elle, accepte le nombre. C'est l'erreur qui fait conclure à un extremum en $x=0$ sur un intervalle où la fonction n'existe pas.

a) Trois couches : l'exponentielle, puis le sinus, puis $2x$. $f'(x)=e^{\sin(2x)}\cdot\cos(2x)\cdot 2=2\cos(2x)e^{\sin(2x)}$. Le facteur 2 de la couche la plus intérieure est celui qu'on oublie : vérification en $x=0$, $f'(0)=2\cdot 1\cdot e^{0}=2$, alors que sans le facteur on trouverait 1, soit une pente deux fois trop faible.

b) $g'(x)=\frac{(\tan x)'}{\tan x}=\frac{\sec^{2}x}{\tan x}=\frac{1}{\cos^{2}x}\cdot\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\sin x\cos x}$. On peut aller plus loin : $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin(2x)$, donc $g'(x)=\frac{2}{\sin(2x)}$. Vérification en $x=0{,}7$ : $\frac{2}{\sin 1{,}4}\approx\frac{2}{0{,}9854}\approx 2{,}0296$, et le taux de variation numérique donne la même valeur. Simplifier n'est pas cosmétique : c'est cette forme qui rendra l'intégrale reconnaissable plus tard.

c) $h(x)=(1+e^{2x})^{1/2}$, donc $h'(x)=\frac{1}{2}(1+e^{2x})^{-1/2}\cdot 2e^{2x}=\frac{e^{2x}}{\sqrt{1+e^{2x}}}$. Les deux facteurs 2 se compensent, ce qui est justement pourquoi il faut les écrire tous les deux : les faire disparaître mentalement est le meilleur moyen d'en perdre un.

d) $k'(x)=\cos\left(\ln(x^{2}+1)\right)\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}$. Trois couches encore, et aucune simplification possible : la réponse reste un produit, ce qui est normal et ne signale pas une erreur.

e) $p(x)=(\ln x)^{3}$ est une PUISSANCE dont l'intérieur est un logarithme : $p'(x)=3(\ln x)^{2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{3(\ln x)^{2}}{x}$. En revanche $q(x)=\ln(x^{3})=3\ln x$ est un logarithme dont l'intérieur est une puissance, et la propriété du logarithme le ramène à une constante fois $\ln x$ : $q'(x)=\frac{3}{x}$. En $x=e$ : $p'(e)=\frac{3}{e}\approx 1{,}104$ et $q'(e)=\frac{3}{e}\approx 1{,}104$, égales par accident puisque $(\ln e)^{2}=1$. En $x=e^{2}$ : $p'=\frac{3\cdot 4}{e^{2}}\approx 1{,}624$ contre $q'=\frac{3}{e^{2}}\approx 0{,}406$, un facteur 4. La notation $\ln^{3}x$, qu'on rencontre parfois, désigne $p$ et non $q$ : c'est exactement le genre d'ambiguïté qui justifie d'écrire les parenthèses.

a) La règle de puissance exige un exposant CONSTANT ; la règle de l'exponentielle exige une base CONSTANTE. Ici les deux varient, c'est un cas nouveau. On pose $y=x^{x}$ avec $x>0$, on prend le logarithme : $\ln y=x\ln x$. On dérive les deux membres par rapport à $x$, le membre de gauche par la chaîne puisque $y$ dépend de $x$ : $\frac{y'}{y}=\ln x+x\cdot\frac{1}{x}=\ln x+1$. Donc $y'=x^{x}(\ln x+1)$. Vérification en $x=2$ : $y'=4(\ln 2+1)\approx 4\cdot 1{,}693=6{,}773$, et le taux numérique $\frac{2{,}000001^{2{,}000001}-2^{2}}{0{,}000001}\approx 6{,}773$ ✓. Au passage, $y'=0$ donne $\ln x=-1$, soit $x=e^{-1}\approx 0{,}368$ : c'est le minimum de $x^{x}$, où la fonction vaut environ $0{,}6922$.

b) $\ln y=\sin x\cdot\ln x$, puis $\frac{y'}{y}=\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}$, donc $y'=x^{\sin x}\left(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\right)$. La structure est toujours la même : le résultat est la fonction elle-même multipliée par la dérivée de son logarithme. C'est ce qu'on appelle la dérivée LOGARITHMIQUE, $\frac{y'}{y}$, et elle mesure un taux de variation RELATIF, en pourcentage par unité, pas en unités par unité.

c) $\ln y=3\ln(x^{2}+1)+\frac{1}{2}\ln(x-1)-4\ln(2x+5)$ : le logarithme transforme le produit en somme, le quotient en différence et les exposants en coefficients, ce qui remplace une règle du quotient imbriquée dans une règle du produit par trois dérivations indépendantes. On dérive : $\frac{y'}{y}=\frac{6x}{x^{2}+1}+\frac{1}{2(x-1)}-\frac{8}{2x+5}$, puis on multiplie par $y$. Vérification en $x=2$ : $y=\frac{125\cdot 1}{9^{4}}=\frac{125}{6561}\approx 0{,}019052$ et $\frac{y'}{y}=\frac{12}{5}+\frac{1}{2}-\frac{8}{9}\approx 2{,}0111$, donc $y'\approx 0{,}038318$. Le taux numérique confirme. En direct, il faudrait dériver un quotient dont le numérateur est lui-même un produit de deux composées : trois pages, et une erreur de signe presque garantie.

d) Sur $y=x^{5}e^{x}$, la dérivation logarithmique fonctionne et donne $\frac{y'}{y}=\frac{5}{x}+1$, donc $y'=x^{5}e^{x}\left(\frac{5}{x}+1\right)=x^{4}e^{x}(5+x)$ ; mais la règle du produit donne le même résultat en une ligne. Le critère : on passe au logarithme quand la fonction est un PRODUIT OU QUOTIENT D'AU MOINS TROIS FACTEURS à exposants, ou quand la variable est à l'exposant. Deux facteurs simples ne le justifient pas, et le détour coûte alors plus cher que la règle directe.

a) On dérive $\sin y=x$ par rapport à $x$ en traitant $y$ comme une fonction de $x$ : $\cos y\cdot y'=1$, donc $y'=\frac{1}{\cos y}$. Il reste à exprimer $\cos y$ en fonction de $x$ : de $\sin^{2}y+\cos^{2}y=1$ on tire $\cos y=\pm\sqrt{1-x^{2}}$. Le signe se décide par le DOMAINE choisi : sur $\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$, le cosinus est positif ou nul, donc on garde la racine positive et $(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ pour $|x|<1$. Le signe ne vient jamais du calcul, il vient de l'intervalle sur lequel on a rendu la fonction inversible.

b) De $\tan y=x$ on tire $\sec^{2}y\cdot y'=1$, donc $y'=\cos^{2}y$. Or $\sec^{2}y=1+\tan^{2}y=1+x^{2}$, d'où $y'=\frac{1}{1+x^{2}}$. Cette fois aucun choix de signe : le résultat est un carré inverse, positif partout, ce qui confirme que $\arctan$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier.

c) $f'(x)=\frac{2}{1+4x^{2}}$ par la chaîne. $g'(x)=\frac{1/3}{\sqrt{1-\frac{x^{2}}{9}}}=\frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}$ après avoir rentré le 3 sous la racine, forme nettement plus utilisable. Pour $h$ : $h'(x)=\arctan x+\frac{x}{1+x^{2}}-\frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{1+x^{2}}=\arctan x$. Les deux derniers termes s'annulent exactement : $h$ est donc une primitive de $\arctan$, ce qui sera redémontré par parties au chapitre suivant. Vérification en $x=1$ : $h'(1)=\arctan 1=\frac{\pi}{4}\approx 0{,}7854$, et le taux numérique donne la même valeur.

d) Sur la figure, la courbe s'aplatit vers ses deux asymptotes $y=\pm\frac{\pi}{2}$ : la pente tend vers 0, ce que confirme $\frac{1}{1+x^{2}}\to 0$. La pente maximale vaut 1 et elle est atteinte en $x=0$. Pour $\arcsin$, en $x\to 1^{-}$ le dénominateur $\sqrt{1-x^{2}}\to 0^{+}$, donc la dérivée tend vers $+\infty$ : la courbe de $\arcsin$ a une TANGENTE VERTICALE en $x=1$. Il n'y a aucune contradiction, une fonction peut être continue et définie en un point sans y être dérivable. C'est la lecture réciproque du graphe de $\sin$, dont la tangente est horizontale en $\frac{\pi}{2}$ : échanger les axes échange horizontale et verticale.