Fiche de révision : les fonctions trigonométriques (math SN5)

Si on lit le maximum $M$ et le minimum $m$ → $k=\frac{M+m}{2}$, la moyenne, et $|a|=\frac{M-m}{2}$, la demi-différence

Exemple : $M=11$ et $m=3$ : $k=7$ et $|a|=4$

Deux additions mentales, et deux paramètres sur quatre sont trouvés sans aucun risque.

Si on mesure la durée d'un cycle complet, d'un maximum au suivant → c'est la période $P$, donc $|b|=\frac{2\pi}{P}$

Exemple : période de $12$ heures : $b=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}$

On peut aussi mesurer d'un minimum au suivant, ou entre trois zéros consécutifs : c'est la même durée.

Si la courbe part d'un MAXIMUM → choisir le cosinus, et $h$ est l'abscisse de ce maximum

Exemple : maximum en $t=2$ : $f(t)=a\cos\left(b(t-2)\right)+k$ avec $a>0$

Si la courbe part de l'axe d'oscillation EN MONTANT → choisir le sinus, et $h$ est l'abscisse de ce point

Exemple : traversée montante en $t=0$ : $f(t)=a\sin(bt)+k$ avec $a>0$

Si on dispose d'un maximum et du minimum suivant, et l'on veut un SINUS → $(h,k)$ est le POINT D'INFLEXION à mi-chemin ; la courbe y descend, donc $a$ et $b$ de signes contraires, $b>0$ et $a<0$

Exemple : maximum $(1;7)$ puis minimum $(4;1)$ : $(h,k)=\left(\frac{5}{2};4\right)$, $f(x)=-3\sin\left(\frac{\pi}{3}\left(x-\frac{5}{2}\right)\right)+4$

Du minimum au maximum suivant, la courbe MONTE au point d'inflexion : $a$ et $b$ sont alors de même signe.

Si la courbe part d'un MINIMUM → cosinus avec $a<0$, ou cosinus décalé d'une demi-période

Exemple : minimum en $t=0$ : $f(t)=-a\cos(bt)+k$ avec $a>0$

Les deux écritures sont acceptées, mais la première évite de manipuler un déphasage.

Si le signe de $a$ reste douteux → regarder si la courbe monte ou descend juste après le déphasage, et comparer avec la fonction de base

Exemple : une courbe qui descend depuis son maximum avec un cosinus a bien $a>0$

Si la valeur cherchée dépasse $1$ en valeur absolue → aucune solution : sinus et cosinus restent entre $-1$ et $1$

Exemple : $3\sin x+1=5$ donne $\sin x=\frac{4}{3}$, donc $S=\varnothing$

Si l'énoncé demande les solutions sur UNE période, comme $[0;2\pi[$ → deux solutions : $u$ et $\pi-u$ pour le sinus, $u$ et $2\pi-u$ pour le cosinus

Exemple : $\sin x=\frac{1}{2}$ donne $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{5\pi}{6}$

Sauf si la valeur vaut $\pm 1$, auquel cas les deux solutions se confondent en une seule.

Si l'énoncé demande les solutions dans $\mathbb{R}$ → ajouter $+2k\pi$ à chaque solution, avec $k$ entier, et l'écrire explicitement

Exemple : $x=\frac{\pi}{6}+2k\pi$ ou $x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$

Si l'argument est $b(x-h)$ et non $x$ seul → résoudre d'abord pour l'ARGUMENT, puis diviser tout par $b$, le $2k\pi$ compris, et ajouter $h$

Exemple : $\sin(3x)=\frac{1}{2}$ donne $x=\frac{\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}$ ou $x=\frac{5\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}$

La période étant $\frac{2\pi}{3}$, il y a six solutions par tour au lieu de deux.

Si c'est une INÉQUATION → trouver les deux solutions de l'équation associée, puis regarder le graphique pour savoir entre ou hors de ces bornes

Exemple : $\sin x>\frac{1}{2}$ donne $\left]\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}\right[$ par période

L'ensemble solution est toujours BORNÉ sur une période, jamais une demi-droite.

Si l'équation contient à la fois $\sin$ et $\cos$, ou un carré → factoriser, ou utiliser une identité pour n'avoir plus qu'une seule fonction

Exemple : $2\sin^{2}x+\sin x-1=0$ se résout en posant $u=\sin x$, donc $u=\frac{1}{2}$ ou $u=-1$