Math SN5, secondaire 5 • Complément québécois à Montréal

Fiche de révision : les calculs trigonométriques (math SN5)

Cette fiche ne refait pas le cours sur les identités trigonométriques : vous l'avez déjà dans vos notes. Elle traite ce que le cours ne dit jamais et qui décide pourtant de la note : l'erreur exacte qui coûte deux points sur une copie, la seule méthode acceptée pour démontrer une identité, et la rédaction que le correcteur de math SN5 attend mot pour mot.

Elle est écrite pour les élèves de secondaire 5 du programme québécois à Montréal, et pour les élèves du Lycée Marie de France et du Collège Stanislas qui suivent le complément québécois. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

L'identité $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ ne donne jamais un signe : elle donne un CARRÉ, donc deux valeurs opposées, et c'est l'intervalle imposé par l'énoncé qui tranche entre les deux. Presque tous les points perdus du chapitre viennent de là, ou de son jumeau : démontrer une identité en travaillant les deux membres à la fois, ce qui revient à supposer vrai ce qu'on doit prouver. Une démonstration d'identité part d'UN seul membre et arrive à l'autre.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN5 : Sciences naturelles, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Le cercle trigonométrique Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Théorème de Pythagore et réciproqueSecondaire 3
3Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangleSecondaire 4 SN4
4Le cercle trigonométrique

Notions couvertes

Identité fondamentale
Rapports réciproques
Sécante cosécante cotangente
Formules d'addition
Formule du double
Formule de l'angle moitié
Démonstration d'identité
Simplification d'expression trigonométrique
Détermination du signe par quadrant
Réduction en une seule sinusoïde
Valeurs exactes d'angles composés
Tangente d'un angle

L'essentiel

Les six rapports, et leurs définitions

• $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ et $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ : ce sont des quotients, ils n'existent pas quand leur dénominateur s'annule.
• $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ et $\csc x=\frac{1}{\sin x}$ : la sécante va avec le COSINUS, la cosécante avec le sinus. C'est croisé.
• $\cot x=\frac{1}{\tan x}$ , tant que la tangente n'est ni nulle ni indéfinie.
• Un rapport réciproque a le MÊME SIGNE que le rapport dont il vient : $\sec x$ est du signe de $\cos x$ .
• $|\sec x|\ge 1$ et $|\csc x|\ge 1$ toujours, puisque leurs inverses sont bornés par $1$ .

L'appariement sécante-cosinus surprend toujours, et il vaut la peine d'être vérifié une fois pour toutes : c'est la seule irrégularité de nomenclature du chapitre.

Les trois identités fondamentales

• $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ : c'est le théorème de Pythagore sur le cercle de rayon $1$ , et tout en découle.
• $\tan^{2}x+1=\sec^{2}x$ : on obtient cette identité en divisant la première par $\cos^{2}x$ .
• $1+\cot^{2}x=\csc^{2}x$ : on l'obtient en divisant la première par $\sin^{2}x$ .
• Ces identités donnent toujours un CARRÉ : extraire la racine introduit un signe $\pm$ qu'il faut trancher.
• $\sin^{2}x$ signifie $\left(\sin x\right)^{2}$ , jamais $\sin\left(x^{2}\right)$ : l'exposant porte sur la valeur, pas sur l'angle.

Les deux dernières identités n'ont pas besoin d'être mémorisées : elles se retrouvent en dix secondes en divisant la première par $\cos^{2}x$ ou par $\sin^{2}x$ . Retenir une formule vaut mieux que trois.

Addition, double et moitié

• $\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$ : attention au signe MOINS, contre-intuitif dans une addition.
• $\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$ : les signes sont inversés par rapport à l'énoncé.
• $\sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm\cos A\sin B$ : ici le signe SUIT celui de l'énoncé, contrairement au cosinus.
• $\sin(2x)=2\sin x\cos x$ et $\cos(2x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x=2\cos^{2}x-1=1-2\sin^{2}x$ .
• Angle moitié : $\cos^{2}\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}$ et $\sin^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}$ , le signe venant du quadrant de $\frac{x}{2}$ .

Les trois écritures de $\cos(2x)$ ne sont pas redondantes : on choisit celle qui ne contient que la fonction déjà connue. Si l'énoncé donne $\sin x$ , on prend $1-2\sin^{2}x$ et le calcul tient en une ligne.

Démontrer une identité : la seule méthode acceptée

• On part d'UN SEUL membre, en général le plus compliqué, et on le transforme jusqu'à obtenir l'autre.
• On ne travaille JAMAIS les deux membres en même temps : cela supposerait vraie l'égalité à prouver.
• Outils dans l'ordre : tout ramener en sinus et cosinus, réduire au même dénominateur, factoriser, appliquer $\sin^{2}+\cos^{2}=1$ .
• Chaque ligne est reliée à la précédente par un signe égal, et la dernière ligne doit être exactement l'autre membre.
• Une identité est vraie pour TOUT $x$ du domaine : un contre-exemple suffit à la réfuter, mais aucun exemple ne la démontre.

Vérifier numériquement une identité sur une valeur ne la démontre pas, mais cela dit en dix secondes si elle est vraie, donc si la démonstration vaut la peine d'être cherchée. C'est du temps gagné, pas des points.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Oublier le signe en extrayant une racine carrée

2 points, et une réponse dont le signe est faux une fois sur deux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sin x=\frac{3}{5}$ donc $\cos^{2}x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$ , donc $\cos x=\frac{4}{5}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\cos x=\pm\frac{4}{5}$ . Comme l'énoncé impose $x$ dans le deuxième quadrant, le cosinus y est négatif : $\cos x=-\frac{4}{5}$ . »

Deux points ont la même hauteur

\frac{3}{5}

: celui de droite a un cosinus positif, celui de gauche un cosinus négatif. C'est le quadrant, et lui seul, qui choisit le signe.

Pourquoi : L'identité fondamentale ne donne qu'un carré, donc deux valeurs opposées. Le signe ne se déduit jamais du calcul : il vient de l'intervalle imposé par l'énoncé, qui est là exactement pour cela et qu'il faut donc lire avant de conclure.

2. Démontrer une identité en travaillant les deux membres

toute la démonstration, même quand le calcul est juste

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je multiplie les deux membres par $\cos x$ , puis je simplifie des deux côtés jusqu'à obtenir $1=1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Je pars du membre de gauche seul : $\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}$ , ce qui est bien le membre de droite. »

Pourquoi : Manipuler les deux membres revient à supposer l'égalité vraie, donc à prouver ce qu'on voulait démontrer par lui-même. La démonstration correcte est une chaîne d'égalités partant d'un seul côté : c'est une exigence de logique, pas de style.

3. Distribuer le cosinus sur une somme d'angles

toute la question, et le résultat dépasse souvent $1$

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\cos(A+B)=\cos A+\cos B$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$ : le cosinus est une fonction, il ne se distribue pas. »

La formule fausse sort de l'intervalle

[-1\,;1]

, ce qu'aucun cosinus ne peut faire :

\cos(A+B)

n'est pas

\cos A+\cos B

, et le dessin suffit à le prouver.

Pourquoi : Le contre-exemple règle tout : avec $A=B=\frac{\pi}{3}$ , le membre de gauche vaut $\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}$ tandis que la formule fautive donne $1$ . Une fonction ne traverse jamais une addition, quelle qu'elle soit.

4. Se tromper de signe dans la formule du cosinus

2 points, et une valeur exacte fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\cos(A+B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$ : pour le COSINUS, le signe est INVERSÉ par rapport à celui de l'énoncé. »

Pourquoi : Le sinus garde le signe de l'énoncé, le cosinus l'inverse : c'est la seule chose à retenir, et le contrôle est immédiat avec $A=B=\frac{\pi}{4}$ , où $\cos\frac{\pi}{2}=0$ . La formule correcte donne $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$ , la fautive donnerait $1$ .

5. Lire $\sin^{2}x$ comme le sinus du carré

toute la question, et l'identité fondamentale devient incompréhensible

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sin^{2}x$ signifie $\sin\left(x^{2}\right)$ , donc pour $x=2$ cela vaut $\sin 4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\sin^{2}x=\left(\sin x\right)^{2}$ : on calcule d'abord le sinus, puis on l'élève au carré. Pour $x=2$ : $\left(\sin 2\right)^{2}\approx 0{,}827$ . »

x=2

, l'une vaut

0{,}83

et l'autre

-0{,}76

: élever au carré AVANT ou APRÈS le sinus ne donne pas la même fonction.

\sin^{2}x

est le carré du sinus.

Pourquoi : L'exposant est écrit sur le NOM de la fonction, mais il porte sur sa valeur : c'est une convention d'écriture propre à la trigonométrie, adoptée pour éviter des parenthèses partout. Le contrôle est l'identité fondamentale, qui serait fausse avec l'autre lecture.

6. Apparier la sécante avec le sinus

1 point à chaque occurrence, et l'identité $\tan^{2}+1=\sec^{2}$ devient fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sec x=\frac{1}{\sin x}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ et $\csc x=\frac{1}{\sin x}$ : la sécante va avec le COSINUS, la cosécante avec le sinus. »

Pourquoi : L'appariement est croisé par rapport à ce que suggèrent les noms, et c'est la seule irrégularité du chapitre. Le contrôle est l'identité $\tan^{2}x+1=\sec^{2}x$ : elle ne fonctionne qu'avec le bon appariement, ce qui la rend utile comme moyen de vérification.

7. Choisir la mauvaise écriture du cosinus du double

1 point de méthode, et souvent une erreur de signe sur le cosinus recalculé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sin x=\frac{3}{5}$ , donc $\cos(2x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x$ , mais je ne connais pas $\cos x$ , je suis bloqué. »

Ce qu'il faut écrire

« On choisit l'écriture qui n'utilise que ce qu'on connaît : $\cos(2x)=1-2\sin^{2}x=1-2\times\frac{9}{25}=\frac{7}{25}$ , en une ligne et sans signe à trancher. »

Pourquoi : Les trois écritures de $\cos(2x)$ existent exactement pour cela : on prend celle qui ne fait intervenir que la donnée de l'énoncé. Cela évite de recalculer une valeur dont le signe dépendrait du quadrant, donc cela supprime un risque d'erreur en plus de gagner du temps.

8. Simplifier une expression sans passer par sinus et cosinus

toute la question, laissée en blanc

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{\sec x}{\csc x}$ , je ne vois pas quelle identité appliquer. »

Ce qu'il faut écrire

« On ramène tout en sinus et cosinus : $\frac{\sec x}{\csc x}=\frac{\frac{1}{\cos x}}{\frac{1}{\sin x}}=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x$ . »

Pourquoi : Presque toute simplification trigonométrique se débloque en réécrivant chaque rapport avec du sinus et du cosinus : c'est le premier geste du chapitre, et il ne demande de mémoriser que quatre définitions. Chercher l'identité astucieuse avant d'avoir fait cette réduction fait perdre du temps.

Quelle méthode choisir

Quelle identité, selon la forme de l'expression

Regardez ce que l'expression contient, avant de chercher quoi appliquer. La forme désigne l'identité, et le premier réflexe reste toujours le même : ramener en sinus et cosinus.

Si l'expression contient sécante, cosécante ou cotangente → tout réécrire avec du sinus et du cosinus, puis simplifier la fraction obtenue

Exemple : $\frac{\sec x}{\csc x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x$

C'est le premier geste, presque toujours suffisant à lui seul sur les questions de la partie A.
Si l'expression contient $\sin^{2}$ ET $\cos^{2}$ → chercher à faire apparaître $\sin^{2}x+\cos^{2}x$ pour le remplacer par $1$

Exemple : $\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}$

Souvent il faut d'abord réduire au même dénominateur pour que la somme des carrés apparaisse.
Si l'expression contient $\tan^{2}$ ou $\cot^{2}$ → utiliser $\tan^{2}x+1=\sec^{2}x$ ou $1+\cot^{2}x=\csc^{2}x$

Exemple : $\sec^{2}x-\tan^{2}x=1$

Ces deux identités se retrouvent en divisant l'identité fondamentale par $\cos^{2}x$ ou par $\sin^{2}x$ .
Si l'angle est une SOMME ou une DIFFÉRENCE, comme $\frac{7\pi}{12}$ → décomposer en somme d'angles remarquables et appliquer la formule d'addition

Exemple : $\frac{7\pi}{12}=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}$ , donc $\cos\frac{7\pi}{12}=\cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}-\sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}$
Si l'angle est DOUBLE, comme $2x$ , avec un rapport de $x$ connu → formule du double, en choisissant l'écriture qui n'utilise que la donnée fournie

Exemple : $\sin x$ connu : prendre $\cos(2x)=1-2\sin^{2}x$ ; $\cos x$ connu : prendre $2\cos^{2}x-1$
Si l'angle est MOITIÉ, comme $\frac{x}{2}$ → $\cos^{2}\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}$ et $\sin^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}$ , puis trancher le signe par le quadrant de $\frac{x}{2}$

Exemple : $\cos\frac{\pi}{8}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ , positif car $\frac{\pi}{8}$ est dans le premier quadrant

C'est la seule famille où le quadrant de la MOITIÉ compte, et non celui de l'angle de départ.

Aucune identité ne dispense de vérifier numériquement le résultat sur une valeur simple : donner $x=0{,}7$ radian, calculer l'expression de départ et le résultat obtenu, et comparer. Dix secondes, et toute erreur d'identité apparaît.

Trouver un rapport à partir d'un autre

L'énoncé donne une valeur et un intervalle. La valeur donne la grandeur, l'intervalle donne le signe : les deux sont nécessaires, et la copie doit utiliser explicitement les deux.

Si on connaît $\sin x$ et on cherche $\cos x$ → $\cos x=\pm\sqrt{1-\sin^{2}x}$ , le signe venant du quadrant

Exemple : $\sin x=\frac{3}{5}$ dans le deuxième quadrant : $\cos x=-\frac{4}{5}$

Le signe ne sort jamais du calcul : il sort de la phrase de l'énoncé qui précise l'intervalle.
Si on connaît $\cos x$ et on cherche $\tan x$ → calculer d'abord $\sin x$ avec son signe, puis diviser

Exemple : $\cos x=-\frac{4}{5}$ dans le troisième quadrant : $\sin x=-\frac{3}{5}$ , donc $\tan x=\frac{3}{4}$
Si on connaît $\tan x$ et on cherche $\cos x$ → $\sec^{2}x=1+\tan^{2}x$ , donc $\cos x=\pm\frac{1}{\sqrt{1+\tan^{2}x}}$

Exemple : $\tan x=\frac{3}{4}$ : $\sec^{2}x=\frac{25}{16}$ , donc $\cos x=\pm\frac{4}{5}$
Si l'énoncé précise seulement un signe, par exemple « $\cos x<0$ » → cela suffit à identifier le quadrant en combinant avec la donnée numérique

Exemple : $\sin x>0$ et $\cos x<0$ désignent le deuxième quadrant

Deux signes déterminent toujours un quadrant unique : c'est une information équivalente à un intervalle.
Si aucun intervalle ni signe n'est donné → rendre les DEUX réponses possibles, en précisant à quel quadrant chacune correspond

Exemple : $\sin x=\frac{3}{5}$ sans précision : $\cos x=\frac{4}{5}$ au premier quadrant ou $-\frac{4}{5}$ au deuxième

Le contrôle final de toute réponse de cette famille est l'identité fondamentale : additionner les carrés du sinus et du cosinus trouvés doit donner exactement $1$ . Deux élévations au carré et une addition, sans refaire le raisonnement.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Démontrer une identité trigonométrique

Quand l'utiliser : L'énoncé demande de montrer, de démontrer ou de vérifier qu'une égalité est vraie pour tout $x$ de son domaine.

1 Choisir le membre le plus COMPLIQUÉ comme point de départ, et l'annoncer : « partons du membre de gauche ».
2 Réécrire tous les rapports en sinus et cosinus, ligne par ligne, chaque ligne reliée par un signe égal.
3 Réduire au même dénominateur si l'expression contient une somme de fractions.
4 Chercher $\sin^{2}x+\cos^{2}x$ pour le remplacer par $1$ , ou factoriser pour le faire apparaître.
5 Simplifier jusqu'à obtenir exactement l'autre membre, sans jamais toucher à celui-ci.
6 Conclure par une phrase : « le membre de gauche est donc égal au membre de droite, l'identité est démontrée ».
7 Préciser le domaine si l'identité contient des dénominateurs qui peuvent s'annuler.

Phrase de conclusion

« Partons du membre de gauche : $\tan x+\cot x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}=\csc x\sec x$ . Le membre de gauche est donc égal au membre de droite, pour tout $x$ tel que $\sin x\neq 0$ et $\cos x\neq 0$ . »

Le piège : Écrire l'égalité complète à chaque ligne, en modifiant les deux côtés. Cela revient à supposer vrai ce qu'on veut démontrer : la démonstration ne prouve alors plus rien, même si tous les calculs sont exacts, et le barème l'annule entièrement.

Barème : 1 point le membre de départ annoncé, 1 point la réduction en sinus et cosinus, 1 point l'usage de l'identité fondamentale, 1 point la conclusion rédigée avec le domaine.

Calculer un rapport à partir d'un autre, avec intervalle imposé

Quand l'utiliser : L'énoncé donne une valeur trigonométrique et précise un intervalle ou un quadrant, puis demande les autres rapports.

1 Relever l'intervalle donné et en déduire le QUADRANT, en le nommant explicitement.
2 Écrire les signes de $\cos x$ et de $\sin x$ dans ce quadrant, avant tout calcul.
3 Appliquer l'identité fondamentale pour obtenir le CARRÉ du rapport cherché.
4 Extraire la racine en écrivant les deux possibilités avec le symbole $\pm$ .
5 TRANCHER le signe en citant le quadrant déterminé à la première étape.
6 Calculer les autres rapports demandés à partir des deux valeurs obtenues.
7 Vérifier avec l'identité fondamentale : la somme des carrés doit valoir $1$ .

Phrase de conclusion

« On a $\sin x=\frac{3}{5}$ avec $x\in\left]\frac{\pi}{2};\pi\right[$ , donc $x$ est dans le deuxième quadrant, où le cosinus est négatif. De $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ on tire $\cos^{2}x=\frac{16}{25}$ , donc $\cos x=\pm\frac{4}{5}$ ; le quadrant impose $\cos x=-\frac{4}{5}$ . Il vient alors $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=-\frac{3}{4}$ . »

Le piège : Extraire la racine en ne gardant que la valeur positive, par automatisme. L'identité fondamentale ne donne qu'un carré : le signe est une information supplémentaire, portée uniquement par l'intervalle de l'énoncé, et l'écrire est un point du barème.

Barème : 1 point le quadrant identifié, 1 point le carré calculé, 1 point le signe tranché avec sa justification, 1 point les autres rapports.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'identité fondamentale comme contrôle final

Additionner les carrés du sinus et du cosinus trouvés : le résultat doit valoir exactement $1$ . Ce test attrape toute erreur de valeur, et il fonctionne quel que soit le quadrant, puisqu'il élève au carré. Deux calculs mentaux suffisent.

Vous annoncez $\sin x=\frac{3}{5}$ et $\cos x=\frac{3}{4}$ : la somme des carrés vaut $\frac{9}{25}+\frac{9}{16}\approx 0{,}92$ , différent de $1$ . L'une des deux valeurs est fausse, avant même de regarder les signes.
Le test numérique d'une identité

Choisir une valeur quelconque, par exemple $x=0{,}7$ radian, et calculer séparément les deux membres à la calculatrice en mode radian. Ils doivent coïncider à toutes les décimales. Cela ne démontre pas l'identité, mais cela dit immédiatement si elle est vraie.

Vous hésitez sur le signe de la formule du cosinus d'une somme. Avec $A=B=\frac{\pi}{4}$ : $\cos\frac{\pi}{2}=0$ ; la formule avec un moins donne $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$ , celle avec un plus donnerait $1$ . Le doute est levé.
Le signe relu contre le quadrant

Reprendre chaque valeur annoncée et vérifier son signe sur le cercle : dans le deuxième quadrant, seul le sinus est positif; dans le troisième, seule la tangente; dans le quatrième, seul le cosinus. Aucun calcul, une simple comparaison.

Vous annoncez $\cos x=-\frac{4}{5}$ et $\tan x=+\frac{3}{4}$ pour un $x$ du deuxième quadrant : impossible, car la tangente y est négative. Le signe du sinus ou celui du cosinus a été mal reporté.
L'encadrement des rapports

Cosinus et sinus restent entre $-1$ et $1$ ; sécante et cosécante ont une valeur absolue supérieure ou égale à $1$ ; tangente et cotangente peuvent prendre n'importe quelle valeur réelle. Toute réponse hors de ces bornes est fausse.

Une copie qui annonce $\sec x=0{,}6$ contient une erreur : la sécante est l'inverse d'un nombre de valeur absolue au plus $1$ , donc sa valeur absolue est au moins $1$ . La sécante et la cosécante ont probablement été échangées.

L'exercice type décortiqué

Un rapport, un intervalle, et le double de l'angle

Soit $x$ un réel tel que $\sin x=\frac{3}{5}$ et $x\in\left]\frac{\pi}{2};\pi\right[$ .

a) Déterminer $\cos x$ et $\tan x$ . b) Calculer $\sin(2x)$ et $\cos(2x)$ . c) Dans quel quadrant se trouve $2x$ ? d) Calculer $\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ .

Étape 1

L'intervalle $\left]\frac{\pi}{2};\pi\right[$ est le DEUXIÈME quadrant : le sinus y est positif, le cosinus négatif et la tangente négative. On note ces trois signes avant tout calcul.

Pourquoi

Écrire les signes en premier transforme la suite en simple arithmétique : chaque racine extraite trouve son signe déjà décidé. C'est aussi la ligne que le correcteur cherche, car elle prouve que l'intervalle a été lu et compris.

Étape 2

De $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ : $\cos^{2}x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$ , donc $\cos x=\pm\frac{4}{5}$ . Le deuxième quadrant impose $\cos x=-\frac{4}{5}$ . Alors $\tan x=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}$ .

Pourquoi

Le symbole $\pm$ doit apparaître sur la copie avant d'être tranché : c'est lui qui montre qu'on a compris que l'identité ne donne qu'un carré. Le tranchage se justifie par le quadrant, en une demi-ligne, et vaut son point.

Étape 3

$\sin(2x)=2\sin x\cos x=2\times\frac{3}{5}\times\left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{24}{25}$ .

Pourquoi

La formule du double du sinus n'a qu'une écriture, donc aucun choix à faire. Le résultat est négatif, ce qui est cohérent : $2x$ sera dans un quadrant du bas, et la question c) le confirmera.

Étape 4

$\cos(2x)=1-2\sin^{2}x=1-2\times\frac{9}{25}=1-\frac{18}{25}=\frac{7}{25}$ .

Pourquoi

On choisit l'écriture en sinus seul, puisque c'est la donnée de l'énoncé : le calcul tient en une ligne et n'utilise aucun signe tranché, donc aucun risque d'erreur. L'écriture $\cos^{2}x-\sin^{2}x$ donnerait la même chose, avec une multiplication de plus.

Étape 5

$\sin(2x)=-\frac{24}{25}<0$ et $\cos(2x)=\frac{7}{25}>0$ : cosinus positif et sinus négatif, donc $2x$ est dans le QUATRIÈME quadrant.

Pourquoi

Le quadrant se détermine par les deux signes, jamais en doublant l'intervalle de départ : $2x$ appartient à $]\pi;2\pi[$ , ce qui recouvre deux quadrants et ne suffirait pas à trancher. Les valeurs calculées, elles, tranchent sans ambiguïté.

Étape 6

$\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\cos x\cos\frac{\pi}{3}-\sin x\sin\frac{\pi}{3}=\left(-\frac{4}{5}\right)\times\frac{1}{2}-\frac{3}{5}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{4}{10}-\frac{3\sqrt{3}}{10}=\frac{-4-3\sqrt{3}}{10}$ .

Pourquoi

Le signe MOINS de la formule du cosinus est le point à ne pas manquer, et ici les deux termes étant négatifs, il rend le résultat plus négatif au lieu de compenser. La valeur approchée, environ $-0{,}92$ , reste bien dans $[-1;1]$ .

Étape 7

Vérification : $\left(\frac{3}{5}\right)^{2}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{9+16}{25}=1$ . De même $\left(-\frac{24}{25}\right)^{2}+\left(\frac{7}{25}\right)^{2}=\frac{576+49}{625}=1$ . Enfin $\frac{-4-3\sqrt{3}}{10}\approx -0{,}9196$ , bien compris entre $-1$ et $1$ .

Pourquoi

L'identité fondamentale contrôle indépendamment les questions a) et b), et l'encadrement contrôle la question d). Trois vérifications en quinze secondes, sans reprendre le moindre raisonnement, et chacune attrape une famille d'erreurs différente.

Conclusion rédigée

« Comme $x$ appartient au deuxième quadrant, le cosinus y est négatif : de $\cos^{2}x=\frac{16}{25}$ on tire $\cos x=-\frac{4}{5}$ , puis $\tan x=-\frac{3}{4}$ . Ensuite $\sin(2x)=2\sin x\cos x=-\frac{24}{25}$ et $\cos(2x)=1-2\sin^{2}x=\frac{7}{25}$ . Le cosinus de $2x$ étant positif et son sinus négatif, $2x$ se trouve dans le quatrième quadrant. Enfin $\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{-4-3\sqrt{3}}{10}\approx -0{,}92$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Extraire $\cos x=+\frac{4}{5}$ sans regarder l'intervalle : la tangente devient positive, $\sin(2x)$ devient $+\frac{24}{25}$ , et le quadrant de $2x$ est annoncé comme le premier au lieu du quatrième. Une seule erreur de signe fait tomber trois questions. Le second travers est d'écrire $\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ avec un plus au lieu du moins : le résultat deviendrait $\frac{-4+3\sqrt{3}}{10}\approx 0{,}12$ , un nombre positif alors que les deux termes devraient s'additionner négativement.

À savoir par cœur

• $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ : tout le chapitre en découle, et c'est le contrôle universel.
• $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ et $\csc x=\frac{1}{\sin x}$ : l'appariement est CROISÉ.
• $\tan^{2}x+1=\sec^{2}x$ et $1+\cot^{2}x=\csc^{2}x$ : on les retrouve en divisant l'identité fondamentale.
• Une identité donne un CARRÉ : extraire la racine impose un $\pm$ , tranché par le QUADRANT.
• $\cos(A\pm B)=\cos A\cos B\mp\sin A\sin B$ : le signe est INVERSÉ pour le cosinus.
• $\sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm\cos A\sin B$ : le signe SUIT celui de l'énoncé.
• $\cos(2x)$ a trois écritures : choisir celle qui n'utilise que la donnée fournie.
• Une démonstration d'identité part d'UN SEUL membre et arrive à l'autre. Jamais les deux à la fois.
• Premier geste devant une simplification : tout ramener en sinus et cosinus.

Questions fréquentes

Comment trouver le cosinus quand on connaît le sinus ?

On utilise l'identité fondamentale : la somme des carrés du sinus et du cosinus vaut un. On en tire le carré du cosinus, puis on extrait la racine, ce qui donne deux valeurs opposées. C'est l'intervalle précisé dans l'énoncé qui décide du signe : le cosinus est négatif dans les deuxième et troisième quadrants.

Comment démontrer une identité trigonométrique ?

On part d'un seul membre, en général le plus compliqué, et on le transforme par étapes jusqu'à obtenir exactement l'autre. On ne touche jamais aux deux membres en même temps, car cela reviendrait à supposer vraie l'égalité que l'on cherche à démontrer. Le premier geste utile est de tout réécrire en sinus et cosinus.

Est-ce que le cosinus d'une somme est la somme des cosinus ?

Non, jamais. Le cosinus d'une somme vaut le produit des cosinus moins le produit des sinus. Un contre-exemple suffit : pour deux angles de soixante degrés, le cosinus de cent vingt degrés vaut moins un demi, tandis que la somme des deux cosinus vaudrait un. Une fonction ne se distribue jamais sur une addition.

Comment retenir les signes des formules d'addition ?

Pour le sinus, le signe de la formule est le même que celui de l'énoncé. Pour le cosinus, il est inversé : une somme d'angles donne un moins, une différence donne un plus. Le contrôle rapide consiste à prendre deux angles de quarante-cinq degrés : le cosinus de quatre-vingt-dix degrés vaut zéro, ce que seule la bonne formule donne.

Laquelle des trois formules du cosinus du double faut-il utiliser ?

Celle qui n'utilise que la valeur déjà connue. Si l'énoncé donne le sinus, on prend un moins deux fois le carré du sinus. S'il donne le cosinus, on prend deux fois le carré du cosinus moins un. Cela évite de recalculer l'autre rapport, donc de devoir trancher un signe supplémentaire, et le calcul tient en une seule ligne.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Calculs trigonométriques

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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Fiche de révision : les calculs trigonométriques (math SN5)

L'essentiel

Les six rapports, et leurs définitions

Les trois identités fondamentales

Addition, double et moitié

Démontrer une identité : la seule méthode acceptée

Les pièges qui coûtent des points

1. Oublier le signe en extrayant une racine carrée

2. Démontrer une identité en travaillant les deux membres

3. Distribuer le cosinus sur une somme d'angles

4. Se tromper de signe dans la formule du cosinus

5. Lire sin⁡2x\sin^{2}xsin2x comme le sinus du carré

6. Apparier la sécante avec le sinus

7. Choisir la mauvaise écriture du cosinus du double

8. Simplifier une expression sans passer par sinus et cosinus

Quelle méthode choisir

Quelle identité, selon la forme de l'expression

Trouver un rapport à partir d'un autre

La rédaction attendue

Démontrer une identité trigonométrique

Calculer un rapport à partir d'un autre, avec intervalle imposé

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Un rapport, un intervalle, et le double de l'angle

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment trouver le cosinus quand on connaît le sinus ?

Comment démontrer une identité trigonométrique ?

Est-ce que le cosinus d'une somme est la somme des cosinus ?

Comment retenir les signes des formules d'addition ?

Laquelle des trois formules du cosinus du double faut-il utiliser ?

Exercices corrigés : Calculs trigonométriques

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5. Lire $\sin^{2}x$ comme le sinus du carré