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Secondaire 5 • Secondaire québécois • Montréal

Mathématique SN5 : Sciences naturelles, secondaire 5

La mathématique SN5, séquence Sciences naturelles de secondaire 5, est le préalable au programme Sciences de la nature au cégep, et l'essentiel de l'année tourne autour de l'étude des fonctions. La valeur absolue et les fonctions définies par parties y sont des passages obligés que peu de manuels traitent sérieusement.

35 séries d'exercices entièrement corrigés (477 exercices), 35 fiches de révision, 4 examens blancs. Gratuit, sans compte.

Algèbre

  1. 1 Calculs algébriques Développement, factorisation (identités remarquables, groupement), fractions rationnelles, valeurs interdites et un problème de dimensions rationnelles. S'y ajoute une partie niveau examen : identités vraies pour tout x, produit télescopique, fraction complexe, théorème du facteur pour factoriser un polynôme de degré 3, et rationalisation de dénominateurs. Une partie C ajoute cinq classiques : équations rationnelles et valeurs interdites, opérations sur les fractions rationnelles, factorisations qui coincent, le problème des deux robinets et celui de la vitesse moyenne d'un aller-retour. Fiche
  2. 2 Puissances et exposants fractionnaires Racines nièmes et leur existence, conversion radical / exposant fractionnaire, lois des exposants, radicaux imbriqués et domaines d'existence. S'y ajoute une partie niveau examen : écriture en puissance de 2, radicaux imbriqués, équations à exposants fractionnaires, comparaison de puissances et de racines, et équations exponentielles à même base. Une partie C ajoute cinq classiques : lois des exposants avec des lettres, extraction d'un facteur hors d'une racine nième, résolution de x puissance n selon la parité de l'indice, l'agrandissement d'un contenant cubique et la période d'un pendule. Fiche
  3. 3 Calculs exponentiels et logarithmiques Conversion exponentielle / logarithmique, les lois des logarithmes, un seul logarithme, équations avec domaine, et problèmes (intérêts composés, demi-vie). S'y ajoute une partie niveau examen : équations logarithmiques avec racines étrangères, deux placements, logarithmes imposés, changement de base, et équations exponentielles à bases différentes. Une partie C ajoute cinq classiques : développer un logarithme, inéquations exponentielles, inéquations logarithmiques avec domaine, le pH d'une solution et le niveau sonore en décibels. Fiche

Fonctions

  1. 4 Les fonctions exponentielles Reconnaître une exponentielle, forme canonique et asymptote horizontale, transformations, équations exponentielles et problèmes de croissance. S'y ajoute une partie niveau examen : trouver la règle depuis deux points, inéquations exponentielles, problème de cultures de bactéries, et temps de doublement et demi-vie par les logarithmes. Une partie C ajoute cinq classiques : valeur initiale et taux de variation en pourcentage, équations à mise en évidence, reconnaître un modèle dans une table de valeurs, la dépréciation d'une voiture et le refroidissement d'un café. Fiche
  2. 5 Les fonctions logarithmiques Domaine et asymptote, réciproque de l'exponentielle, équations logarithmiques et inéquations (dont le cas où la base est entre 0 et 1), et un problème d'élimination. S'y ajoute une partie niveau examen : trouver la règle, inéquations à base entre 0 et 1, problème de probabilité, et les échelles logarithmiques (pH et décibels). Une partie C ajoute cinq classiques : domaine, asymptote et zéro, encadrement d'un logarithme entre deux entiers, description des transformations, la magnitude d'un séisme et la datation au carbone 14. Fiche
  3. 6 Les fonctions définies par parties Évaluer une fonction par morceaux, étudier la continuité et le raccordement, retrouver la règle depuis un graphique et un problème de tarification par paliers. S'y ajoute une partie niveau examen : résolution à travers les morceaux, impôt par tranches, passage de la valeur absolue à la définition par parties, continuité selon un paramètre, et étude complète d'une fonction à trois morceaux. Une partie C ajoute cinq classiques : inéquation résolue morceau par morceau, validité d'une définition par parties (trou, chevauchement), tracé et image d'une fonction à trois morceaux, le salaire avec heures supplémentaires et le niveau d'eau d'un réservoir. Fiche
  4. 7 La fonction valeur absolue Deux exercices de calculs : douze équations et douze inéquations avec valeur absolue, surtout difficiles. Puis forme canonique et sommet, équations et inéquations avec valeur absolue, cas sans solution, et problèmes contextualisés (température, profits). S'y ajoute une partie niveau examen : équations mixtes, reconstruction de la règle depuis deux demi-droites, problème des câbles, et inéquations avec interprétation en distance. Une partie C ajoute cinq classiques : calculs de valeurs absolues, équations à valeur absolue isolée, sommet, image et zéros de trois fonctions, la tolérance de fabrication et la distance d'un cycliste à un village. Les inéquations mixtes se résolvent aussi par la méthode de la restriction. Trouver la règle par trois points se travaille dans tous ses cas : deux points de même ordonnée, deux hypothèses à tester sur la demi-droite, point du milieu qui est le sommet. Fiche
  5. 8 La fonction partie entière Calculs de parties entières (avec les pièges des négatifs), fonction en escalier, marche et contremarche, lecture de graphique et un problème de tarif de stationnement. S'y ajoute une partie niveau examen : pièges des négatifs, facturation à la minute entamée, salaire par échelons, étude des paliers et sauts d'une partie entière transformée, et propriétés de l'opposé et de l'ajout d'un entier. Une partie C ajoute cinq classiques : équations avec un coefficient dans le crochet, lecture des quatre paramètres d'un escalier, partie entière et division euclidienne, les autocars d'une sortie scolaire et la conversion d'une durée en heures, minutes et secondes. Fiche
  6. 9 La fonction racine carrée Forme canonique, sommet, domaine et image, zéros, inéquations avec radical et problèmes contextualisés. S'y ajoute une partie niveau examen : mise sous forme canonique, racines étrangères, problème de glissade d'eau, et fonction réciproque d'une racine carrée. Une partie C ajoute cinq classiques : domaine, image et sommet de quatre fonctions, équations à radical isolé, inéquations avec radical, la distance de freinage et le temps de chute d'un objet. Fiche
  7. 10 La fonction rationnelle, dite homographique Forme générale et forme canonique, asymptotes et centre de symétrie, équations et inéquations, table de valeurs et problèmes (coût unitaire, population), puis une partie niveau examen : forme canonique de cas corsés, inéquation rationnelle avec tableau de signe, problème de dilution, et fonction réciproque avec points fixes. Une partie C ajoute cinq classiques : domaine, asymptotes et image, retrouver la règle depuis les asymptotes et un point, équations rationnelles et valeur exclue de l'image, remonter sa moyenne et le temps de parcours selon la vitesse. L'inéquation rationnelle se résout aussi par la méthode des valeurs critiques. En ouverture, un exercice de calculs : dix mises sous forme canonique à calculer directement, du numérateur constant au dénominateur 4x + 10. Fiche
  8. 11 Les fonctions quadratiques Les trois formes du trinôme, forme canonique et sommet, discriminant et racines, inéquations avec tableau de signe, puis une partie niveau examen : problème de trajectoire, complétion du carré par les deux méthodes, discussion selon un paramètre, équations déguisées en second degré et relations de Viète (somme et produit des racines). Une partie C ajoute cinq classiques : passer de la forme factorisée à toutes les autres, choisir la bonne méthode de résolution, mettre une situation en équation, le prix qui maximise le revenu et le cadre du tableau. Fiche
  9. 12 Les paramètres des fonctions Rôle des paramètres a, b, h, k : translation, étirement, compression et réflexion, lecture de la forme canonique, puis une partie niveau examen appliquée à l'exponentielle, au logarithme, à la racine, à la valeur absolue et aux fonctions trigonométriques (amplitude, période, déphasage). Une partie C ajoute cinq classiques : le paramètre b négatif et la réflexion horizontale, l'ordre des transformations, écrire la règle à partir d'une description, la grande roue et le toit à deux versants. Fiche
  10. 13 Les opérations sur les fonctions Somme, différence, produit et quotient de fonctions, composition (f∘g) et son domaine, décomposition d'une composée, puis une partie niveau examen avec les fonctions du cours (racine, exponentielle, logarithme) et des problèmes de coût et de production. Une partie C ajoute cinq classiques : évaluer des opérations et des composées, composer trois fonctions, le domaine qui rétrécit, la remise et le rabais dans les deux ordres, et la nappe de pétrole qui s'étend. Fiche
  11. 14 La fonction réciproque Lire une réciproque par symétrie, l'obtenir sur une fonction affine et sur une table, le test de la droite horizontale, la restriction de domaine d'une quadratique, le couple exponentielle et logarithme, puis une partie niveau examen : machine à coder et distance de freinage. Une partie C traite les trois réciproques trigonométriques, arcsinus, arccosinus et arctangente, leurs domaines restreints, la composition dans les deux sens et l'identité qui les relie. Une partie D ajoute cinq classiques : trouver la réciproque d'une racine, d'une rationnelle (homographique) et d'une exponentielle, l'échange du domaine et de l'image, la vérification par composition, la conversion Celsius Fahrenheit et la fusée inversée sur la montée puis sur la descente. En ouverture, un exercice de calculs : dix réciproques à trouver directement, de la fonction affine au logarithme. Fiche
  12. 15 Programmation linéaire et optimisation Systèmes d'inéquations et demi-plans, polygone de contraintes et sommets, optimisation d'une fonction avec tableau, et un problème complet d'atelier. S'y ajoute une partie niveau examen : les questions pièges du devoir commun, contraintes de minimum et de maximum, problème de production, et un problème d'atelier résolu par le calcul des sommets. Une partie C ajoute cinq classiques : traduire une phrase en inéquation, représenter un demi-plan avec un point-test, la pente de la fonction objectif et le cas des optimums multiples, la répartition d'un placement et la ration à coût minimal sur une région non bornée. Fiche
  13. 16 Les fonctions périodiques Le chapitre où les quatre paramètres de cinquième secondaire rencontrent la périodicité : lire la période, l'amplitude et l'axe de référence sur un motif quelconque, démontrer la périodicité au lieu de la lire, calculer la période d'une fonction transformée, réduire dans un cycle qui ne commence pas à zéro, écrire la famille de toutes les solutions et voir pourquoi une fonction périodique n'a jamais de réciproque. Une partie B ajoute cinq problèmes : l'électrocardiogramme et la fréquence cardiaque, la demande électrique de deux appareils et la période d'une somme, cinq affirmations à corriger, le feu de circulation et l'arbre à cames d'un moteur. Fiche

Trigonométrie

  1. 17 Le cercle trigonométrique Conversions degrés-radians, valeurs remarquables de sinus et cosinus, coordonnées du point image, quadrants et angles coterminaux. S'y ajoute une partie niveau examen : coordonnées exactes d'angles moins familiers, tous les angles solutions, problème de grande roue, longueur d'arc et aire de secteur, et angle de référence avec signes par quadrant. Une partie C ajoute cinq classiques : le tableau complet des valeurs remarquables, les angles négatifs et la parité, quadrant et signes des trois rapports, la roue de vélo et les aiguilles de l'horloge. Fiche
  2. 18 Calculs trigonométriques Identités de base, simplifications, calcul d'un rapport à partir d'un autre et du quadrant, démonstrations d'identités et formules d'addition et du double. S'y ajoute une partie niveau examen : rapport avec intervalle imposé, valeurs exactes de la tangente, double d'un angle et quadrant, formules de l'angle moitié, et réduction de a sin x + b cos x à une seule sinusoïde. Une partie C ajoute cinq classiques : tout ramener au sinus et au cosinus, trois identités de plus à démontrer, les rapports lus sur un point du côté terminal, le triangle isocèle d'aire maximale et la portée d'un projectile. Fiche
  3. 19 Les fonctions trigonométriques Propriétés de sinus et cosinus, amplitude et période, forme canonique, résolution d'équations trigonométriques et un problème de température saisonnière. S'y ajoute une partie niveau examen : familles de solutions dans les réels, inéquations trigonométriques, problème des marées, et équations par factorisation et identités. Une partie C ajoute cinq classiques : écrire une sinusoïde à partir du maximum, du minimum et de la période, le déphasage, les cinq points clés d'une période, le cycle respiratoire et la durée du jour au fil de l'année. En ouverture, un exercice de calculs : onze équations sinusoïdales à résoudre directement, des valeurs remarquables à la sinusoïde complète. Fiche
  4. 20 La fonction tangente La troisième fonction trigonométrique du programme, celle qui n'est pas une sinusoïde : domaine et asymptotes verticales, période pi, valeurs remarquables et signe par quadrant, rôle des paramètres, puis une partie niveau examen : retrouver la règle depuis un graphique, inéquations branche par branche, démonstrations à partir du quotient sinus sur cosinus, et le problème du phare qui balaie un mur. Une partie C ajoute cinq classiques : période et asymptotes de quatre tangentes, la tangente lue comme pente d'une droite, les valeurs exactes sur tout le cercle, la hauteur d'un arbre par deux visées et la pente exprimée en pourcentage. Fiche
  5. 21 La résolution de triangles La loi des sinus, la loi des cosinus, l'aire d'un triangle, le cas ambigu (SSA) et des problèmes d'arpentage et de triangulation. Une partie C ajoute cinq classiques : les rapports du triangle rectangle, la loi des sinus pour trouver un angle et le cas ambigu, le choix de l'outil selon la configuration, la distance entre deux bateaux et l'aire d'un terrain quadrilatère. En ouverture, un exercice de calculs : dix calculs directs, côtés, angles, aires et hauteur d'un triangle quelconque. Fiche

Géométrie

  1. 22 Les vecteurs et la géométrie vectorielle Composantes et norme, opérations et relation de Chasles, colinéarité et combinaison linéaire dans une base (exercice 3), produit scalaire et projection orthogonale, puis une partie niveau examen : résultante de forces, travail d'une force et démonstrations géométriques par les vecteurs. Une partie C ajoute cinq classiques : passer des composantes à la norme et à l'orientation, vecteur unitaire et vecteur de norme imposée, le quatrième sommet d'un parallélogramme, la caisse sur un plan incliné et le cap à tenir face au vent. En ouverture, deux exercices de calculs : dix calculs directs, des composantes et de la norme au produit scalaire et à l'angle entre deux vecteurs. Fiche
  2. 23 Géométrie analytique et lieux géométriques Distance et point de partage, pente et équations de droites, équation du cercle, puis une partie niveau examen sur les lieux géométriques : la médiatrice et la bissectrice comme ensembles de points équidistants, la distance point-droite et les lieux menant aux coniques. Une partie C ajoute cinq classiques : position relative de deux droites, point et droite face à un cercle, médianes et centre de gravité, la station de pompage et le partage d'un terrain triangulaire. En ouverture, un exercice de calculs : dix calculs directs, de la distance entre deux points à la distance entre deux droites parallèles. Fiche
  3. 24 Les coniques : cercle, ellipse, hyperbole, parabole Cercle, ellipse et ses foyers, hyperbole et ses asymptotes, parabole (foyer, directrice, paramètre), puis une partie niveau examen : trouver l'équation, intersections droite-conique et conique-conique, arche elliptique et antenne parabolique. Une partie C ajoute cinq classiques : de la forme générale à la forme canonique, écrire l'équation d'une conique translatée, le rectangle directeur et le tracé, l'orbite elliptique d'un satellite et le câble d'un pont suspendu. En ouverture, un exercice de calculs : dix éléments à lire directement dans l'équation, du rayon d'un cercle à la directrice d'une parabole. Fiche

Révisions

Quand les chapitres sont faits

Une épreuve complète, en conditions d'examen. À faire une fois derrière vous les chapitres qu'elle couvre : elle mesure ce que vous savez faire sur une question jamais vue.

Examen blanc

Situations-problèmes C1 : dix tâches complètes

Dix vraies situations-problèmes de compétence 1, comme à l'évaluation : des documents à trier, une seule consigne, aucun modèle donné. Radionavigation, satellite géostationnaire, perfusion, avant-toit, avion cargo, béton, guitare, orgue, comète et radiothérapie, avec corrigé complet et grille des critères Cr1, Cr2 et Cr3.

  • 10 exercices
  • 100 points
  • 600 minutes
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Examen blanc

Révision : devoir commun SN5

Examen mixte au format réel du devoir commun : QCM, calculs algébriques, trigonométrie, fonction rationnelle (homographique) et deux problèmes de modélisation, en 1 h 55. S'y ajoutent 3 problèmes supplémentaires hors épreuve : la parabole d'un jet d'eau, la décroissance de la caféine par demi-vie, et la hauteur d'un édifice inaccessible par deux visées.

  • 11 exercices
  • 77 points
  • 160 minutes
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Examen blanc

Devoir commun SN5 : version difficile

La version relevée du devoir commun : dix exercices de niveau contrôle+, 100 points, 3 heures. Réciproque et domaine, équation à deux valeurs absolues, exponentielle par substitution, division de fractions rationnelles, solution étrangère, identité trigonométrique, fonction définie par parties à paramètres, comparaison de deux modèles exponentiels, optimisation avec déplacement de l'optimum, cercle et corde, puis le cas ambigu de la loi des sinus.

  • 10 exercices
  • 100 points
  • 180 minutes
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Examen blanc

Épreuve de fin d'année SN5, format du ministère

Une épreuve de fin d'année complète de mathématique SN de 5e secondaire, au gabarit de l'examen ministériel de 4e : six QCM, quatre réponses courtes et six situations d'application sans sous-questions, quatre de catégorie I et deux de catégorie II. Programmation linéaire, exponentielle et logarithme, sinusoïde, cercle et droite, vecteurs, fonction rationnelle et réciproque, chaque situation corrigée avec sa grille A à E.

  • 10 exercices
  • 100 points
  • 180 minutes
Passer l'épreuve

Ce qu'il faut tenir avant

Le programme de mathématiques en Secondaire 5 s'appuie sur 7 chapitres venus d'avant. Ce ne sont pas des révisions de confort : chacun est le point d'appui d'un chapitre listé ci-dessus, et un élève qui décroche en cours d'année décroche presque toujours sur l'un d'eux. Tous ont leur fiche de révision, à lire d'une traite avant la rentrée.

Secondaire 3

Secondaire 4

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Physique Chimie

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