Exercices corrigés : démontrer et justifier en mathématiques de secondaire 5

a) Hypothèse : $ABCD$ est un losange, c'est-à-dire un quadrilatère dont les quatre côtés sont isométriques. Conclusion : $AC\perp BD$. Le point important est que l'hypothèse doit être écrite sous sa forme UTILISABLE, ici l'égalité des longueurs, et non sous son nom. Un mot ne se calcule pas, une égalité oui.

b) Hypothèse : $x$ est un réel quelconque, et c'est tout. Conclusion : $(x+3)^{2}-(x-3)^{2}=12x$. Une identité de ce type se démontre en partant du membre de gauche, sans jamais supposer l'égalité.

c) Hypothèse : $f(x)=a(x-h)^{2}+k$ et $a>0$. Conclusion : $f$ admet un minimum, c'est-à-dire qu'il existe une valeur atteinte inférieure ou égale à toutes les autres. Remarquez que la conclusion est ici une EXISTENCE : il faudra exhiber le minimum et prouver l'inégalité, pas seulement l'affirmer.

d) Hypothèse : deux droites de même pente possèdent un point commun. Conclusion : elles sont confondues, donc tous leurs points coïncident. La difficulté sera de transformer « même pente » en une égalité exploitable, à savoir $m_{1}=m_{2}$ dans $y=mx+b$.

e) La réciproque échange l'hypothèse et la conclusion : « si les diagonales d'un quadrilatère sont perpendiculaires, alors ce quadrilatère est un losange ». Elle est FAUSSE, et un contre-exemple le montre : un cerf-volant non losange, par exemple le quadrilatère de sommets $(0\,;0)$, $(2\,;3)$, $(0\,;8)$ et $(-2\,;3)$, a bien ses diagonales perpendiculaires, l'une étant verticale et l'autre horizontale, alors que ses côtés ne sont pas tous isométriques : les deux du bas mesurent $\sqrt{13}$ et les deux du haut $\sqrt{29}$. Retenez qu'un énoncé et sa réciproque sont deux affirmations distinctes, dont chacune demande sa propre démonstration.

f) Parce que « pour tout réel $x$ » demande une propriété universelle, et qu'un cas particulier ne prouve rien d'universel. Tester $x=1$ montre seulement que $16-4=12$, ce qui est exact mais ne dit rien des autres valeurs. La différence est de nature : un exemple ILLUSTRE, une démonstration ÉTABLIT. En revanche, si l'énoncé avait été « cette égalité est-elle vraie pour tout $x$ », un seul contre-exemple aurait suffi à répondre non.

a) FAUSSE. Contre-exemple : $x=0{,}5$ donne $x^{2}=0{,}25$, qui est inférieur à $0{,}5$. Une seule valeur suffit et la réponse tient en une ligne. On peut préciser où l'affirmation échoue : elle est vraie pour $x\leq 0$ et pour $x\geq 1$, et fausse sur $]0\ ;1[$, l'intervalle où élever au carré diminue un nombre. Ce n'est pas exigé, mais cela montre qu'on a compris le mécanisme et non seulement trouvé un accident.

b) VRAIE. Démonstration : pour tout réel $x$, $x^{2}\geq 0$ par définition du carré, donc $x^{2}+1\geq 0+1=1>0$. Conclusion : $x^{2}+1$ est strictement positif pour tout réel $x$. Trois lignes, un point de départ qui est une propriété connue, une chaîne d'inégalités, une phrase de conclusion : c'est le format complet.

c) FAUSSE. Contre-exemple : $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$ sont tous deux irrationnels, et leur somme vaut $0$, qui est un entier donc un rationnel. Autre contre-exemple souvent proposé : $\left(1+\sqrt{2}\right)+\left(1-\sqrt{2}\right)=2$. Notez qu'il ne suffit PAS de dire « c'est faux » : le contre-exemple doit être écrit, et il doit être vérifié, ici en constatant que la somme est bien rationnelle.

d) VRAIE, c'est l'inégalité triangulaire. Démonstration : on part de $-|a|\leq a\leq|a|$ et de $-|b|\leq b\leq|b|$, deux encadrements vrais par définition de la valeur absolue. En les additionnant membre à membre : $-\left(|a|+|b|\right)\leq a+b\leq|a|+|b|$. Or dire qu'un nombre est encadré par $-M$ et $M$ équivaut à dire que sa valeur absolue est inférieure ou égale à $M$. Donc $|a+b|\leq|a|+|b|$. Contrôle sur un cas : $a=3$, $b=-5$ donnent $|-2|=2\leq 8$ ✓, et l'écart montre que l'inégalité est souvent large.

e) VRAIE. Démonstration : soient $x_{1}<x_{2}$ deux réels du domaine commun. Comme $f$ est croissante, $f(x_{1})\leq f(x_{2})$ ; comme $g$ est croissante, $g(x_{1})\leq g(x_{2})$. En additionnant ces deux inégalités de même sens : $f(x_{1})+g(x_{1})\leq f(x_{2})+g(x_{2})$, c'est-à-dire $(f+g)(x_{1})\leq(f+g)(x_{2})$. Conclusion : $f+g$ est croissante. Deux remarques : on additionne deux inégalités de même sens, ce qui est permis, alors qu'on ne les soustrait jamais ; et l'énoncé analogue pour le PRODUIT est faux sans hypothèse de signe, comme le montrent $f(x)=g(x)=x$ sur les négatifs, où le produit $x^{2}$ décroît.

a) On part du membre de gauche, le plus compliqué parce qu'il contient une tangente. $\tan x\cdot\cos x=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x=\sin x$, en simplifiant par $\cos x$. Conclusion : l'identité est démontrée pour tout $x$ tel que $\cos x\neq 0$, c'est-à-dire $x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$. Le domaine fait partie de la réponse : sans lui, l'identité serait fausse aux points où la tangente n'existe pas.

b) On part de la gauche. Le numérateur $1-\cos^{2}x$ se reconnaît immédiatement : l'identité fondamentale $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ donne $1-\cos^{2}x=\sin^{2}x$. Donc $\frac{1-\cos^{2}x}{\sin x}=\frac{\sin^{2}x}{\sin x}=\sin x$. Domaine : $\sin x\neq 0$, soit $x\neq k\pi$. Contrôle numérique, qui ne remplace pas la preuve mais attrape les erreurs : pour $x=\frac{\pi}{6}$, la gauche vaut $\frac{1-0{,}75}{0{,}5}=0{,}5$ et la droite $0{,}5$ ✓.

c) On développe le membre de gauche : $(\sin x+\cos x)^{2}=\sin^{2}x+2\sin x\cos x+\cos^{2}x$. On regroupe les deux carrés, qui valent $1$ ensemble : $=1+2\sin x\cos x$. C'est le membre de droite, l'identité est démontrée pour tout réel $x$, sans restriction. Le mécanisme à retenir : dès que $\sin^{2}$ et $\cos^{2}$ apparaissent tous les deux, on les remplace par $1$.

d) On part de la gauche et l'on met au même dénominateur, en remarquant que le produit des deux dénominateurs est une différence de carrés : $(1+\cos x)(1-\cos x)=1-\cos^{2}x=\sin^{2}x$. Le numérateur devient $(1-\cos x)+(1+\cos x)=2$, les termes en cosinus s'annulant. On obtient donc $\frac{2}{\sin^{2}x}$, qui est le membre de droite. Domaine : $\sin x\neq 0$, donc $x\neq k\pi$, ce qui exclut aussi les valeurs annulant $1\pm\cos x$. Contrôle en $x=\frac{\pi}{3}$ : la gauche vaut $\frac{1}{1{,}5}+\frac{1}{0{,}5}=0{,}667+2=2{,}667$ et la droite $\frac{2}{0{,}75}=2{,}667$ ✓.

e) La copie PART de ce qu'il faut démontrer. Elle écrit l'égalité en première ligne, alors que c'est justement la conclusion : le raisonnement est circulaire. Avec cette méthode, on pourrait aussi bien « démontrer » que $1=2$ en multipliant les deux membres par $0$ pour aboutir à $0=0$. La correction est purement rédactionnelle et le calcul, lui, ne change pas : il suffit de ne PAS écrire l'égalité au départ et de traiter le membre de gauche seul, en terminant par « ce qui est bien le membre de droite ». Même contenu, une preuve au lieu d'une vérification.

a) Pour tout réel $x$, $(x-h)^{2}\geq 0$ par définition du carré. Comme $a>0$, la multiplication conserve le sens : $a(x-h)^{2}\geq 0$. En ajoutant $k$ aux deux membres : $a(x-h)^{2}+k\geq k$, c'est-à-dire $f(x)\geq k$ pour tout $x$. Par ailleurs cette valeur est ATTEINTE, puisque $f(h)=a\times 0+k=k$. Donc $k$ est bien le minimum de $f$, atteint en $x=h$. Les deux étapes sont indispensables : l'inégalité montre que rien ne descend plus bas, l'égalité en $h$ montre que la valeur est réellement prise. Une borne non atteinte ne serait pas un minimum.

b) Supposons qu'il existe un réel $x$ du domaine tel que $g(x)=k$. Alors $\frac{1}{x-h}+k=k$, donc $\frac{1}{x-h}=0$. Or un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul, et ce numérateur vaut $1$, qui n'est pas nul. L'hypothèse mène donc à une contradiction, et aucune valeur $x$ ne convient. Conclusion : $g$ ne prend jamais la valeur $k$, ce qui est exactement la raison pour laquelle $y=k$ est une asymptote horizontale et pour laquelle l'image est $\mathbb{R}\setminus\{k\}$. Cette structure, supposer le contraire pour aboutir à une absurdité, s'appelle le raisonnement par l'absurde et elle est parfaitement recevable au secondaire.

c) Une puissance de base strictement positive est strictement positive : $2^{x}>0$ pour tout réel $x$, y compris négatif, puisque $2^{-n}=\frac{1}{2^{n}}>0$. En multipliant par $3>0$, le sens est conservé : $3\cdot 2^{x}>0$. Conclusion : $p$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$, ce qui entraîne au passage qu'elle n'a AUCUN zéro, résultat que l'on réutilise sans cesse.

d) Soient $x_{1}<x_{2}$. Comme $f$ est croissante, $f(x_{1})\leq f(x_{2})$. En multipliant les deux membres par $c>0$, le sens est conservé : $c\,f(x_{1})\leq c\,f(x_{2})$. Donc $c\,f$ est croissante. Si $c<0$, la multiplication RENVERSE l'inégalité : $c\,f(x_{1})\geq c\,f(x_{2})$, et la fonction $c\,f$ est alors décroissante. C'est la justification propre du fait qu'un paramètre $a$ négatif retourne une courbe, résultat que l'on utilise depuis le premier chapitre sans toujours savoir le prouver.

e) Parce qu'un graphique montre une fenêtre, jamais la totalité de la fonction : rien n'y garantit qu'ailleurs, hors du cadre, la courbe ne redescende pas sous $k$. Le dessin est une observation, pas un argument. Ce qu'il faut ajouter est exactement la démonstration de la question a), c'est-à-dire l'inégalité $f(x)\geq k$ valable pour TOUT réel $x$, plus le calcul $f(h)=k$. La bonne pratique consiste à faire les deux : on dessine pour comprendre et conjecturer, on rédige pour démontrer.

a) Défaut : la généralisation abusive à partir d'exemples. Trois cas ne disent rien des autres, et l'histoire des mathématiques est pleine d'énoncés vrais pour les quarante premiers entiers et faux ensuite. Réparation : $n^{2}+n=n(n+1)$, produit de deux entiers CONSÉCUTIFS, dont l'un est nécessairement pair, donc le produit est pair. Deux lignes, et c'est valable pour tout $n$. Notez que le calcul sur les exemples reste utile : il sert à conjecturer, jamais à conclure.

b) Défaut : raisonnement circulaire, et opération illicite. La copie part de l'égalité à démontrer, ce qui la suppose vraie ; par ailleurs élever au carré une égalité qu'on n'a pas établie ne prouve rien, puisque cette opération peut rendre vraies des égalités fausses, comme $2=-2$ qui donne $4=4$. Réparation : partir du cercle trigonométrique. Un point du cercle unité a pour coordonnées $(\cos x\,;\sin x)$ et se trouve à distance $1$ de l'origine, donc $\cos^{2}x+\sin^{2}x=1^{2}=1$ par le théorème de Pythagore. La démonstration part d'une définition et arrive à l'identité.

c) Défaut : l'argument est visuel. Un dessin est fait à la main ou par un logiciel, il est approximatif, et deux droites d'angle $89$ degrés se distinguent mal d'un angle droit. Réparation : calculer. Soit le produit des pentes vaut $-1$, soit le produit scalaire des vecteurs directeurs est nul. L'une de ces deux égalités est une preuve, le dessin n'en est jamais une.

d) Défaut : l'argument est expérimental et il porte sur une fenêtre. Une calculatrice affiche un intervalle, et rien n'assure que la courbe ne fasse pas autre chose ailleurs. Réparation : soient $x_{1}<x_{2}$ ; on veut $x_{1}^{3}<x_{2}^{3}$. En factorisant, $x_{2}^{3}-x_{1}^{3}=(x_{2}-x_{1})\left(x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{1}^{2}\right)$, où le premier facteur est positif et le second est une somme toujours strictement positive sauf si $x_{1}=x_{2}=0$. La différence est donc positive et la fonction est croissante.

e) Deux défauts en une phrase. « Ils ont l'air égaux » est un argument visuel, traité en c). Et « l'énoncé le dit » confond l'hypothèse avec la conclusion : si l'énoncé demande de MONTRER que le triangle est isocèle, alors cette information n'est justement pas donnée, elle est à établir. Réparation : calculer les deux longueurs avec la formule de la distance et constater l'égalité, en concluant par une phrase. C'est l'erreur la plus grave des cinq, parce qu'elle consiste à utiliser ce qu'on doit prouver.

a) On place $A$ à l'origine, le côté $AB$ sur l'axe des abscisses. Le rectangle a alors pour sommets $A(0\,;0)$, $B(a\,;0)$, $C(a\,;b)$ et $D(0\,;b)$, avec $a>0$ et $b>0$. On calcule les deux diagonales : $AC=\sqrt{(a-0)^{2}+(b-0)^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ et $BD=\sqrt{(0-a)^{2}+(b-0)^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$. Les deux expressions sont identiques, donc $AC=BD$. Conclusion : les diagonales d'un rectangle sont isométriques.

b) Parce qu'un repère est un instrument de mesure, pas une donnée du problème : la propriété à démontrer, l'égalité de deux longueurs, ne dépend pas de l'endroit où l'on pose les axes. On a donc le droit de les poser au plus commode. Ce qui serait interdit, en revanche, serait de choisir des VALEURS particulières, par exemple $a=3$ et $b=4$ : cela démontrerait l'énoncé pour un seul rectangle. La distinction est essentielle et elle est régulièrement mal comprise : on fixe le repère, jamais les dimensions.

c) La relation de Chasles donne $\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}$ et $\vec{BD}=\vec{BA}+\vec{AD}=\vec{AD}-\vec{AB}$. On calcule les carrés des normes avec le produit scalaire : $\|\vec{AC}\|^{2}=\|\vec{AB}\|^{2}+2\vec{AB}\cdot\vec{AD}+\|\vec{AD}\|^{2}$ et $\|\vec{BD}\|^{2}=\|\vec{AD}\|^{2}-2\vec{AB}\cdot\vec{AD}+\|\vec{AB}\|^{2}$. Comme le quadrilatère est un rectangle, $\vec{AB}\cdot\vec{AD}=0$, et les deux doubles produits disparaissent : les deux carrés valent $\|\vec{AB}\|^{2}+\|\vec{AD}\|^{2}$. Des normes étant positives, l'égalité des carrés entraîne celle des normes, donc $AC=BD$.

d) Dans la voie des coordonnées, l'hypothèse « rectangle » est utilisée au moment où l'on écrit les coordonnées $B(a\,;0)$ et $D(0\,;b)$ : c'est là que l'on impose l'angle droit en $A$, en plaçant les deux côtés sur les deux axes. Dans la voie vectorielle, elle est utilisée à un seul endroit, parfaitement identifiable : l'annulation du produit scalaire $\vec{AB}\cdot\vec{AD}=0$. Savoir dire OÙ sert l'hypothèse est le meilleur test de compréhension d'une démonstration : si vous ne trouvez pas cet endroit, c'est en général que la preuve est fausse ou incomplète.

e) Critère : s'il y a déjà un repère dans l'énoncé, ou des coordonnées données, on prend la voie des coordonnées, qui est la plus mécanique et la moins risquée. S'il n'y a pas de repère et que l'énoncé parle de longueurs, de milieux, de parallélisme ou d'orthogonalité, la voie vectorielle est plus courte et surtout plus générale, puisqu'elle ne demande aucun choix de repère à justifier. Un examen de secondaire 5 accepte les deux, mais il arrive qu'il en impose une : lisez la consigne, le mot « vectoriellement » ou la présence d'un repère tranche.

a) Réciproque : « si $a^{2}=b^{2}$ alors $a=b$ ». L'énoncé direct est VRAI : si deux nombres sont égaux, leurs carrés le sont, puisqu'on applique la même opération aux deux membres. La réciproque est FAUSSE, et le contre-exemple est immédiat : $a=2$ et $b=-2$ donnent $a^{2}=b^{2}=4$ alors que $a\neq b$. L'énoncé correct de la réciproque serait : si $a^{2}=b^{2}$ alors $a=b$ ou $a=-b$, c'est-à-dire $|a|=|b|$.

b) Contraposée : « si $a^{2}\neq b^{2}$ alors $a\neq b$ ». Elle est vraie, et elle l'est nécessairement : la contraposée d'un énoncé vrai est toujours vraie, car les deux disent exactement la même chose. C'est ce qui la rend utile, on démontre parfois la contraposée parce qu'elle est plus commode. Attention à ne pas la confondre avec la réciproque, qui, elle, n'a aucune raison d'être vraie : ici la contraposée est vraie et la réciproque est fausse, alors qu'elles se ressemblent typographiquement.

c) Théorème de Pythagore : si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres côtés. Réciproque : si dans un triangle le carré du plus grand côté égale la somme des carrés des deux autres, alors ce triangle est rectangle. Pour PROUVER qu'un triangle est rectangle à partir de ses trois longueurs, c'est la RÉCIPROQUE qu'on utilise, puisque l'hypothèse disponible porte sur les longueurs et la conclusion cherchée sur l'angle. Le théorème direct, lui, sert à calculer une longueur quand on sait déjà que l'angle est droit. Une formule utile pour ne plus se tromper : Pythagore calcule, sa réciproque décide.

d) Le plus grand côté est $PR=13$. On calcule séparément les deux membres : $13^{2}=169$ d'une part, et $5^{2}+12^{2}=25+144=169$ d'autre part. Les deux résultats sont égaux. Par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $PQR$ est donc rectangle, et l'angle droit se trouve en $Q$, le sommet OPPOSÉ au plus grand côté. Deux exigences de rédaction : calculer les deux membres séparément avant de conclure à l'égalité, plutôt que d'écrire d'emblée $13^{2}=5^{2}+12^{2}$, qui suppose ce qu'on veut établir ; et nommer le sommet de l'angle droit, ce qui est souvent la vraie question.

e) Deux démonstrations, une par sens. Sens direct : si le quadrilatère est un losange, alors ses quatre côtés sont isométriques. Sens réciproque : si ses quatre côtés sont isométriques, alors c'est un losange. Ici les deux sont immédiates, parce que l'égalité des côtés est précisément la DÉFINITION du losange, et l'énoncé est en réalité une définition déguisée. Mais la règle générale demeure : tout « si et seulement si » coûte deux démonstrations, et une copie qui n'en fournit qu'une ne récolte que la moitié des points.

a) Le triangle est rectangle en $A$ parce que $[AB]$ est porté par l'axe des abscisses et $[AC]$ par l'axe des ordonnées, deux droites perpendiculaires. On peut aussi le vérifier par le produit scalaire : $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=6\times 0+0\times 8=0$ ✓. Le milieu de $[BC]$ a pour coordonnées $M\left(\frac{6+0}{2}\ ;\frac{0+8}{2}\right)=(3\,;4)$.

b) $MA=\sqrt{(3-0)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$. $MB=\sqrt{(3-6)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{9+16}=5$. $MC=\sqrt{(3-0)^{2}+(4-8)^{2}}=\sqrt{9+16}=5$. Les trois distances valent $5$, donc $M$ est équidistant des trois sommets dans ce triangle. On remarque au passage que $BC=\sqrt{36+64}=10$ et que $5$ en est la moitié, ce qui suggère le résultat général : cette distance commune est toujours la moitié de l'hypoténuse.

c) Parce qu'un triangle particulier ne dit rien de tous les autres. Le calcul fait en b) est une vérification, pas une preuve : il porte sur le triangle de côtés $6$ et $8$, et rien n'exclut qu'un autre triangle rectangle se comporte différemment. C'est exactement la faute de généralisation étudiée plus haut dans la série. Le cas numérique a pourtant une vraie utilité : il permet de CONJECTURER l'énoncé et de repérer la piste, ici que la distance commune vaut la moitié de l'hypoténuse.

d) On place $A(0\,;0)$, $B(2b\,;0)$ et $C(0\,;2c)$, ce qui garantit l'angle droit en $A$ et ne perd aucune généralité, tout triangle rectangle pouvant être amené à cette position. Les facteurs $2$ sont un simple confort d'écriture, ils éviteront des fractions. Le milieu de $[BC]$ est $M\left(\frac{2b+0}{2}\ ;\frac{0+2c}{2}\right)=(b\,;c)$. On calcule les trois distances : $MA=\sqrt{b^{2}+c^{2}}$ ; $MB=\sqrt{(b-2b)^{2}+(c-0)^{2}}=\sqrt{b^{2}+c^{2}}$ ; $MC=\sqrt{(b-0)^{2}+(c-2c)^{2}}=\sqrt{b^{2}+c^{2}}$. Les trois expressions sont identiques, donc $MA=MB=MC$. Conclusion : dans tout triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est équidistant des trois sommets. Remarquons où sert l'hypothèse : l'angle droit est utilisé au moment du placement, lorsqu'on met les deux côtés sur les axes.

e) Elle exprime que les trois sommets sont sur un même CERCLE de centre $M$ et de rayon $\sqrt{b^{2}+c^{2}}$, c'est-à-dire la moitié de l'hypoténuse, puisque $BC=\sqrt{4b^{2}+4c^{2}}=2\sqrt{b^{2}+c^{2}}$. Autrement dit, l'hypoténuse est un DIAMÈTRE du cercle circonscrit au triangle rectangle. Ce résultat a une réciproque, elle aussi vraie et souvent demandée : si un point voit un segment sous un angle droit, il appartient au cercle de diamètre ce segment. C'est un lieu géométrique du programme, et l'exercice qu'on vient de faire en est la démonstration dans un sens.

a) Structure 1, preuve directe : « Soit $x$ un réel quelconque. On a... ». Structure 2, contre-exemple : « Prenons $x=\dots$ ; alors... ce qui contredit l'affirmation ». Structure 3, absurde : « Supposons qu'il existe... ». Structure 4, contraposée : « Démontrons la contraposée : si non $Q$, alors non $P$ ». Structure 5, disjonction de cas : « Deux cas se présentent : ou bien..., ou bien... ». Chacune de ces premières lignes vaut un point à elle seule dans un barème, parce qu'elle prouve que la structure logique est comprise.

b) Structure 5, la disjonction de cas, imposée par la définition même de la valeur absolue. Rédaction : soit $x$ un réel. Deux cas se présentent. Si $x\geq 0$, alors $|x|=x$, donc $|x|\geq x$, l'égalité étant réalisée. Si $x<0$, alors $|x|=-x$, qui est strictement positif, tandis que $x$ est strictement négatif : donc $|x|>x$. Dans les deux cas, $|x|\geq x$. Conclusion : l'inégalité vaut pour tout réel. Vérification numérique : $|{-4}|=4>-4$ ✓ et $|4|=4=4$ ✓.

c) Structure 3, le raisonnement par l'absurde, comme on l'a fait plus haut dans la série : on suppose qu'il existe un $x$ tel que $\frac{a}{x-h}+k=k$, on en déduit $\frac{a}{x-h}=0$, donc $a=0$, ce qui contredit l'hypothèse $a\neq 0$ d'une fonction homographique. On pourrait aussi rédiger cela directement, en disant qu'un quotient de numérateur non nul ne s'annule jamais ; les deux sont acceptées, et l'absurde est souvent la plus facile à écrire quand la conclusion contient le mot « jamais ».

d) Structure 4, la contraposée, parce que l'hypothèse porte sur $n^{2}$ alors que la conclusion porte sur $n$, et qu'on ne sait pas remonter de $n^{2}$ à $n$. Contraposée : si $n$ est PAIR, alors $n^{2}$ est PAIR. Rédaction : supposons $n$ pair, c'est-à-dire $n=2k$ avec $k$ entier. Alors $n^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}=2\left(2k^{2}\right)$, qui est un multiple de $2$, donc pair. La contraposée étant démontrée, l'énoncé initial l'est aussi. Notez l'économie : la preuve directe demanderait de factoriser $n^{2}$ impair, ce qui n'est pas immédiat, alors que la contraposée se traite en trois lignes.

e) Structure 2, le contre-exemple, car l'affirmation est fausse. La fonction $f(x)=x$ est croissante sur $\mathbb{R}$ et pourtant $f(-3)=-3<0$ : elle n'est pas positive. L'affirmation est donc réfutée par ce seul exemple. Rédaction complète : « Cette affirmation est fausse. Contre-exemple : $f(x)=x$ est croissante sur $\mathbb{R}$, or $f(-3)=-3$ est négatif. Le signe et la variation sont deux propriétés indépendantes. » Trois phrases suffisent, et il ne faut surtout pas se lancer dans une démonstration : chercher à prouver un énoncé faux est le meilleur moyen de perdre dix minutes et de rendre une preuve fausse.