Mathématiques SN, secondaire 5 • Exercices corrigés à Montréal

Fiche de révision : Démontrer et justifier : la méthode

Une démonstration n'est pas un calcul plus difficile qu'un autre : c'est un calcul rangé dans un certain ordre, et c'est cet ordre qui rapporte les points.

Cette fiche donne les cinq structures qui couvrent tout le programme, la première ligne de chacune, et les sept manières de rendre une page de mathématiques exactes qui ne démontre rien.

Le fil du chapitre

Une démonstration part des HYPOTHÈSES et arrive à la CONCLUSION, jamais l'inverse : la plupart des copies fausses écrivent des calculs justes, mais en partant de ce qu'il fallait prouver.

Ce chapitre fait partie de Mathématique SN5 : Sciences naturelles, secondaire 5

L'essentiel

Les cinq structures, et leur première ligne

• PREUVE DIRECTE : « Soit $x$ un réel quelconque. On a... ». On part d'une propriété connue et l'on avance jusqu'à la conclusion.
• CONTRE-EXEMPLE : « Prenons $x=\dots$ ; alors... ». Une seule valeur suffit à réfuter, et la réponse est complète en trois lignes.
• RAISONNEMENT PAR L'ABSURDE : « Supposons qu'il existe... ». À employer dès que la conclusion contient le mot JAMAIS ou AUCUN.
• CONTRAPOSÉE : « Démontrons que si non $Q$ alors non $P$ ». Utile quand l'hypothèse porte sur $n^{2}$ et la conclusion sur $n$ .
• DISJONCTION DE CAS : « Deux cas se présentent : ou bien..., ou bien... ». Imposée par toute valeur absolue et par tout signe inconnu.

Le même énoncé, les diagonales d'un rectangle sont isométriques, se démontre par les coordonnées en plaçant

A

à l'origine, ou par les vecteurs en écrivant

\vec{AB}\cdot\vec{AD}=0

Ce qui n'est PAS une démonstration

• Vérifier sur trois exemples. Un exemple ILLUSTRE, il n'établit rien d'universel.
• Partir de l'égalité à démontrer. C'est circulaire : on suppose ce qu'il faut prouver.
• Invoquer le dessin. « On voit que l'angle est droit » n'est pas un argument ; un produit scalaire nul en est un.
• Invoquer la calculatrice. Elle affiche une fenêtre, jamais la totalité d'une fonction.
• Utiliser la conclusion comme hypothèse. « De toute façon l'énoncé dit que le triangle est isocèle » alors que c'est justement ce qu'il faut établir.
• Fixer des VALEURS particulières. Choisir le repère est permis, choisir $a=3$ et $b=4$ ne l'est pas.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Démontrer que $\tan x\cos x=\sin x$ .

La moitié des points de la question, alors que le calcul est identique.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\tan x\cos x=\sin x$ , donc $\frac{\sin x}{\cos x}\cos x=\sin x$ , donc $\sin x=\sin x$ , c'est vrai. »

Ce qu'il faut écrire

« On part du membre de gauche : $\tan x\cos x=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x=\sin x$ , ce qui est bien le membre de droite, pour $\cos x\neq 0$ . »

Pourquoi : Écrire l'égalité en première ligne revient à la supposer vraie. Avec cette méthode on démontrerait aussi que $1=2$ , en multipliant les deux membres par $0$ pour aboutir à $0=0$ . La correction est purement rédactionnelle : ne pas écrire l'égalité au départ.

2. Montrer que $n^{2}+n$ est pair pour tout entier $n$ .

Presque tous les points : la question demandait une preuve, pas une vérification.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $n=1$ donne $2$ , $n=2$ donne $6$ , $n=3$ donne $12$ : c'est toujours pair. »

Ce qu'il faut écrire

« $n^{2}+n=n(n+1)$ , produit de deux entiers CONSÉCUTIFS, dont l'un est nécessairement pair : le produit est donc pair. »

Pourquoi : Des cas particuliers ne disent rien des autres. L'expression $n^{2}+n+11$ donne un nombre premier pour $n=0$ jusqu'à $n=9$ , dix fois de suite, et échoue en $n=10$ où elle vaut $121=11\times 11$ . Les exemples servent à conjecturer, jamais à conclure.

3. Un triangle a pour côtés $5$ , $12$ et $13$ . Montrer qu'il est rectangle.

1 à 2 points : le théorème invoqué n'est pas celui qui s'applique.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Par le théorème de Pythagore, $13^{2}=5^{2}+12^{2}$ , donc il est rectangle. »

Ce qu'il faut écrire

« $13^{2}=169$ d'une part, $5^{2}+12^{2}=25+144=169$ d'autre part. Les deux membres sont égaux, donc par la RÉCIPROQUE du théorème de Pythagore le triangle est rectangle en $Q$ . »

L'angle droit se trouve en

Q

, le sommet OPPOSÉ au plus grand côté : c'est cette localisation, et pas seulement l'égalité des carrés, que la conclusion doit nommer.

Pourquoi : Pythagore CALCULE une longueur quand on sait déjà que l'angle est droit ; sa réciproque DÉCIDE que l'angle est droit à partir des longueurs. Et il faut calculer les deux membres SÉPARÉMENT avant de conclure à l'égalité, sans quoi on écrit ce qu'on veut prouver.

4. Montrer que deux droites d'un repère sont perpendiculaires.

Tous les points de la justification, même si la conclusion est vraie.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Sur le dessin, l'angle est droit. »

Ce qu'il faut écrire

« Le produit des pentes vaut $2\times\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$ , donc les droites sont perpendiculaires. »

Pourquoi : Un dessin est approximatif, et deux droites formant un angle de $89$ degrés s'en distinguent mal. La figure sert à comprendre et à conjecturer ; la preuve est un calcul, produit des pentes égal à $-1$ ou produit scalaire nul.

5. Démontrer une propriété d'un rectangle quelconque en géométrie analytique.

La question entière : la preuve ne porte que sur un rectangle particulier.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je prends $A(0\,;0)$ , $B(3\,;0)$ , $C(3\,;4)$ , $D(0\,;4)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Je prends $A(0\,;0)$ , $B(a\,;0)$ , $C(a\,;b)$ , $D(0\,;b)$ avec $a>0$ et $b>0$ . »

Pourquoi : Choisir le REPÈRE est permis, parce que la propriété à démontrer ne dépend pas de l'endroit où l'on pose les axes. Choisir des VALEURS ne l'est pas, parce que la propriété doit valoir pour tous les rectangles. La distinction est fine et elle est régulièrement sanctionnée.

6. Un énoncé de la forme « $P$ si et seulement si $Q$ ».

La moitié des points, exactement.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je démontre que si $P$ alors $Q$ , et c'est fini. »

Ce qu'il faut écrire

« Sens direct : si $P$ alors $Q$ . Sens réciproque : si $Q$ alors $P$ . Les deux sont démontrés, donc l'équivalence est établie. »

Pourquoi : Une équivalence est la conjonction de deux implications, et rien n'assure que la seconde soit vraie parce que la première l'est. Exemple : « si $a=b$ alors $a^{2}=b^{2}$ » est vrai, mais sa réciproque est fausse, comme le montrent $a=2$ et $b=-2$ .

7. « Toute fonction croissante est positive. » Vrai ou faux ?

Dix minutes perdues et une preuve fausse rendue, alors que trois lignes suffisaient.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je cherche à le démontrer... soit $x_{1}<x_{2}$ ... »

Ce qu'il faut écrire

« C'est faux. Contre-exemple : $f(x)=x$ est croissante sur $\mathbb{R}$ , or $f(-3)=-3<0$ . »

Pourquoi : Avant de démontrer, il faut décider si l'énoncé est VRAI. Un contre-exemple valide clôt définitivement la question : il n'y a plus rien à prouver, et il serait d'ailleurs impossible d'y parvenir. Le réflexe : tester deux ou trois cas simples avant de se lancer.

Quelle méthode choisir

Quelle structure de preuve pour cet énoncé

Un énoncé qui commence par « montrez que » ou « l'affirmation suivante est-elle vraie ».

Si Vous doutez que l'énoncé soit vrai → CONTRE-EXEMPLE : tester deux ou trois valeurs simples avant toute chose

Exemple : « Toute fonction croissante est positive » : $f(x)=x$ en $x=-3$
Si La conclusion contient JAMAIS, AUCUN ou IMPOSSIBLE → ABSURDE : supposer le contraire et aboutir à une contradiction

Exemple : Une homographique ne prend jamais la valeur $k$
Si L'hypothèse porte sur $n^{2}$ et la conclusion sur $n$ → CONTRAPOSÉE : plus facile à écrire dans ce sens

Exemple : Si $n^{2}$ est impair alors $n$ est impair
Si Une valeur absolue, un signe inconnu, un intervalle découpé → DISJONCTION DE CAS : traiter chaque cas et conclure sur les deux

Exemple : Montrer que $|x|\geq x$ : cas $x\geq 0$ , puis cas $x<0$
Si Une identité à établir, avec un membre plus compliqué que l'autre → PREUVE DIRECTE en partant du membre COMPLIQUÉ

Exemple : $\frac{1-\cos^{2}x}{\sin x}=\sin x$
Si Une propriété géométrique, avec un repère dans l'énoncé → PREUVE DIRECTE par les coordonnées, la plus mécanique

Exemple : Nature d'un quadrilatère dont on donne les sommets
Si Une propriété géométrique sans repère, avec longueurs ou orthogonalité → PREUVE DIRECTE par les VECTEURS, plus courte et plus générale

Exemple : Les diagonales d'un rectangle sont isométriques

Dans tous les cas, la première ligne est celle de la structure choisie, et elle vaut un point à elle seule : elle prouve que la logique de l'énoncé a été comprise.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger une démonstration, quel que soit le chapitre

Quand l'utiliser : Sur toute question « montrez que », « démontrez que » ou « justifiez que ».

1 Écrire l'HYPOTHÈSE sous sa forme utilisable, pas sous son nom : « $ABCD$ est un losange, donc $AB=BC=CD=DA$ ».
2 Écrire la CONCLUSION visée, pour savoir où l'on va.
3 Choisir la structure et poser sa première ligne.
4 Avancer par implications, une par ligne, en signalant à quel endroit l'hypothèse est utilisée.
5 Conclure par une phrase qui reprend l'énoncé démontré, en toutes lettres.

Phrase de conclusion

« Comme $\vec{AB}\cdot\vec{AD}=0$ , les deux doubles produits s'annulent et les deux carrés sont égaux. Les normes étant positives, on conclut que $AC=BD$ : les diagonales d'un rectangle sont bien isométriques. »

Le piège : Terminer sur un calcul, sans phrase. Le correcteur ne sait alors pas si vous avez vu que le calcul répondait à la question, et la dernière ligne est souvent celle qui porte les points de conclusion.

Barème : Typiquement 1 point pour la structure et l'hypothèse posée, 2 à 3 pour le raisonnement, 1 pour la conclusion écrite.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Où sert l'hypothèse ?

Relire la preuve et pointer la ligne exacte où l'hypothèse a été utilisée. Si vous ne la trouvez pas, la preuve est fausse ou incomplète.

Dans la preuve vectorielle du rectangle, l'hypothèse sert à l'annulation de $\vec{AB}\cdot\vec{AD}$ , et nulle part ailleurs.
Ai-je écrit l'égalité au départ ?

Regarder la première ligne d'une démonstration d'identité : si elle contient déjà le signe égal entre les deux membres à comparer, la preuve est circulaire.

Commencer par « $\tan x\cos x=\sin x$ » est circulaire ; commencer par « $\tan x\cos x=\frac{\sin x}{\cos x}\cos x$ » ne l'est pas.
Le test numérique avant la preuve

Avant de démontrer une identité, la tester sur une valeur simple. Si elle échoue, elle est fausse et il ne faut surtout pas chercher à la prouver.

$\sin(a+b)=\sin a+\sin b$ testée en $a=b=\frac{\pi}{2}$ donne $0$ contre $2$ : inutile de continuer.
La phrase de conclusion

Vérifier que la dernière ligne est une phrase en français qui reprend l'énoncé, et non un calcul.

« Donc le triangle est rectangle en $Q$ », et pas seulement « $169=169$ ».

L'exercice type décortiqué

Démontrer une inégalité vraie pour tout réel

Démontrez que pour tout réel $x$ , $\dfrac{x}{x^{2}+1}\leq\dfrac{1}{2}$ .

La courbe ci-dessous illustre l'énoncé, elle ne le démontre pas.

La courbe touche la droite

y=\frac{1}{2}

en un seul point, d'abscisse

1

, et reste en dessous partout ailleurs : l'inégalité est large, et le cas d'égalité existe.

Étape 1

Hypothèse : $x$ est un réel quelconque. Conclusion visée : $\frac{x}{x^{2}+1}\leq\frac{1}{2}$ . Structure : preuve directe.

Pourquoi

On pose le cadre avant tout calcul. Ici il n'y a aucune hypothèse particulière, ce qui signifie que la preuve devra partir d'une propriété universellement vraie, et non d'une donnée.

Étape 2

Point de départ : pour tout réel $x$ , $(x-1)^{2}\geq 0$ .

Pourquoi

C'est LA ligne à trouver, et elle est toujours de cette forme : un carré est positif ou nul. Toutes les inégalités du secondaire se démontrent en partant d'un carré, et l'astuce consiste à deviner lequel, ici $(x-1)^{2}$ parce que le cas d'égalité se lit en $x=1$ sur le dessin.

Étape 3

En développant : $x^{2}-2x+1\geq 0$ , donc $x^{2}+1\geq 2x$ .

Pourquoi

On a simplement ajouté $2x$ aux deux membres, ce qui est toujours permis et ne change pas le sens. L'inégalité obtenue ressemble déjà à la conclusion : on tient le bon bout.

Étape 4

Or $x^{2}+1>0$ pour tout réel $x$ , puisque $x^{2}\geq 0$ . On peut donc diviser les deux membres par $x^{2}+1$ SANS changer le sens : $1\geq\frac{2x}{x^{2}+1}$ .

Pourquoi

C'est l'étape critique et la seule où l'on peut se tromper : diviser par une quantité de signe inconnu est interdit. Il faut donc DÉMONTRER que le dénominateur est strictement positif, en une ligne, avant de diviser.

Étape 5

En divisant par $2$ : $\frac{x}{x^{2}+1}\leq\frac{1}{2}$ , ce qui est bien la conclusion visée.

Pourquoi

Diviser par $2$ , un nombre positif, conserve le sens. La chaîne est complète : on est parti d'un fait universellement vrai et l'on est arrivé à l'énoncé demandé, sans jamais le supposer.

Étape 6

Cas d'égalité : l'inégalité de départ est une égalité si et seulement si $(x-1)^{2}=0$ , donc $x=1$ . Contrôle : $\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$ ✓.

Pourquoi

Préciser le cas d'égalité n'est pas obligatoire, mais c'est ce qui distingue une bonne copie : cela montre que l'on a suivi l'inégalité et pas seulement récité une chaîne. Et le contrôle numérique confirme la borne.

Conclusion rédigée

Pour tout réel $x$ , $\frac{x}{x^{2}+1}\leq\frac{1}{2}$ , avec égalité si et seulement si $x=1$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Partir de $\frac{x}{x^{2}+1}\leq\frac{1}{2}$ et multiplier en croix : c'est circulaire, et de plus la multiplication par $x^{2}+1$ suppose son signe, qui n'a pas encore été établi.

À savoir par cœur

• Une démonstration part des hypothèses et arrive à la conclusion, jamais l'inverse.
• Un exemple ne prouve rien, un contre-exemple réfute définitivement.
• Pour une identité : on part d'UN membre, le plus compliqué.
• Réciproque et contraposée sont deux énoncés différents ; seule la contraposée est toujours équivalente.
• Un « si et seulement si » coûte deux démonstrations.
• Le dessin illustre, il ne démontre pas.
• On choisit le repère, jamais les valeurs.
• Toute inégalité du secondaire se démontre en partant d'un carré positif ou nul.

Questions fréquentes

Comment commencer une démonstration en mathématiques ?

En écrivant deux lignes avant tout calcul : l'hypothèse, sous sa forme utilisable, et la conclusion visée. Ensuite on choisit la structure, preuve directe, contre-exemple, absurde, contraposée ou disjonction de cas, et l'on pose sa première ligne type. Cette première ligne vaut souvent un point à elle seule, parce qu'elle prouve que la logique de l'énoncé est comprise.

Peut-on démontrer une identité en travaillant les deux membres ?

Pas tel quel, car cela revient à supposer l'égalité qu'on doit établir. La règle est de partir d'un seul membre, en général le plus compliqué, et de le transformer jusqu'à obtenir l'autre. Il existe une exception, le raisonnement par équivalences, mais il faut alors écrire explicitement que chaque transformation en est une, ce qui est plus long que la méthode directe.

Quelle est la différence entre la réciproque et la contraposée ?

Pour l'énoncé si P alors Q, la réciproque est si Q alors P, et la contraposée est si non Q alors non P. La contraposée dit exactement la même chose que l'énoncé de départ, donc elle est vraie dès que l'énoncé l'est. La réciproque, elle, est un énoncé nouveau, qui peut parfaitement être faux : si a égale b alors a au carré égale b au carré est vrai, sa réciproque ne l'est pas.

Combien d'exemples faut-il pour démontrer une propriété ?

Aucun nombre ne suffit. Une propriété universelle porte sur une infinité de cas, et vérifier trois, dix ou mille valeurs n'en dit rien. L'expression n au carré plus n plus onze donne un nombre premier dix fois de suite avant d'échouer. Les exemples servent à conjecturer et à repérer la piste, la démonstration seule établit. En revanche, un seul contre-exemple suffit à réfuter.

Comment démontrer une inégalité en secondaire 5 ?

Presque toujours en partant d'un carré, puisqu'un carré est positif ou nul quel que soit le réel. On devine lequel en regardant où se trouve le cas d'égalité, on développe, puis on transforme l'inégalité obtenue jusqu'à la conclusion. Attention à une seule étape : diviser par une expression exige d'avoir prouvé d'abord qu'elle est strictement positive.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Démontrer et justifier : la méthode

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Mathématiques SN5 Calculs trigonométriques Les vecteurs Tuteur secondaire

Votre enfant sait calculer mais ne sait pas justifier ?

Contactez-moi pour une première séance. La rédaction d'une démonstration s'apprend comme une technique, et c'est souvent la seule chose qui sépare une note correcte d'une très bonne note.

Me contacter WhatsApp

Site par Studio Squalli

Fiche de révision : Démontrer et justifier : la méthode

L'essentiel

Les cinq structures, et leur première ligne

Ce qui n'est PAS une démonstration

Les pièges qui coûtent des points

1. Démontrer que tan⁡xcos⁡x=sin⁡x\tan x\cos x=\sin xtanxcosx=sinx.

2. Montrer que n2+nn^{2}+nn2+n est pair pour tout entier nnn.

3. Un triangle a pour côtés 555, 121212 et 131313. Montrer qu'il est rectangle.

4. Montrer que deux droites d'un repère sont perpendiculaires.

5. Démontrer une propriété d'un rectangle quelconque en géométrie analytique.

6. Un énoncé de la forme « PPP si et seulement si QQQ ».

7. « Toute fonction croissante est positive. » Vrai ou faux ?

Quelle méthode choisir

Quelle structure de preuve pour cet énoncé

La rédaction attendue

Rédiger une démonstration, quel que soit le chapitre

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Démontrer une inégalité vraie pour tout réel

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment commencer une démonstration en mathématiques ?

Peut-on démontrer une identité en travaillant les deux membres ?

Quelle est la différence entre la réciproque et la contraposée ?

Combien d'exemples faut-il pour démontrer une propriété ?

Comment démontrer une inégalité en secondaire 5 ?

Exercices corrigés : Démontrer et justifier : la méthode

Voir aussi

Votre enfant sait calculer mais ne sait pas justifier ?

1. Démontrer que $\tan x\cos x=\sin x$ .

2. Montrer que $n^{2}+n$ est pair pour tout entier $n$ .

3. Un triangle a pour côtés $5$ , $12$ et $13$ . Montrer qu'il est rectangle.

6. Un énoncé de la forme « $P$ si et seulement si $Q$ ».