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Cégep • Montréal

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle 201-SN4-RE (ancien 201-NYC)

Le cours d'algèbre linéaire et géométrie vectorielle 201-SN4-RE (ancien 201-NYC, Maths 105 dans une codification plus ancienne encore) est le plus abstrait des trois cours de mathématiques du programme. La difficulté n'est pas calculatoire, elle tient à la manipulation d'objets, les espaces vectoriels, dont on ne peut pas se faire d'image.

12 séries d'exercices entièrement corrigés (187 exercices), 12 fiches de révision, un examen blanc. Gratuit, sans compte. Le même cours en anglais.

Vecteurs et géométrie dans l'espace

  1. 1 Vecteurs dans l'espace : les trois produits Composantes et norme dans l'espace, produit scalaire et projection, produit vectoriel et aires, produit mixte et volumes, puis une partie niveau examen : identité de Lagrange, critère de coplanarité et un tétraèdre complet résolu par deux méthodes. S'y ajoutent les angles et cosinus directeurs avec l'identité cos²α+cos²β+cos²γ=1 et son piège (aucun vecteur à 45° des trois axes), la décomposition orthogonale d'un vecteur et la distance d'un point à une droite calculée par deux méthodes concordantes, le double produit vectoriel (règle BAC−CAB) et la non-associativité du produit vectoriel, et deux droites gauches classées puis mesurées par le produit mixte. Une partie C ajoute cinq classiques : le cube en coordonnées, un parallélogramme de l'espace, la décomposition d'un vecteur par produits mixtes, l'angle tétraédrique du méthane et la puissance reçue par un panneau solaire incliné. En ouverture, deux exercices de calculs directs, dix normes, produits scalaires et angles et huit produits vectoriels et mixtes. Fiche
  2. 2 La droite et le plan dans l'espace Équations vectorielle, paramétriques et symétriques d'une droite, équation cartésienne d'un plan par le vecteur normal, intersection de deux plans et angle, positions relatives et intersections, distances point-plan et point-droite, puis une partie niveau examen : deux droites gauches et leur distance par le produit mixte, trajectoires de drones distinguant croisement et collision, projetés orthogonaux et symétriques par rapport à un plan et à une droite, plan défini par une droite et un point avec faisceau de plans, et plans bissecteurs de deux plans. Une partie C ajoute cinq classiques : l'angle entre une droite et un plan, trois plans et leurs trois configurations, la perpendiculaire commune de deux droites gauches, la réflexion d'un rayon sur un miroir plan et la ligne de plus grande pente d'un toit. En ouverture, un exercice de calculs : dix calculs directs d'équations, d'intersections, de distances et d'angles. Fiche

Matrices et systèmes linéaires

  1. 3 Matrices, systèmes et déterminants Opérations et produit matriciel, écriture matricielle d'un système, résolution par la méthode de Gauss-Jordan, inverse d'une matrice 3x3 par la méthode [A|I], matrice inverse et déterminants, puis une partie niveau examen : démonstration de la transposée d'un produit, le cas singulier (déterminant nul), un problème de billetterie par la règle de Cramer, les systèmes homogènes et leur espace de solutions, la discussion d'un système à paramètres selon le rang, et les propriétés de l'inverse d'un produit. Une partie C ajoute cinq classiques : les équations matricielles et le côté de l'inverse, les matrices triangulaires, la trace d'un produit, les flux de voitures d'un quartier et la production d'une boulangerie en matrices. En ouverture, deux exercices de calculs, dix produits de matrices et huit inverses à calculer directement. Fiche
  2. 4 Systèmes linéaires : Gauss et Gauss-Jordan Matrice augmentée et opérations élémentaires, forme échelonnée par Gauss puis échelonnée réduite par Gauss-Jordan, les trois cas (solution unique, aucune, une infinité) avec paramétrage, inversion d'une matrice par Gauss-Jordan, puis une partie niveau examen : systèmes homogènes et discussion complète d'un système à deux paramètres. S'y ajoutent le rang et le théorème de compatibilité de Rouché, qui décide du nombre de solutions par le seul rang et non le nombre d'équations, la structure affine de l'ensemble des solutions (solution générale égale solution particulière plus solutions homogènes), l'interpolation d'une parabole par trois points avec le déterminant de Vandermonde qui garantit l'unicité, et l'équilibrage d'une équation chimique ramené à un système homogène dont le paramètre libre fixe l'échelle de la réaction. Une partie C ajoute cinq classiques : le pivot nul et l'échange de lignes, un système de quatre équations, la décomposition LU, la température d'équilibre d'une plaque et un système mal conditionné. En ouverture, un exercice de calculs : huit systèmes à résoudre directement par Gauss, de la remontée au système incompatible. Fiche
  3. 5 Déterminants, cofacteurs et règle de Cramer Déterminants 2x2 et 3x3 par Sarrus et par cofacteurs, déterminant d'ordre 4 en exploitant les zéros, calcul intelligent par triangularisation et facteurs communs, effet des opérations élémentaires, matrice adjointe et inverse par cofacteurs, puis une partie niveau examen : démonstrations sur le déterminant, matrice singulière à paramètre, règle de Cramer, déterminant de Vandermonde, déterminant comme aire et volume, et identité de la matrice adjointe. Une partie C ajoute cinq classiques : ce que la multiplicativité du déterminant interdit, un déterminant tridiagonal d'ordre n, droites et plans par déterminants, l'aire d'un terrain par la formule du lacet et le cercle passant par trois points. En ouverture, un exercice de calculs : dix déterminants à calculer directement, du 2x2 à la règle de Cramer. Fiche

Espaces vectoriels

  1. 6 Combinaisons linéaires, dépendance et bases Composantes et norme dans le plan, combinaison linéaire et résolution du système associé, dépendance et indépendance linéaire par le déterminant, bases et coordonnées, puis une partie niveau examen : démonstrations d'indépendance et unicité des coordonnées dans une base. S'y ajoutent le rang et l'extraction d'une base d'une famille génératrice, un problème complet de changement de base et de coordonnées, les propriétés des sous-familles et sur-familles, et des questions vrai ou faux sur la dimension. Une partie C ajoute cinq classiques : décomposer une force selon deux câbles, les coordonnées dans une base orthonormée, une famille à paramètre qui change de rang, les couleurs affichables d'un écran et les bases d'un réseau cristallin. En ouverture, un exercice de calculs : dix calculs directs de coefficients, de coordonnées et de déterminants. Fiche
  2. 7 Espaces et sous-espaces vectoriels Le passage du calcul à l'abstraction : les axiomes d'espace vectoriel appliqués à des ensembles qui ne sont pas des flèches (polynômes, matrices, fonctions), le critère du sous-espace en trois vérifications avec le test du vecteur nul qui élimine la moitié des candidats, l'indépendance et les coordonnées dans une base de polynômes, le sous-espace engendré et sa dimension, le noyau et l'image d'une transformation, et le théorème du rang qui relie les trois. S'y ajoutent la somme et l'intersection de sous-espaces avec la formule de Grassmann, le rang d'une matrice et son espace nul, et la dérivation sur les polynômes. Une partie C ajoute cinq classiques : la somme directe des matrices symétriques et antisymétriques, les polynômes qui s'annulent en 1, compléter une famille libre en base, deux descriptions d'un même sous-espace de R⁴ et l'espace des suites récurrentes linéaires. Fiche

Transformations linéaires et valeurs propres

  1. 8 Transformations linéaires du plan Les matrices de rotation, réflexion, homothétie, projection et cisaillement, image d'un point et d'une figure, composition non commutative, déterminant et facteur d'aire, puis une partie niveau examen : démonstrations de linéarité, matrices orthogonales, projections idempotentes, une transformation composée résolue de bout en bout, la réflexion par rapport à une droite quelconque, la matrice retrouvée à partir de vecteurs non canoniques, et les propriétés géométriques préservées (droites, milieux, distances). Une partie C ajoute cinq classiques : trois transformations de l'espace, l'ellipse image d'un cercle, défaire une transformation composée, l'ombre portée comme projection oblique et reconnaître une matrice de transformation. En ouverture, un exercice de calculs : dix images à calculer directement, de l'homothétie à l'antécédent par la matrice inverse. Fiche
  2. 9 Diagonalisation et valeurs propres Le couronnement du cours d'algèbre linéaire : la relation Av = λv et sa lecture géométrique, le polynôme caractéristique et les sous-espaces propres, les valeurs propres complexes d'une rotation, le critère exact de diagonalisabilité avec le contre-exemple qui échoue, le calcul des puissances de A par diagonalisation, les matrices symétriques toujours diagonalisables et leur diagonalisation orthogonale, le théorème de Cayley-Hamilton pour l'inverse et les puissances, les valeurs propres des matrices dérivées, et une application aux suites couplées et aux chaînes de Markov. Une partie C ajoute cinq classiques : une matrice 3×3 à valeur propre double, les valeurs propres lues sur la géométrie, la diagonalisabilité selon un paramètre, les modes propres de deux chariots à ressorts et les axes principaux d'une ellipse. En ouverture, un exercice de calculs : dix valeurs propres à calculer directement, de la matrice diagonale au cas complexe. Fiche
  3. 10 Modèles matriciels : Markov, Leontief, Leslie La matrice de transition d'une chaîne de Markov et sa convention colonne, les puissances de matrice pour avancer de plusieurs étapes, l'état stationnaire comme système homogène, le modèle de Leontief et son équation de bouclage, la lecture économique de la matrice inverse. Puis une partie niveau examen : la matrice de Leslie et l'onde démographique, les valeurs propres qui gouvernent la limite et la vitesse de convergence, cinq affirmations à corriger, la mobilité entre trois programmes de cégep, et un tableau entrées-sorties publié avec une annonce fausse. Une partie C ajoute cinq classiques : remonter le temps dans une chaîne de Markov, la structure stable d'une matrice de Leslie, le modèle des prix de Leontief, le parcours des étudiants comme chaîne absorbante et une population qui migre et croît. Fiche

Nombres complexes et applications

  1. 11 Nombres complexes et De Moivre Forme algébrique, conjugué, module et quotient, racines carrées par la forme algébrique, passage à la forme trigonométrique et exponentielle, théorème de De Moivre et puissances, racines n-ièmes, puis une partie niveau examen : équations polynomiales à coefficients réels, démonstrations, les six racines sixièmes de 64 lues comme un hexagone régulier, le produit complexe comme rotation avec le critère du triangle équilatéral, les formules de l'angle triple et les lieux géométriques dans le plan complexe. Une partie C ajoute cinq classiques : les racines cinquièmes de l'unité et cos 72°, la factorisation de z⁴ + 4, une équation du second degré à coefficients complexes, les itérations de l'ensemble de Mandelbrot et l'addition de signaux par les phaseurs. En ouverture, deux exercices de calculs directs, dix sous forme algébrique et neuf en forme exponentielle avec De Moivre. Fiche
  2. 12 Applications aux sciences de la nature Traduire un énoncé de sciences en système linéaire, puis le résoudre avec les outils du cours : équilibre d'un point sous trois forces et déterminant de la matrice des tensions, moment de force comme produit vectoriel et travail comme produit scalaire, équilibrage d'une équation chimique vu comme la recherche du noyau d'une matrice, cas redox compris où la conservation de la charge est la ligne qui manque, mélange de trois solutions à concentration imposée, lois de Kirchhoff sur deux mailles avec lecture du rang, biomécanique de l'épaule et centre de masse d'un système de points pondérés. Le fil de la série est le rang : autant de pivots que d'inconnues et la réponse est unique, moins de pivots et il manque une contrainte, une ligne impossible et c'est la situation décrite qui l'est. Trois exercices se terminent sur un système incompatible dont la conclusion est physique et non mathématique, et un quatrième sur un système compatible qui n'a pourtant aucune solution admissible. Fiche

Quand les chapitres sont faits

Une épreuve complète, en conditions d'examen. À faire une fois derrière vous les chapitres qu'elle couvre : elle mesure ce que vous savez faire sur une question jamais vue.

Examen blanc

Examen final blanc : tout le 201-SN4-RE

Un examen final de 3 heures qui traverse le cours complet d'algèbre linéaire et de géométrie vectorielle : les trois produits, droites et plans, systèmes et matrices, déterminants, rang, espaces vectoriels, transformations du plan, diagonalisation et nombres complexes. Aucune question n'annonce la méthode à employer.

  • 12 exercices
  • 100 points
  • 180 minutes
Passer l'épreuve

Ce qu'il faut tenir avant

Le programme de Algèbre linéaire et géométrie vectorielle 201-SN4-RE (ancien 201-NYC) s'appuie sur 4 chapitres venus d'avant. Ce ne sont pas des révisions de confort : chacun est le point d'appui d'un chapitre listé ci-dessus, et un élève qui décroche en cours d'année décroche presque toujours sur l'un d'eux. Tous ont leur fiche de révision, à lire d'une traite avant la rentrée.

Secondaire 4

Secondaire 5, Mathématiques

À lire sur ce niveau

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