Exercice 0.1 : Calculer sous forme algébrique : dix calculs directs

Pour chaque ligne, effectuez le calcul et écrivez le résultat sous la forme algébrique $a+bi$ , puis donnez ce qui est demandé : le plus souvent la partie réelle $a$ et la partie imaginaire $b$ , qui est un nombre réel.

On calcule comme avec des polynômes en $i$ , puis on remplace $i^{2}$ par $-1$ et on regroupe parties réelles et parties imaginaires. Pour diviser, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, qui devient réel : $(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}$ . Le module se calcule par $|a+bi|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ , et une puissance de $i$ se ramène au reste de l'exposant dans la division par $4$ .

a) $(5-3i)+(-1+7i)$ , puis $(5-3i)-(-1+7i)$ : donnez la partie imaginaire de chacun.
b) $(2-5i)(3+4i)$ .
c) $(4-3i)^{2}$ .
d) $i^{58}+i^{103}$ .
e) $|-8+15i|$ et $|6-2i|$ .
f) $\overline{(2+3i)(1-2i)}$ .
g) $\frac{1}{1-3i}$ .
h) $\frac{7+i}{1-2i}$ .
i) $(1+2i)^{2}\,\overline{(1-i)}+\frac{5i}{1+2i}$ .
j) Les solutions de $2z^{2}-2z+5=0$ dans $\mathbb{C}$ : donnez la partie réelle et la partie imaginaire de celle dont la partie imaginaire est positive.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/20

a)

Partie imaginaire de la somme

Partie imaginaire de la différence

b)

\operatorname{Re}

\operatorname{Im}

c)

\operatorname{Re}

\operatorname{Im}

d)

\operatorname{Re}

\operatorname{Im}

e)

|-8+15i|

|6-2i|

f)

\operatorname{Re}

\operatorname{Im}

g)

\operatorname{Re}

\operatorname{Im}

h)

\operatorname{Re}

\operatorname{Im}

i)

\operatorname{Re}

\operatorname{Im}

j)

\operatorname{Re}(z)

\operatorname{Im}(z)

Voir la correction

Réponses

a) $4+4i$ et $6-10i$ ; $4$ et $-10$
b) $26-7i$
c) $7-24i$
d) $-1-i$
e) $17$ ; $2\sqrt{10}\approx 6{,}325$
f) $\overline{8-i}=8+i$
g) $\frac{1}{10}+\frac{3}{10}i$
h) $1+3i$
i) $-5+2i$
j) $z=\frac{1}{2}\pm\frac{3}{2}i$ ; $\frac{1}{2}$ et $\frac{3}{2}$

Le geste qui décide de tout : remplacer $i^{2}$ par $-1$ dès qu'il apparaît, puis regrouper la partie réelle et la partie imaginaire. Pour une division, on ne divise jamais par un complexe : on multiplie en haut et en bas par le conjugué du dénominateur, qui devient réel.

a)

$(5-3i)+(-1+7i)=4+4i$ et $(5-3i)-(-1+7i)=5-3i+1-7i=6-10i$ : parties imaginaires $4$ et $-10$ . Piège : ne distribuer le signe moins que sur le $-1$ , ce qui donne $6+4i$ .

b)

$(2-5i)(3+4i)=6+8i-15i-20i^{2}=6+20-7i=26-7i$ . Piège : lire $-20i^{2}$ comme $-20$ , d'où $-14-7i$ .

c)

$(4-3i)^{2}=16-24i+9i^{2}=16-9-24i=7-24i$ . Piège : $16+9=25$ , en oubliant que $i^{2}=-1$ .

d)

On divise l'exposant par $4$ : $58=4\times 14+2$ , donc $i^{58}=i^{2}=-1$ ; $103=4\times 25+3$ , donc $i^{103}=i^{3}=-i$ . La somme vaut $-1-i$ .

e)

$|-8+15i|=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$ et $|6-2i|=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6{,}325$ . Piège : $\sqrt{36-4}$ , en élevant $-2i$ au carré au lieu de $-2$ ; le module n'utilise que des nombres réels.

f)

Le produit d'abord : $(2+3i)(1-2i)=2-4i+3i-6i^{2}=8-i$ , dont le conjugué est $8+i$ . On retrouve la même chose par $\overline{2+3i}\cdot\overline{1-2i}=(2-3i)(1+2i)=2+4i-3i-6i^{2}=8+i$ : le conjugué d'un produit est le produit des conjugués.

g)

$\frac{1}{1-3i}=\frac{1+3i}{(1-3i)(1+3i)}=\frac{1+3i}{1+9}=\frac{1}{10}+\frac{3}{10}i$ . Piège : écrire $(1-3i)(1+3i)=1-9$ , alors que $-(3i)^{2}=+9$ .

h)

$\frac{7+i}{1-2i}=\frac{(7+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\frac{7+14i+i+2i^{2}}{1+4}=\frac{5+15i}{5}=1+3i$ .

i)

$(1+2i)^{2}=1+4i+4i^{2}=-3+4i$ et $\overline{1-i}=1+i$ , donc $(-3+4i)(1+i)=-3-3i+4i+4i^{2}=-7+i$ . Puis $\frac{5i}{1+2i}=\frac{5i(1-2i)}{1+4}=i-2i^{2}=2+i$ . Total : $-7+i+2+i=-5+2i$ .

j)

$\Delta=(-2)^{2}-4\times 2\times 5=4-40=-36<0$ : deux solutions complexes conjuguées, avec $\sqrt{\Delta}=6i$ . Donc $z=\frac{2\pm 6i}{4}=\frac{1}{2}\pm\frac{3}{2}i$ ; celle de partie imaginaire positive est $\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$ . Piège : diviser par $2$ au lieu de $2a=4$ .

Contrôle : on remultiplie. En h), $(1+3i)(1-2i)$ doit redonner $7+i$ ; en g), $(1-3i)\left(\frac{1}{10}+\frac{3}{10}i\right)=1$ ; en j), la somme des deux solutions vaut $1=-\frac{b}{a}$ et leur produit $\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}=\frac{c}{a}$ .

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Exercice 0.2 : Passer à la forme exponentielle et calculer des puissances : neuf calculs directs

Pour chaque ligne, calculez ce qui est demandé. Les arguments sont des mesures principales, dans $]-\pi\,;\pi]$ , et se saisissent en multiples de $\pi$ : l'argument $-\frac{3\pi}{4}$ se tape $-3/4$ .

Le module d'abord, $r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ , puis l'argument par les DEUX conditions $\cos\theta=\frac{a}{r}$ et $\sin\theta=\frac{b}{r}$ , après avoir situé le point dans son quadrant. En forme exponentielle, les modules se multiplient et les arguments s'additionnent ; le théorème de De Moivre donne $\left(re^{i\theta}\right)^{n}=r^{n}e^{in\theta}$ , aussi pour $n$ négatif. On ramène l'argument final dans $]-\pi\,;\pi]$ avant de repasser à la forme algébrique.

a) $z=-7$ et $w=-3i$ : donnez $\arg(z)$ et $\arg(w)$ .
b) $z=3\sqrt{3}+3i$ : donnez $|z|$ et $\arg(z)$ .
c) $z=-\sqrt{2}-\sqrt{2}\,i$ : donnez $|z|$ et $\arg(z)$ .
d) $z=6e^{i\frac{5\pi}{6}}$ : écrivez $z$ sous forme algébrique.
e) $2e^{i\frac{\pi}{12}}\times 5e^{i\frac{\pi}{4}}$ : écrivez le produit sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique ; donnez son module et sa partie imaginaire.
f) $\frac{4e^{i\frac{2\pi}{3}}}{2e^{-i\frac{\pi}{2}}}$ : écrivez le quotient sous forme exponentielle ; donnez son module et son argument principal.
g) $(\sqrt{3}-i)^{8}$ , par le théorème de De Moivre, sous forme algébrique.
h) $(1-i)^{-6}$ : donnez son argument principal et sa partie imaginaire.
i) La racine cubique de $-27$ obtenue pour $k=0$ dans la formule $w_{k}=\sqrt[3]{r}\,e^{i\frac{\theta+2k\pi}{3}}$ , avec $\theta\in]-\pi\,;\pi]$ : donnez sa partie réelle et sa partie imaginaire.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/18

a)

\arg(-7)

(en multiples de π)

\arg(-3i)

(en multiples de π)

b)

|z|

\arg(z)

(en multiples de π)

c)

|z|

\arg(z)

(en multiples de π)

d)

\operatorname{Re}(z)

\operatorname{Im}(z)

e)

Module

\operatorname{Im}

f)

Module

Argument principal (en multiples de π)

g)

\operatorname{Re}

\operatorname{Im}

h)

Argument principal (en multiples de π)

\operatorname{Im}

i)

\operatorname{Re}(w_{0})

\operatorname{Im}(w_{0})

Voir la correction

Réponses

a) $\arg(-7)=\pi$ ; $\arg(-3i)=-\frac{\pi}{2}$
b) $z=6e^{i\frac{\pi}{6}}$ ; $6$ et $\frac{\pi}{6}$
c) $z=2e^{-i\frac{3\pi}{4}}$ ; $2$ et $-\frac{3\pi}{4}$
d) $z=-3\sqrt{3}+3i\approx-5{,}196+3i$
e) $10e^{i\frac{\pi}{3}}=5+5\sqrt{3}\,i$ ; $10$ et $5\sqrt{3}\approx 8{,}660$
f) $2e^{-i\frac{5\pi}{6}}$ ; $2$ et $-\frac{5\pi}{6}$
g) $256e^{i\frac{2\pi}{3}}=-128+128\sqrt{3}\,i$ ; $-128$ et $\approx 221{,}703$
h) $\frac{1}{8}e^{-i\frac{\pi}{2}}=-\frac{1}{8}i$ ; $-\frac{\pi}{2}$ et $-0{,}125$
i) $w_{0}=3e^{i\frac{\pi}{3}}=\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i$ ; $1{,}5$ et $\approx 2{,}598$

Le geste qui décide de tout : placer le point dans le plan AVANT de chercher l'argument. Le quadrant fixe le signe et la valeur de l'angle, que l'arctangente seule ne distingue pas ; ensuite, en forme exponentielle, tout se ramène à multiplier des modules et à additionner des arguments.

a)

$-7$ est sur le demi-axe réel négatif : $|-7|=7$ et $\arg(-7)=\pi$ . $-3i$ est sur le demi-axe imaginaire négatif : $|-3i|=3$ et $\arg(-3i)=-\frac{\pi}{2}$ . Piège : donner $\arg(-7)=0$ parce que le nombre est réel ; un réel négatif pointe vers la gauche.

b)

$|z|=\sqrt{27+9}=\sqrt{36}=6$ , $\cos\theta=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\theta=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ : premier quadrant, $\theta=\frac{\pi}{6}$ . Donc $z=6e^{i\frac{\pi}{6}}$ .

c)

$|z|=\sqrt{2+2}=2$ , $\cos\theta=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\theta=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ : troisième quadrant, $\theta=-\frac{3\pi}{4}$ , et $z=2e^{-i\frac{3\pi}{4}}$ . Piège : $\arctan\frac{-\sqrt{2}}{-\sqrt{2}}=\arctan 1=\frac{\pi}{4}$ , qui est l'argument du point OPPOSÉ.

d)

$6e^{i\frac{5\pi}{6}}=6\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)=6\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=-3\sqrt{3}+3i$ , soit une partie réelle $-3\sqrt{3}\approx-5{,}196$ et une partie imaginaire $3$ . Piège : $\cos\frac{5\pi}{6}$ est négatif, l'angle est dans le deuxième quadrant.

e)

Les modules se multiplient, les arguments s'additionnent : $2\times 5=10$ et $\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{12}+\frac{3\pi}{12}=\frac{\pi}{3}$ . Donc le produit vaut $10e^{i\frac{\pi}{3}}=5+5\sqrt{3}\,i$ , de module $10$ et de partie imaginaire $5\sqrt{3}\approx 8{,}660$ .

f)

Les modules se divisent, les arguments se soustraient : $\frac{4}{2}=2$ et $\frac{2\pi}{3}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{7\pi}{6}$ . Cet angle dépasse $\pi$ : on retire $2\pi$ , d'où l'argument principal $\frac{7\pi}{6}-2\pi=-\frac{5\pi}{6}$ , et le quotient vaut $2e^{-i\frac{5\pi}{6}}$ . Piège : soustraire $\frac{\pi}{2}$ au lieu de $-\frac{\pi}{2}$ , ce qui donne $\frac{\pi}{6}$ .

g)

$\sqrt{3}-i=2e^{-i\frac{\pi}{6}}$ , au quatrième quadrant. Par De Moivre, $(\sqrt{3}-i)^{8}=2^{8}e^{-i\frac{8\pi}{6}}=256e^{-i\frac{4\pi}{3}}=256e^{i\frac{2\pi}{3}}$ , en ajoutant $2\pi$ . Donc $(\sqrt{3}-i)^{8}=256\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-128+128\sqrt{3}\,i$ , avec $128\sqrt{3}\approx 221{,}703$ . Piège : oublier d'élever le module à la puissance $8$ , ce qui donne $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ .

h)

$1-i=\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{4}}$ , donc $(1-i)^{-6}=(\sqrt{2})^{-6}e^{i\frac{6\pi}{4}}=\frac{1}{8}e^{i\frac{3\pi}{2}}=\frac{1}{8}e^{-i\frac{\pi}{2}}=-\frac{1}{8}i$ : argument principal $-\frac{\pi}{2}$ , partie imaginaire $-\frac{1}{8}=-0{,}125$ . Piège : l'exposant négatif change AUSSI le signe de l'argument, $-6\times\left(-\frac{\pi}{4}\right)=+\frac{3\pi}{2}$ . Recoupement : $(1-i)^{2}=-2i$ , donc $(1-i)^{6}=(-2i)^{3}=8i$ et $\frac{1}{8i}=-\frac{i}{8}$ .

i)

$-27=27e^{i\pi}$ , donc $w_{k}=3e^{i\frac{\pi+2k\pi}{3}}$ . Pour $k=0$ : $w_{0}=3e^{i\frac{\pi}{3}}=\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i$ , soit une partie réelle $1{,}5$ et une partie imaginaire $\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx 2{,}598$ . Piège : répondre $-3$ , la racine réelle, qui est $w_{1}$ ; la racine $k=0$ n'est réelle que si l'argument de départ est nul.

Contrôle : une forme exponentielle se recoupe en revenant à la forme algébrique, $re^{i\theta}=r\cos\theta+ir\sin\theta$ , et une puissance ou une racine se vérifie en remultipliant : ici $w_{0}^{3}=27e^{i\pi}=-27$ , et en g) le module $|-128+128\sqrt{3}\,i|=128\times 2=256=2^{8}$ .

Exercice 1 : Forme algébrique, conjugué et division

On considère les nombres complexes $z_{1}=3+2i$ et $z_{2}=1-4i$ .

a) Calculez $z_{1}+z_{2}$ et $z_{1}z_{2}$ sous forme algébrique.
b) Donnez $\bar{z_{1}}$ et $\bar{z_{2}}$ , puis calculez $|z_{1}|$ et $|z_{2}|$ .
c) Écrivez $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$ sous forme algébrique.
d) Calculez $z_{1}\bar{z_{1}}$ et commentez le résultat. Déterminez ensuite $i^{2027}$ .

Voir la correction

Réponses

a) $4-2i$ ; $11-10i$
b) $3-2i$ , $1+4i$ ; $\sqrt{13}$ , $\sqrt{17}$
c) $-\frac{5}{17}+\frac{14}{17}i$
d) $z_1\bar{z_1}=13$ ; $i^{2027}=-i$

a)

$z_{1}+z_{2}=(3+1)+(2-4)i=4-2i$ . Pour le produit, on développe puis on utilise $i^{2}=-1$ : $z_{1}z_{2}=(3+2i)(1-4i)=3-12i+2i-8i^{2}=3-10i+8=11-10i$ . Le terme $-8i^{2}$ devient $+8$ , et c'est ce changement de signe que l'on oublie sous la pression.

b)

$\bar{z_{1}}=3-2i$ et $\bar{z_{2}}=1+4i$ . Les modules : $|z_{1}|=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}$ et $|z_{2}|=\sqrt{1^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{17}$ . Le module utilise le carré des composantes, donc le signe du $-4$ disparaît.

c)

On multiplie haut et bas par le conjugué du dénominateur : $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}=\dfrac{(3+2i)(1+4i)}{(1-4i)(1+4i)}$ . Numérateur : $3+12i+2i+8i^{2}=3+14i-8=-5+14i$ . Dénominateur : $1^{2}+4^{2}=17$ , un nombre réel, ce qui est tout l'objet de l'opération. Donc $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}=\dfrac{-5+14i}{17}=-\dfrac{5}{17}+\dfrac{14}{17}i$ .

Contrôle par les modules : $\left|\dfrac{z_{1}}{z_{2}}\right|=\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt{17}}\approx 0{,}874$ , et directement $\dfrac{\sqrt{25+196}}{17}=\dfrac{\sqrt{221}}{17}\approx 0{,}874$ . Cohérent.

d)

$z_{1}\bar{z_{1}}=(3+2i)(3-2i)=9-6i+6i-4i^{2}=9+4=13$ . Le résultat est un nombre RÉEL, égal à $|z_{1}|^{2}=(\sqrt{13})^{2}=13$ . C'est la propriété $z\bar{z}=|z|^{2}$ , et c'est elle qui fait fonctionner la division de la question c).

Pour $i^{2027}$ : les puissances de $i$ sont cycliques de période $4$ , puisque $i^{1}=i$ , $i^{2}=-1$ , $i^{3}=-i$ , $i^{4}=1$ , puis le cycle recommence. On divise donc l'exposant par $4$ : $2027=4\times 506+3$ , le reste est $3$ . Donc $i^{2027}=i^{3}=-i$ . Aucune calculatrice n'est nécessaire, seul le reste de la division par $4$ compte.

Exercice 2 : Module, argument et forme exponentielle

On considère le nombre complexe $z=-2+2i\sqrt{3}$ .

a) Calculez $|z|$ , puis déterminez $\arg(z)$ en radians.
b) Écrivez $z$ sous forme trigonométrique et sous forme exponentielle.
c) Donnez $\bar{z}$ et $-z$ sous forme exponentielle, sans repasser par la forme algébrique.
d) Soit $w=1+i$ . Écrivez $w$ sous forme exponentielle, puis calculez $zw$ des deux façons, en forme exponentielle et en forme algébrique, et vérifiez la cohérence des modules.

Voir la correction

Réponses

a) $|z|=4$ , $\arg z=\frac{2\pi}{3}$
b) $4e^{i\frac{2\pi}{3}}$
c) $\bar z=4e^{-i\frac{2\pi}{3}}$ , $-z=4e^{-i\frac\pi3}$
d) $zw=4\sqrt2\,e^{i\frac{11\pi}{12}}$

a)

$|z|=\sqrt{(-2)^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4$ . Pour l'argument, on impose les DEUX conditions : $\cos\theta=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac{1}{2}$ et $\sin\theta=\dfrac{2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Cosinus négatif et sinus positif placent l'angle dans le deuxième quadrant, et l'angle de référence associé à $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ est $\dfrac{\pi}{3}$ . Donc $\theta=\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$ .

Le piège classique : utiliser la calculatrice pour $\arctan\left(\dfrac{2\sqrt{3}}{-2}\right)=\arctan(-\sqrt{3})=-\dfrac{\pi}{3}$ , et s'arrêter là. Cette valeur est dans le quatrième quadrant, alors que $z$ est dans le deuxième. La fonction arctangente ne rend jamais que des angles entre $-\dfrac{\pi}{2}$ et $\dfrac{\pi}{2}$ : elle ne peut pas distinguer les quadrants opposés. Il faut toujours situer le point avant de conclure.

b)

Forme trigonométrique : $z=4\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)$ . Forme exponentielle : $z=4e^{i\frac{2\pi}{3}}$ .

c)

Le conjugué a le même module et l'argument opposé : $\bar{z}=4e^{-i\frac{2\pi}{3}}$ . Géométriquement, c'est la réflexion par rapport à l'axe des réels.

Pour $-z$ , multiplier par $-1$ revient à multiplier par $e^{i\pi}$ , donc à ajouter $\pi$ à l'argument : $-z=4e^{i\left(\frac{2\pi}{3}+\pi\right)}=4e^{i\frac{5\pi}{3}}$ , que l'on écrit plus commodément $4e^{-i\frac{\pi}{3}}$ en retranchant $2\pi$ . Géométriquement, c'est la symétrie centrale par rapport à l'origine, soit une rotation d'un demi-tour.

d)

$|w|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$ , et le point $(1;\ 1)$ est sur la bissectrice du premier quadrant, donc $\arg(w)=\dfrac{\pi}{4}$ et $w=\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}$ .

En forme exponentielle : $zw=4\sqrt{2}\,e^{i\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right)}$ . On met au même dénominateur : $\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{8\pi}{12}+\dfrac{3\pi}{12}=\dfrac{11\pi}{12}$ . Donc $zw=4\sqrt{2}\,e^{i\frac{11\pi}{12}}$ , en trois lignes.

En forme algébrique : $zw=(-2+2i\sqrt{3})(1+i)=-2-2i+2i\sqrt{3}+2i^{2}\sqrt{3}=-2-2i+2\sqrt{3}\,i-2\sqrt{3}=(-2-2\sqrt{3})+(2\sqrt{3}-2)i$ .

Vérification des modules : $|zw|=\sqrt{(2+2\sqrt{3})^{2}+(2\sqrt{3}-2)^{2}}=\sqrt{(4+8\sqrt{3}+12)+(12-8\sqrt{3}+4)}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$ . Les termes en $\sqrt{3}$ s'annulent exactement, et on retrouve bien $|z||w|=4\times\sqrt{2}$ . Les deux formes décrivent le même nombre, mais la forme exponentielle a donné le résultat sans un seul développement.

Exercice 3 : Théorème de De Moivre et puissances

On considère le nombre complexe $z=1+i\sqrt{3}$ .

a) Écrivez $z$ sous forme exponentielle.
b) Calculez $z^{6}$ à l'aide du théorème de De Moivre.
c) Calculez $z^{10}$ et donnez le résultat sous forme algébrique.
d) Calculez $z^{-3}$ sous forme algébrique, puis vérifiez que $z^{3}\times z^{-3}=1$ .

Voir la correction

Réponses

a) $z=2e^{i\frac\pi3}$
b) $z^6=64$
c) $z^{10}=-512-512\sqrt3\,i$
d) $z^{-3}=-\frac18$

a)

$|z|=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=2$ . Puis $\cos\theta=\dfrac{1}{2}$ et $\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , tous deux positifs, donc premier quadrant : $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ . Ainsi $z=2e^{i\frac{\pi}{3}}$ .

b)

Par De Moivre : $z^{6}=2^{6}e^{i\cdot 6\cdot\frac{\pi}{3}}=64\,e^{i2\pi}$ . Or $e^{i2\pi}=\cos 2\pi+i\sin 2\pi=1+0i=1$ . Donc $z^{6}=64$ , un nombre réel positif. Comparez au travail qu'aurait exigé le développement de $(1+i\sqrt{3})^{6}$ par la formule du binôme : sept termes, avec des puissances de $\sqrt{3}$ et de $i$ à gérer. La forme exponentielle règle la question en une ligne.

c)

$z^{10}=2^{10}e^{i\cdot 10\cdot\frac{\pi}{3}}=1024\,e^{i\frac{10\pi}{3}}$ . On ramène l'argument dans $]-\pi\,;\pi]$ en retranchant $4\pi=\dfrac{12\pi}{3}$ : $\dfrac{10\pi}{3}-\dfrac{12\pi}{3}=-\dfrac{2\pi}{3}$ . Donc $z^{10}=1024\,e^{-i\frac{2\pi}{3}}$ .

Sous forme algébrique : $\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}$ et $\sin\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (troisième quadrant, les deux négatifs). Donc $z^{10}=1024\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-512-512\sqrt{3}\,i$ .

d)

De Moivre vaut aussi pour les exposants négatifs : $z^{-3}=2^{-3}e^{-i\pi}=\frac{1}{8}\times(-1)=-\frac{1}{8}$ . Contrôle : $z^{3}=8e^{i\pi}=-8$ , et $(-8)\times\left(-\frac{1}{8}\right)=1$ . Le calcul direct de $\frac{1}{(1+i\sqrt{3})^{3}}$ aurait demandé un développement et une division par le conjugué.

Exercice 4 : Racines n-ièmes d'un nombre complexe

On cherche à résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^{3}=8i$ .

a) Écrivez $8i$ sous forme exponentielle.
b) Déterminez les trois solutions de l'équation sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
c) Vérifiez par le calcul direct que $\sqrt{3}+i$ est bien solution.
d) Placez les trois solutions dans le plan complexe et décrivez la figure obtenue. Que vaut leur somme ?

Voir la correction

Réponses

a) $8i=8e^{i\frac\pi2}$
b) $\sqrt3+i$ , $-\sqrt3+i$ , $-2i$
c) $(\sqrt3+i)^3=8i$
d) Triangle équilatéral, somme nulle

a)

Le nombre $8i$ a pour partie réelle $0$ et pour partie imaginaire $8$ , il est donc sur le demi-axe imaginaire positif. Son module vaut $8$ et son argument $\dfrac{\pi}{2}$ . Donc $8i=8e^{i\frac{\pi}{2}}$ .

b)

Les racines cubiques ont pour module $8^{1/3}=2$ et pour arguments $\dfrac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2k\pi}{3}$ pour $k=0;\ 1;\ 2$ .

Pour $k=0$ : $z_{0}=2e^{i\frac{\pi}{6}}=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)=\sqrt{3}+i$ .

Pour $k=1$ : l'argument est $\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{4\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}$ , donc $z_{1}=2e^{i\frac{5\pi}{6}}=2\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)=-\sqrt{3}+i$ .

Pour $k=2$ : l'argument est $\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{4\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{8\pi}{6}=\dfrac{9\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{2}$ , donc $z_{2}=2e^{i\frac{3\pi}{2}}=2(0-i)=-2i$ .

L'erreur à ne pas commettre : s'arrêter à la première racine. Une équation de degré $3$ a exactement trois solutions dans $\mathbb{C}$ , et le paramètre $k$ doit parcourir $0$ , $1$ et $2$ . Prendre $k=3$ redonnerait $z_{0}$ , puisque cela ajoute $2\pi$ à l'argument.

c)

$(\sqrt{3}+i)^{2}=3+2\sqrt{3}\,i+i^{2}=3+2\sqrt{3}\,i-1=2+2\sqrt{3}\,i$ . Puis $(\sqrt{3}+i)^{3}=(2+2\sqrt{3}\,i)(\sqrt{3}+i)=2\sqrt{3}+2i+2\cdot 3\,i+2\sqrt{3}\,i^{2}=2\sqrt{3}+2i+6i-2\sqrt{3}=8i$ . La vérification est concluante.

d)

Les trois racines ont toutes le même module $2$ , elles sont donc sur le cercle de rayon $2$ centré à l'origine. Leurs arguments valent $\dfrac{\pi}{6}$ , $\dfrac{5\pi}{6}$ et $\dfrac{3\pi}{2}$ , régulièrement espacés de $\dfrac{2\pi}{3}$ , soit $120^{\circ}$ . Elles forment donc les sommets d'un TRIANGLE ÉQUILATÉRAL inscrit dans ce cercle.

Leur somme : $(\sqrt{3}+i)+(-\sqrt{3}+i)+(-2i)=(\sqrt{3}-\sqrt{3})+(1+1-2)i=0$ . La somme est nulle. Ce n'est pas une coïncidence : les $n$ racines $n$ -ièmes d'un nombre complexe sont les sommets d'un polygone régulier centré à l'origine, et le centre de gravité d'un polygone régulier est son centre, donc leur somme est toujours nulle dès que $n\geq 2$ . Autre lecture, algébrique : ces racines sont les solutions de $z^{3}-8i=0$ , un polynôme dont le coefficient de $z^{2}$ est nul, et par les relations coefficients-racines, la somme des racines vaut ce coefficient au signe près, donc $0$ . Cette somme nulle est un excellent moyen de contrôler ses racines en fin de calcul.

Exercice 5 : Racines carrées d'un nombre complexe par la forme algébrique

On cherche les racines carrées d'un nombre complexe sans passer par la forme exponentielle, en résolvant directement $(x+iy)^{2}=z$ . La méthode combine trois équations réelles.

a) Déterminez les racines carrées de $z=3+4i$ : posez $(x+iy)^{2}=3+4i$ , écrivez le système sur $x$ et $y$ en ajoutant l'équation des modules $x^{2}+y^{2}=|z|$ , et résolvez.
b) Déterminez de même les racines carrées de $z=-5+12i$ .
c) Vérifiez chacun de vos résultats en élevant au carré, et expliquez pourquoi un nombre complexe non nul a toujours exactement deux racines carrées, opposées l'une de l'autre.
d) Application : résolvez dans $\mathbb{C}$ l'équation $w^{2}=3+4i$ , puis expliquez comment cette méthode permet de résoudre n'importe quelle équation du second degré à coefficients complexes.

Voir la correction

Réponses

a) $\pm(2+i)$
b) $\pm(2+3i)$
c) Deux racines opposées
d) $w=\pm(2+i)$ ; discriminant complexe

a)

On pose $(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+2xyi=3+4i$ , ce qui donne $\begin{cases} x^{2}-y^{2}=3 \\ 2xy=4 \end{cases}$ . On ajoute l'équation des modules : $|(x+iy)^{2}|=|3+4i|$ donne $x^{2}+y^{2}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$ . En additionnant avec $x^{2}-y^{2}=3$ : $2x^{2}=8$ , donc $x^{2}=4$ et $x=\pm 2$ ; en soustrayant : $2y^{2}=2$ , donc $y^{2}=1$ et $y=\pm 1$ . La condition $2xy=4>0$ impose que $x$ et $y$ soient de MÊME signe. Les racines carrées de $3+4i$ sont donc $2+i$ et $-2-i$ .

b)

On pose $(x+iy)^{2}=-5+12i$ , d'où $\begin{cases} x^{2}-y^{2}=-5 \\ 2xy=12 \end{cases}$ et $x^{2}+y^{2}=|-5+12i|=\sqrt{25+144}=13$ . En additionnant avec $x^{2}-y^{2}=-5$ : $2x^{2}=8$ , donc $x=\pm 2$ ; en soustrayant : $2y^{2}=18$ , donc $y=\pm 3$ . La condition $2xy=12>0$ impose le même signe. Les racines carrées de $-5+12i$ sont $2+3i$ et $-2-3i$ .

c)

Vérification : $(2+i)^{2}=4+4i+i^{2}=4+4i-1=3+4i$ ✓, et $(2+3i)^{2}=4+12i+9i^{2}=4+12i-9=-5+12i$ ✓. Les deux racines d'un même nombre sont toujours opposées, car si $r^{2}=z$ alors $(-r)^{2}=r^{2}=z$ également, et une équation du second degré n'a pas plus de deux solutions. Un nombre complexe non nul a donc exactement deux racines carrées, symétriques par rapport à l'origine. C'est la différence avec les réels positifs, où l'on ne garde par convention que la racine positive; dans $\mathbb{C}$ , aucune des deux n'est privilégiée.

d)

L'équation $w^{2}=3+4i$ a exactement pour solutions les racines carrées trouvées en a) : $w=2+i$ ou $w=-2-i$ . La portée de la méthode est générale : pour résoudre $aw^{2}+bw+c=0$ à coefficients complexes, on calcule le discriminant $\Delta=b^{2}-4ac$ , qui est un nombre complexe, on en cherche une racine carrée $\delta$ par la méthode ci-dessus, puis les solutions sont $w=\dfrac{-b\pm\delta}{2a}$ . La seule étape nouvelle par rapport au cas réel est l'extraction d'une racine carrée d'un complexe, et c'est exactement ce que cet exercice apprend à faire.

Exercice 6 : Équations polynomiales et racines conjuguées

Cet exercice porte sur la résolution d'équations polynomiales dans $\mathbb{C}$ et sur la propriété qui gouverne leurs racines non réelles.

a) Résolvez dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^{2}-4z+13=0$ .
b) Démontrez que si un polynôme à coefficients RÉELS admet $z_{0}$ pour racine, alors $\bar{z_{0}}$ en est aussi une racine.
c) Soit $P(z)=z^{3}-5z^{2}+17z-13$ . Vérifiez que $1$ est racine de $P$ , puis factorisez $P$ et déterminez toutes ses racines dans $\mathbb{C}$ .
d) Démontrez que $|zw|=|z|\,|w|$ pour tous complexes $z$ et $w$ , puis que $\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}$ . Expliquez enfin pourquoi le résultat de b) tomberait en défaut si les coefficients n'étaient pas réels, à l'aide d'un contre-exemple.

Voir la correction

Réponses

a) $z=2\pm 3i$
b) Coefficients réels : $P(\bar{z_0})=\overline{P(z_0)}=0$
c) $1$ , $2+3i$ , $2-3i$
d) $Q(z)=z-i$ : $-i$ non racine

a)

Le discriminant vaut $\Delta=(-4)^{2}-4(1)(13)=16-52=-36$ . Il est négatif, donc il n'y a pas de solution réelle, mais deux solutions complexes conjuguées. On écrit $\sqrt{-36}=6i$ , d'où $z=\dfrac{4\pm 6i}{2}=2\pm 3i$ . Les solutions sont $z=2+3i$ et $z=2-3i$ .

Vérification sur la première : $(2+3i)^{2}=4+12i+9i^{2}=4+12i-9=-5+12i$ , puis $-5+12i-4(2+3i)+13=-5+12i-8-12i+13=0$ . Conforme.

b)

Soit $P(z)=a_{n}z^{n}+\dots+a_{1}z+a_{0}$ avec tous les $a_{k}$ réels, et supposons $P(z_{0})=0$ . On applique la conjugaison aux deux membres : $\overline{P(z_{0})}=\bar{0}=0$ .

Or la conjugaison respecte les sommes et les produits, c'est-à-dire $\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}$ et $\overline{zw}=\bar{z}\,\bar{w}$ . Donc $\overline{P(z_{0})}=\overline{a_{n}}\,\overline{z_{0}}^{\,n}+\dots+\overline{a_{1}}\,\overline{z_{0}}+\overline{a_{0}}$ . C'est ici qu'intervient l'hypothèse cruciale : les coefficients étant RÉELS, ils sont égaux à leurs propres conjugués, $\overline{a_{k}}=a_{k}$ . L'expression devient donc $a_{n}\overline{z_{0}}^{\,n}+\dots+a_{1}\overline{z_{0}}+a_{0}=P(\overline{z_{0}})$ .

En combinant : $P(\overline{z_{0}})=0$ , donc $\overline{z_{0}}$ est bien une racine. C'est exactement ce qu'on observe en a), où les deux solutions sont conjuguées l'une de l'autre.

c)

$P(1)=1-5+17-13=0$ , donc $1$ est racine et $P$ est divisible par $(z-1)$ . La division polynomiale donne $P(z)=(z-1)(z^{2}-4z+13)$ , ce que l'on contrôle en développant : $z^{3}-4z^{2}+13z-z^{2}+4z-13=z^{3}-5z^{2}+17z-13$ , conforme.

Le facteur quadratique est exactement celui de la question a), dont les racines sont $2\pm 3i$ . Les trois racines de $P$ sont donc $1$ , $2+3i$ et $2-3i$ .

On observe le mécanisme de b) à l'oeuvre : $P$ est de degré $3$ à coefficients réels, il a donc au moins une racine réelle (ici $1$ ), et ses racines non réelles arrivent nécessairement par paire conjuguée. Un polynôme de degré impair à coefficients réels ne peut jamais avoir toutes ses racines non réelles, puisqu'elles s'apparient deux à deux et qu'un nombre impair ne se répartit pas en paires.

d)

Pour le module, on passe par la forme exponentielle. Si $z=r_{1}e^{i\theta_{1}}$ et $w=r_{2}e^{i\theta_{2}}$ , alors $zw=r_{1}r_{2}e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})}$ , dont le module est $r_{1}r_{2}=|z|\,|w|$ puisque les modules sont positifs. En forme algébrique, avec $z=a+bi$ et $w=c+di$ , on peut aussi vérifier directement $|zw|^{2}=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=|z|^{2}|w|^{2}$ , les doubles produits s'annulant deux à deux.

Pour le conjugué de la somme, avec $z=a+bi$ et $w=c+di$ : $z+w=(a+c)+(b+d)i$ , donc $\overline{z+w}=(a+c)-(b+d)i$ . Par ailleurs $\bar{z}+\bar{w}=(a-bi)+(c-di)=(a+c)-(b+d)i$ . Les deux expressions coïncident.

Enfin, le contre-exemple. Considérons $Q(z)=z-i$ , dont le coefficient constant $-i$ n'est PAS réel. Sa seule racine est $z_{0}=i$ . Or $\overline{z_{0}}=-i$ donne $Q(-i)=-i-i=-2i\neq 0$ : le conjugué n'est pas racine. La propriété de b) s'effondre dès qu'un seul coefficient cesse d'être réel, car l'étape $\overline{a_{k}}=a_{k}$ est précisément celle qui portait toute la démonstration. C'est pour cette raison que l'énoncé insiste sur les coefficients réels, et l'examen sanctionne souvent l'application aveugle de la propriété à un polynôme à coefficients complexes.

Exercice 7 : Problème : les six racines sixièmes de 64 et l'hexagone régulier

On cherche à résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^{6}=64$ , puis à exploiter la structure géométrique de ses solutions.

L'équation semble anodine : beaucoup répondent $z=2$ et passent à la suite. Le degré $6$ impose pourtant six solutions, dont quatre ne sont pas réelles.

a) Écrivez $64$ sous forme exponentielle, puis déterminez les six solutions de l'équation sous forme exponentielle.
b) Donnez les six solutions sous forme algébrique.
c) Décrivez la figure formée par les six solutions dans le plan complexe. Lesquelles sont réelles ?
d) Calculez la somme des six solutions, et justifiez le résultat de deux façons, l'une géométrique et l'autre algébrique.
e) Calculez le produit des six solutions en regroupant les racines conjuguées.
f) Montrez que la multiplication par la solution $z_{1}=1+i\sqrt{3}$ correspond, dans le plan, à une rotation composée avec une homothétie. Donnez la matrice $2\times 2$ de cette transformation et vérifiez sa cohérence avec le module et l'argument de $z_{1}$ .

Voir la correction

Réponses

a) $z_k=2e^{i\frac{k\pi}{3}}$
b) $2$ , $1\pm i\sqrt3$ , $-1\pm i\sqrt3$ , $-2$
c) Hexagone régulier ; $2$ et $-2$ réelles
d) Somme nulle
e) Produit $-64$
f) $M=2R_{60^\circ}$ , $\det M=4$

a)

Le nombre $64$ est réel positif, donc son module vaut $64$ et son argument $0$ : $64=64e^{i0}$ . Les racines sixièmes ont pour module $64^{1/6}=2$ , puisque $2^{6}=64$ , et pour arguments $\dfrac{0+2k\pi}{6}=\dfrac{k\pi}{3}$ pour $k=0;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5$ .

Les six solutions sont donc $z_{k}=2e^{i\frac{k\pi}{3}}$ , soit $2e^{i0}$ , $2e^{i\frac{\pi}{3}}$ , $2e^{i\frac{2\pi}{3}}$ , $2e^{i\pi}$ , $2e^{i\frac{4\pi}{3}}$ et $2e^{i\frac{5\pi}{3}}$ .

b)

On convertit chacune à l'aide des valeurs remarquables du cercle trigonométrique. $z_{0}=2(1+0i)=2$ . $z_{1}=2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)=1+i\sqrt{3}$ . $z_{2}=2\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-1+i\sqrt{3}$ . $z_{3}=2(-1+0i)=-2$ . $z_{4}=2\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-1-i\sqrt{3}$ . $z_{5}=2\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)=1-i\sqrt{3}$ .

Contrôle sur $z_{1}$ : son module vaut $2$ et son argument $\dfrac{\pi}{3}$ , donc $z_{1}^{6}=2^{6}e^{i2\pi}=64$ , conforme.

c)

Les six solutions ont toutes le même module $2$ , elles sont donc sur le cercle de rayon $2$ centré à l'origine, et leurs arguments sont espacés de $\dfrac{\pi}{3}$ , soit $60^{\circ}$ . Elles forment donc les sommets d'un HEXAGONE RÉGULIER inscrit dans ce cercle.

Deux d'entre elles seulement sont réelles : $z_{0}=2$ et $z_{3}=-2$ , celles dont l'argument vaut $0$ ou $\pi$ . Les quatre autres vont par paires conjuguées, $z_{1}$ avec $z_{5}$ et $z_{2}$ avec $z_{4}$ , ce qui est attendu puisque le polynôme $z^{6}-64$ est à coefficients réels. La réponse naïve $z=2$ ne donnait qu'une solution sur six.

d)

Somme : $2+(1+i\sqrt{3})+(-1+i\sqrt{3})+(-2)+(-1-i\sqrt{3})+(1-i\sqrt{3})$ . Les parties réelles donnent $2+1-1-2-1+1=0$ et les parties imaginaires $\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{3}-\sqrt{3}=0$ . La somme vaut $0$ .

Justification géométrique : les six points sont les sommets d'un hexagone régulier centré à l'origine. La somme de vecteurs répartis avec une symétrie centrale s'annule, car chaque sommet a son opposé dans la figure ( $z_{0}$ avec $z_{3}$ , $z_{1}$ avec $z_{4}$ , $z_{2}$ avec $z_{5}$ ). Additionner terme à terme trois paires de vecteurs opposés donne le vecteur nul.

Justification algébrique : les six solutions sont les racines de $z^{6}-64=0$ . Ce polynôme s'écrit $z^{6}+0z^{5}+0z^{4}+0z^{3}+0z^{2}+0z-64$ , et par les relations entre coefficients et racines, la somme des racines vaut l'opposé du coefficient de $z^{5}$ divisé par le coefficient dominant, soit $-\dfrac{0}{1}=0$ .

e)

On regroupe chaque racine avec sa conjuguée, ce qui rend chaque produit partiel réel. Les deux racines réelles : $z_{0}z_{3}=(2)(-2)=-4$ . La paire $z_{1}z_{5}=(1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})=1^{2}+(\sqrt{3})^{2}=1+3=4$ , en utilisant $z\bar{z}=|z|^{2}$ . La paire $z_{2}z_{4}=(-1+i\sqrt{3})(-1-i\sqrt{3})=1+3=4$ de même.

Le produit total vaut $(-4)(4)(4)=-64$ . Contrôle par les relations coefficients-racines : le produit des racines d'un polynôme de degré $6$ vaut $(-1)^{6}\dfrac{a_{0}}{a_{6}}=\dfrac{-64}{1}=-64$ . Conforme. Regrouper les conjuguées est la bonne stratégie : chaque paire donne immédiatement le carré du module, et on ne manipule jamais de nombre non réel.

f)

Multiplier par $z_{1}=1+i\sqrt{3}$ un complexe $x+iy$ donne $(x+iy)(1+i\sqrt{3})=x+ix\sqrt{3}+iy+i^{2}y\sqrt{3}=(x-\sqrt{3}y)+i(\sqrt{3}x+y)$ . En traduisant sur le couple de coordonnées $(x;\ y)$ , la transformation envoie $(x;\ y)$ sur $(x-\sqrt{3}y;\ \sqrt{3}x+y)$ , ce qui correspond à la matrice $M=\begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix}$ .

On factorise le module : $M=2\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[4pt] \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} \cos\dfrac{\pi}{3} & -\sin\dfrac{\pi}{3} \\[4pt] \sin\dfrac{\pi}{3} & \cos\dfrac{\pi}{3} \end{pmatrix}$ . C'est donc l'homothétie de rapport $2$ composée avec la rotation de $\dfrac{\pi}{3}$ , soit $60^{\circ}$ .

La cohérence est parfaite : $|z_{1}|=2$ donne le rapport de l'homothétie et $\arg(z_{1})=\dfrac{\pi}{3}$ donne l'angle de la rotation. Contrôle par le déterminant : $\det(M)=(1)(1)-(-\sqrt{3})(\sqrt{3})=1+3=4=|z_{1}|^{2}$ , ce qui est bien le facteur d'aire attendu d'une homothétie de rapport $2$ .

Lecture finale de tout le problème : appliquer six fois cette transformation revient à une rotation de $6\times 60^{\circ}=360^{\circ}$ , c'est-à-dire l'identité, composée avec une homothétie de rapport $2^{6}=64$ . C'est exactement l'énoncé $z_{1}^{6}=64$ , traduit en langage de transformations. L'hexagone des racines n'est rien d'autre que l'orbite du point $(2;\ 0)$ sous les rotations successives de $60^{\circ}$ .

Exercice 8 : Le produit complexe comme rotation et le critère du triangle équilatéral

Multiplier par un nombre complexe de module $r$ et d'argument $\theta$ revient à composer une rotation d'angle $\theta$ avec une homothétie de rapport $r$ . On exploite cette lecture géométrique pour manipuler des points du plan.

a) Déterminez l'image du point d'affixe $z=2$ par la rotation de centre l'origine et d'angle $60^{\circ}$ , en multipliant par le complexe approprié.
b) Déterminez l'affixe de l'image du point $z=4+i$ par la rotation de $90^{\circ}$ (sens antihoraire) autour du centre d'affixe $c=1+i$ . On rappelle que la formule est $z'=c+e^{i\theta}(z-c)$ .
c) On considère les points $A$ , $B$ , $C$ d'affixes $a=0$ , $b=2$ et $c=1+\sqrt{3}\,i$ . Montrez que le triangle $ABC$ est équilatéral, d'abord par les longueurs.
d) Vérifiez le critère algébrique d'équilatéralité $a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca$ sur ce triangle, et expliquez le lien avec la rotation de $60^{\circ}$ .

Voir la correction

Réponses

a) $1+\sqrt3\,i$
b) $1+4i$
c) Trois côtés de longueur 2
d) $2+2\sqrt3\,i$ des deux côtés

a)

Une rotation de $60^{\circ}$ centrée à l'origine est la multiplication par $e^{i60^{\circ}}=\cos 60^{\circ}+i\sin 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ . L'image de $z=2$ est donc $2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)=1+\sqrt{3}\,i$ , soit le point $(1;\ \sqrt{3})$ . Contrôle : son module vaut $\sqrt{1+3}=2$ , comme celui de $z$ , ce qui est normal puisqu'une rotation conserve les distances à l'origine.

b)

On applique $z'=c+e^{i90^{\circ}}(z-c)$ avec $e^{i90^{\circ}}=i$ . On calcule d'abord $z-c=(4+i)-(1+i)=3$ . Puis $i\cdot 3=3i$ . Enfin $z'=c+3i=(1+i)+3i=1+4i$ . L'image est le point d'affixe $1+4i$ , soit $(1;\ 4)$ . La translation par $-c$ , la rotation, puis la translation par $+c$ : c'est le schéma universel d'une rotation autour d'un centre autre que l'origine.

c)

On calcule les trois longueurs comme modules de différences d'affixes. $AB=|b-a|=|2|=2$ . $AC=|c-a|=|1+\sqrt{3}\,i|=\sqrt{1+3}=2$ . $BC=|c-b|=|(1+\sqrt{3}\,i)-2|=|-1+\sqrt{3}\,i|=\sqrt{1+3}=2$ . Les trois côtés valent $2$ , donc le triangle $ABC$ est équilatéral.

d)

On vérifie $a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca$ . À gauche : $0+4+(1+\sqrt{3}\,i)^{2}=4+(1+2\sqrt{3}\,i-3)=4+(-2+2\sqrt{3}\,i)=2+2\sqrt{3}\,i$ . À droite : $ab+bc+ca=0+2(1+\sqrt{3}\,i)+0=2+2\sqrt{3}\,i$ . Les deux membres coïncident, le critère est vérifié. Le lien avec la rotation : un triangle $ABC$ est équilatéral direct si et seulement si $C$ est l'image de $B$ par la rotation de $60^{\circ}$ autour de $A$ , ce qui s'écrit $c-a=e^{i60^{\circ}}(b-a)$ . En développant cette relation avec $e^{i60^{\circ}}$ racine de $t^{2}-t+1=0$ , on obtient précisément l'identité symétrique $a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca$ . La géométrie du triangle équilatéral est donc encodée dans une simple équation entre affixes.

Exercice 9 : Théorème de De Moivre et formules de l'angle triple

Le théorème de De Moivre ne sert pas qu'à calculer des puissances : développé, il fabrique les formules trigonométriques de l'angle multiple. On l'applique ici à l'angle triple.

a) Écrivez $(\cos\theta+i\sin\theta)^{3}$ de deux façons : par le théorème de De Moivre, et par le développement du cube d'une somme.
b) En identifiant les parties réelles et imaginaires, déduisez les formules de $\cos 3\theta$ et $\sin 3\theta$ en fonction de $\cos\theta$ et $\sin\theta$ .
c) Exprimez $\cos 3\theta$ uniquement en fonction de $\cos\theta$ , puis $\sin 3\theta$ uniquement en fonction de $\sin\theta$ .
d) Vérifiez la formule de $\cos 3\theta$ pour $\theta=30^{\circ}$ , où $\cos 3\theta=\cos 90^{\circ}=0$ .

Voir la correction

Réponses

a) $\cos 3\theta+i\sin 3\theta=(c^3-3cs^2)+i(3c^2s-s^3)$
b) $\cos 3\theta=c^3-3cs^2$ , $\sin 3\theta=3c^2s-s^3$
c) $4\cos^3\theta-3\cos\theta$ ; $3\sin\theta-4\sin^3\theta$
d) $0$ pour $\theta=30^\circ$

a)

Par De Moivre : $(\cos\theta+i\sin\theta)^{3}=\cos 3\theta+i\sin 3\theta$ . Par le développement du cube, avec $c=\cos\theta$ et $s=\sin\theta$ : $(c+is)^{3}=c^{3}+3c^{2}(is)+3c(is)^{2}+(is)^{3}=c^{3}+3ic^{2}s-3cs^{2}-is^{3}$ , en utilisant $i^{2}=-1$ et $i^{3}=-i$ . On regroupe : $(c+is)^{3}=(c^{3}-3cs^{2})+i(3c^{2}s-s^{3})$ .

b)

On identifie les deux écritures. Partie réelle : $\cos 3\theta=\cos^{3}\theta-3\cos\theta\sin^{2}\theta$ . Partie imaginaire : $\sin 3\theta=3\cos^{2}\theta\sin\theta-\sin^{3}\theta$ . C'est le mécanisme fondamental : une seule application de De Moivre livre d'un coup les deux formules de l'angle triple, là où la trigonométrie classique demande deux fois la formule d'addition.

c)

Pour $\cos 3\theta$ , on remplace $\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta$ : $\cos 3\theta=\cos^{3}\theta-3\cos\theta(1-\cos^{2}\theta)=\cos^{3}\theta-3\cos\theta+3\cos^{3}\theta=4\cos^{3}\theta-3\cos\theta$ . Pour $\sin 3\theta$ , on remplace $\cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta$ : $\sin 3\theta=3(1-\sin^{2}\theta)\sin\theta-\sin^{3}\theta=3\sin\theta-3\sin^{3}\theta-\sin^{3}\theta=3\sin\theta-4\sin^{3}\theta$ . Ces deux polynômes, en $\cos\theta$ et en $\sin\theta$ , sont des cas particuliers des polynômes de Tchebychev.

d)

Pour $\theta=30^{\circ}$ , $\cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . La formule donne $\cos 90^{\circ}=4\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3}-3\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=4\cdot\dfrac{3\sqrt{3}}{8}-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=0$ . On retrouve bien $\cos 90^{\circ}=0$ , ce qui valide la formule sur une valeur connue.

Exercice 10 : Problème : lieux géométriques dans le plan complexe

L'écriture $|z-a|$ se lit comme la distance du point d'affixe $z$ au point d'affixe $a$ . Cette seule lecture transforme des équations complexes en figures géométriques classiques : droites, cercles, médiatrices.

a) Déterminez et décrivez l'ensemble des points $z$ tels que $|z-1|=|z+i|$ . Donnez son équation cartésienne.
b) Déterminez l'ensemble des points $z$ tels que $|z-(2+i)|=3$ . Précisez sa nature, son centre et son rayon, et dites si le point d'affixe $4+2i$ lui appartient, est intérieur ou extérieur.
c) Déterminez l'ensemble des points $z$ tels que $|z-1|=2\,|z+1|$ . Montrez que c'est un cercle et donnez son centre et son rayon.
d) Décrivez géométriquement l'ensemble des points $z=x+iy$ tels que $\text{Re}(z)+\text{Im}(z)=1$ , et expliquez pourquoi, contrairement à b) et c), ce lieu est une droite.

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Réponses

a) Droite $y=-x$
b) Cercle de centre $(2;1)$ , rayon 3 ; point intérieur
c) Cercle de centre $\left(-\frac53;0\right)$ , rayon $\frac43$
d) Droite $x+y=1$

a)

En posant $z=x+iy$ : $|z-1|^{2}=(x-1)^{2}+y^{2}$ et $|z+i|^{2}=x^{2}+(y+1)^{2}$ . L'égalité $|z-1|=|z+i|$ équivaut à $(x-1)^{2}+y^{2}=x^{2}+(y+1)^{2}$ , soit $x^{2}-2x+1+y^{2}=x^{2}+y^{2}+2y+1$ , d'où $-2x=2y$ et $y=-x$ . L'ensemble est la DROITE d'équation $y=-x$ . Interprétation : $|z-1|=|z+i|$ signifie que $z$ est équidistant des points d'affixes $1$ et $-i$ , c'est donc la médiatrice du segment joignant ces deux points.

b)

$|z-(2+i)|=3$ signifie que la distance de $z$ au point d'affixe $2+i$ vaut constamment $3$ : c'est le CERCLE de centre $(2;\ 1)$ et de rayon $3$ . Pour le point d'affixe $4+2i$ , on calcule sa distance au centre : $|(4+2i)-(2+i)|=|2+i|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\approx 2{,}24$ . Comme $\sqrt{5}<3$ , ce point est à l'INTÉRIEUR du disque, il n'est pas sur le cercle.

c)

En posant $z=x+iy$ et en élevant au carré : $(x-1)^{2}+y^{2}=4\big((x+1)^{2}+y^{2}\big)$ . On développe : $x^{2}-2x+1+y^{2}=4x^{2}+8x+4+4y^{2}$ , soit $0=3x^{2}+3y^{2}+10x+3$ , d'où $x^{2}+y^{2}+\dfrac{10}{3}x+1=0$ . On complète le carré : $\left(x+\dfrac{5}{3}\right)^{2}+y^{2}=\dfrac{25}{9}-1=\dfrac{16}{9}$ . C'est le CERCLE de centre $\left(-\dfrac{5}{3};\ 0\right)$ et de rayon $\dfrac{4}{3}$ . C'est un cercle d'Apollonius : le lieu des points dont le rapport des distances à deux points fixes est constant et différent de $1$ est toujours un cercle.

d)

La condition $\text{Re}(z)+\text{Im}(z)=1$ s'écrit directement $x+y=1$ : c'est une DROITE. La différence avec b) et c) tient à la nature de l'équation. Une condition portant sur les PARTIES réelle et imaginaire de $z$ est linéaire en $x$ et $y$ , elle donne donc une droite. Une condition d'ÉGALITÉ DE MODULES, comme en a), fait apparaître des carrés qui se simplifient et laisse aussi une équation linéaire (médiatrice). Mais une condition de module CONSTANT, comme en b), ou de RAPPORT de modules différent de $1$ , comme en c), conserve les termes en $x^{2}+y^{2}$ et produit un cercle. Reconnaître le type d'équation permet d'anticiper la figure avant même de calculer.

Exercice 11 : Les racines cinquièmes de l'unité et le cosinus de 72°

On note $\omega=e^{i\frac{2\pi}{5}}$ .

a) Donnez les solutions de $z^{5}=1$ et décrivez la figure qu'elles forment.
b) Montrez que $1+\omega+\omega^{2}+\omega^{3}+\omega^{4}=0$ .
c) On pose $t=\omega+\omega^{4}$ . Montrez que $t=2\cos\frac{2\pi}{5}$ , que $\omega^{2}+\omega^{3}=t^{2}-2$ , puis que $t^{2}+t-1=0$ .
d) Déduisez-en la valeur exacte de $\cos 72^{\circ}$ , puis sa valeur au millième.
e) Calculez la longueur du côté du pentagone régulier inscrit dans le cercle unité, au millième.

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Réponses

a) Pentagone régulier
b) Somme géométrique nulle
c) $t^2+t-1=0$
d) $\cos 72^\circ=\frac{\sqrt5-1}{4}\approx 0{,}309$
e) Côté $\approx 1{,}176$

a)

$z_{k}=e^{i\frac{2k\pi}{5}}$ pour $k=0;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4$ , soit $1$ , $\omega$ , $\omega^{2}$ , $\omega^{3}$ , $\omega^{4}$ . Cinq points du cercle unité espacés de $72^{\circ}$ : un PENTAGONE RÉGULIER.

b)

C'est une somme géométrique de raison $\omega\neq 1$ : $\frac{\omega^{5}-1}{\omega-1}=\frac{1-1}{\omega-1}=0$ . Géométriquement, les sommets d'un polygone régulier centré à l'origine ont une somme nulle.

c)

$\omega^{4}=e^{-i\frac{2\pi}{5}}=\bar{\omega}$ , donc $t=\omega+\bar{\omega}=2\cos\frac{2\pi}{5}$ . Puis $t^{2}=\omega^{2}+2\omega^{5}+\omega^{8}=\omega^{2}+2+\omega^{3}$ , puisque $\omega^{5}=1$ et $\omega^{8}=\omega^{3}$ : $\omega^{2}+\omega^{3}=t^{2}-2$ . Par b), $1+t+(t^{2}-2)=0$ , soit $t^{2}+t-1=0$ .

d)

$t=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$ , et $t=2\cos 72^{\circ}>0$ impose $t=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ . Donc $\cos 72^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\approx 0{,}309$ . La racine négative, $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ , vaut $\omega^{2}+\omega^{3}=2\cos 144^{\circ}$ .

e)

Le côté vaut $|\omega-1|$ , et $|\omega-1|^{2}=(\cos 72^{\circ}-1)^{2}+\sin^{2}72^{\circ}=2-2\cos 72^{\circ}=2-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{5-\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}382$ . Côté $\approx 1{,}176$ .

Le fil : les racines de l'unité transforment une question de trigonométrie en équation polynomiale ; leur somme nulle fournit la relation clé.

Exercice 12 : La factorisation de z⁴ + 4

On cherche à résoudre $z^{4}+4=0$ dans $\mathbb{C}$ , puis à en tirer une factorisation réelle.

a) Écrivez $-4$ sous forme exponentielle et déterminez les quatre solutions sous forme algébrique.
b) En regroupant les racines conjuguées, écrivez $z^{4}+4$ comme produit de deux polynômes du second degré à coefficients réels.
c) Vérifiez la factorisation en remarquant que $z^{4}+4=(z^{2}+2)^{2}-(2z)^{2}$ .
d) Déduisez-en que $n^{4}+4$ n'est jamais un nombre premier pour un entier $n\geq 2$ . Factorisez $3^{4}+4$ et $5^{4}+4$ .
e) Calculez la somme et le produit des quatre solutions, et contrôlez par les coefficients de $z^{4}+4$ .

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Réponses

a) $\pm1\pm i$
b) $(z^2-2z+2)(z^2+2z+2)$
c) Différence de deux carrés
d) $85=5\times 17$ ; $629=17\times 37$
e) Somme 0, produit 4

a)

$-4=4e^{i\pi}$ . Les racines quatrièmes ont pour module $4^{1/4}=\sqrt{2}$ et pour arguments $\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}$ : $\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}=1+i$ , puis $-1+i$ , $-1-i$ et $1-i$ . Elles forment un carré.

b)

$(z-1-i)(z-1+i)=(z-1)^{2}+1=z^{2}-2z+2$ et $(z+1-i)(z+1+i)=(z+1)^{2}+1=z^{2}+2z+2$ . Donc $z^{4}+4=(z^{2}-2z+2)(z^{2}+2z+2)$ .

c)

$(z^{2}+2)^{2}-(2z)^{2}=z^{4}+4z^{2}+4-4z^{2}=z^{4}+4$ , et une différence de deux carrés se factorise en $(z^{2}+2-2z)(z^{2}+2+2z)$ : c'est bien la factorisation de b).

d)

$n^{4}+4=(n^{2}-2n+2)(n^{2}+2n+2)$ , et pour $n\geq 2$ le premier facteur vaut $(n-1)^{2}+1\geq 2$ , le second est plus grand encore : le nombre a deux facteurs supérieurs à $1$ , il n'est pas premier. $3^{4}+4=85=5\times 17$ et $5^{4}+4=629=17\times 37$ .

e)

Somme : $(1+i)+(-1+i)+(-1-i)+(1-i)=0$ , et le coefficient de $z^{3}$ est nul. Produit : $(1+i)(1-i)\times(-1+i)(-1-i)=2\times 2=4$ , égal au terme constant, puisque le degré est pair.

Le fil : les racines complexes d'un polynôme réel se regroupent par paires conjuguées en facteurs réels du second degré.

Exercice 13 : Une équation du second degré à coefficients complexes

On résout dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^{2}-(3+i)z+4+3i=0$ .

a) Calculez le discriminant $\Delta$ .
b) Déterminez les deux racines carrées de $\Delta$ par la méthode algébrique.
c) Déduisez-en les deux solutions de l'équation.
d) Vérifiez par la somme et le produit des solutions.
e) Les deux solutions sont-elles conjuguées ? Pourquoi n'est-ce pas contradictoire avec la propriété des racines conjuguées ?

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Réponses

a) $\Delta=-8-6i$
b) $\pm(1-3i)$
c) $2-i$ et $1+2i$
d) Somme $3+i$ , produit $4+3i$
e) Non : coefficients non réels

a)

$\Delta=(3+i)^{2}-4(4+3i)=9+6i-1-16-12i=-8-6i$ .

b)

On cherche $\delta=x+iy$ avec $x^{2}-y^{2}=-8$ , $2xy=-6$ et $x^{2}+y^{2}=|\Delta|=\sqrt{64+36}=10$ . D'où $x^{2}=1$ et $y^{2}=9$ , et $xy<0$ impose des signes contraires : $\delta=1-3i$ ou $\delta=-1+3i$ .

c)

$z=\frac{(3+i)\pm(1-3i)}{2}$ : $z_{1}=\frac{4-2i}{2}=2-i$ et $z_{2}=\frac{2+4i}{2}=1+2i$ .

d)

Somme : $(2-i)+(1+2i)=3+i$ , l'opposé du coefficient de $z$ . Produit : $(2-i)(1+2i)=2+4i-i-2i^{2}=4+3i$ , le terme constant. Les deux relations sont vérifiées.

e)

Non : le conjugué de $2-i$ est $2+i$ , qui n'est pas solution. Aucune contradiction : la propriété des racines conjuguées ne vaut que pour un polynôme à coefficients RÉELS, et ici deux coefficients ne le sont pas.

Le fil : la formule du discriminant reste valable dans $\mathbb{C}$ ; la seule étape nouvelle est l'extraction d'une racine carrée complexe.

Exercice 14 : Problème : les itérations de l'ensemble de Mandelbrot

Pour un nombre complexe $c$ , on définit la suite $z_{0}=0$ et $z_{n+1}=z_{n}^{2}+c$ . Le nombre $c$ appartient à l'ensemble de Mandelbrot si cette suite reste bornée. On admet que dès qu'un terme vérifie $|z_{n}|>2$ , la suite n'est pas bornée.

a) Calculez les termes $z_{1}$ à $z_{4}$ pour $c=1$ . Le nombre $1$ appartient-il à l'ensemble ?
b) Même question pour $c=-1$ .
c) Calculez $z_{1}$ à $z_{4}$ pour $c=i$ et concluez.
d) Pour $c=-2$ , calculez les premiers termes. Pour $c=0{,}5$ , déterminez le premier indice $n$ tel que $|z_{n}|>2$ .
e) Pour $c$ réel strictement supérieur à $\frac{1}{4}$ , montrez que $z_{n+1}-z_{n}\geq c-\frac{1}{4}$ , et concluez.

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Réponses

a) $1, 2, 5, 26$ : non
b) $-1, 0, -1, 0$ : oui
c) $i$ , $-1+i$ , $-i$ , $-1+i$ : oui
d) $c=-2$ : bornée ; $c=0{,}5$ : $n=5$
e) Croissance d'au moins $c-\frac14$ : divergence

a)

$z_{1}=1$ , $z_{2}=2$ , $z_{3}=5$ , $z_{4}=26$ . Dès $z_{3}$ , le module dépasse $2$ : la suite n'est pas bornée, $1$ n'appartient pas à l'ensemble.

b)

$z_{1}=-1$ , $z_{2}=0$ , $z_{3}=-1$ , $z_{4}=0$ : la suite alterne entre $-1$ et $0$ , elle est bornée, $-1$ appartient à l'ensemble.

c)

$z_{1}=i$ ; $z_{2}=i^{2}+i=-1+i$ ; $z_{3}=(-1+i)^{2}+i=(1-2i-1)+i=-i$ ; $z_{4}=(-i)^{2}+i=-1+i$ . La suite répète $-1+i$ , $-i$ : elle est bornée, de module au plus $\sqrt{2}$ , et $i$ appartient à l'ensemble.

d)

Pour $c=-2$ : $z_{1}=-2$ , $z_{2}=2$ , puis $z_{n}=2$ pour tout $n\geq 2$ . La suite est bornée, et $-2$ est le point le plus à gauche de l'ensemble. Pour $c=0{,}5$ : $z_{1}=0{,}5$ , $z_{2}=0{,}75$ , $z_{3}=1{,}0625$ , $z_{4}\approx 1{,}629$ , $z_{5}\approx 3{,}153$ : le premier indice est $n=5$ .

e)

Pour $c$ réel, tous les termes sont réels, et $z_{n+1}-z_{n}=z_{n}^{2}-z_{n}+c=\left(z_{n}-\frac{1}{2}\right)^{2}+c-\frac{1}{4}\geq c-\frac{1}{4}$ . La suite croît donc au moins de $c-\frac{1}{4}>0$ à chaque étape : $z_{n}\geq n\left(c-\frac{1}{4}\right)$ tend vers l'infini. Sur l'axe réel, l'ensemble ne dépasse pas $\frac{1}{4}$ à droite.

Le fil : itérer $z\mapsto z^{2}+c$ combine produit et somme de complexes ; le module décide de la divergence.

Exercice 15 : Problème : additionner des signaux sinusoïdaux par les phaseurs

Un signal $a\cos(\omega t+\varphi)$ , avec $a>0$ , est représenté par le nombre complexe $a\,e^{i\varphi}$ , son PHASEUR : le signal est la partie réelle de $a\,e^{i\varphi}e^{i\omega t}$ . Deux signaux de même pulsation s'additionnent en additionnant leurs phaseurs.

a) Donnez les phaseurs de $s_{1}(t)=3\cos(\omega t)$ et de $s_{2}(t)=4\cos\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)$ .
b) Calculez le phaseur de $s_{1}+s_{2}$ sous forme exponentielle : amplitude et phase, au centième de degré.
c) Écrivez $s_{1}+s_{2}$ sous la forme $A\cos(\omega t+\Phi)$ et vérifiez la valeur en $t=0$ .
d) Trois signaux $2\cos(\omega t)$ , $2\cos\left(\omega t+\frac{2\pi}{3}\right)$ et $2\cos\left(\omega t+\frac{4\pi}{3}\right)$ sont additionnés. Quelle est l'amplitude de la somme ?
e) Dériver $a\cos(\omega t+\varphi)$ revient à multiplier son phaseur par $i\omega$ . Pour $\omega=2\ \mathrm{rad/s}$ , donnez le phaseur et l'amplitude de la dérivée de $s_{1}$ .

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Réponses

a) $3$ et $4i$
b) $5e^{i\,0{,}927}$ , soit $53{,}13^\circ$
c) $5\cos(\omega t+0{,}927)$ ; 3 en $t=0$
d) Somme nulle
e) Phaseur $6i$ , amplitude 6

a)

$s_{1}$ : $3e^{i0}=3$ . $s_{2}$ : $4e^{i\frac{\pi}{2}}=4i$ .

b)

$3+4i$ , de module $5$ et d'argument $\arctan\frac{4}{3}\approx 0{,}927\ \mathrm{rad}$ , soit $53{,}13^{\circ}$ : $5e^{i\,0{,}927}$ .

c)

$s_{1}(t)+s_{2}(t)=5\cos(\omega t+0{,}927)$ . En $t=0$ : $3+4\cos\frac{\pi}{2}=3$ , et $5\cos(0{,}927)=5\times 0{,}6=3$ . L'amplitude de la somme, $5$ , n'est pas $3+4=7$ : les deux signaux sont décalés d'un quart de période.

d)

Les trois phaseurs $2$ , $2e^{i\frac{2\pi}{3}}$ et $2e^{i\frac{4\pi}{3}}$ sont les sommets d'un triangle équilatéral centré à l'origine : leur somme est nulle, et la somme des signaux est identiquement nulle. C'est le principe du courant triphasé, dont les trois phases s'équilibrent.

e)

Le phaseur de $s_{1}'$ vaut $2i\times 3=6i=6e^{i\frac{\pi}{2}}$ : $s_{1}'(t)=6\cos\left(2t+\frac{\pi}{2}\right)=-6\sin(2t)$ , d'amplitude $6$ . On retrouve la dérivée de $3\cos(2t)$ .

Le fil : les phaseurs remplacent la trigonométrie des signaux de même fréquence par l'addition et la multiplication de nombres complexes.

Exercices corrigés : nombres complexes, De Moivre et racines n-ièmes (201-SN4-RE, ancien 201-NYC / Maths 105)

Rappel de cours

Calculs : les calculs sous forme algébrique

Exercice 0.1 : Calculer sous forme algébrique : dix calculs directs

Calculs : forme exponentielle et De Moivre

Exercice 0.2 : Passer à la forme exponentielle et calculer des puissances : neuf calculs directs

Partie A : Les bases (/50)

Exercice 1 : Forme algébrique, conjugué et division

Exercice 2 : Module, argument et forme exponentielle

Exercice 3 : Théorème de De Moivre et puissances

Exercice 4 : Racines n-ièmes d'un nombre complexe

Exercice 5 : Racines carrées d'un nombre complexe par la forme algébrique

Partie B : Niveau examen (/50)

Exercice 6 : Équations polynomiales et racines conjuguées

Exercice 7 : Problème : les six racines sixièmes de 64 et l'hexagone régulier

Exercice 8 : Le produit complexe comme rotation et le critère du triangle équilatéral

Exercice 9 : Théorème de De Moivre et formules de l'angle triple

Exercice 10 : Problème : lieux géométriques dans le plan complexe

Partie C : les classiques (/50)

Exercice 11 : Les racines cinquièmes de l'unité et le cosinus de 72°

Exercice 12 : La factorisation de z⁴ + 4

Exercice 13 : Une équation du second degré à coefficients complexes

Exercice 14 : Problème : les itérations de l'ensemble de Mandelbrot

Exercice 15 : Problème : additionner des signaux sinusoïdaux par les phaseurs

Voir aussi

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