Exercices corrigés : nombres complexes, De Moivre et racines n-ièmes (201-NYC / Maths 105)

a) $z_{1}+z_{2}=(3+1)+(2-4)i=4-2i$. Pour le produit, on développe puis on utilise $i^{2}=-1$ : $z_{1}z_{2}=(3+2i)(1-4i)=3-12i+2i-8i^{2}=3-10i+8=11-10i$. Le terme $-8i^{2}$ devient $+8$, et c'est ce changement de signe que l'on oublie sous la pression.

b) $\bar{z_{1}}=3-2i$ et $\bar{z_{2}}=1+4i$. Les modules : $|z_{1}|=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}$ et $|z_{2}|=\sqrt{1^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{17}$. Le module utilise le carré des composantes, donc le signe du $-4$ disparaît.

c) On multiplie haut et bas par le conjugué du dénominateur : $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}=\dfrac{(3+2i)(1+4i)}{(1-4i)(1+4i)}$. Numérateur : $3+12i+2i+8i^{2}=3+14i-8=-5+14i$. Dénominateur : $1^{2}+4^{2}=17$, un nombre réel, ce qui est tout l'objet de l'opération. Donc $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}=\dfrac{-5+14i}{17}=-\dfrac{5}{17}+\dfrac{14}{17}i$.

Contrôle par les modules : $\left|\dfrac{z_{1}}{z_{2}}\right|=\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt{17}}\approx 0{,}874$, et directement $\dfrac{\sqrt{25+196}}{17}=\dfrac{\sqrt{221}}{17}\approx 0{,}874$. Cohérent.

d) $z_{1}\bar{z_{1}}=(3+2i)(3-2i)=9-6i+6i-4i^{2}=9+4=13$. Le résultat est un nombre RÉEL, égal à $|z_{1}|^{2}=(\sqrt{13})^{2}=13$. C'est la propriété $z\bar{z}=|z|^{2}$, et c'est elle qui fait fonctionner la division de la question c).

Pour $i^{2027}$ : les puissances de $i$ sont cycliques de période $4$, puisque $i^{1}=i$, $i^{2}=-1$, $i^{3}=-i$, $i^{4}=1$, puis le cycle recommence. On divise donc l'exposant par $4$ : $2027=4\times 506+3$, le reste est $3$. Donc $i^{2027}=i^{3}=-i$. Aucune calculatrice n'est nécessaire, seul le reste de la division par $4$ compte.

a) $|z|=\sqrt{(-2)^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4$. Pour l'argument, on impose les DEUX conditions : $\cos\theta=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac{1}{2}$ et $\sin\theta=\dfrac{2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Cosinus négatif et sinus positif placent l'angle dans le deuxième quadrant, et l'angle de référence associé à $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ est $\dfrac{\pi}{3}$. Donc $\theta=\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$.

Le piège classique : utiliser la calculatrice pour $\arctan\left(\dfrac{2\sqrt{3}}{-2}\right)=\arctan(-\sqrt{3})=-\dfrac{\pi}{3}$, et s'arrêter là. Cette valeur est dans le quatrième quadrant, alors que $z$ est dans le deuxième. La fonction arctangente ne rend jamais que des angles entre $-\dfrac{\pi}{2}$ et $\dfrac{\pi}{2}$ : elle ne peut pas distinguer les quadrants opposés. Il faut toujours situer le point avant de conclure.

b) Forme trigonométrique : $z=4\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)$. Forme exponentielle : $z=4e^{i\frac{2\pi}{3}}$.

c) Le conjugué a le même module et l'argument opposé : $\bar{z}=4e^{-i\frac{2\pi}{3}}$. Géométriquement, c'est la réflexion par rapport à l'axe des réels.

Pour $-z$, multiplier par $-1$ revient à multiplier par $e^{i\pi}$, donc à ajouter $\pi$ à l'argument : $-z=4e^{i\left(\frac{2\pi}{3}+\pi\right)}=4e^{i\frac{5\pi}{3}}$, que l'on écrit plus commodément $4e^{-i\frac{\pi}{3}}$ en retranchant $2\pi$. Géométriquement, c'est la symétrie centrale par rapport à l'origine, soit une rotation d'un demi-tour.

d) $|w|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$, et le point $(1;\ 1)$ est sur la bissectrice du premier quadrant, donc $\arg(w)=\dfrac{\pi}{4}$ et $w=\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}$.

En forme exponentielle : $zw=4\sqrt{2}\,e^{i\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right)}$. On met au même dénominateur : $\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{8\pi}{12}+\dfrac{3\pi}{12}=\dfrac{11\pi}{12}$. Donc $zw=4\sqrt{2}\,e^{i\frac{11\pi}{12}}$, en trois lignes.

En forme algébrique : $zw=(-2+2i\sqrt{3})(1+i)=-2-2i+2i\sqrt{3}+2i^{2}\sqrt{3}=-2-2i+2\sqrt{3}\,i-2\sqrt{3}=(-2-2\sqrt{3})+(2\sqrt{3}-2)i$.

Vérification des modules : $|zw|=\sqrt{(2+2\sqrt{3})^{2}+(2\sqrt{3}-2)^{2}}=\sqrt{(4+8\sqrt{3}+12)+(12-8\sqrt{3}+4)}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$. Les termes en $\sqrt{3}$ s'annulent exactement, et on retrouve bien $|z||w|=4\times\sqrt{2}$. Les deux formes décrivent le même nombre, mais la forme exponentielle a donné le résultat sans un seul développement.

a) $|z|=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=2$. Puis $\cos\theta=\dfrac{1}{2}$ et $\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, tous deux positifs, donc premier quadrant : $\theta=\dfrac{\pi}{3}$. Ainsi $z=2e^{i\frac{\pi}{3}}$.

b) Par De Moivre : $z^{6}=2^{6}e^{i\cdot 6\cdot\frac{\pi}{3}}=64\,e^{i2\pi}$. Or $e^{i2\pi}=\cos 2\pi+i\sin 2\pi=1+0i=1$. Donc $z^{6}=64$, un nombre réel positif. Comparez au travail qu'aurait exigé le développement de $(1+i\sqrt{3})^{6}$ par la formule du binôme : sept termes, avec des puissances de $\sqrt{3}$ et de $i$ à gérer. La forme exponentielle règle la question en une ligne.

c) $z^{10}=2^{10}e^{i\cdot 10\cdot\frac{\pi}{3}}=1024\,e^{i\frac{10\pi}{3}}$. On ramène l'argument dans $[0;\ 2\pi[$ en retranchant $2\pi=\dfrac{6\pi}{3}$ : $\dfrac{10\pi}{3}-\dfrac{6\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}$. Donc $z^{10}=1024\,e^{i\frac{4\pi}{3}}$.

Sous forme algébrique : $\cos\dfrac{4\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}$ et $\sin\dfrac{4\pi}{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (troisième quadrant, les deux négatifs). Donc $z^{10}=1024\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-512-512\sqrt{3}\,i$.

d) Première façon, par De Moivre : $(\cos\theta+i\sin\theta)^{3}=\cos 3\theta+i\sin 3\theta$.

Deuxième façon, par le développement du cube $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ avec $a=\cos\theta$ et $b=i\sin\theta$ : $\cos^{3}\theta+3\cos^{2}\theta(i\sin\theta)+3\cos\theta(i\sin\theta)^{2}+(i\sin\theta)^{3}$. Or $(i\sin\theta)^{2}=-\sin^{2}\theta$ et $(i\sin\theta)^{3}=-i\sin^{3}\theta$, ce qui donne $\big(\cos^{3}\theta-3\cos\theta\sin^{2}\theta\big)+i\big(3\cos^{2}\theta\sin\theta-\sin^{3}\theta\big)$.

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et leurs parties imaginaires le sont. En identifiant les parties réelles : $\cos 3\theta=\cos^{3}\theta-3\cos\theta\sin^{2}\theta$. On remplace $\sin^{2}\theta$ par $1-\cos^{2}\theta$ : $\cos 3\theta=\cos^{3}\theta-3\cos\theta(1-\cos^{2}\theta)=\cos^{3}\theta-3\cos\theta+3\cos^{3}\theta=4\cos^{3}\theta-3\cos\theta$. L'identité est démontrée.

L'identification des parties imaginaires donne gratuitement la formule compagne : $\sin 3\theta=3\cos^{2}\theta\sin\theta-\sin^{3}\theta=3\sin\theta-4\sin^{3}\theta$. C'est la méthode standard pour obtenir toutes les formules de multiplication d'angle sans jamais les mémoriser.

a) Le nombre $8i$ a pour partie réelle $0$ et pour partie imaginaire $8$, il est donc sur le demi-axe imaginaire positif. Son module vaut $8$ et son argument $\dfrac{\pi}{2}$. Donc $8i=8e^{i\frac{\pi}{2}}$.

b) Les racines cubiques ont pour module $8^{1/3}=2$ et pour arguments $\dfrac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2k\pi}{3}$ pour $k=0;\ 1;\ 2$.

Pour $k=0$ : $z_{0}=2e^{i\frac{\pi}{6}}=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)=\sqrt{3}+i$.

Pour $k=1$ : l'argument est $\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{4\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}$, donc $z_{1}=2e^{i\frac{5\pi}{6}}=2\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)=-\sqrt{3}+i$.

Pour $k=2$ : l'argument est $\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{4\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{8\pi}{6}=\dfrac{9\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{2}$, donc $z_{2}=2e^{i\frac{3\pi}{2}}=2(0-i)=-2i$.

L'erreur à ne pas commettre : s'arrêter à la première racine. Une équation de degré $3$ a exactement trois solutions dans $\mathbb{C}$, et le paramètre $k$ doit parcourir $0$, $1$ et $2$. Prendre $k=3$ redonnerait $z_{0}$, puisque cela ajoute $2\pi$ à l'argument.

c) $(\sqrt{3}+i)^{2}=3+2\sqrt{3}\,i+i^{2}=3+2\sqrt{3}\,i-1=2+2\sqrt{3}\,i$. Puis $(\sqrt{3}+i)^{3}=(2+2\sqrt{3}\,i)(\sqrt{3}+i)=2\sqrt{3}+2i+2\cdot 3\,i+2\sqrt{3}\,i^{2}=2\sqrt{3}+2i+6i-2\sqrt{3}=8i$. La vérification est concluante.

d) Les trois racines ont toutes le même module $2$, elles sont donc sur le cercle de rayon $2$ centré à l'origine. Leurs arguments valent $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{5\pi}{6}$ et $\dfrac{3\pi}{2}$, régulièrement espacés de $\dfrac{2\pi}{3}$, soit $120^{\circ}$. Elles forment donc les sommets d'un TRIANGLE ÉQUILATÉRAL inscrit dans ce cercle.

Leur somme : $(\sqrt{3}+i)+(-\sqrt{3}+i)+(-2i)=(\sqrt{3}-\sqrt{3})+(1+1-2)i=0$. La somme est nulle. Ce n'est pas une coïncidence : les $n$ racines $n$-ièmes d'un nombre complexe sont les sommets d'un polygone régulier centré à l'origine, et le centre de gravité d'un polygone régulier est son centre, donc leur somme est toujours nulle dès que $n\geq 2$. Autre lecture, algébrique : ces racines sont les solutions de $z^{3}-8i=0$, un polynôme dont le coefficient de $z^{2}$ est nul, et par les relations coefficients-racines, la somme des racines vaut ce coefficient au signe près, donc $0$. Cette somme nulle est un excellent moyen de contrôler ses racines en fin de calcul.

a) Le discriminant vaut $\Delta=(-4)^{2}-4(1)(13)=16-52=-36$. Il est négatif, donc il n'y a pas de solution réelle, mais deux solutions complexes conjuguées. On écrit $\sqrt{-36}=6i$, d'où $z=\dfrac{4\pm 6i}{2}=2\pm 3i$. Les solutions sont $z=2+3i$ et $z=2-3i$.

Vérification sur la première : $(2+3i)^{2}=4+12i+9i^{2}=4+12i-9=-5+12i$, puis $-5+12i-4(2+3i)+13=-5+12i-8-12i+13=0$. Conforme.

b) Soit $P(z)=a_{n}z^{n}+\dots+a_{1}z+a_{0}$ avec tous les $a_{k}$ réels, et supposons $P(z_{0})=0$. On applique la conjugaison aux deux membres : $\overline{P(z_{0})}=\bar{0}=0$.

Or la conjugaison respecte les sommes et les produits, c'est-à-dire $\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}$ et $\overline{zw}=\bar{z}\,\bar{w}$. Donc $\overline{P(z_{0})}=\overline{a_{n}}\,\overline{z_{0}}^{\,n}+\dots+\overline{a_{1}}\,\overline{z_{0}}+\overline{a_{0}}$. C'est ici qu'intervient l'hypothèse cruciale : les coefficients étant RÉELS, ils sont égaux à leurs propres conjugués, $\overline{a_{k}}=a_{k}$. L'expression devient donc $a_{n}\overline{z_{0}}^{\,n}+\dots+a_{1}\overline{z_{0}}+a_{0}=P(\overline{z_{0}})$.

En combinant : $P(\overline{z_{0}})=0$, donc $\overline{z_{0}}$ est bien une racine. C'est exactement ce qu'on observe en a), où les deux solutions sont conjuguées l'une de l'autre.

c) $P(1)=1-5+17-13=0$, donc $1$ est racine et $P$ est divisible par $(z-1)$. La division polynomiale donne $P(z)=(z-1)(z^{2}-4z+13)$, ce que l'on contrôle en développant : $z^{3}-4z^{2}+13z-z^{2}+4z-13=z^{3}-5z^{2}+17z-13$, conforme.

Le facteur quadratique est exactement celui de la question a), dont les racines sont $2\pm 3i$. Les trois racines de $P$ sont donc $1$, $2+3i$ et $2-3i$.

On observe le mécanisme de b) à l'oeuvre : $P$ est de degré $3$ à coefficients réels, il a donc au moins une racine réelle (ici $1$), et ses racines non réelles arrivent nécessairement par paire conjuguée. Un polynôme de degré impair à coefficients réels ne peut jamais avoir toutes ses racines non réelles, puisqu'elles s'apparient deux à deux et qu'un nombre impair ne se répartit pas en paires.

d) Pour le module, on passe par la forme exponentielle. Si $z=r_{1}e^{i\theta_{1}}$ et $w=r_{2}e^{i\theta_{2}}$, alors $zw=r_{1}r_{2}e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})}$, dont le module est $r_{1}r_{2}=|z|\,|w|$ puisque les modules sont positifs. En forme algébrique, avec $z=a+bi$ et $w=c+di$, on peut aussi vérifier directement $|zw|^{2}=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=|z|^{2}|w|^{2}$, les doubles produits s'annulant deux à deux.

Pour le conjugué de la somme, avec $z=a+bi$ et $w=c+di$ : $z+w=(a+c)+(b+d)i$, donc $\overline{z+w}=(a+c)-(b+d)i$. Par ailleurs $\bar{z}+\bar{w}=(a-bi)+(c-di)=(a+c)-(b+d)i$. Les deux expressions coïncident.

Enfin, le contre-exemple. Considérons $Q(z)=z-i$, dont le coefficient constant $-i$ n'est PAS réel. Sa seule racine est $z_{0}=i$. Or $\overline{z_{0}}=-i$ donne $Q(-i)=-i-i=-2i\neq 0$ : le conjugué n'est pas racine. La propriété de b) s'effondre dès qu'un seul coefficient cesse d'être réel, car l'étape $\overline{a_{k}}=a_{k}$ est précisément celle qui portait toute la démonstration. C'est pour cette raison que l'énoncé insiste sur les coefficients réels, et l'examen sanctionne souvent l'application aveugle de la propriété à un polynôme à coefficients complexes.

a) Le nombre $64$ est réel positif, donc son module vaut $64$ et son argument $0$ : $64=64e^{i0}$. Les racines sixièmes ont pour module $64^{1/6}=2$, puisque $2^{6}=64$, et pour arguments $\dfrac{0+2k\pi}{6}=\dfrac{k\pi}{3}$ pour $k=0;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5$.

Les six solutions sont donc $z_{k}=2e^{i\frac{k\pi}{3}}$, soit $2e^{i0}$, $2e^{i\frac{\pi}{3}}$, $2e^{i\frac{2\pi}{3}}$, $2e^{i\pi}$, $2e^{i\frac{4\pi}{3}}$ et $2e^{i\frac{5\pi}{3}}$.

b) On convertit chacune à l'aide des valeurs remarquables du cercle trigonométrique. $z_{0}=2(1+0i)=2$. $z_{1}=2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)=1+i\sqrt{3}$. $z_{2}=2\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-1+i\sqrt{3}$. $z_{3}=2(-1+0i)=-2$. $z_{4}=2\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-1-i\sqrt{3}$. $z_{5}=2\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)=1-i\sqrt{3}$.

Contrôle sur $z_{1}$ : son module vaut $2$ et son argument $\dfrac{\pi}{3}$, donc $z_{1}^{6}=2^{6}e^{i2\pi}=64$, conforme.

c) Les six solutions ont toutes le même module $2$, elles sont donc sur le cercle de rayon $2$ centré à l'origine, et leurs arguments sont espacés de $\dfrac{\pi}{3}$, soit $60^{\circ}$. Elles forment donc les sommets d'un HEXAGONE RÉGULIER inscrit dans ce cercle.

Deux d'entre elles seulement sont réelles : $z_{0}=2$ et $z_{3}=-2$, celles dont l'argument vaut $0$ ou $\pi$. Les quatre autres vont par paires conjuguées, $z_{1}$ avec $z_{5}$ et $z_{2}$ avec $z_{4}$, ce qui est attendu puisque le polynôme $z^{6}-64$ est à coefficients réels. La réponse naïve $z=2$ ne donnait qu'une solution sur six.

d) Somme : $2+(1+i\sqrt{3})+(-1+i\sqrt{3})+(-2)+(-1-i\sqrt{3})+(1-i\sqrt{3})$. Les parties réelles donnent $2+1-1-2-1+1=0$ et les parties imaginaires $\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{3}-\sqrt{3}=0$. La somme vaut $0$.

Justification géométrique : les six points sont les sommets d'un hexagone régulier centré à l'origine. La somme de vecteurs répartis avec une symétrie centrale s'annule, car chaque sommet a son opposé dans la figure ($z_{0}$ avec $z_{3}$, $z_{1}$ avec $z_{4}$, $z_{2}$ avec $z_{5}$). Additionner terme à terme trois paires de vecteurs opposés donne le vecteur nul.

Justification algébrique : les six solutions sont les racines de $z^{6}-64=0$. Ce polynôme s'écrit $z^{6}+0z^{5}+0z^{4}+0z^{3}+0z^{2}+0z-64$, et par les relations entre coefficients et racines, la somme des racines vaut l'opposé du coefficient de $z^{5}$ divisé par le coefficient dominant, soit $-\dfrac{0}{1}=0$.

e) On regroupe chaque racine avec sa conjuguée, ce qui rend chaque produit partiel réel. Les deux racines réelles : $z_{0}z_{3}=(2)(-2)=-4$. La paire $z_{1}z_{5}=(1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})=1^{2}+(\sqrt{3})^{2}=1+3=4$, en utilisant $z\bar{z}=|z|^{2}$. La paire $z_{2}z_{4}=(-1+i\sqrt{3})(-1-i\sqrt{3})=1+3=4$ de même.

Le produit total vaut $(-4)(4)(4)=-64$. Contrôle par les relations coefficients-racines : le produit des racines d'un polynôme de degré $6$ vaut $(-1)^{6}\dfrac{a_{0}}{a_{6}}=\dfrac{-64}{1}=-64$. Conforme. Regrouper les conjuguées est la bonne stratégie : chaque paire donne immédiatement le carré du module, et on ne manipule jamais de nombre non réel.

f) Multiplier par $z_{1}=1+i\sqrt{3}$ un complexe $x+iy$ donne $(x+iy)(1+i\sqrt{3})=x+ix\sqrt{3}+iy+i^{2}y\sqrt{3}=(x-\sqrt{3}y)+i(\sqrt{3}x+y)$. En traduisant sur le couple de coordonnées $(x;\ y)$, la transformation envoie $(x;\ y)$ sur $(x-\sqrt{3}y;\ \sqrt{3}x+y)$, ce qui correspond à la matrice $M=\begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix}$.

On factorise le module : $M=2\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[4pt] \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} \cos\dfrac{\pi}{3} & -\sin\dfrac{\pi}{3} \\[4pt] \sin\dfrac{\pi}{3} & \cos\dfrac{\pi}{3} \end{pmatrix}$. C'est donc l'homothétie de rapport $2$ composée avec la rotation de $\dfrac{\pi}{3}$, soit $60^{\circ}$.

La cohérence est parfaite : $|z_{1}|=2$ donne le rapport de l'homothétie et $\arg(z_{1})=\dfrac{\pi}{3}$ donne l'angle de la rotation. Contrôle par le déterminant : $\det(M)=(1)(1)-(-\sqrt{3})(\sqrt{3})=1+3=4=|z_{1}|^{2}$, ce qui est bien le facteur d'aire attendu d'une homothétie de rapport $2$.

Lecture finale de tout le problème : appliquer six fois cette transformation revient à une rotation de $6\times 60^{\circ}=360^{\circ}$, c'est-à-dire l'identité, composée avec une homothétie de rapport $2^{6}=64$. C'est exactement l'énoncé $z_{1}^{6}=64$, traduit en langage de transformations. L'hexagone des racines n'est rien d'autre que l'orbite du point $(2;\ 0)$ sous les rotations successives de $60^{\circ}$.