Exercices corrigés : les modèles matriciels (201-NYC / 201-105)

$P=\begin{pmatrix}0{,}8 & 0{,}3\\0{,}2 & 0{,}7\end{pmatrix}$. Première colonne : $0{,}8+0{,}2=1$; deuxième colonne : $0{,}3+0{,}7=1$. La convention colonne place en colonne $j$ la répartition de ce qui PART de l'état $j$.

$x_{1}=Px_{0}=\begin{pmatrix}0{,}8\times 1+0{,}3\times 0\\0{,}2\times 1+0{,}7\times 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}8\\0{,}2\end{pmatrix}$. Puis $x_{2}=Px_{1}=\begin{pmatrix}0{,}8\times 0{,}8+0{,}3\times 0{,}2\\0{,}2\times 0{,}8+0{,}7\times 0{,}2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}64+0{,}06\\0{,}16+0{,}14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}70\\0{,}30\end{pmatrix}$. Le total reste 1 à chaque étape, ce qui est le contrôle à faire.

$p_{12}=0{,}3$ est l'entrée de la ligne 1 et de la colonne 2 : c'est la probabilité de passer DE l'état 2 VERS l'état 1, autrement dit la part de B qui rejoint A. L'ordre des indices est la source d'erreur la plus fréquente du chapitre : en convention colonne, on lit $p_{ij}$ comme « de $j$ vers $i$ ».

Parce que tout ce qui part d'un état doit arriver quelque part : la population totale se conserve. Si une colonne sommait à 0,9, 10 % de cet état disparaîtrait à chaque étape, et le total décroîtrait géométriquement. Une telle matrice n'est plus stochastique et ne décrit plus une répartition, mais elle reste parfaitement utilisable pour modéliser une population qui perd des membres, par migration ou par mortalité.

En convention LIGNE, on écrit la transposée, $P^{T}=\begin{pmatrix}0{,}8 & 0{,}2\\0{,}3 & 0{,}7\end{pmatrix}$, dont les LIGNES somment à 1. Le vecteur d'état devient alors un vecteur LIGNE et on multiplie à droite : $x_{1}=x_{0}P^{T}$. Les deux conventions sont équivalentes, mais les mélanger produit des résultats faux et plausibles, ce qui est le pire des cas. Il faut choisir une convention en début de problème et l'écrire noir sur blanc.

$P^{2}=\begin{pmatrix}0{,}8 & 0{,}3\\0{,}2 & 0{,}7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0{,}8 & 0{,}3\\0{,}2 & 0{,}7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}64+0{,}06 & 0{,}24+0{,}21\\0{,}16+0{,}14 & 0{,}06+0{,}49\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}70 & 0{,}45\\0{,}30 & 0{,}55\end{pmatrix}$. Les colonnes somment encore à 1, ce qui est vrai de toute puissance d'une matrice stochastique.

$P^{2}x_{0}=\begin{pmatrix}0{,}70 & 0{,}45\\0{,}30 & 0{,}55\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}70\\0{,}30\end{pmatrix}$, ce qui redonne bien $x_{2}$. L'associativité du produit matriciel garantit que $P\left(Px_{0}\right)=\left(PP\right)x_{0}$ : on peut avancer étape par étape ou d'un coup.

L'entrée de la ligne 1 et de la colonne 2 de $P^{2}$, ici 0,45, est la probabilité d'être en A DEUX étapes après être parti de B. Elle se décompose en deux chemins : partir de B, rester en B, passer en A, soit $0{,}7\times 0{,}3=0{,}21$; ou partir de B, passer en A, rester en A, soit $0{,}3\times 0{,}8=0{,}24$. Total : 0,45. Le produit matriciel additionne donc automatiquement tous les chemins possibles, ce qui est exactement son intérêt.

$x_{3}=\begin{pmatrix}0{,}8\times 0{,}70+0{,}3\times 0{,}30\\0{,}2\times 0{,}70+0{,}7\times 0{,}30\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}56+0{,}09\\0{,}14+0{,}21\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}65\\0{,}35\end{pmatrix}$. Puis $x_{4}=\begin{pmatrix}0{,}52+0{,}105\\0{,}13+0{,}245\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}625\\0{,}375\end{pmatrix}$. Les valeurs se rapprochent de 0,60 et 0,40, et l'écart à la limite est divisé par deux à chaque étape : 0,20 puis 0,10 puis 0,05 puis 0,025.

Que la limite ne dépend PAS de l'état de départ. Une chaîne dont toutes les entrées sont strictement positives est dite régulière, et une chaîne régulière possède un unique vecteur d'état stationnaire vers lequel toute répartition initiale converge. C'est un résultat majeur : il signifie que la structure des transitions, et elle seule, détermine la répartition à long terme. La composition de départ n'influence que la vitesse d'approche, pas la destination.

$P-I=\begin{pmatrix}0{,}8-1 & 0{,}3\\0{,}2 & 0{,}7-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-0{,}2 & 0{,}3\\0{,}2 & -0{,}3\end{pmatrix}$. La condition devient $\left(P-I\right)x=0$, c'est-à-dire un système homogène de deux équations à deux inconnues.

Les deux équations sont $-0{,}2a+0{,}3b=0$ et $0{,}2a-0{,}3b=0$ : elles sont proportionnelles, donc il n'en reste qu'une. De $0{,}2a=0{,}3b$ on tire $b=\dfrac{2}{3}a$. Avec $a+b=1$ : $a+\dfrac{2}{3}a=1$, donc $\dfrac{5}{3}a=1$ et $a=0{,}6$, puis $b=0{,}4$. Le vecteur stationnaire est $\begin{pmatrix}0{,}6\\0{,}4\end{pmatrix}$.

$P\begin{pmatrix}0{,}6\\0{,}4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}8\times 0{,}6+0{,}3\times 0{,}4\\0{,}2\times 0{,}6+0{,}7\times 0{,}4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}48+0{,}12\\0{,}12+0{,}28\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}60\\0{,}40\end{pmatrix}$. Le vecteur est bien inchangé.

Parce que les colonnes de $P$ somment à 1, la somme des lignes de $P-I$ est nulle : les lignes sont linéairement DÉPENDANTES, donc le déterminant est nul et le système homogène admet une infinité de solutions, toutes proportionnelles entre elles. C'est exactement la situation d'un système homogène de rang déficient. La contrainte $a+b=1$ sert à choisir, parmi cette droite de solutions, celle qui représente une répartition; sans elle, le vecteur $\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}$ ou $\begin{pmatrix}600\\400\end{pmatrix}$ conviendrait tout autant.

La répartition initiale est $\begin{pmatrix}0{,}8\\0{,}2\end{pmatrix}$, mais elle n'a aucune importance : la chaîne étant régulière, la population tend vers la répartition stationnaire $\begin{pmatrix}0{,}6\\0{,}4\end{pmatrix}$, soit 3 000 personnes en A et 2 000 en B. Il faut préciser « tend vers » : l'égalité n'est jamais atteinte exactement, l'écart étant divisé par deux à chaque étape. Après six étapes, il ne reste que $0{,}2\times 0{,}5^{6}\approx 0{,}003$ d'écart, soit une quinzaine de personnes.

$A=\begin{pmatrix}0{,}2 & 0{,}3\\0{,}4 & 0{,}1\end{pmatrix}$, où la colonne $j$ donne ce que consomme une unité du secteur $j$. L'équation de bouclage s'écrit $x=Ax+d$ : la production totale sert d'une part aux échanges internes, $Ax$, d'autre part à la demande finale, $d$.

$x-Ax=d$, donc $\left(I-A\right)x=d$ avec $I-A=\begin{pmatrix}1-0{,}2 & -0{,}3\\-0{,}4 & 1-0{,}1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}8 & -0{,}3\\-0{,}4 & 0{,}9\end{pmatrix}$.

Déterminant : $0{,}8\times 0{,}9-\left(-0{,}3\right)\left(-0{,}4\right)=0{,}72-0{,}12=0{,}60$. Inverse d'une matrice 2 par 2 : on échange les termes de la diagonale, on change le signe des deux autres, et l'on divise par le déterminant. Donc $\left(I-A\right)^{-1}=\dfrac{1}{0{,}60}\begin{pmatrix}0{,}9 & 0{,}3\\0{,}4 & 0{,}8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1{,}5 & 0{,}5\\0{,}\overline{6} & 1{,}\overline{3}\end{pmatrix}$.

$x=\left(I-A\right)^{-1}d=\begin{pmatrix}1{,}5 & 0{,}5\\0{,}\overline{6} & 1{,}\overline{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}100\\60\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}150+30\\66{,}\overline{6}+80\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}180\\146{,}\overline{6}\end{pmatrix}$. Il faut donc produire 180 unités dans le secteur 1 et environ 146,67 dans le secteur 2 pour livrer 100 et 60.

Consommations internes : secteur 1 en consomme $0{,}2\times 180+0{,}3\times 146{,}67=36+44=80$ unités; il en reste $180-80=100$, la demande finale. Secteur 2 : $0{,}4\times 180+0{,}1\times 146{,}67=72+14{,}67=86{,}67$; il en reste $146{,}67-86{,}67=60$, la demande finale. Le bouclage est exact. Cette vérification est indispensable : elle attrape à la fois les erreurs d'inversion et les confusions entre lignes et colonnes de $A$.

C'est la production TOTALE du secteur 1 nécessaire pour livrer une unité de demande finale du secteur 1. Elle vaut 1,5 et non 1 : il faut produire une unité et demie pour en livrer une, parce qu'une partie de la production est consommée en cours de route, par le secteur 1 lui-même et indirectement par le secteur 2 qui l'alimente.

C'est la production du secteur 2 nécessaire pour livrer une unité de demande finale du SECTEUR 1. Elle vaut $0{,}\overline{6}$ : chaque unité livrée par le secteur 1 mobilise deux tiers d'unité de production du secteur 2, alors que le tableau technologique n'en annonçait directement que 0,4. La différence, 0,267, est l'effet INDIRECT : le secteur 2 doit aussi alimenter le supplément de production du secteur 1 qu'il a lui-même déclenché.

Parce que la production est toujours au moins égale à ce qu'on livre : une unité livrée coûte une unité produite, plus tout ce qui a été consommé pour la produire. Formellement, $\left(I-A\right)^{-1}=I+A+A^{2}+A^{3}+\cdots$ quand la série converge, ce qui est le cas dès que l'économie est productive. Le terme $I$ est la livraison directe, $A$ la consommation de premier tour, $A^{2}$ celle du deuxième, et ainsi de suite : toutes les entrées ajoutées sont positives.

La solution étant linéaire, il suffit de multiplier l'inverse par le nouveau vecteur de demande : $x=\begin{pmatrix}1{,}5 & 0{,}5\\0{,}\overline{6} & 1{,}\overline{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}120\\60\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}180+30\\80+80\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}210\\160\end{pmatrix}$. C'est tout l'intérêt de calculer l'inverse une fois : n'importe quel scénario de demande se traite ensuite par un simple produit. Le supplément de 20 unités de demande a exigé 30 unités de production dans le secteur 1 et 13,33 dans le secteur 2.

Multiplicateur du secteur 1 : $1{,}5+0{,}\overline{6}=2{,}1\overline{6}$. Il signifie qu'une unité de demande finale adressée au secteur 1 déclenche au total 2,17 unités de production dans l'économie. C'est exactement le raisonnement que tiennent les études d'impact économique : un projet qui commande pour un million de dollars dans un secteur à multiplicateur 2,17 génère 2,17 millions de production. Il faut savoir que ces études surestiment souvent l'effet, parce qu'elles supposent des capacités inemployées et des coefficients technologiques constants.

$L=\begin{pmatrix}0 & 1{,}5 & 1{,}2\\0{,}6 & 0 & 0\\0 & 0{,}4 & 0\end{pmatrix}$. La première LIGNE porte les fécondités, la SOUS-DIAGONALE porte les survies. Toute autre entrée est nulle : on ne rajeunit pas et on ne saute pas de classe.

$x_{1}=Lx_{0}=\begin{pmatrix}1{,}5\times 80+1{,}2\times 50\\0{,}6\times 100\\0{,}4\times 80\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}120+60\\60\\32\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}180\\60\\32\end{pmatrix}$, total 272. Puis $x_{2}=\begin{pmatrix}1{,}5\times 60+1{,}2\times 32\\0{,}6\times 180\\0{,}4\times 60\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}90+38{,}4\\108\\24\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}128{,}4\\108\\24\end{pmatrix}$, total 260,4.

Non, pas régulièrement : la population totale passe de 230 à 272, puis redescend à 260,4. Ces oscillations sont TRANSITOIRES et proviennent de la structure d'âge initiale, déséquilibrée : la première période produit une vague de jeunes qui met deux périodes à se propager. Après plusieurs périodes, la structure se stabilise et la croissance devient géométrique, au taux donné par la valeur propre dominante. C'est un phénomène bien connu des démographes sous le nom d'ONDE DÉMOGRAPHIQUE, et il explique par exemple les échos du baby-boom.

On teste $\lambda=1{,}08$ : $1{,}08^{3}=1{,}259712$ et $0{,}9\times 1{,}08+0{,}288=0{,}972+0{,}288=1{,}260$. L'écart vaut $-0{,}000288$, donc $\lambda$ est très légèrement supérieur à 1,08. En testant $\lambda=1{,}081$ : $1{,}263214$ contre $1{,}2609$, l'écart change de signe. La valeur propre dominante vaut donc environ 1,0801 : à long terme, la population croît d'environ 8,0 % par période, quelle que soit sa structure de départ.

L'équation devient $\lambda^{3}=0{,}6\lambda+0{,}288$. En testant $\lambda=1$ : $1$ contre $0{,}888$, donc le membre de gauche l'emporte déjà et la racine est INFÉRIEURE à 1. En testant $\lambda=0{,}95$ : $0{,}857$ contre $0{,}858$, presque l'égalité. La valeur propre vaut donc environ 0,95 : la population DÉCLINERAIT d'environ 5 % par période. Le seuil de remplacement s'obtient en posant $\lambda=1$, soit $1=0{,}6f+0{,}288$ pour une fécondité adulte $f$, donc $f=\dfrac{0{,}712}{0{,}6}\approx 1{,}19$ : en dessous de 1,19 enfant par adulte et par période, la population décroît.

$\det\left(P-\lambda I\right)=\left(0{,}8-\lambda\right)\left(0{,}7-\lambda\right)-0{,}3\times 0{,}2=\lambda^{2}-1{,}5\lambda+0{,}56-0{,}06=\lambda^{2}-1{,}5\lambda+0{,}5$. Racines : $\lambda=\dfrac{1{,}5\pm \sqrt{2{,}25-2}}{2}=\dfrac{1{,}5\pm 0{,}5}{2}$, soit $\lambda_{1}=1$ et $\lambda_{2}=0{,}5$. On vérifie que la trace, 1,5, est la somme des valeurs propres, et le déterminant, 0,5, leur produit.

Le vecteur stationnaire vérifie $Px=x=1\times x$ : c'est exactement la définition d'un vecteur propre associé à la valeur propre 1. Le calcul de l'état stationnaire par $\left(P-I\right)x=0$ était donc, sans le dire, une recherche de sous-espace propre.

La seconde valeur propre gouverne la VITESSE de convergence. Toute condition initiale se décompose sur les deux vecteurs propres; la composante associée à $\lambda_{1}=1$ reste constante, celle associée à $\lambda_{2}=0{,}5$ est multipliée par 0,5 à chaque étape et s'évanouit. C'est exactement ce qu'on observait : l'écart à la limite était divisé par deux à chaque étape, de 0,20 à 0,10 puis 0,05. Plus $\left|\lambda_{2}\right|$ est petit, plus la chaîne se stabilise vite.

Parce que les colonnes de $P$ somment à 1, donc les colonnes de $P-I$ somment à 0, donc la somme des LIGNES de $P-I$ est le vecteur nul : les lignes sont linéairement dépendantes et $\det\left(P-I\right)=0$. Or $\det\left(P-\lambda I\right)=0$ en $\lambda=1$ signifie précisément que 1 est valeur propre. Le raisonnement vaut pour toute matrice stochastique, de n'importe quelle taille.

Pour une matrice de Leslie, la valeur propre dominante $\lambda$ est le TAUX DE CROISSANCE asymptotique de la population : $\lambda>1$ pour une population croissante, $\lambda=1$ au seuil de remplacement, $\lambda<1$ pour une population déclinante. Son vecteur propre donne la STRUCTURE D'ÂGE stable vers laquelle la population converge, quelle que soit sa composition initiale. Ces deux résultats, taux et structure, sont le coeur de la démographie mathématique, et ils s'obtiennent exactement comme dans le chapitre sur la diagonalisation.

FAUX en convention COLONNE, qui est celle du chapitre. L'indice de gauche est la ligne, donc l'ARRIVÉE, et celui de droite la colonne, donc le DÉPART : $p_{12}$ se lit « de l'état 2 vers l'état 1 ». Énoncé correct : 30 % de l'état 2 passe vers l'état 1. En convention ligne, la lecture serait inversée, ce qui rend indispensable de déclarer la convention en tête de problème.

FAUX pour une chaîne RÉGULIÈRE, c'est-à-dire dont une puissance a toutes ses entrées strictement positives. Une telle chaîne possède un unique état stationnaire, atteint quelle que soit la répartition initiale, laquelle n'influence que la vitesse de convergence. Énoncé correct : la répartition à long terme ne dépend que de la matrice de transition. Elle peut dépendre du départ si la chaîne comporte plusieurs classes fermées, cas exclu ici.

FAUX. Produire consomme : il faut produire de quoi livrer ET de quoi alimenter la production elle-même. La matrice $\left(I-A\right)^{-1}$ chiffre exactement ce supplément, et son entrée diagonale valait ici 1,5. Énoncé correct : pour livrer 100 unités du secteur 1 et 60 du secteur 2, il faut produire 180 et 146,67 unités.

FAUX. Un système homogène a TOUJOURS la solution nulle, mais il en a d'autres dès que le déterminant est nul. Ici les colonnes de $P$ somment à 1, donc les lignes de $P-I$ somment à zéro et le déterminant est nul : il existe une infinité de solutions, toutes proportionnelles. Énoncé correct : le système admet une droite de solutions, et la contrainte de somme égale à 1 en sélectionne une seule.

FAUX. La croissance des premières périodes est TRANSITOIRE : elle dépend de la structure d'âge initiale, et elle oscille, ici $+18{,}3\%$ puis $-4{,}3\%$. Le taux de croissance stable est donné par la valeur propre dominante, environ 1,080, soit 8,0 % par période. Énoncé correct : la population converge vers une croissance géométrique de 8 % par période, après une phase d'oscillations liée à sa structure d'âge de départ.

$P=\begin{pmatrix}0{,}7 & 0{,}1 & 0{,}1\\0{,}2 & 0{,}8 & 0{,}1\\0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}8\end{pmatrix}$. Colonnes : $0{,}7+0{,}2+0{,}1=1$; $0{,}1+0{,}8+0{,}1=1$; $0{,}1+0{,}1+0{,}8=1$. Les trois somment bien à 1.

$x_{1}=Px_{0}$ avec $x_{0}=\begin{pmatrix}400\\350\\250\end{pmatrix}$. Première composante : $0{,}7\times 400+0{,}1\times 350+0{,}1\times 250=280+35+25=340$. Deuxième : $0{,}2\times 400+0{,}8\times 350+0{,}1\times 250=80+280+25=385$. Troisième : $0{,}1\times 400+0{,}1\times 350+0{,}8\times 250=40+35+200=275$. Total : $340+385+275=1\,000$, la population se conserve.

Le système $\left(P-I\right)x=0$ s'écrit $-0{,}3a+0{,}1b+0{,}1c=0$, $0{,}2a-0{,}2b+0{,}1c=0$ et $0{,}1a+0{,}1b-0{,}2c=0$. De la troisième : $c=\dfrac{a+b}{2}$. En reportant dans la première : $-0{,}3a+0{,}1b+0{,}05\left(a+b\right)=0$, soit $-0{,}25a+0{,}15b=0$ et $b=\dfrac{5}{3}a$. Alors $c=\dfrac{a+\frac{5}{3}a}{2}=\dfrac{4}{3}a$. La contrainte donne $a+\dfrac{5}{3}a+\dfrac{4}{3}a=4a=1\,000$, donc $a=250$, $b\approx 416{,}7$ et $c\approx 333{,}3$.

Première composante : $0{,}7\times 250+0{,}1\times 416{,}\overline{6}+0{,}1\times 333{,}\overline{3}=175+41{,}\overline{6}+33{,}\overline{3}=250$. Deuxième : $0{,}2\times 250+0{,}8\times 416{,}\overline{6}+0{,}1\times 333{,}\overline{3}=50+333{,}\overline{3}+33{,}\overline{3}=416{,}\overline{6}$. Troisième : $0{,}1\times 250+0{,}1\times 416{,}\overline{6}+0{,}8\times 333{,}\overline{3}=25+41{,}\overline{6}+266{,}\overline{6}=333{,}\overline{3}$. Le vecteur est inchangé, et la troisième équation du système sert de contrôle indépendant.

À long terme, il faudrait prévoir environ 250 places en 1, 417 en 2 et 333 en 3, soit une redistribution sensible par rapport aux 400, 350 et 250 actuels : le programme 1 perdrait 150 étudiants et le programme 3 en gagnerait 83. Trois réserves s'imposent. La matrice suppose des taux de transition CONSTANTS, ce qu'aucune décennie ne garantit. Le modèle ignore les entrées et les sorties du cégep : il redistribue une population fermée de 1 000 étudiants, alors que le recrutement et la diplomation changent tout. Enfin la convergence est lente : après trois ou quatre ans, l'écart à la limite reste appréciable, et le cégep aurait le temps d'observer et de corriger. Le calcul indique donc une TENDANCE, pas un plan d'aménagement.

$I-A=\begin{pmatrix}0{,}75 & -0{,}20\\-0{,}30 & 0{,}85\end{pmatrix}$. Déterminant : $0{,}75\times 0{,}85-\left(-0{,}20\right)\left(-0{,}30\right)=0{,}6375-0{,}06=0{,}5775$. Inverse : $\dfrac{1}{0{,}5775}\begin{pmatrix}0{,}85 & 0{,}20\\0{,}30 & 0{,}75\end{pmatrix}\approx \begin{pmatrix}1{,}4719 & 0{,}3463\\0{,}5195 & 1{,}2987\end{pmatrix}$.

$x=\left(I-A\right)^{-1}\begin{pmatrix}200\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1{,}4719\times 200\\0{,}5195\times 200\end{pmatrix}\approx \begin{pmatrix}294{,}4\\103{,}9\end{pmatrix}$. Il faut donc produire environ 294,4 unités d'agriculture et 103,9 de transformation, soit 398,3 unités au total.

L'institut confond la DEMANDE FINALE avec la PRODUCTION. Une commande de 200 unités livrées exige 294,4 unités produites dans le secteur commandé, parce qu'une partie de la production est consommée par le processus lui-même, et elle entraîne en outre 103,9 unités dans l'autre secteur. Annoncer 200 unités de production sous-estime l'effet total d'un facteur 2 environ, et l'erreur va cette fois dans le sens d'une sous-estimation, ce qui est plus rare que l'inverse dans les études d'impact.

Multiplicateur de l'agriculture : $1{,}4719+0{,}5195\approx 1{,}9913$. Multiplicateur de la transformation : $0{,}3463+1{,}2987\approx 1{,}6450$. L'AGRICULTURE est donc le secteur le plus entraînant : chaque unité de demande finale qui lui est adressée déclenche près de deux unités de production dans la région, contre 1,64 pour la transformation. La raison se lit dans la matrice : l'agriculture consomme davantage, 0,25 et 0,30 contre 0,20 et 0,15, donc elle mobilise plus fortement l'appareil productif.

« Une commande de 200 unités de demande finale adressée à l'agriculture entraînerait environ 294 unités de production agricole et 104 unités de production de transformation, soit près de 398 unités au total. Le multiplicateur de l'agriculture est estimé à 1,99, contre 1,64 pour la transformation. Ces estimations supposent des coefficients techniques constants et des capacités de production disponibles; elles ne valent donc que pour des variations modérées de la demande et à structure de production inchangée. » Trois corrections : la production est distinguée de la demande finale, l'effet sur l'autre secteur est chiffré, et les hypothèses du modèle sont déclarées.

$\det P=0{,}56-0{,}06=0{,}5$, et $P^{-1}=\frac{1}{0{,}5}\begin{pmatrix}0{,}7 & -0{,}3\\-0{,}2 & 0{,}8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1{,}4 & -0{,}6\\-0{,}4 & 1{,}6\end{pmatrix}$.

Les colonnes somment bien à $1$ : $1{,}4-0{,}4=1$ et $-0{,}6+1{,}6=1$. Mais $P^{-1}$ a des coefficients NÉGATIFS : ce ne sont pas des probabilités, et $P^{-1}$ n'est pas une matrice de transition.

$P^{-1}\begin{pmatrix}0{,}70\\0{,}30\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}98-0{,}18\\-0{,}28+0{,}48\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}8\\0{,}2\end{pmatrix}$ : c'est exactement $x_{1}$ de l'exercice 1, dont $x_{2}$ était l'image.

$P^{-1}\begin{pmatrix}0{,}9\\0{,}1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1{,}26-0{,}06\\-0{,}36+0{,}16\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1{,}2\\-0{,}2\end{pmatrix}$ : une part négative et une part supérieure à $1$. Le calcul matriciel fonctionne, mais aucune répartition réelle ne donne $\begin{pmatrix}0{,}9\\0{,}1\end{pmatrix}$ en un an : cet état ne peut pas être le résultat d'une étape de la chaîne.

Si la répartition de départ est $(a;\ 1-a)$ avec $0\leq a\leq 1$, la part de A après une étape vaut $0{,}8a+0{,}3(1-a)=0{,}3+0{,}5a$, comprise entre $0{,}3$ et $0{,}8$. Toute répartition hors de cet intervalle n'a pas d'antécédent, d'où le résultat de d). Une chaîne de Markov « oublie » : elle rapproche les répartitions, et l'on ne peut pas toujours remonter.

La première ligne donne les naissances : $1$ par jeune, $1{,}5$ par adulte. Le $0{,}5$ en bas à gauche est la survie des jeunes qui deviennent adultes, et le $0$ en bas à droite traduit la mort des adultes après la période.

$x_{1}=\begin{pmatrix}100\\50\end{pmatrix}$, $x_{2}=\begin{pmatrix}100+75\\50\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}175\\50\end{pmatrix}$, $x_{3}=\begin{pmatrix}175+75\\87{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}250\\87{,}5\end{pmatrix}$. Totaux : $100$, $150$, $225$, $337{,}5$.

$\det(L-\lambda I)=\lambda^{2}-\lambda-0{,}75=(\lambda-1{,}5)(\lambda+0{,}5)$ : valeurs propres $1{,}5$ et $-0{,}5$.

Pour $1{,}5$ : la deuxième ligne donne $0{,}5x_{1}=1{,}5x_{2}$, donc $x_{1}=3x_{2}$, vecteur propre $(3;\ 1)$. Dans la structure stable, les jeunes représentent $\frac{3}{4}=75\ \%$ de la population, qui est multipliée par $1{,}5$ à chaque période.

$\frac{100}{150}\approx 0{,}667$, $\frac{175}{225}\approx 0{,}778$, $\frac{250}{337{,}5}\approx 0{,}741$ : la part oscille autour de $0{,}75$ en s'en rapprochant, parce que la valeur propre négative $-0{,}5$ change de signe à chaque période et divise l'écart par deux. Ici le total, lui, est multiplié par $1{,}5$ dès la première période : $x_{0}=25(3;\ 1)+25(1;\ -1)$, et le second vecteur propre a une somme de composantes nulle.