Algèbre linéaire 201-NYC / Maths 105 • Sciences humaines et cégep à Montréal

Fiche de révision : modèles matriciels, Markov, Leontief et Leslie

Cette fiche traite les trois modèles matriciels que le cours d'algèbre linéaire du cégep utilise pour montrer à quoi servent les matrices : les chaînes de Markov, le modèle entrées-sorties de Leontief et les matrices de Leslie. Elle ne redonne pas le calcul matriciel, elle donne les huit endroits où un produit juste répond à la mauvaise question.

Elle s'adresse aux étudiants de cégep qui suivent le cours 201-NYC, aussi appelé Maths 105, en sciences de la nature comme en sciences humaines. La série d'exercices corrigés du même chapitre reprend chaque modèle, du graphe de transition jusqu'à la lecture d'un tableau entrées-sorties.

Le fil du chapitre

Une matrice de modèle n'est pas un tableau de nombres : c'est une machine qui transporte un vecteur d'état d'une étape à la suivante. Presque toutes les fautes du chapitre viennent d'ignorer DANS QUEL SENS elle le transporte.

Ce chapitre fait partie de Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, 201-NYC

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Diagonalisation et valeurs propres Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

Notions couvertes

Matrice de transition
Chaîne de Markov
Matrice stochastique
État stationnaire
Chaîne régulière
Modèle de Leontief
Matrice technologique
Multiplicateur sectoriel
Matrice de Leslie
Valeur propre dominante
Vecteur propre
Structure stable

L'essentiel

La convention, à déclarer avant tout calcul

• Convention COLONNE : $p_{ij}$ se lit « de l'état $j$ VERS l'état $i$ », et chaque COLONNE somme à $1$ .
• En convention ligne, tout est transposé : $p_{ij}$ va de $i$ vers $j$ et ce sont les LIGNES qui somment à $1$ .
• Une étape : $x_{n+1}=Px_{n}$ . Après $n$ étapes : $x_{n}=P^{n}x_{0}$ .
• L'entrée $(i,j)$ de $P^{2}$ additionne AUTOMATIQUEMENT tous les chemins de $j$ à $i$ en deux étapes : c'est ce qui rend la matrice utile.

La flèche du haut porte

p_{BA}=0{,}30

: elle part de la colonne

A

et arrive à la ligne

B

, et le complément

0{,}70

reste sur place.

Contrôle immédiat de la convention : additionner une colonne. Si elle donne $1$ , on est en convention colonne et le produit s'écrit $Px$ .

L'état stationnaire, et quand il existe

• On cherche $x$ tel que $Px=x$ , donc on résout $\left(P-I\right)x=0$ et JAMAIS $Px=0$ .
• Le système est de rang déficient : il a une infinité de solutions, toutes proportionnelles. Il faut ensuite NORMALISER par la somme voulue.
• Une chaîne RÉGULIÈRE, c'est-à-dire dont une puissance a toutes ses entrées strictement positives, converge vers un unique état stationnaire, quelle que soit la répartition de départ.
• Les puissances d'une matrice stochastique restent stochastiques : les colonnes de $P^{n}$ somment encore à $1$ .

Les trois barres se rapprochent d'étape en étape et finissent à la répartition limite : c'est le point fixe de la matrice, atteint quel que soit le départ.

Toute matrice stochastique admet $1$ comme valeur propre, et l'état stationnaire est justement le vecteur propre associé.

Leontief et Leslie, deux matrices qui se lisent autrement

• LEONTIEF : $x=Ax+d$ , donc $\left(I-A\right)x=d$ et $x=\left(I-A\right)^{-1}d$ . La COLONNE $j$ de $A$ dit ce que consomme UNE UNITÉ produite par le secteur $j$ .
• Chaque entrée de $\left(I-A\right)^{-1}$ est la production totale d'un secteur exigée par une unité de demande finale d'un autre; la somme d'une COLONNE est le MULTIPLICATEUR de ce secteur.
• $\left(I-A\right)^{-1}=I+A+A^{2}+\cdots$ : effet direct, puis effets indirects de tous les tours.
• LESLIE : première LIGNE de fécondités, SOUS-DIAGONALE de survies, tout le reste nul. Les premières périodes oscillent, c'est l'onde démographique.

Inverse d'une matrice $2\times 2$ : échanger la diagonale, changer le signe des deux autres, diviser par le déterminant.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Confondre la convention ligne et la convention colonne

toute la question, chaque résultat étant transposé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La ligne $A$ somme à $1$ , donc j'écris $x_{n+1}=Px_{n}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Les LIGNES somment à $1$ : je suis en convention ligne, donc soit j'écris $x_{n+1}=x_{n}P$ avec un vecteur ligne, soit je TRANSPOSE la matrice et je garde $Px$ . »

Pourquoi : Les deux conventions se lisent exactement de la même façon sur le papier. La seule chose qui les distingue est le sens de sommation, et c'est pour cela qu'on la vérifie AVANT tout calcul.

2. Écrire le produit dans le mauvais ordre

toute la question, et souvent une erreur de dimension visible

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x_{1}=x_{0}P$ , avec $x_{0}$ en colonne. »

Ce qu'il faut écrire

« Un vecteur COLONNE se multiplie à DROITE de la matrice : $x_{1}=Px_{0}$ . L'autre ordre n'est même pas défini pour ces dimensions. »

Pourquoi : Le produit matriciel n'est pas commutatif, et les dimensions servent de garde-fou : une matrice $3\times 3$ suivie d'un vecteur $3\times 1$ donne bien un vecteur $3\times 1$ , l'inverse ne se calcule pas.

3. Élever chaque entrée à la puissance n

2 points, et un résultat qui n'est même plus stochastique

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P^{2}$ : je mets chaque probabilité au carré. »

Ce qu'il faut écrire

« $P^{2}=P\times P$ , produit matriciel : l'entrée $(i,j)$ y additionne tous les chemins de $j$ à $i$ en DEUX étapes. »

Pourquoi : Élever les entrées au carré détruit la somme des colonnes : $0{,}7^{2}+0{,}2^{2}+0{,}1^{2}=0{,}54$ , ce qui n'est plus une distribution de probabilités.

4. Chercher l'état stationnaire en résolvant le mauvais système

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'état stationnaire vérifie $Px=0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Il vérifie $Px=x$ , donc $\left(P-I\right)x=0$ . Résoudre $Px=0$ donnerait le noyau de $P$ , qui est presque toujours réduit au vecteur nul. »

Pourquoi : Un état stationnaire est un point FIXE, pas un vecteur envoyé sur zéro. Retrancher l'identité est précisément ce qui transforme « $P$ ne change rien » en un système homogène.

5. Oublier de normaliser l'état stationnaire

1,5 point, et une réponse sans unité

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le système donne $x=(10\ ;11\ ;8)$ : voilà la répartition finale. »

Ce qu'il faut écrire

« Le système est de rang déficient, donc toutes les solutions sont proportionnelles. Avec $1\,000$ étudiants, je normalise : $\dfrac{1000}{29}(10\ ;11\ ;8)\approx(345\ ;379\ ;276)$ . »

Pourquoi : La direction du vecteur propre est unique, sa longueur non. C'est la contrainte de somme, donnée par l'énoncé, qui la fixe.

6. Multiplier par $I-A$ au lieu d'inverser

toute la question, et une production largement sous-estimée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\left(I-A\right)x=d$ , donc $x=\left(I-A\right)d$ . »

Ce qu'il faut écrire

« On INVERSE : $x=\left(I-A\right)^{-1}d$ . Avec $A=\begin{pmatrix}0{,}2&0{,}3\\0{,}4&0{,}1\end{pmatrix}$ et $d=(100\ ;200)$ , on obtient $x=(250\ ;333{,}33)$ . »

La colonne « industrie » se lit ainsi : produire une unité industrielle consomme

0{,}30

d'agriculture et

0{,}10

d'industrie.

Pourquoi : $\left(I-A\right)^{-1}=I+A+A^{2}+\cdots$ contient tous les tours de consommation intermédiaire. Multiplier par $\left(I-A\right)$ ne garde que l'effet direct, à l'envers.

7. Lire la matrice de Leontief en lignes

1,5 point, et une interprétation économique inversée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La première ligne donne ce que l'agriculture consomme : $0{,}20$ d'elle-même et $0{,}30$ d'industrie. »

Ce qu'il faut écrire

« La première ligne dit ce que l'agriculture FOURNIT aux autres. Ce qu'un secteur CONSOMME se lit dans sa COLONNE. »

Pourquoi : La convention est la même que pour Markov : l'indice de colonne désigne l'origine, celui de ligne la destination. La matrice se lit toujours « de la colonne vers la ligne ».

8. Prendre les premières périodes de Leslie pour la structure stable

2 points, et la conclusion démographique

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Après une période, la classe des jeunes explose : c'est la structure d'équilibre de la population. »

Ce qu'il faut écrire

« Ce sont les oscillations de l'ONDE DÉMOGRAPHIQUE. La structure stable est le vecteur propre de la valeur propre DOMINANTE, atteint seulement après plusieurs périodes. »

Pourquoi : La seconde valeur propre gouverne la vitesse de convergence : l'écart à la limite est multiplié par $\left|\lambda_{2}\right|$ à chaque étape, ce qui prend d'autant plus de temps que ce module est proche de $1$ .

Quelle méthode choisir

Quel modèle l'énoncé décrit-il ?

On regarde ce que la matrice contient et ce que le vecteur représente.

Si les colonnes somment à $1$ et les entrées sont des probabilités de passage → CHAÎNE DE MARKOV : $x_{n+1}=Px_{n}$ , état stationnaire par $\left(P-I\right)x=0$

Exemple : la mobilité entre trois programmes
Si les entrées disent ce qu'un secteur consomme pour produire une unité, et une demande finale est donnée → LEONTIEF : $x=\left(I-A\right)^{-1}d$

Exemple : un tableau entrées-sorties à deux secteurs
Si la première ligne porte des fécondités et la sous-diagonale des taux de survie → LESLIE : croissance donnée par la valeur propre dominante

Exemple : une population par classes d'âge
Si la matrice n'a aucune de ces structures → c'est une application linéaire ordinaire : on revient aux outils généraux du cours

Exemple : une matrice de rotation

Le premier geste est toujours le même : additionner une colonne. Une somme de $1$ annonce Markov, une somme inférieure à $1$ annonce Leontief.

Que demande la question, une étape ou la limite ?

On repère l'HORIZON de la question dans l'énoncé.

Si « après une année », « à la prochaine étape » → un seul produit $Px_{0}$

Exemple : de $(600\ ;300\ ;100)$ à $(490\ ;330\ ;180)$
Si « après $n$ étapes », avec $n$ petit → itérer le produit, ou calculer $P^{n}$ puis multiplier

Exemple : deux ou trois itérations à la main
Si « à long terme », « à l'équilibre », « la répartition finale » → état STATIONNAIRE : résoudre $\left(P-I\right)x=0$ puis normaliser

Exemple : $(345\ ;379\ ;276)$ sur mille étudiants
Si « quel taux de croissance à long terme » → VALEUR PROPRE dominante, et son vecteur propre donne la structure stable

Exemple : une matrice de Leslie

Si l'énoncé demande la limite, itérer le produit ne rapporte presque rien : le correcteur attend le système, pas dix multiplications.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Trouver et rédiger un état stationnaire

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé demande la répartition à long terme d'une chaîne de Markov.

1 Vérifier et ANNONCER la convention : les colonnes somment à $1$ , donc $x_{n+1}=Px_{n}$ .
2 Écrire le système $\left(P-I\right)x=0$ en toutes lettres, ligne par ligne.
3 Résoudre, en signalant que le système est de rang déficient et admet donc une infinité de solutions proportionnelles.
4 NORMALISER selon la contrainte de l'énoncé, effectif total ou somme égale à $1$ .
5 Vérifier en calculant $Px$ : on doit retrouver $x$ .

Phrase de conclusion

« Le système $\left(P-I\right)x=0$ donne les solutions proportionnelles à $(10\ ;11\ ;8)$ ; normalisées sur $1\,000$ étudiants, elles valent $(345\ ;379\ ;276)$ , et l'on vérifie que $Px=x$ . »

Le piège : S'arrêter au vecteur proportionnel : sans normalisation, la réponse ne s'exprime dans aucune unité de l'énoncé.

Barème : 1 point pour la convention, 2 points pour le système, 1 point pour la normalisation, 1 point pour la vérification.

Résoudre un problème de Leontief

Quand l'utiliser : Quand l'énoncé donne une matrice technologique et une demande finale.

1 Écrire $A$ et rappeler que sa COLONNE $j$ décrit la consommation d'une unité du secteur $j$ .
2 Former $I-A$ et calculer son déterminant, en vérifiant qu'il n'est pas nul.
3 Inverser, par la formule du $2\times 2$ ou par la méthode de Gauss-Jordan.
4 Calculer $x=\left(I-A\right)^{-1}d$ et vérifier que $Ax+d=x$ .
5 Interpréter les MULTIPLICATEURS, c'est-à-dire les sommes des colonnes de l'inverse.

Phrase de conclusion

« La production requise est $x=(250\ ;333{,}33)$ , et l'on vérifie $Ax+d=x$ . La somme de la première colonne de $\left(I-A\right)^{-1}$ , soit $2{,}17$ , est le multiplicateur de l'agriculture : chaque dollar de demande finale agricole mobilise $2{,}17$ dollars de production totale. »

Le piège : Oublier la vérification $Ax+d=x$ : c'est elle qui attrape une inversion fautive, et elle prend trente secondes.

Barème : 1 point pour $I-A$ , 2 points pour l'inversion, 1 point pour le produit, 1 point pour la vérification, 1 point pour l'interprétation.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Les colonnes somment toujours à 1

Additionner chaque colonne de $P$ , puis de $P^{2}$ : la propriété se conserve, donc une colonne à $0{,}97$ signale une erreur de produit.

$0{,}7+0{,}2+0{,}1=1$ : la matrice est bien stochastique en convention colonne.
Le total de population se conserve

Après chaque étape d'une chaîne de Markov, additionner le vecteur : le total ne bouge pas.

$490+330+180=1000$ , comme au départ : le produit est correct.
L'état stationnaire est bien un point fixe

Recalculer $Px$ avec le vecteur trouvé : on doit retomber exactement sur lui.

$P(345\ ;379\ ;276)$ redonne $(345\ ;379\ ;276)$ aux arrondis près.
La solution de Leontief se réinjecte

Calculer $Ax+d$ et comparer à $x$ : l'égalité est la définition même du modèle.

$A(250\ ;333{,}33)+(100\ ;200)=(250\ ;333{,}33)$ : l'inversion est bonne.

L'exercice type décortiqué

La mobilité entre trois programmes, de la première année à la limite

Chaque année, les étudiants changent de programme selon la matrice de transition, en convention colonne : $P=\begin{pmatrix}0{,}7&0{,}2&0{,}1\\0{,}2&0{,}6&0{,}3\\0{,}1&0{,}2&0{,}6\end{pmatrix}$ .

Au départ, les effectifs sont $x_{0}=(600\ ;300\ ;100)$ , soit $1\,000$ étudiants.

On demande la répartition après un an, après deux ans, et la répartition à long terme.

Étape 1

Contrôle de convention : $0{,}7+0{,}2+0{,}1=1$ , $0{,}2+0{,}6+0{,}2=1$ , $0{,}1+0{,}3+0{,}6=1$ . Les COLONNES somment à $1$ , donc $x_{n+1}=Px_{n}$ .

Pourquoi

Cette vérification tient en une ligne et décide de tout le reste : en convention ligne, chaque produit du problème serait transposé.

Étape 2

$x_{1}=Px_{0}=(0{,}7(600)+0{,}2(300)+0{,}1(100)\ ;\ldots)=(490\ ;330\ ;180)$ , de somme $1\,000$ .

Pourquoi

Chaque composante mélange les trois provenances : $490$ étudiants sont en programme 1 parce que $420$ y sont restés, $60$ sont venus du 2 et $10$ du 3.

Étape 3

$x_{2}=Px_{1}=(427\ ;350\ ;223)$ , de somme $1\,000$ .

Pourquoi

Le premier programme continue de perdre et le troisième de gagner, mais de moins en moins vite : la chaîne s'approche de son point fixe.

Étape 4

État stationnaire : $\left(P-I\right)x=0$ donne $-0{,}3x_{1}+0{,}2x_{2}+0{,}1x_{3}=0$ et $0{,}1x_{1}+0{,}2x_{2}-0{,}4x_{3}=0$ , d'où $x\propto(10\ ;11\ ;8)$ .

Pourquoi

Le système est de rang $2$ pour trois inconnues : il ne peut donner qu'une DIRECTION, jamais des effectifs. C'est normal et il faut l'écrire.

Étape 5

Normalisation sur $1\,000$ étudiants : $\dfrac{1000}{29}(10\ ;11\ ;8)\approx(344{,}8\ ;379{,}3\ ;275{,}9)$ .

Pourquoi

La contrainte de somme vient de l'énoncé, pas de la matrice. Sans elle, la réponse resterait un rapport entre trois nombres.

Étape 6

Vérification : $0{,}7(344{,}8)+0{,}2(379{,}3)+0{,}1(275{,}9)\approx 344{,}8$ .

Pourquoi

Retrouver la première composante confirme d'un coup la résolution du système et la normalisation, sans refaire aucun calcul.

Conclusion rédigée

« Après un an la répartition est $(490\ ;330\ ;180)$ , après deux ans $(427\ ;350\ ;223)$ , et la chaîne étant régulière elle converge vers $(345\ ;379\ ;276)$ , quelle qu'ait été la répartition de départ. »

L'erreur classique sur cet exercice : Itérer le produit dix fois pour approcher la limite : le correcteur attend le système $\left(P-I\right)x=0$ , et l'itération ne rapporte presque aucun point.

À savoir par cœur

• Convention COLONNE : $p_{ij}$ va de $j$ VERS $i$ , et chaque colonne somme à $1$ . On l'annonce avant tout calcul.
• Une étape, $x_{n+1}=Px_{n}$ ; $n$ étapes, $x_{n}=P^{n}x_{0}$ , et $P^{n}$ est un PRODUIT matriciel, pas des puissances d'entrées.
• État stationnaire : résoudre $\left(P-I\right)x=0$ , jamais $Px=0$ , puis NORMALISER.
• LEONTIEF : $x=\left(I-A\right)^{-1}d$ , et la somme d'une colonne de l'inverse est le MULTIPLICATEUR du secteur.
• La colonne d'une matrice technologique dit ce qu'un secteur CONSOMME; sa ligne dit ce qu'il FOURNIT.
• LESLIE : première ligne de fécondités, sous-diagonale de survies, et les premières périodes OSCILLENT.
• La valeur propre DOMINANTE donne le taux de croissance à long terme, son vecteur propre la structure stable.

Questions fréquentes

Comment savoir si une matrice de transition est en convention colonne ?

On additionne une colonne : si le total vaut un, la convention est celle des colonnes et le vecteur d'état se multiplie à droite de la matrice. Si ce sont les lignes qui somment à un, la matrice est transposée par rapport à cette convention, et il faut soit la transposer, soit travailler avec un vecteur ligne multiplié à gauche.

Comment trouver l'état stationnaire d'une chaîne de Markov ?

On résout le système obtenu en retranchant l'identité à la matrice de transition et en égalant à zéro. Ce système est de rang déficient, donc il donne une famille de solutions proportionnelles : il faut ensuite normaliser selon la contrainte de l'énoncé, effectif total ou somme égale à un. On vérifie enfin que la matrice laisse ce vecteur inchangé.

Que représente l'inverse de la matrice de Leontief ?

Chacune de ses entrées donne la production totale qu'un secteur doit fournir pour satisfaire une unité de demande finale d'un autre secteur, effets indirects compris. La somme d'une colonne est le multiplicateur de ce secteur : elle dit combien de production totale mobilise chaque dollar de demande finale qui lui est adressé.

Pourquoi une population de Leslie oscille-t-elle au début ?

Parce que la structure de départ n'est pas celle d'équilibre. Une classe d'âge trop nombreuse produit une génération nombreuse une période plus tard, qui en produit une autre encore, et ce mouvement met plusieurs périodes à s'amortir. C'est l'onde démographique, et sa vitesse d'extinction dépend de la deuxième valeur propre.

Peut-on élever une matrice à une puissance entrée par entrée ?

Non. La puissance d'une matrice est un produit matriciel répété, et c'est justement ce qui lui donne son sens : l'entrée d'une puissance deuxième additionne automatiquement tous les chemins en deux étapes. Élever les entrées séparément détruit d'ailleurs la somme des colonnes, qui ne vaut plus un.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Modèles matriciels : Markov, Leontief, Leslie

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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Fiche de révision : modèles matriciels, Markov, Leontief et Leslie

L'essentiel

La convention, à déclarer avant tout calcul

L'état stationnaire, et quand il existe

Leontief et Leslie, deux matrices qui se lisent autrement

Les pièges qui coûtent des points

1. Confondre la convention ligne et la convention colonne

2. Écrire le produit dans le mauvais ordre

3. Élever chaque entrée à la puissance n

4. Chercher l'état stationnaire en résolvant le mauvais système

5. Oublier de normaliser l'état stationnaire

6. Multiplier par I−AI-AI−A au lieu d'inverser

7. Lire la matrice de Leontief en lignes

8. Prendre les premières périodes de Leslie pour la structure stable

Quelle méthode choisir

Quel modèle l'énoncé décrit-il ?

Que demande la question, une étape ou la limite ?

La rédaction attendue

Trouver et rédiger un état stationnaire

Résoudre un problème de Leontief

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

La mobilité entre trois programmes, de la première année à la limite

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment savoir si une matrice de transition est en convention colonne ?

Comment trouver l'état stationnaire d'une chaîne de Markov ?

Que représente l'inverse de la matrice de Leontief ?

Pourquoi une population de Leslie oscille-t-elle au début ?

Peut-on élever une matrice à une puissance entrée par entrée ?

Exercices corrigés : Modèles matriciels : Markov, Leontief, Leslie

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6. Multiplier par $I-A$ au lieu d'inverser