Algèbre linéaire 201-NYC / Maths 105 • Complément québécois de Première et cégep à Montréal

Fiche de révision : diagonalisation et valeurs propres (201-NYC)

Cette fiche ne redonne pas la définition d'une valeur propre : elle est dans vos notes. Elle traite ce qui décide de la note à la fin du 201-NYC, c'est-à-dire le critère de diagonalisabilité appliqué correctement, l'ordre dans lequel on range $P$ et $D$ , et les contrôles qui attrapent une valeur propre fausse en dix secondes.

Elle est écrite pour les étudiants de cégep en Sciences de la nature et pour les élèves de Première des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Un vecteur propre est une DIRECTION que la matrice se contente d'étirer. Tout le chapitre consiste à trouver ces directions, et l'erreur la plus coûteuse est de croire qu'il y en a toujours assez pour diagonaliser.

Ce chapitre fait partie de Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, 201-NYC

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Déterminants, cofacteurs et règle de Cramer Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (5 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

L'essentiel

Ce qu'une valeur propre veut dire, et comment on la trouve

• $\lambda$ est une VALEUR PROPRE de $A$ s'il existe un vecteur NON NUL $\vec{v}$ tel que $A\vec{v}=\lambda\vec{v}$ . Ce $\vec{v}$ est un VECTEUR PROPRE associé.
• Géométriquement, $A$ ne fait qu'ÉTIRER $\vec{v}$ , sans changer sa direction. Un $\lambda$ négatif retourne le vecteur, un $\lambda$ nul l'écrase sur l'origine.
• POLYNÔME CARACTÉRISTIQUE : les valeurs propres sont les racines de $\det(A-\lambda I)=0$ . On retranche $\lambda$ sur TOUTE la diagonale, puis on calcule le déterminant.
• Pour une matrice $2\times 2$ , il s'écrit $\lambda^{2}-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det(A)=0$ , où la trace est la somme des termes diagonaux.
• Deux contrôles gratuits : la SOMME des valeurs propres vaut la trace, et leur PRODUIT vaut le déterminant.

À gauche,

\vec{v}

est un vecteur propre : son image reste sur la même droite, seulement plus longue. À droite,

\vec{w}

n'en est pas un : son image part dans une autre direction.

Ces deux contrôles sont les plus rentables du chapitre : ils prennent cinq secondes et attrapent presque toute erreur de calcul dans le polynôme caractéristique.

Sous-espaces propres et critère de diagonalisabilité

• $E_{\lambda}=\ker(A-\lambda I)$ est le SOUS-ESPACE PROPRE : on l'obtient en résolvant le système homogène $(A-\lambda I)\vec{v}=\vec{0}$ . C'est toujours un sous-espace, de dimension au moins $1$ .
• MULTIPLICITÉ ALGÉBRIQUE de $\lambda$ : son ordre comme racine du polynôme caractéristique. MULTIPLICITÉ GÉOMÉTRIQUE : $\dim E_{\lambda}$ .
• On a toujours géométrique $\leq$ algébrique, et l'inégalité peut être STRICTE : c'est exactement ce qui empêche de diagonaliser.
• CRITÈRE : $A$ d'ordre $n$ est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut $n$ , c'est-à-dire si les deux multiplicités coïncident pour CHAQUE valeur propre.
• Deux cas favorables où l'on conclut sans calcul : $n$ valeurs propres DISTINCTES, ou une matrice SYMÉTRIQUE réelle, qui est toujours diagonalisable avec des vecteurs propres orthogonaux.

Une valeur propre simple ne pose jamais problème : sa multiplicité géométrique vaut forcément $1$ . Seules les valeurs propres MULTIPLES demandent de calculer la dimension du sous-espace propre.

Diagonaliser, et s'en servir

• $A=PDP^{-1}$ , où les COLONNES de $P$ sont les vecteurs propres et où $D$ est diagonale avec les valeurs propres dans le MÊME ORDRE.
• La colonne $i$ de $P$ doit être un vecteur propre associé à la valeur propre placée en position $i$ de $D$ . L'ordre est libre, mais il doit être le même des deux côtés.
• $A^{n}=PD^{n}P^{-1}$ , et $D^{n}$ s'obtient en élevant chaque terme diagonal à la puissance $n$ . C'est tout l'intérêt de la diagonalisation.
• Vérification qui évite de calculer $P^{-1}$ : $AP=PD$ . Deux produits matriciels suffisent à valider $P$ et $D$ ensemble.
• Une matrice symétrique réelle se diagonalise en base ORTHONORMÉE : les vecteurs propres associés à des valeurs propres différentes sont orthogonaux, et il suffit de les normer.

Pour une suite de vecteurs $X_{k+1}=AX_{k}$ , la valeur propre de plus grand module finit par dominer : la direction limite est celle de son vecteur propre, quelle que soit la condition initiale.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Prendre le vecteur nul pour un vecteur propre

1 point de rigueur, et la question sur la dimension du sous-espace propre devient incohérente.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $A\vec{0}=\lambda\vec{0}$ pour tout $\lambda$ , donc $\vec{0}$ est un vecteur propre. »

Ce qu'il faut écrire

« Un vecteur propre est NON NUL par définition. Sinon tout nombre réel serait valeur propre de toute matrice, et la notion n'aurait aucun contenu. »

Pourquoi : $\vec{0}$ appartient bien à $E_{\lambda}$ , qui est un sous-espace, mais il n'est pas un vecteur PROPRE. La distinction se voit dans la rédaction : « $E_{\lambda}$ contient $\vec{0}$ » est vrai, « $\vec{0}$ est propre » est faux.

2. Mal former la matrice $A-\lambda I$

toute la question, et les valeurs propres trouvées n'ont aucun rapport avec la matrice.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\det(A)-\lambda=0$ », ou bien on retranche $\lambda$ sur le seul coefficient en haut à gauche.

Ce qu'il faut écrire

« $\det(A-\lambda I)=0$ : on retranche $\lambda$ sur TOUS les termes de la diagonale, puis on calcule le déterminant de la matrice obtenue. »

Pourquoi : $\lambda I$ est la matrice diagonale de $\lambda$ , pas le nombre $\lambda$ : on ne peut pas soustraire un nombre à une matrice. C'est la même règle que pour toute somme matricielle, terme à terme.

3. Donner un sous-espace propre réduit à un seul vecteur

1 point, et davantage si la question demandait la dimension du sous-espace propre.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $E_{4}=\{(1\ ;\ 1)\}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $E_{4}=\text{vect}\{(1\ ;\ 1)\}$ , c'est-à-dire la DROITE entière : tout multiple non nul de $(1\ ;\ 1)$ est aussi un vecteur propre associé à $4$ . »

Pourquoi : Si $A\vec{v}=\lambda\vec{v}$ , alors $A(k\vec{v})=\lambda(k\vec{v})$ pour tout $k$ : la propriété est stable par multiplication. Un vecteur propre n'est jamais unique, seule sa DIRECTION l'est.

4. Supposer que la multiplicité géométrique égale l'algébrique

toute la question, avec une matrice $P$ inventée dont les colonnes sont liées.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\lambda=2$ est racine double, donc $\dim E_{2}=2$ et la matrice est diagonalisable. »

Ce qu'il faut écrire

« Il faut CALCULER $\dim E_{2}$ . Pour $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ , le système $(A-2I)\vec{v}=\vec{0}$ donne $y=0$ : $E_{2}=\text{vect}\{(1\ ;\ 0)\}$ , de dimension $1$ . La matrice n'est PAS diagonalisable. »

La seule direction que cette matrice conserve est l'horizontale :

\vec{v_{2}}

bascule vers elle au lieu de rester sur sa droite. Une valeur propre double, une seule direction propre.

Pourquoi : L'inégalité géométrique $\leq$ algébrique peut être stricte, et c'est précisément ce cas qui rend une matrice non diagonalisable. Une valeur propre multiple oblige toujours à résoudre le système.

5. Ranger $P$ et $D$ dans des ordres différents

toute la question, et le calcul de $A^{n}$ qui suit donne n'importe quoi.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $P=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ avec $\vec{v_{1}}$ associé à $4$ en première colonne, et $D=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La colonne $i$ de $P$ doit être un vecteur propre pour la valeur propre en position $i$ de $D$ : ici $D=\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ . Le contrôle $AP=PD$ le vérifie immédiatement. »

Pourquoi : L'égalité $AP=PD$ se lit colonne par colonne : $A\vec{v_{i}}=\lambda_{i}\vec{v_{i}}$ . Si les indices ne se correspondent pas, l'égalité est fausse pour chaque colonne.

6. Inverser l'ordre de $P$ et $P^{-1}$ dans la puissance

toute la question de puissance, et la matrice obtenue n'a même pas les bonnes valeurs propres.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $A^{n}=P^{-1}D^{n}P$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $A=PDP^{-1}$ , donc $A^{n}=PD^{n}P^{-1}$ , dans le MÊME ordre que $A$ . Les $P^{-1}P$ intermédiaires se simplifient et il ne reste que les deux extrêmes. »

Pourquoi : Le calcul $A^{2}=(PDP^{-1})(PDP^{-1})=PD(P^{-1}P)DP^{-1}=PD^{2}P^{-1}$ montre l'ordre. Écrire ce télescopage une fois suffit à ne plus se tromper.

7. Conclure qu'il n'y a pas de valeur propre quand le discriminant est négatif

2 points, et l'interprétation géométrique, qui est souvent la question suivante, est perdue.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le polynôme caractéristique a un discriminant négatif, donc cette matrice n'a pas de valeurs propres. »

Ce qu'il faut écrire

« Elle n'a pas de valeur propre RÉELLE : aucune direction du plan n'est conservée, ce qui est le cas d'une rotation. Sur $\mathbb{C}$ , elle possède deux valeurs propres conjuguées, et elle y est diagonalisable. »

Chaque vecteur tourne du même angle : aucune flèche ne reste sur sa droite d'origine, donc aucune valeur propre réelle. Les longueurs, elles, sont conservées.

Pourquoi : Le mot « aucune valeur propre » est faux : il faut préciser sur quel ensemble. La lecture géométrique, elle, est immédiate et vaut des points : une rotation d'angle non nul ne laisse aucune droite invariante.

8. Trouver seulement le vecteur nul comme solution du système propre

toute la question, et le temps perdu à chercher une erreur ailleurs que là où elle est.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je résous $(A-\lambda I)\vec{v}=\vec{0}$ et j'obtiens $\vec{v}=\vec{0}$ : il n'y a pas de vecteur propre pour ce $\lambda$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Si $\lambda$ est bien une valeur propre, alors $\det(A-\lambda I)=0$ , donc le système homogène a NÉCESSAIREMENT une infinité de solutions. Trouver seulement $\vec{0}$ prouve une erreur de calcul, le plus souvent dans $\lambda$ . »

Pourquoi : La valeur propre a été choisie exactement pour rendre la matrice $A-\lambda I$ singulière. Un pivot doit donc disparaître : s'il n'en disparaît aucun, c'est le polynôme caractéristique qui est faux.

Quelle méthode choisir

Cette matrice est-elle diagonalisable ?

On regarde le polynôme caractéristique et la forme de la matrice. Trois branches sur cinq répondent sans calculer le moindre sous-espace propre.

Si $n$ valeurs propres réelles DISTINCTES pour une matrice d'ordre $n$ → OUI, diagonalisable, sans aucune vérification supplémentaire

Exemple : $\lambda=4$ et $\lambda=2$ sur une matrice d'ordre $2$
Si matrice SYMÉTRIQUE réelle → OUI, diagonalisable, et même en base orthonormée

C'est vrai même avec des valeurs propres multiples, et cela dispense de tout calcul de dimension.
Si une valeur propre MULTIPLE, matrice non symétrique → il faut CALCULER $\dim E_{\lambda}$ et le comparer à la multiplicité algébrique

Exemple : $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ a $\dim E_{2}=1$ pour une multiplicité $2$ , donc non
Si discriminant NÉGATIF sur une matrice réelle d'ordre $2$ → pas diagonalisable sur $\mathbb{R}$ , faute de valeur propre réelle; diagonalisable sur $\mathbb{C}$

Géométriquement, c'est une rotation, éventuellement composée d'une homothétie.
Si matrice déjà TRIANGULAIRE → les valeurs propres sont les termes de la diagonale, sans aucun calcul; il reste à traiter les multiplicités

Aucune branche ne s'applique en ordre $3$ avec une racine triple ? On calcule les trois sous-espaces propres et on additionne leurs dimensions : la somme doit valoir $3$ .

Comment calculer cette expression, une fois $A$ diagonalisée

Une fois $A=PDP^{-1}$ écrite, la plupart des questions se ramènent à un calcul sur $D$ , qui est diagonale et donc immédiat.

Si on demande $A^{n}$ → $PD^{n}P^{-1}$ , avec $D^{n}$ obtenue en élevant chaque terme diagonal à la puissance $n$

Exemple : $D=\text{diag}(4\ ;\ 2)$ donne $D^{3}=\text{diag}(64\ ;\ 8)$
Si on demande $\det(A)$ ou $\operatorname{tr}(A)$ → produit des valeurs propres pour le déterminant, somme pour la trace

Cela sert aussi de contrôle sur les valeurs propres trouvées, dans l'autre sens.
Si on demande les valeurs propres de $A^{-1}$ , de $A^{k}$ ou de $A+cI$ → $\frac{1}{\lambda}$ , $\lambda^{k}$ , $\lambda+c$ , avec les MÊMES vecteurs propres

Aucun nouveau calcul : c'est la question de cours la plus fréquente en fin de chapitre.
Si on demande le comportement d'une suite $X_{k+1}=AX_{k}$ → décomposer $X_{0}$ sur la base propre, puis multiplier chaque composante par $\lambda^{k}$

La valeur propre de plus grand module domine, et fixe la direction limite.
Si on demande si $A$ est inversible → regarder si $0$ est valeur propre : $A$ est inversible si et seulement si aucune valeur propre n'est nulle

Ne jamais calculer $P^{-1}$ tant que ce n'est pas indispensable : la vérification $AP=PD$ valide la diagonalisation sans lui, et beaucoup de questions n'en ont pas besoin.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Diagonaliser une matrice d'ordre deux

Quand l'utiliser : L'énoncé demande de diagonaliser $A$ , ou de trouver $P$ et $D$ telles que $A=PDP^{-1}$ .

1 Écrire $A-\lambda I$ en entier, puis développer $\det(A-\lambda I)$ pour obtenir le polynôme caractéristique.
2 Résoudre, donner les valeurs propres, et contrôler par la trace et le déterminant avant d'aller plus loin.
3 Pour chaque valeur propre, résoudre le système homogène $(A-\lambda I)\vec{v}=\vec{0}$ et donner $E_{\lambda}$ sous la forme $\text{vect}\{\dots\}$ .
4 Justifier la diagonalisabilité : valeurs propres distinctes, ou somme des dimensions égale à l'ordre.
5 Écrire $P$ en rangeant les vecteurs propres EN COLONNES et $D$ avec les valeurs propres dans le MÊME ordre, puis vérifier $AP=PD$ .

Phrase de conclusion

Les valeurs propres sont $4$ et $2$ , distinctes, donc $A$ est diagonalisable : avec $P=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ et $D=\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ , on a $A=PDP^{-1}$ .

Le piège : Oublier de justifier la diagonalisabilité et passer directement à $P$ et $D$ . Le barème place systématiquement un demi-point sur cette phrase, et elle est la seule à mentionner le critère.

Barème : 1 point pour le polynôme caractéristique, 1 point pour les sous-espaces propres, 0,5 point pour la justification, 0,5 point pour $P$ , $D$ et la vérification.

Calculer une puissance par diagonalisation

Quand l'utiliser : L'énoncé demande $A^{n}$ , ou l'état d'un système après $n$ étapes d'une évolution $X_{k+1}=AX_{k}$ .

1 Diagonaliser $A$ et rappeler l'écriture $A=PDP^{-1}$ avec $P$ et $D$ explicites.
2 Écrire le télescopage $A^{n}=PD^{n}P^{-1}$ , en justifiant par la simplification des $P^{-1}P$ intermédiaires.
3 Calculer $D^{n}$ en élevant chaque terme diagonal à la puissance $n$ , et le dire.
4 Calculer $P^{-1}$ , puis effectuer les deux produits dans l'ordre $P$ , puis $D^{n}$ , puis $P^{-1}$ .
5 Vérifier sur une petite valeur de $n$ , par exemple $n=2$ , en comparant au produit direct $A\times A$ .

Phrase de conclusion

Comme $A=PDP^{-1}$ , on a $A^{n}=PD^{n}P^{-1}$ , d'où $A^{3}=\begin{pmatrix} 36 & 28 \\ 28 & 36 \end{pmatrix}$ .

Le piège : Élever $P$ à la puissance $n$ en même temps que $D$ . Seule la matrice diagonale se met à la puissance : $P$ et $P^{-1}$ restent inchangés, ce sont eux qui font le changement de base.

Barème : 0,5 point pour l'écriture $A^{n}=PD^{n}P^{-1}$ , 0,5 point pour $D^{n}$ , 1 point pour $P^{-1}$ , 1 point pour le produit final.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Contrôler par la trace et le déterminant

La somme des valeurs propres doit valoir la trace, leur produit le déterminant. Deux additions et une multiplication valident tout le polynôme caractéristique.

$4+2=6$ et $4\times 2=8$ : la trace de $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ vaut bien $6$ et son déterminant $8$ .
Multiplier la matrice par chaque vecteur propre trouvé

Calculer $A\vec{v}$ et vérifier qu'on retrouve exactement $\lambda\vec{v}$ . C'est le seul contrôle qui teste à la fois la valeur propre et le vecteur.

$\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}=4\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ : tout est cohérent.
Vérifier $AP=PD$ plutôt que de calculer $P^{-1}$

Deux produits matriciels valident $P$ et $D$ en même temps, ordre compris, sans avoir à inverser quoi que ce soit. C'est trois fois plus rapide que la vérification par $P^{-1}$ .

Si $AP$ et $PD$ diffèrent d'une colonne, c'est que cette colonne de $P$ ne correspond pas à la valeur propre placée en face dans $D$ .
Vérifier qu'un pivot a bien disparu

Dans le système $(A-\lambda I)\vec{v}=\vec{0}$ , une ligne doit devenir proportionnelle à une autre. Si les deux lignes restent indépendantes, la valeur propre est fausse.

Pour $\lambda=4$ sur $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ , on obtient $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ : les deux lignes sont opposées, c'est le signe attendu.
Tester une puissance sur $n=2$

Comparer la formule $PD^{2}P^{-1}$ au produit direct $A\times A$ , qui ne coûte que quatre multiplications en ordre deux. L'accord valide toute la diagonalisation.

$A^{2}=\begin{pmatrix} 10 & 6 \\ 6 & 10 \end{pmatrix}$ par les deux méthodes : la formule est bonne, et $A^{n}$ peut être écrit sans crainte.

L'exercice type décortiqué

Diagonaliser une matrice symétrique, puis en calculer le cube

Soit $A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ .

1) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de $A$ .

2) Écrire $P$ et $D$ telles que $A=PDP^{-1}$ , et vérifier.

3) En déduire $A^{3}$ .

Les deux directions propres de

A

: celle de

\vec{v_{1}}

, étirée

4

fois, et celle de

\vec{v_{2}}

, étirée

2

fois. Elles sont perpendiculaires, comme toujours pour une matrice symétrique.

Étape 1

$\operatorname{tr}(A)=3+3=6$ et $\det(A)=9-1=8$ , donc le polynôme caractéristique est $\lambda^{2}-6\lambda+8=0$ .

Pourquoi

La forme trace-déterminant évite d'écrire $A-\lambda I$ en entier en ordre $2$ , et elle donne d'emblée les deux contrôles qui serviront à l'étape suivante.

Étape 2

$\Delta=36-32=4$ , donc $\lambda_{1}=\dfrac{6+2}{2}=4$ et $\lambda_{2}=\dfrac{6-2}{2}=2$ . Contrôle : $4+2=6$ et $4\times 2=8$ .

Pourquoi

Le contrôle prend cinq secondes et attrape toute erreur de signe dans le polynôme. Deux valeurs propres DISTINCTES suffisent déjà à garantir la diagonalisabilité.

Étape 3

$E_{4}$ : $(A-4I)\vec{v}=\vec{0}$ donne $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\vec{v}=\vec{0}$ , soit $-x+y=0$ , donc $E_{4}=\text{vect}\{(1\ ;\ 1)\}$ .

Pourquoi

Les deux lignes sont opposées : un pivot a bien disparu, ce qui confirme que $4$ est une vraie valeur propre. Le sous-espace est une DROITE, pas un vecteur isolé.

Étape 4

$E_{2}$ : $(A-2I)\vec{v}=\vec{0}$ donne $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\vec{v}=\vec{0}$ , soit $x+y=0$ , donc $E_{2}=\text{vect}\{(1\ ;\ -1)\}$ .

Pourquoi

Les deux vecteurs propres sont orthogonaux, ce qui était garanti d'avance : $A$ est symétrique. C'est un contrôle gratuit sur les deux sous-espaces à la fois.

Étape 5

$A$ a deux valeurs propres distinctes en ordre $2$ , donc elle est diagonalisable : $P=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ et $D=\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ .

Pourquoi

L'ordre est libre mais il doit être le MÊME des deux côtés : $\vec{v_{1}}$ en première colonne de $P$ impose $4$ en première position de $D$ .

Étape 6

Vérification : $AP=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}$ et $PD=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}$ : les deux coïncident.

Pourquoi

Deux produits, aucune inversion : c'est la vérification la moins chère et elle teste l'ordre en même temps que les vecteurs propres.

Étape 7

$\det(P)=-2$ , donc $P^{-1}=\dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$ .

Pourquoi

On applique la recette de l'ordre deux : permuter la diagonale, changer le signe de l'antidiagonale, diviser par le déterminant. Ici $P$ est symétrique, donc $P^{-1}$ l'est aussi.

Étape 8

$A^{3}=PD^{3}P^{-1}$ avec $D^{3}=\begin{pmatrix} 64 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}$ , ce qui donne $A^{3}=\begin{pmatrix} 36 & 28 \\ 28 & 36 \end{pmatrix}$ .

Pourquoi

Seule $D$ passe à la puissance; $P$ et $P^{-1}$ restent tels quels. Contrôle direct : $A^{2}=\begin{pmatrix} 10 & 6 \\ 6 & 10 \end{pmatrix}$ puis $A^{2}A$ redonne bien le même résultat.

Conclusion rédigée

$A$ a pour valeurs propres $4$ et $2$ , avec $E_{4}=\text{vect}\{(1\ ;\ 1)\}$ et $E_{2}=\text{vect}\{(1\ ;\ -1)\}$ ; elle se diagonalise en $A=PDP^{-1}$ et $A^{3}=\begin{pmatrix} 36 & 28 \\ 28 & 36 \end{pmatrix}$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $D=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ tout en gardant $(1\ ;\ 1)$ en première colonne de $P$ . La vérification $AP=PD$ échoue alors sur les deux colonnes, mais seulement si on la fait.

À savoir par cœur

• $A\vec{v}=\lambda\vec{v}$ avec $\vec{v}\neq\vec{0}$ : le vecteur nul n'est jamais propre.
• Valeurs propres : racines de $\det(A-\lambda I)=0$ , avec $\lambda$ retranché sur TOUTE la diagonale.
• En ordre $2$ : $\lambda^{2}-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det(A)=0$ . Somme $=$ trace, produit $=$ déterminant.
• $E_{\lambda}=\ker(A-\lambda I)$ est un SOUS-ESPACE, donc une droite au moins, jamais un seul vecteur.
• Géométrique $\leq$ algébrique, et l'égalité pour CHAQUE valeur propre est le critère de diagonalisabilité.
• $n$ valeurs propres distinctes, ou matrice symétrique réelle : diagonalisable sans vérification.
• $A=PDP^{-1}$ : colonne $i$ de $P$ et position $i$ de $D$ doivent se correspondre.
• $A^{n}=PD^{n}P^{-1}$ , et seule $D$ passe à la puissance.
• Vérifier par $AP=PD$ , qui évite de calculer $P^{-1}$ .
• Discriminant négatif : aucune valeur propre RÉELLE, donc aucune direction conservée, comme pour une rotation.

Questions fréquentes

Comment trouver les valeurs propres d'une matrice deux par deux ?

On écrit le polynôme caractéristique sous la forme lambda au carré, moins la trace fois lambda, plus le déterminant, égalé à zéro. La trace est la somme des deux termes diagonaux. On résout ensuite cette équation du second degré, puis on contrôle que la somme des racines vaut la trace et leur produit le déterminant.

Pourquoi le vecteur nul n'est-il pas un vecteur propre ?

Parce que la définition l'exclut expressément. Si on l'acceptait, n'importe quel nombre serait valeur propre de n'importe quelle matrice, puisque la matrice envoie toujours le vecteur nul sur lui-même. La notion perdrait tout contenu. Le vecteur nul appartient tout de même au sous-espace propre, qui est un sous-espace vectoriel.

Quand une matrice n'est-elle pas diagonalisable ?

Quand elle possède une valeur propre multiple dont le sous-espace propre est de dimension strictement inférieure à sa multiplicité. Autrement dit, il manque des directions propres pour former une base. Sur les réels, c'est aussi le cas d'une matrice dont le polynôme caractéristique a un discriminant négatif, comme une rotation.

À quoi sert la diagonalisation en pratique ?

Elle transforme un calcul difficile en un calcul immédiat. Élever une matrice à une puissance élevée devient un simple calcul sur les termes diagonaux, ce qui permet d'étudier une évolution après un grand nombre d'étapes, par exemple deux populations couplées, sans faire les multiplications une par une.

Comment vérifier une diagonalisation sans calculer l'inverse ?

On compare les deux produits de la matrice de départ par la matrice de passage, et de la matrice de passage par la matrice diagonale. Ils doivent être identiques. Cette vérification teste en même temps les vecteurs propres, les valeurs propres et l'ordre dans lequel ils sont rangés, et elle ne coûte que deux produits.

Une matrice symétrique est-elle toujours diagonalisable ?

Oui, dès lors qu'elle est réelle. C'est un résultat du cours, valable même quand une valeur propre est multiple. De plus, les vecteurs propres associés à des valeurs propres différentes sont automatiquement perpendiculaires entre eux, ce qui permet de choisir une base de vecteurs propres orthonormée.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Diagonalisation et valeurs propres

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

Faire les exercices

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Modèles matriciels : Markov, Leontief, Leslie

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Fiche de révision : diagonalisation et valeurs propres (201-NYC)

L'essentiel

Ce qu'une valeur propre veut dire, et comment on la trouve

Sous-espaces propres et critère de diagonalisabilité

Diagonaliser, et s'en servir

Les pièges qui coûtent des points

1. Prendre le vecteur nul pour un vecteur propre

2. Mal former la matrice A−λIA-\lambda IA−λI

3. Donner un sous-espace propre réduit à un seul vecteur

4. Supposer que la multiplicité géométrique égale l'algébrique

5. Ranger PPP et DDD dans des ordres différents

6. Inverser l'ordre de PPP et P−1P^{-1}P−1 dans la puissance

7. Conclure qu'il n'y a pas de valeur propre quand le discriminant est négatif

8. Trouver seulement le vecteur nul comme solution du système propre

Quelle méthode choisir

Cette matrice est-elle diagonalisable ?

Comment calculer cette expression, une fois AAA diagonalisée

La rédaction attendue

Diagonaliser une matrice d'ordre deux

Calculer une puissance par diagonalisation

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Diagonaliser une matrice symétrique, puis en calculer le cube

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment trouver les valeurs propres d'une matrice deux par deux ?

Pourquoi le vecteur nul n'est-il pas un vecteur propre ?

Quand une matrice n'est-elle pas diagonalisable ?

À quoi sert la diagonalisation en pratique ?

Comment vérifier une diagonalisation sans calculer l'inverse ?

Une matrice symétrique est-elle toujours diagonalisable ?

Exercices corrigés : Diagonalisation et valeurs propres

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