Algèbre linéaire 201-NYC / Maths 105 • Complément québécois de Première et cégep à Montréal

Fiche de révision : déterminants, cofacteurs et règle de Cramer (201-NYC)

Cette fiche ne redonne pas la définition du déterminant : elle est dans vos notes. Elle traite ce qui décide de la note, c'est-à-dire le choix de la ligne de développement, les propriétés qui font gagner dix minutes, et les cinq règles de calcul qu'on croit connaître et qu'on applique de travers.

Elle est écrite pour les étudiants de cégep en Sciences de la nature et pour les élèves de Première des lycées français qui suivent le complément québécois de mathématiques. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve.

Le fil du chapitre

Un déterminant n'est pas une matrice, c'est un NOMBRE attaché à une matrice carrée. Il ne suit donc aucune des règles de l'addition matricielle : chaque opération, somme, multiple, transposée, opération élémentaire, a sa règle propre, et c'est là que partent les points.

Ce chapitre fait partie de Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, 201-NYC

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Systèmes linéaires : Gauss et Gauss-Jordan Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Systèmes d'équations : comparaison et graphiqueSecondaire 3
2Les équations et les inéquationsSecondaire 4 SN4
3Les systèmes d'équationsSecondaire 4 SN4
4Les vecteurs et la géométrie vectorielleSecondaire 5 SN5
5Combinaisons linéaires, dépendance et bases
6Matrices, systèmes et déterminants
7Systèmes linéaires : Gauss et Gauss-Jordan

L'essentiel

Le développement par cofacteurs, et le damier

• MINEUR $M_{ij}$ : le déterminant obtenu en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$ . COFACTEUR : $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ .
• $\det(A)=\sum_{j}a_{ij}C_{ij}$ pour n'importe quelle ligne $i$ fixée, ou $\det(A)=\sum_{i}a_{ij}C_{ij}$ pour n'importe quelle colonne $j$ fixée. Toutes ces valeurs coïncident.
• On choisit donc la ligne ou la colonne qui contient le PLUS DE ZÉROS : chaque zéro supprime un mineur entier à calculer.
• Le facteur $(-1)^{i+j}$ suit le damier de signes, qui commence par un plus en haut à gauche et alterne dans les deux directions.
• La règle de SARRUS ne vaut QUE pour l'ordre $3$ . Il n'existe aucune version d'ordre $4$ , et l'inventer est l'erreur la plus coûteuse du chapitre.

Le signe d'un cofacteur ne dépend que de sa POSITION, pas de la valeur du coefficient : plus en haut à gauche, puis alternance dans les deux sens.

Avant de développer, fabriquer des zéros par $L_{i}\leftarrow L_{i}+kL_{j}$ , qui ne change PAS le déterminant : un déterminant d'ordre $4$ avec trois zéros dans une colonne se calcule en un seul mineur.

Ce que chaque opération fait au déterminant

• ÉCHANGER deux lignes ou deux colonnes : le déterminant change de SIGNE.
• MULTIPLIER une ligne par $k$ : le déterminant est multiplié par $k$ , une seule fois.
• AJOUTER à une ligne un multiple d'une autre : le déterminant NE CHANGE PAS. C'est la propriété qui permet de fabriquer des zéros gratuitement.
• $\det(kA)=k^{n}\det(A)$ pour une matrice $n\times n$ , parce que les $n$ lignes sont toutes multipliées par $k$ .
• Deux lignes identiques ou proportionnelles, ou une ligne nulle : le déterminant vaut $0$ , sans aucun calcul. Une matrice triangulaire : le déterminant est le produit de la diagonale.

Ces règles font du déterminant un calcul rapide : on échelonne en n'utilisant que la troisième opération, puis on multiplie les termes de la diagonale. C'est la méthode la plus sûre à partir de l'ordre $4$ .

Produits, inverse et règle de Cramer

• $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ , et $\det(A^{T})=\det(A)$ . En revanche $\det(A+B)\neq\det(A)+\det(B)$ en général.
• $A$ est INVERSIBLE si et seulement si $\det(A)\neq 0$ . On dit alors que $A$ est régulière; sinon elle est singulière.
• $\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}$ lorsque $A$ est inversible.
• $A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\,\text{adj}(A)$ , où $\text{adj}(A)$ est la TRANSPOSÉE de la matrice des cofacteurs. La transposition n'est pas facultative.
• RÈGLE DE CRAMER : pour $AX=B$ avec $\det(A)\neq 0$ , $x_{i}=\dfrac{\det(A_{i})}{\det(A)}$ , où $A_{i}$ est $A$ dont la COLONNE $i$ a été remplacée par $B$ .

Géométriquement, $|\det|$ est l'aire du parallélogramme construit sur les colonnes en dimension $2$ , et le volume du parallélépipède en dimension $3$ . Le SIGNE, lui, ne dit que l'orientation.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Distribuer le déterminant sur une somme de matrices

toute la question, et l'erreur ne se voit pas puisque les deux résultats sont plausibles.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\det(A+B)=\det(A)+\det(B)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« C'est faux en général. Avec $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ : $\det(A+B)=\det\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}=4$ , alors que $\det A+\det B=2$ . »

Pourquoi : Le déterminant est multiplicatif, pas additif : $\det(AB)=\det A\det B$ est vraie, $\det(A+B)$ n'a aucune formule simple. Confondre les deux revient à croire que $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}$ .

2. Sortir un facteur commun une seule fois d'un déterminant

2 points, et un résultat neuf fois trop petit qu'aucun ordre de grandeur ne rattrape.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\det(3A)=3\det(A)$ pour une matrice $3\times 3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\det(3A)=3^{3}\det(A)=27\det(A)$ : les TROIS lignes sont multipliées par $3$ , donc le facteur sort trois fois. »

Pourquoi : La règle de base est « une ligne multipliée par $k$ multiplie le déterminant par $k$ ». Multiplier la matrice entière, c'est appliquer cette règle $n$ fois, une par ligne.

3. Oublier le signe du damier dans un cofacteur

toute la question, et le déterminant change souvent de signe entier.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $C_{23}=M_{23}=17$ , donc le terme du développement vaut $6\times 17$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-17$ , car $2+3=5$ est impair. Le terme du développement vaut donc $6\times(-17)=-102$ . »

Les deux croix marquent la ligne et la colonne supprimées; les quatre coefficients qui restent forment le mineur

M_{23}=17

, auquel le damier ajoute ensuite un signe moins.

Pourquoi : Le signe ne dépend que de la POSITION, jamais de la valeur du coefficient. Écrire le damier en marge avant de développer coûte cinq secondes et supprime l'erreur.

4. Échelonner un déterminant sans suivre l'effet des opérations

2 points, et un signe faux sur la moitié des copies qui échangent une ligne.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« J'échelonne comme pour un système, puis je multiplie les pivots : le déterminant vaut le produit obtenu. »

Ce qu'il faut écrire

« Chaque ÉCHANGE de lignes change le signe, chaque ligne MULTIPLIÉE par $k$ multiplie le déterminant par $k$ . Seule l'opération $L_{i}\leftarrow L_{i}+kL_{j}$ le laisse intact : c'est la seule à utiliser librement. »

Doubler une ligne double l'aire; ajouter un multiple d'une ligne à une autre déforme le parallélogramme sans changer sa base ni sa hauteur, donc sans changer l'aire.

Pourquoi : Résoudre un système et calculer un déterminant ne demandent pas les mêmes précautions : pour un système, seule l'équivalence compte; pour un déterminant, c'est la VALEUR qui doit être suivie.

5. Prendre la matrice des cofacteurs pour l'adjointe

toute la question d'inversion, et la vérification $AA^{-1}=I$ l'aurait montré en trente secondes.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\times$ (matrice des cofacteurs). »

Ce qu'il faut écrire

« $A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\,\text{adj}(A)$ , et $\text{adj}(A)$ est la TRANSPOSÉE de la matrice des cofacteurs. Sans la transposition, le produit $AA^{-1}$ ne donne pas l'identité. »

Pourquoi : L'identité fondamentale est $A\,\text{adj}(A)=\det(A)\,I$ : c'est elle qui exige la transposition, pour que la ligne $i$ de $A$ rencontre les cofacteurs de la ligne $i$ et non ceux de la colonne $i$ .

6. Remplacer une ligne au lieu d'une colonne dans la règle de Cramer

toute la question, avec des valeurs plausibles mais fausses.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour trouver $x$ , je remplace la première LIGNE de $A$ par le second membre $B$ . »

Ce qu'il faut écrire

« On remplace la première COLONNE. La colonne $i$ est celle des coefficients de $x_{i}$ dans toutes les équations : c'est elle que le second membre vient remplacer. »

Pourquoi : Dans l'écriture $AX=B$ , $X$ est une colonne et chaque colonne de $A$ multiplie une inconnue. Cramer remplace donc la colonne de l'inconnue cherchée, jamais une ligne, qui représente une équation.

7. Inventer une règle de Sarrus d'ordre quatre

toute la question, avec un résultat qui n'a aucun rapport avec le déterminant.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour un déterminant $4\times 4$ , je recopie les trois premières colonnes et je fais les diagonales. »

Ce qu'il faut écrire

« La règle de Sarrus n'existe QUE pour l'ordre $3$ . À l'ordre $4$ , on développe par cofacteurs, après avoir fabriqué des zéros dans une ligne ou une colonne. »

Pourquoi : Un déterminant d'ordre $n$ compte $n!$ termes : $6$ pour l'ordre $3$ , mais $24$ pour l'ordre $4$ . Les six diagonales d'un schéma de Sarrus ne peuvent pas en couvrir vingt-quatre.

8. Donner une aire ou un volume négatif

1 point, et une réponse impossible que le correcteur repère immédiatement.

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'aire du parallélogramme construit sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$ vaut $\det=-6$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'aire vaut $|\det|=6$ . Le signe négatif dit seulement que le couple $(\vec{u}\ ;\ \vec{v})$ tourne dans le sens des aiguilles d'une montre, c'est-à-dire que l'orientation est inversée. »

Le même parallélogramme, décrit dans les deux ordres : la figure ne change pas, le signe du déterminant si. Seule sa valeur absolue est une aire.

Pourquoi : Le déterminant mesure une aire ORIENTÉE : échanger les deux vecteurs change le signe sans changer la figure. C'est exactement la propriété « échanger deux colonnes change le signe ».

Quelle méthode choisir

Comment calculer ce déterminant, selon son allure

On regarde la MATRICE avant de calculer : sa taille, ses zéros, ses lignes proportionnelles. Le bon choix divise le travail par trois.

Si deux lignes ou deux colonnes identiques ou proportionnelles, ou une ligne nulle → le déterminant vaut $0$ , sans aucun calcul

Exemple : $L_{2}=2L_{1}$ suffit à conclure
Si matrice triangulaire, ou diagonale → produit des termes de la DIAGONALE, sans développement

Exemple : $\det\begin{pmatrix} 2 & 5 & 7 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}=24$
Si ordre $2$ → $ad-bc$ , directement
Si ordre $3$ → Sarrus, ou développement selon la ligne qui a le plus de zéros

Avec deux zéros dans une ligne, le développement bat Sarrus largement.
Si ordre $4$ ou plus → fabriquer des zéros par $L_{i}\leftarrow L_{i}+kL_{j}$ , qui ne change rien, puis développer selon cette ligne

Exemple : une colonne à trois zéros ramène un ordre $4$ à un seul déterminant d'ordre $3$
Si la matrice est un PRODUIT, une transposée, un multiple ou une puissance → utiliser les propriétés plutôt que de calculer : $\det(AB)=\det A\det B$ , $\det(kA)=k^{n}\det A$

$\det(A^{5})=(\det A)^{5}$ se calcule en une ligne, contre plusieurs pages autrement.

Aucune branche ne s'applique et la matrice contient un paramètre ? On développe en gardant le paramètre littéral, puis on résout $\det=0$ pour trouver les valeurs qui rendent la matrice singulière.

Cramer, inverse ou Gauss : lequel coûte le moins cher

On compte ce que l'énoncé demande vraiment, car les trois méthodes ne coûtent pas le même nombre de déterminants.

Si une SEULE inconnue est demandée dans un système $3\times 3$ → CRAMER sur cette inconnue : deux déterminants d'ordre $3$ suffisent

Exemple : $x=\frac{\det A_{1}}{\det A}$ , et on ne calcule ni $y$ ni $z$
Si toutes les inconnues sont demandées dans un système $3\times 3$ → GAUSS-JORDAN, plus rapide que quatre déterminants d'ordre $3$

Cramer y demanderait $\det A$ plus trois autres déterminants, soit quatre calculs complets.
Si l'énoncé demande explicitement $A^{-1}$ → cofacteurs et adjointe si l'ordre est $2$ ou $3$ , Gauss-Jordan au-delà
Si l'énoncé demande seulement SI le système a une solution unique → un seul déterminant : non nul, la réponse est oui, et il n'y a rien de plus à faire
Si $\det A=0$ → ni Cramer ni inverse : passer à la méthode de Gauss pour distinguer aucune solution et une infinité

Cramer est un outil de rédaction autant que de calcul : sur un problème concret, il donne l'inconnue demandée sans passer par les autres, ce qui rend la copie beaucoup plus courte.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer un déterminant d'ordre quatre

Quand l'utiliser : L'énoncé donne une matrice $4\times 4$ et demande son déterminant, ou si elle est inversible.

1 Examiner la matrice et repérer la ligne ou la colonne qui contient le plus de zéros, et le DIRE : « la colonne $2$ contient trois zéros ».
2 S'il n'y a pas assez de zéros, en fabriquer par $L_{i}\leftarrow L_{i}+kL_{j}$ , en notant chaque opération et en rappelant qu'elle ne change pas le déterminant.
3 Écrire le développement complet selon cette ligne ou cette colonne, avec les signes du damier explicités.
4 Calculer le ou les mineurs d'ordre $3$ obtenus, par Sarrus ou par un nouveau développement.
5 Rassembler, conclure sur la valeur, et si la question le demande, sur l'inversibilité.

Phrase de conclusion

En développant selon la deuxième colonne, $\det(A)=2\times(-1)^{3+2}\times M_{32}=-2\times(-28)=56\neq 0$ , donc $A$ est inversible.

Le piège : Développer selon la première ligne par habitude. Si elle est pleine, cela oblige à calculer quatre mineurs d'ordre $3$ au lieu d'un seul : quinze minutes contre trois, et quatre occasions de se tromper.

Barème : 0,5 point pour le choix justifié de la ligne, 0,5 point pour les signes du damier, 1,5 point pour les mineurs, 0,5 point pour la conclusion.

Résoudre un système par la règle de Cramer

Quand l'utiliser : L'énoncé impose la règle de Cramer, ou ne demande qu'une seule inconnue d'un système carré.

1 Écrire le système sous la forme $AX=B$ et identifier clairement $A$ et $B$ .
2 Calculer $\det(A)$ et écrire la conclusion : « $\det(A)\neq 0$ , donc le système admet une solution unique et la règle de Cramer s'applique ».
3 Pour chaque inconnue demandée, écrire la matrice $A_{i}$ en remplaçant la COLONNE $i$ par $B$ , et l'afficher en entier.
4 Calculer $\det(A_{i})$ puis le quotient, en gardant les valeurs exactes.
5 Vérifier en réinjectant les valeurs trouvées dans toutes les équations de départ.

Phrase de conclusion

Comme $\det(A)=-5\neq 0$ , la règle de Cramer s'applique et donne $x=\dfrac{\det(A_{1})}{\det(A)}=\dfrac{-10}{-5}=2$ .

Le piège : Oublier de justifier $\det(A)\neq 0$ avant d'appliquer la règle. Ce n'est pas une formalité : la règle divise par ce nombre, et sans cette ligne le barème retire un point même si le résultat est juste.

Barème : 0,5 point pour l'écriture matricielle, 0,5 point pour le déterminant et la justification, 1 point par inconnue calculée, 0,5 point pour la vérification.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Redévelopper selon une autre ligne

Recalculer le déterminant en développant selon une ligne différente, de préférence une qui contient aussi des zéros. Les deux valeurs doivent coïncider exactement, signe compris.

Un écart de signe entre deux développements dénonce un cofacteur mal signé, et le damier écrit en marge dit lequel.
Chercher d'abord les zéros gratuits

Avant tout calcul, regarder si deux lignes sont proportionnelles, si une ligne est nulle, ou si la matrice est triangulaire. Dans ces cas la réponse est immédiate et le calcul est inutile.

Une matrice dont la troisième ligne vaut le double de la première a un déterminant nul : l'annoncer d'emblée vaut tous les points.
Contrôler le déterminant à la calculatrice

Sur TI, saisir la matrice puis $\texttt{matrice}\to\texttt{MATH}\to\texttt{det(}$ ; sur Casio, menu $\texttt{MAT}$ puis $\texttt{Det}$ . Le résultat sert de contrôle, jamais de rédaction.

La calculatrice affiche $56$ : si le développement à la main donne $-56$ , c'est un signe de damier qui a sauté.
Vérifier l'inverse par le produit

Après une inversion par cofacteurs, multiplier $A$ par le résultat : il faut obtenir l'identité. Une seule ligne du produit suffit souvent à repérer une transposition oubliée.

Un produit qui donne des coefficients hors diagonale non nuls signale que la matrice des cofacteurs n'a pas été transposée.
Réinjecter la solution de Cramer dans le système

Les quotients de déterminants ne se contrôlent pas entre eux : seule la substitution dans les équations d'origine valide le résultat, et elle prend trente secondes.

$x=2$ et $y=1$ donnent $2\times 2+3\times 1=7$ et $2-1=1$ : les deux équations sont satisfaites.

L'exercice type décortiqué

Un déterminant d'ordre quatre, calculé en un seul mineur

Calculer $\det(A)$ pour $A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & -1 & 5 \\ 3 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ , puis dire si $A$ est inversible et donner $\det(2A)$ .

Étape 1

La deuxième COLONNE vaut $(0\ ;\ 0\ ;\ 2\ ;\ 0)$ : elle contient trois zéros. C'est selon elle qu'on développe.

Pourquoi

Trois zéros signifient trois mineurs d'ordre $3$ à ne PAS calculer. Le choix de la ligne de développement est la seule décision du problème, et elle vaut dix minutes.

Étape 2

$\det(A)=a_{32}C_{32}=2\times(-1)^{3+2}\times M_{32}=-2\,M_{32}$ .

Pourquoi

La position $(3\ ;\ 2)$ donne $3+2=5$ , impair, donc un signe moins. Écrire l'exposant avant de conclure évite l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Étape 3

$M_{32}$ s'obtient en supprimant la LIGNE $3$ et la COLONNE $2$ : $M_{32}=\det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ .

Pourquoi

On supprime la ligne et la colonne du coefficient utilisé, pas d'autres. Recopier la sous-matrice en entier avant de calculer supprime les erreurs de report.

Étape 4

Dans ce déterminant d'ordre $3$ , la deuxième ligne est $(0\ ;\ 4\ ;\ 0)$ : on développe encore selon elle.

Pourquoi

Le même réflexe s'applique à chaque étage : deux zéros de plus, deux mineurs d'ordre $2$ économisés. C'est ce qui rend Sarrus inutile ici.

Étape 5

$M_{32}=4\times(-1)^{2+2}\times\det\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}=4\times 1\times(2-9)=4\times(-7)=-28$ .

Pourquoi

La position $(2\ ;\ 2)$ donne un signe plus, cette fois. Le mineur d'ordre $2$ garde les lignes $1$ et $3$ et les colonnes $1$ et $3$ de la sous-matrice.

Étape 6

$\det(A)=-2\times(-28)=56$ .

Pourquoi

Deux signes moins qui se compensent : c'est exactement là que les copies perdent le signe, en oubliant l'un des deux. Les écrire tous les deux explicitement est la seule parade.

Étape 7

$\det(A)=56\neq 0$ , donc $A$ est inversible, et $\det(A^{-1})=\dfrac{1}{56}$ .

Pourquoi

L'inversibilité se lit sur le seul déterminant, sans calculer l'inverse. C'est la question la moins chère du problème, à condition de ne pas la sauter.

Étape 8

$A$ est d'ordre $4$ , donc $\det(2A)=2^{4}\det(A)=16\times 56=896$ .

Pourquoi

Quatre lignes multipliées par $2$ , donc quatre facteurs $2$ . Répondre $112$ serait n'en compter qu'un seul, et c'est l'erreur attendue par l'énoncé.

Conclusion rédigée

$\det(A)=56$ , donc $A$ est inversible avec $\det(A^{-1})=\frac{1}{56}$ , et $\det(2A)=2^{4}\times 56=896$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Développer selon la première ligne, qui contient un seul zéro : trois mineurs d'ordre $3$ à calculer au lieu d'un, et trois occasions de perdre un signe. Le résultat est le même, le temps et le risque ne le sont pas.

À savoir par cœur

• $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ : le signe dépend de la POSITION, pas du coefficient.
• On développe selon la ligne ou la colonne qui a le PLUS DE ZÉROS.
• Sarrus n'existe qu'à l'ordre $3$ . Jamais à l'ordre $4$ .
• Échanger deux lignes change le SIGNE; multiplier une ligne par $k$ multiplie par $k$ ; ajouter un multiple d'une autre ligne NE CHANGE RIEN.
• $\det(kA)=k^{n}\det(A)$ pour une matrice $n\times n$ .
• $\det(AB)=\det A\det B$ et $\det(A^{T})=\det A$ , mais $\det(A+B)$ n'a pas de formule.
• $A$ inversible équivaut à $\det A\neq 0$ , et alors $\det(A^{-1})=\frac{1}{\det A}$ .
• $\text{adj}(A)$ est la TRANSPOSÉE de la matrice des cofacteurs.
• Cramer remplace la COLONNE $i$ par $B$ , jamais la ligne.
• $|\det|$ est une aire ou un volume; le signe n'est qu'une orientation.

Questions fréquentes

Comment calculer un déterminant quatre par quatre ?

On développe par cofacteurs selon la ligne ou la colonne qui contient le plus de zéros, ce qui ramène le calcul à des déterminants trois par trois. S'il n'y a pas assez de zéros, on en fabrique en ajoutant à une ligne un multiple d'une autre, opération qui ne change pas le déterminant. La règle de Sarrus ne s'applique jamais ici.

Pourquoi le signe des cofacteurs alterne-t-il ?

Le facteur moins un puissance i plus j vient de la définition du déterminant comme somme signée de produits. Concrètement, il suit un damier qui commence par un plus en haut à gauche et alterne dans les deux directions. Le signe dépend uniquement de la position du coefficient, jamais de sa valeur.

Quand utiliser la règle de Cramer plutôt que le pivot de Gauss ?

Quand une seule inconnue est demandée dans un système carré. Cramer donne alors la réponse avec deux déterminants seulement, sans calculer les autres inconnues. Si toutes les inconnues sont demandées, la méthode de Gauss-Jordan est plus rapide, car Cramer exigerait un déterminant complet par inconnue.

Que signifie un déterminant nul ?

Que la matrice n'est pas inversible, donc que ses colonnes sont linéairement dépendantes. Pour un système carré, cela veut dire qu'il n'y a pas de solution unique : soit aucune solution, soit une infinité. Géométriquement, le parallélogramme ou le parallélépipède construit sur les colonnes est aplati, d'aire ou de volume nul.

Le déterminant d'une somme est-il la somme des déterminants ?

Non, jamais en général. Le déterminant est multiplicatif, pas additif : celui d'un produit est le produit des déterminants, mais celui d'une somme n'a aucune formule simple. Un contre-exemple tient en deux matrices identité d'ordre deux, dont la somme a pour déterminant quatre alors que la somme des déterminants vaut deux.

Pourquoi faut-il transposer la matrice des cofacteurs ?

Parce que l'identité qui définit l'inverse est le produit de la matrice par son adjointe, égal au déterminant fois l'identité. Pour que ce produit fonctionne, chaque ligne de la matrice doit rencontrer les cofacteurs correspondants, ce que seule la transposition assure. Sans elle, le produit ne donne pas l'identité.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Déterminants, cofacteurs et règle de Cramer

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

15 exercices corrigés
150 points
225 minutes

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Diagonalisation et valeurs propres

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