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Secondaire québécois • Montréal

Mathématique TS, secondaire 5

Le TS de cinquième secondaire partage une grande partie de ses chapitres avec la séquence Sciences naturelles, avec ses propres attentes, puis y ajoute trois chapitres que personne d'autre n'étudie : les relations métriques dans le cercle, les transformations géométriques dans le plan cartésien et les matrices. Ce sont précisément ceux pour lesquels un élève ne trouve presque rien de corrigé en français, et vous les trouverez ici. Pour la fin d'année, des situations-problèmes de compétence 1 (C1) et une épreuve blanche au format du Ministère reprennent tout le programme.

27 séries d'exercices entièrement corrigés (271 exercices), 27 fiches de révision, 2 examens blancs. Gratuit, sans compte.

Algèbre

  1. 1 Les exposants, les radicaux et la valeur absolue Le premier chapitre du programme de Technico-sciences, celui qui fournit l'outillage de toute l'année : la valeur absolue lue comme une distance, les cinq lois des exposants dans une expression littérale, le passage du radical à l'exposant fractionnaire, l'addition, la multiplication et la rationalisation des radicaux, et le point qui rapporte le plus en examen, la valeur absolue qui sort quand un indice pair annule une puissance paire. Deux problèmes ferment la série : la tolérance d'usinage d'un axe dans son alésage et le débit d'un déversoir triangulaire. Fiche
  2. 2 Les logarithmes et le changement de base Le chapitre qui ouvre la porte des fonctions exponentielle et logarithmique de la séquence Technico-sciences : la définition prise au sérieux, un logarithme est un exposant, les trois lois et leur démonstration à partir des lois des exposants, l'encadrement d'un logarithme entre deux entiers sans calculatrice, le changement de base employé pour se servir d'une calculatrice qui n'a que log et ln, et les conditions d'existence, où l'on voit pourquoi condenser une somme élargit le domaine. Trois problèmes ferment la série : le nombre de chiffres d'un très grand nombre, le calibre AWG des fils électriques et la recherche dichotomique. Fiche
  3. 3 Les calculs algébriques et les expressions rationnelles Les deux chapitres de manipulation du programme de Technico-sciences réunis : multiplier des polynômes et reconnaître les paires conjuguées avant de développer, diviser par un binôme sans oublier les degrés manquants, se servir de l'égalité A = BQ + R pour vérifier une division et savoir quand elle est terminée, puis simplifier, multiplier, diviser, additionner et soustraire des expressions rationnelles en gardant la trace des valeurs interdites. Deux problèmes techniques ferment la série : l'antigel d'un radiateur et le train d'engrenages, tous deux résolus par la même réécriture, une constante moins une fraction. Fiche
  4. 4 La complétion du carré et la formule quadratique Le chapitre de factorisation du programme de Technico-sciences de cinquième secondaire, celui qui reprend les quatre techniques de base là où elles s'arrêtent : compléter le carré, passer de la forme générale à la forme canonique, factoriser un trinôme par la formule quadratique même quand ses zéros sont irrationnels, et lire dans le discriminant ce qui est factorisable et ce qui ne l'est pas. Deux problèmes d'atelier ferment la série, la gouttière pliée et le portique de levage. Fiche
  5. 5 Les équations et les inéquations rationnelles et à valeur absolue Les deux familles d'équations que le programme de Technico-sciences de cinquième secondaire ajoute à celles de l'an dernier : la rationnelle, avec ses valeurs interdites et ses solutions étrangères, et la valeur absolue, avec ses deux cas et sa condition cachée quand le second membre dépend de l'inconnue. Le tableau de signes d'un quotient, la traduction d'un cahier des charges en tolérance, puis deux problèmes d'atelier : deux résistances en parallèle et le rendement d'une pompe. Fiche
  6. 6 Les systèmes semi-linéaires et les régions du plan Le chapitre de systèmes du programme de Technico-sciences de cinquième secondaire, celui qui commence là où les trois méthodes de l'an dernier s'arrêtent : une équation du second degré dans le système, donc la substitution obligatoire, le discriminant qui compte les points communs et reconnaît la tangence, la droite qui coupe un cercle ou une hyperbole, la somme et le produit, et les régions du plan bornées par une droite ou par une parabole. Deux problèmes ferment la série, le drone et la fusée à eau, puis le hublot et ses traverses. Fiche
  7. 7 Programmation linéaire et optimisation Le chapitre d'optimisation du programme de Technico-sciences de cinquième secondaire, mené jusqu'à la décision : traduire un énoncé d'atelier en contraintes, construire le polygone et calculer ses sommets par résolution de systèmes, dresser la table de la fonction économique, décrire les solutions AVANTAGEUSES qui atteignent un seuil sans être optimales, et reconnaître le cas où la fonction économique est parallèle à un côté, où tout le côté est optimal. Avec une minimisation sur région non bornée et une étude de rentabilité. Fiche

Fonctions

  1. 8 Les paramètres des fonctions Le chapitre qui fait entrer h et k dans toutes les familles du programme de Technico-sciences, là où l'an dernier chaque fonction avait son sommet à l'origine : lire les quatre paramètres sous la forme canonique, savoir ce que chacun déplace et ce qu'il ne touche pas, distinguer la réflexion due au signe de a de celle due au signe de b, nommer le point de repère famille par famille, et déduire domaine, image et asymptotes sans tracer. Deux problèmes ferment la série, le bassin de rétention et la course d'un poussoir d'arbre à cames. Fiche
  2. 9 Les opérations sur les fonctions Le chapitre qui combine deux fonctions pour en fabriquer une troisième, dans le programme de Technico-sciences de cinquième secondaire : somme, différence, produit et quotient avec le domaine qui rétrécit, composition lue comme deux appareils montés en série, domaine d'une composée et ses deux conditions, décomposition d'une fonction en machine intérieure et machine extérieure, et opérations menées sur un relevé plutôt que sur une règle. Deux problèmes d'atelier ferment la série, la chaîne de mesure d'un capteur et le taux de conformité d'une ligne de production. Fiche
  3. 10 La fonction réciproque Le chapitre où convergent les sept réciproques du programme de Technico-sciences de cinquième secondaire : l'échange des coordonnées et la symétrie par rapport à la droite d'équation y égale x, la méthode pour isoler la variable, le test de la droite horizontale et la restriction du domaine, la vérification par composition, l'échange du domaine et de l'image, et ce que deviennent les paramètres h et k d'une fonction translatée. Deux problèmes d'atelier ferment la série, le débitmètre et le barème de réglage d'une presse. Fiche
  4. 11 Les fonctions quadratiques La parabole complète du programme de Technico-sciences de cinquième secondaire, là où l'an dernier son sommet était à l'origine : les trois formes de l'équation et ce que chacune donne, les propriétés lues sur le sommet, la recherche de la règle selon les données fournies, les équations et inéquations résolues sans discriminant, la réciproque et sa restriction, et la comparaison de deux paraboles. Deux problèmes d'atelier ferment la série, le jet d'une buse de lavage et la flèche d'une poutre. Fiche
  5. 12 La fonction racine carrée La demi-courbe complète du programme de Technico-sciences de cinquième secondaire, là où l'an dernier son point de départ était à l'origine : les quatre orientations selon les signes de a et de b, la mise du radicande sous forme canonique, la recherche de la règle avec un seul point, les équations et inéquations qui se coupent avec le domaine, la réciproque qui redonne une demi-parabole, et la comparaison avec une droite. Deux problèmes d'atelier ferment la série, le diamètre d'un câble de levage et le gabarit circulaire découpé dans une tôle. Fiche
  6. 13 La fonction rationnelle, dite homographique La seule famille du programme de Technico-sciences dont le point de repère n'est pas sur la courbe : les deux asymptotes et ce qu'elles interdisent, le passage de la forme générale à la forme canonique par division, le zéro unique, les inéquations par tableau de signes, la recherche de la règle à partir des asymptotes, la réciproque qui les échange, et le cas dégénéré où le quotient se réduit à une constante trouée. Deux problèmes d'atelier ferment la série, la formule des lentilles minces et le temps de production partagé entre machines. Fiche
  7. 14 Les fonctions exponentielles L'exponentielle à asymptote déplacée du programme de Technico-sciences de cinquième secondaire, là où l'an dernier l'asymptote était toujours l'axe des abscisses : le zéro qui apparaît quand a et k sont de signes contraires, l'absorption du paramètre h dans a, la recherche de la règle à partir de l'asymptote et de deux points, les équations où l'on isole la puissance avant tout, la réciproque logarithmique, et le taux qui porte sur l'écart à l'asymptote. Deux problèmes d'atelier ferment la série, la charge d'un condensateur et un réservoir d'air comprimé qui fuit. Fiche
  8. 15 Les fonctions logarithmiques Le logarithme à asymptote déplacée du programme de Technico-sciences de cinquième secondaire, là où l'an dernier l'asymptote était toujours l'axe des ordonnées : le domaine qui se décale et se retourne, l'ordonnée à l'origine qui peut ne pas exister, le paramètre b qui devient une translation verticale sans jamais déplacer l'asymptote, la recherche de la règle par deux points bien choisis, les racines étrangères d'une équation regroupée, et la réciproque exponentielle. Deux problèmes d'atelier ferment la série, la durée de vie d'un outil de coupe et la durée d'un traitement thermique. Fiche
  9. 16 La fonction partie entière L'escalier décalé du programme de Technico-sciences de cinquième secondaire, là où l'an dernier il était centré sur l'origine : la longueur et la hauteur d'une marche lues sur deux paramètres, le point plein qui change de côté avec le signe de b, l'image faite de valeurs isolées, l'équation dont la solution est une marche entière, et le choix entre unité révolue et unité entamée. Deux problèmes d'atelier ferment la série, la location d'une nacelle par tranches de quatre heures et le classement de pièces par classe de tolérance. Fiche

Trigonométrie

  1. 17 La loi des sinus et la loi des cosinus Les deux lois qui résolvent n'importe quel triangle, au programme de Technico-sciences de cinquième secondaire : la loi des sinus et sa paire complète, la loi des cosinus vue comme un théorème de Pythagore corrigé, le choix de l'outil selon les quatre configurations, le cas ambigu et sa discussion, la résolution complète des six éléments, et les quatre contrôles de cohérence. Deux problèmes d'atelier ferment la série, le bras d'une pelleteuse et le gousset d'une charpente métallique. Fiche
  2. 18 Le cercle trigonométrique La porte d'entrée de toute la trigonométrie de cinquième secondaire en Technico-sciences, chapitre entièrement nouveau cette année : le radian comme rapport de longueurs, le point image et les angles coterminaux, les valeurs remarquables construites à partir de l'angle de référence et du quadrant, la longueur d'arc et l'aire d'un secteur, la recherche de tous les angles d'un rapport donné, et la parité du sinus et du cosinus. Deux problèmes d'atelier ferment la série, le plateau diviseur d'une fraiseuse et la courroie sur deux poulies. Fiche
  3. 19 Les fonctions sinus et cosinus La famille périodique du programme de Technico-sciences : les deux sinusoïdes de base, les quatre paramètres et ce que chacun fait vraiment, le tracé par les cinq points clés, la recherche de la règle à partir d'un graphique, les équations et les inéquations trigonométriques, et le passage d'une écriture en sinus à une écriture en cosinus de la même courbe. Deux problèmes techniques ferment la série, le piston d'un compresseur et la tension d'une prise de courant alternatif. Fiche
  4. 20 La fonction tangente La seule fonction du programme qui ne soit ni continue ni bornée : la tangente comme quotient, ses asymptotes verticales, sa période de pi et non de deux pi, ses quatre paramètres dont le premier n'est pas une amplitude, le tracé d'une branche par trois points, les équations et les inéquations qui se résolvent branche par branche, et la comparaison terme à terme avec une sinusoïde. Deux problèmes techniques ferment la série, la benne basculante d'un camion et le champ de vision d'une caméra. Fiche
  5. 21 Les identités trigonométriques Le chapitre de manipulation algébrique de la trigonométrie : les deux identités de base, la recherche d'un rapport à partir d'un autre avec le quadrant qui tranche, la simplification d'expressions, les formules d'addition, d'angle double et d'angle moitié, la démonstration d'une identité et la résolution d'équations par factorisation. Deux problèmes techniques ferment la série, les composantes d'un effort sur un hauban et la superposition de deux haut-parleurs déphasés. Fiche

Géométrie

  1. 22 Figures et solides équivalents Le chapitre où le mot équivalent a trois sens qu'il faut distinguer dès la première ligne : même aire pour deux figures planes, même volume pour deux solides, même aire totale pour des solides dits de même aire. Avec la mesure manquante retrouvée par une équation du second degré ou par une racine cubique, le piège de l'apothème contre la hauteur, et la différence entre équivalent et semblable. Deux problèmes industriels ferment la série, le conduit de ventilation à section équivalente et l'échangeur de chaleur divisé en tubes. Fiche
  2. 23 Les coniques Les quatre lieux géométriques du programme et ce qui les distingue vraiment : le cercle avec ses deux cas dégénérés, l'ellipse et son excentricité, l'hyperbole avec ses asymptotes et sa conjuguée, la parabole retrouvée depuis la définition par foyer et directrice, la reconnaissance d'une équation, les coniques translatées et l'intersection avec une droite tranchée par le discriminant. Deux problèmes industriels ferment la série, le joint elliptique d'un tuyau coupé en biais et la tour de refroidissement hyperbolique. En ouverture, un exercice de calculs : douze coniques à lire sur leur équation, du rayon d'un cercle à la distance focale d'une ellipse sous forme générale. Fiche
  3. 24 Les vecteurs Le chapitre d'algèbre linéaire du programme : composantes, norme et orientation, opérations et colinéarité, produit scalaire et angle, projection orthogonale lue comme la part utile d'une force, décomposition sur deux directions imposées, et les trois règles d'algèbre qui ne survivent pas au passage aux vecteurs. Deux problèmes techniques ferment la série, le palet sur une table à coussin d'air et le serrage d'un boulon à la clé dynamométrique. Fiche
  4. 25 Les relations métriques dans le cercle Mesurer un angle au centre et un angle inscrit sur les arcs qu'ils interceptent, appliquer la demi-somme au sommet intérieur et la demi-différence au sommet extérieur, traiter la tangente et l'angle tangente-corde, calculer avec le produit des segments de deux cordes puis avec la relation sécante-sécante et tangente-sécante, relier une corde à sa distance au centre et à sa flèche, puis une partie niveau examen : le rayon d'une arche de pont, la portée d'un projecteur et la part du pourtour éclairée. Fiche
  5. 26 Les transformations géométriques Appliquer les règles de la translation, de la réflexion, de la rotation et de l'homothétie dans le plan cartésien, retrouver une transformation à partir de l'image, tourner autour d'un centre quelconque, distinguer le rapport des longueurs du rapport des aires, composer deux transformations et voir que l'ordre compte, classer isométries et similitudes, puis une partie niveau examen : un logo en spirale, deux plans à des échelles différentes et le programme d'un bras robotisé. Fiche
  6. 27 Les matrices et les transformations Lire la dimension d'une matrice et ses éléments, additionner, soustraire et multiplier par un nombre, maîtriser le produit ligne contre colonne et sa condition de dimension, appliquer les matrices de réflexion, de rotation et d'homothétie à un point puis à une figure entière, composer en multipliant, comprendre pourquoi une translation n'est pas une matrice deux sur deux, puis une partie niveau examen : coûts de production de deux usines, logo transformé avec le rapport des aires, et inventaire trimestriel de deux succursales. Fiche

Quand les chapitres sont faits

Une épreuve complète, en conditions d'examen. À faire une fois derrière vous les chapitres qu'elle couvre : elle mesure ce que vous savez faire sur une question jamais vue.

Examen blanc

Situations-problèmes C1

Dix vraies situations-problèmes de compétence 1 en Technico-sciences : une seule consigne, des documents à trier, aucun modèle donné. Bride à remplacer, alarme de vibration, robot d'entrepôt, miroir sous un toit en pente, mât d'éolienne, thermistance, jet d'eau, robot de peinture, flacon et panneaux solaires, chacune corrigée avec sa grille Cr1 à Cr3.

  • 10 exercices
  • 100 points
  • 600 minutes
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Examen blanc

Épreuve de fin d'année TS 5

Une épreuve complète de 3 heures au format de l'épreuve ministérielle de 4e secondaire, adapté au programme de TS 5 : 6 QCM, 4 réponses courtes et 6 situations d'application de catégories I et II, corrigées à la grille A à E. Fonctions, trigonométrie, coniques, vecteurs, matrices et programmation linéaire, dans des contextes techniques : impression 3D, grue de chantier, photo pivotée, béton, Wi-Fi et élingues.

  • 10 exercices
  • 100 points
  • 180 minutes
Passer l'épreuve

Ce qu'il faut tenir avant

Le programme de Secondaire 5 TS s'appuie sur 15 chapitres venus d'avant. Ce ne sont pas des révisions de confort : chacun est le point d'appui d'un chapitre listé ci-dessus, et un élève qui décroche en cours d'année décroche presque toujours sur l'un d'eux. Tous ont leur fiche de révision, à lire d'une traite avant la rentrée.

Secondaire 3

Secondaire 4

Secondaire 4 TS

À lire sur ce niveau

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