Math TS, secondaire 4 à Montréal • Fonctions

Fiche de révision : la fonction racine carrée de sommet à l'origine

Q: Comment trouver le domaine d'une fonction racine carrée ?

Regardez uniquement ce qui se trouve sous le radical et rendez-le positif ou nul. Le coefficient placé devant la racine n'intervient pas : il ne change que l'image et le sens de variation. Par exemple, la fonction moins trois fois racine de x a pour domaine les réels positifs, malgré le signe moins.

Q: Pourquoi la courbe n'a-t-elle qu'une seule branche ?

Parce que la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans les réels. Le domaine est donc une demi-droite, et il n'y a rien de l'autre côté du sommet. C'est la grande différence avec la parabole : il faut quatre courbes de ce type, une par combinaison de signes, pour reconstituer une parabole complète, et celle-ci est couchée.

Q: Combien de solutions a une équation avec racine carrée ?

Une au plus, dans ce chapitre. La racine carrée est une fonction, donc elle ne rend qu'un seul nombre, et ce nombre est positif. Si le membre isolé face au radical est négatif, il n'y a aucune solution, et l'on conclut sans élever au carré. Le double signe appartient aux équations du type x au carré égale k.

Q: Comment trouver le coefficient à partir d'un point ?

Divisez l'ordonnée par la racine de l'abscisse, et non par l'abscisse elle-même. Par exemple, pour un point d'abscisse neuf et d'ordonnée douze, le coefficient vaut douze divisé par trois, soit quatre. Choisissez d'abord le signe du paramètre sous le radical selon le côté où part la branche.

Q: Quel est le lien entre la racine carrée et la fonction quadratique ?

Ce sont deux fonctions réciproques l'une de l'autre, à condition de restreindre la quadratique aux abscisses positives. En échangeant les rôles des deux variables dans l'une, on obtient l'autre, et leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite d'équation y égale x. Le domaine de l'une est l'image de l'autre.

Cette fiche de révision accompagne la deuxième famille de fonctions du programme de mathématique Technico-sciences de quatrième secondaire : la fonction racine carrée dont le sommet est à l'origine, et sa réciproque, qui redonne la parabole du chapitre précédent.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Le paramètre SOUS le radical décide du domaine, celui de DEVANT décide de l'image : c'est cette séparation qui range la courbe dans l'un des quatre quarts du plan, et rien d'autre.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (8 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3
3Expressions algébriques et mise en évidenceSecondaire 3
4Fonctions : propriétés et réciproqueSecondaire 3
5Les exposants, les radicaux et la valeur absolue
6Les calculs algébriques et les expressions rationnelles
7La factorisation
8La fonction quadratique de sommet à l'origine

L'essentiel

Deux paramètres, deux rôles qui ne se mélangent pas

• La forme du chapitre est $f(x)=a\sqrt{bx}$ . Le sommet est $(0\,;0)$ et la courbe n'a qu'UNE branche, qui commence au sommet.
• Le paramètre SOUS le radical décide du DOMAINE, et lui seul : $b>0$ donne $[0\,;+\infty[$ et une branche vers la droite, $b<0$ donne $]-\infty\,;0]$ et une branche vers la gauche.
• Le paramètre DE DEVANT décide de l'IMAGE, et lui seul : $a>0$ donne $[0\,;+\infty[$ et une fonction croissante, $a<0$ donne $]-\infty\,;0]$ et une fonction décroissante.
• Quatre combinaisons de signes, quatre quarts de plan, comme le montre la figure. La courbe reste toujours dans UN seul quart.
• $\sqrt{bx}=\sqrt{b}\,\sqrt{x}$ pour $b>0$ : la valeur absolue de $b$ se range toujours dans $a$ . Seul le SIGNE de $b$ compte.

Le signe de

b

se lit sur le CÔTÉ où part la branche, celui de

a

sur le HAUT ou le BAS : les quatre réunies forment une parabole couchée, qui n'est pas une fonction.

Ce qui distingue cette courbe de la parabole

• UNE SEULE BRANCHE, parce que la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas : rien à gauche de l'origine quand $b>0$ , rien à droite quand $b<0$ .
• AUCUN RETOURNEMENT : la fonction est monotone sur tout son domaine. Il n'y a pas d'intervalle de croissance suivi d'un intervalle de décroissance.
• UN SEUL ZÉRO, $x=0$ , et c'est aussi le sommet. Le sommet appartient à la courbe, donc les crochets du domaine et de l'image sont FERMÉS en zéro.
• TROUVER LA RÈGLE : un seul point suffit, par $a=\dfrac{y}{\sqrt{x}}$ . On divise par la RACINE de l'abscisse, jamais par l'abscisse.
• RECONNAÎTRE UN MODÈLE dans une table : le quotient $\dfrac{y}{\sqrt{x}}$ doit être constant. Autre test : si $x$ est multiplié par $k$ , alors $y$ l'est par $\sqrt{k}$ .

Résoudre, et la réciproque qui boucle le chapitre

• ÉQUATION : on isole le radical, on compare les SIGNES des deux membres, et l'on élève au carré seulement s'ils sont de même signe. Sinon, aucune solution.
• UNE SEULE SOLUTION, jamais deux : $\sqrt{x}=4$ donne $x=16$ et rien d'autre, contrairement à $x^{2}=16$ . La racine carrée est une fonction.
• INÉQUATION : la borne de gauche vient souvent du DOMAINE et non du calcul. $2\sqrt{x}\le 6$ donne $[0\,;9]$ , et non $]-\infty\,;9]$ .
• RÉCIPROQUE : on échange $x$ et $y$ , on isole le radical, on élève au carré. De $f(x)=2\sqrt{x}$ on tire $f^{-1}(x)=\dfrac{x^{2}}{4}$ , restreinte à $[0\,;+\infty[$ . Domaine et image s'échangent, et les deux courbes sont symétriques par rapport à $y=x$ .

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Chercher le domaine

toute la question, et une courbe tracée du mauvais côté

Ce qu'il ne faut pas écrire

$f(x)=-3\sqrt{x}$ a pour domaine $]-\infty\,;0]$ , puisque le coefficient est négatif

Ce qu'il faut écrire

Le domaine est $[0\,;+\infty[$ : le coefficient de devant n'agit que sur l'IMAGE

Pourquoi : Le domaine ne dépend que de ce qui est SOUS le radical. Ici le radicande est $x$ , donc il faut $x\ge 0$ . Le facteur $-3$ retourne la courbe vers le bas sans la déplacer vers la gauche : l'image devient $]-\infty\,;0]$ , et c'est tout. La règle tient en une phrase : sous le radical pour le domaine, devant le radical pour l'image.

2. Donner le domaine d'une racine à radicande négatif

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$g(x)=\sqrt{-x}$ n'existe pas, puisqu'on ne prend pas la racine d'un négatif

Ce qu'il faut écrire

Son domaine est $]-\infty\,;0]$ : par exemple $g(-9)=\sqrt{9}=3$

Pourquoi : Ce qui doit être positif, c'est le RADICANDE, c'est-à-dire $-x$ , et cela se produit précisément quand $x$ est négatif. L'affirmation confond le signe de la variable et le signe de l'expression sous la racine. Contrôle en cinq secondes : on essaie $x=-4$ , et $\sqrt{4}=2$ existe bel et bien.

3. Compter les branches

1 à 2 points, et une image fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

La courbe de $a\sqrt{x}$ a deux branches, comme la parabole

Ce qu'il faut écrire

Elle n'en a qu'UNE : c'est une demi-branche de parabole couchée

Les deux courbes ont le MÊME domaine,

[0\,;+\infty[

, et des images opposées : le coefficient de devant ne déplace jamais le départ de la branche.

Pourquoi : La parabole se déploie des deux côtés de son axe parce que $x$ peut y être négatif. Ici, le domaine est une demi-droite : il n'y a rien de l'autre côté du sommet. Il faut QUATRE courbes de ce chapitre, une par combinaison de signes, pour reconstituer une parabole entière, et cette parabole couchée n'est pas une fonction.

4. Sortir un facteur de sous le radical

1 à 2 points, et un paramètre faux dans toute la suite

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\sqrt{9x}=9\sqrt{x}$

Ce qu'il faut écrire

$\sqrt{9x}=\sqrt{9}\,\sqrt{x}=3\sqrt{x}$

Pourquoi : La racine se distribue sur un produit, mais elle s'applique AUSSI au facteur numérique : on en prend la racine, on ne le recopie pas. Contre-exemple avec $x=1$ : la gauche vaut $3$ , la droite vaut $9$ . C'est cette identité qui permet de ramener toujours le paramètre sous le radical à $+1$ ou $-1$ .

5. Trouver le paramètre à partir d'un point

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

La courbe passe par $(9\,;12)$ , donc $a=\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}$

Ce qu'il faut écrire

$a=\dfrac{12}{\sqrt{9}}=\dfrac{12}{3}=4$

Pourquoi : On divise par la RACINE de l'abscisse, parce que c'est $\sqrt{x}$ , et non $x$ , qui multiplie $a$ . Le contrôle est immédiat : avec $a=\dfrac{4}{3}$ , la courbe passerait par $(9\,;4)$ et non par $(9\,;12)$ . C'est l'erreur symétrique de celle du chapitre précédent, où l'on divisait par le carré.

6. Résoudre une inéquation avec radical

1 point, et la moitié de l'ensemble donné est impossible

Ce qu'il ne faut pas écrire

$2\sqrt{x}\le 6$ donne $x\le 9$ , soit $]-\infty\,;9]$

Ce qu'il faut écrire

L'ensemble-solution est $[0\,;9]$ : la borne de gauche vient du DOMAINE

Pourquoi : Le domaine n'est pas une condition qu'on ajoute à la fin : il se CROISE avec le résultat du calcul. Tous les nombres négatifs de l'ensemble faux rendent le radical impossible, donc ils ne peuvent pas être solutions. Contrôle : $x=-4$ ne vérifie rien, puisque $2\sqrt{-4}$ n'existe pas.

7. Compter les solutions d'une équation avec radical

1 point, et une solution impossible livrée au correcteur

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\sqrt{x}=4$ donne $x=16$ et $x=-16$

Ce qu'il faut écrire

Une seule solution, $x=16$

Pourquoi : La confusion vient de $x^{2}=16$ , qui a bien deux solutions opposées. Mais ici c'est la RACINE qui est donnée, et la racine carrée est une fonction : elle ne rend qu'un seul nombre, positif. La valeur $-16$ n'est même pas dans le domaine. Le double signe appartient au chapitre de la quadratique, pas à celui-ci.

Quelle méthode choisir

Que lire, selon ce que l'énoncé demande

Une fonction $f(x)=a\sqrt{bx}$ , donnée par sa règle, par un point ou par une table

Si On cherche le DOMAINE → Regarder uniquement SOUS le radical et résoudre radicande positif ou nul

Exemple : $h(x)=-3\sqrt{-2x}$ : il faut $-2x\ge 0$ , donc $]-\infty\,;0]$
Si On cherche l'IMAGE ou le sens de variation → Regarder uniquement le signe du coefficient DE DEVANT

Exemple : $a<0$ donne une image négative et une fonction décroissante
Si On donne un POINT et l'on cherche la règle → $a=\dfrac{y}{\sqrt{x}}$ , en choisissant d'abord le signe de $b$ selon le côté

Exemple : Branche à gauche par $(-4\,;6)$ : $f(x)=3\sqrt{-x}$
Si On donne une TABLE → Tester si $\dfrac{y}{\sqrt{x}}$ est constant, ou si $x$ fois $k$ donne $y$ fois $\sqrt{k}$

Exemple : $5$ , $10$ , $15$ , $20$ pour $x=1$ , $4$ , $9$ , $16$ : quotient constant $5$
Si On résout une ÉQUATION ou une INÉQUATION → Isoler le radical, comparer les signes, élever au carré, croiser avec le domaine

Exemple : $4\sqrt{x}=-8$ : le second membre est négatif, donc aucune solution
Si On demande la RÉCIPROQUE → Échanger, isoler, élever au carré, et restreindre selon l'image de $f$

Exemple : $f(x)=2\sqrt{x}$ donne $f^{-1}(x)=\dfrac{x^{2}}{4}$ sur $[0\,;+\infty[$

La forme canonique à sommet quelconque, $a\sqrt{b(x-h)}+k$ , n'est pas au programme de la TS 4 : elle arrive en TS 5. Ici le sommet est toujours l'origine.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger la résolution d'une équation avec radical

Quand l'utiliser : Dès que l'inconnue est sous une racine carrée

1 Écrire le DOMAINE, obtenu en rendant le radicande positif ou nul.
2 Isoler le radical d'un côté du signe égal.
3 Comparer les SIGNES des deux membres. S'ils diffèrent, conclure immédiatement : aucune solution.
4 Élever au carré et résoudre l'équation obtenue.
5 Vérifier dans l'équation de départ, puis conclure en nommant le nombre de solutions.

Phrase de conclusion

« Domaine : $x\ge 0$ . On isole : $\sqrt{x}=\dfrac{-8}{4}=-2$ . Un radical n'est jamais négatif, donc l'équation n'a aucune solution. »

Le piège : Élever au carré avant d'avoir comparé les signes : on trouve alors $x=4$ , une valeur qui ne vérifie rien, et la copie livre une racine étrangère.

Barème : 1 point pour le domaine, 1 point pour l'isolement, 1 point pour la comparaison des signes ou l'élévation, 1 point pour la vérification et la conclusion.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Tester une valeur du domaine

Substituer un nombre simple dans la règle trouvée et comparer au point donné ou à la table.

Avec $a=\dfrac{4}{3}$ au lieu de $4$ , le point $(9\,;12)$ donnerait $4$ : l'erreur saute aux yeux.
Vérifier le côté de la branche

Regarder le signe de l'abscisse du point donné : positive, la branche part à droite ; négative, à gauche.

Un point $(-4\,;6)$ impose $f(x)=a\sqrt{-x}$ , et $\sqrt{-(-4)}=\sqrt{4}=2$ existe bien.
Contrôler le signe des deux membres avant d'élever au carré

Un radical isolé est positif ou nul : si l'autre membre est négatif, il n'y a aucune solution, et le calcul s'arrête.

$4\sqrt{x}=-8$ donne $\sqrt{x}=-2$ : on conclut sans élever au carré.
Faire l'aller-retour de la réciproque

Appliquer $f$ puis la réciproque à un nombre du domaine : on doit retomber dessus.

$f(9)=6$ pour $f(x)=2\sqrt{x}$ , et $\dfrac{36}{4}=9$ : la réciproque est juste.

L'exercice type décortiqué

La vitesse d'écoulement par un orifice

Un liquide s'échappe par un orifice percé dans la paroi d'un réservoir ouvert. Sa vitesse de sortie vaut $v=\sqrt{19{,}6\,h}$ , où $h$ est la hauteur de liquide au-dessus de l'orifice, en mètres, et $v$ la vitesse en mètres par seconde. Calculez la vitesse pour $h=2$ m, puis trouvez la hauteur qui donne $10$ mètres par seconde.

La hauteur

h

se compte de l'ORIFICE à la surface libre, et non du fond du réservoir : c'est elle, et elle seule, qui entre sous le radical.

Étape 1

Domaine : $19{,}6h\ge 0$ , donc $h\ge 0$ . Physiquement c'est acquis, une hauteur étant positive.

Pourquoi

Le domaine s'écrit même quand il paraît évident : c'est lui qui justifiera, à la fin, de ne garder qu'une seule solution. Le dire coûte une ligne et rapporte un point.

Étape 2

Pour $h=2$ : $v=\sqrt{19{,}6\times 2}=\sqrt{39{,}2}\approx 6{,}26$ mètre par seconde.

Pourquoi

On multiplie SOUS le radical avant de prendre la racine. Prendre $\sqrt{19{,}6}\approx 4{,}43$ puis multiplier par $2$ donnerait $8{,}85$ , ce qui est faux : la racine ne se distribue pas sur un facteur qu'on sort à moitié.

Étape 3

Pour l'autre question, on isole : $\sqrt{19{,}6h}=10$ . Les deux membres sont positifs, donc on peut élever au carré.

Pourquoi

La comparaison des signes est l'étape que les copies sautent. Ici elle est favorable, mais c'est elle qui autorise la suite : si le second membre avait été négatif, il n'y aurait eu aucune solution.

Étape 4

$19{,}6h=100$ , donc $h=\dfrac{100}{19{,}6}\approx 5{,}10$ m.

Pourquoi

On élève les deux membres ENTIERS au carré, pas seulement une partie. Le radicande $19{,}6h$ devient $100$ d'un seul coup, et il reste une équation du premier degré.

Étape 5

Vérification : $\sqrt{19{,}6\times 5{,}102}=\sqrt{100}=10$ . Contrôle de vraisemblance : $10$ est entre $6{,}26$ et $12{,}52$ , la vitesse à $8$ m, donc $h$ doit être entre $2$ et $8$ m.

Pourquoi

Deux contrôles indépendants : la substitution vérifie le calcul, l'encadrement vérifie l'ordre de grandeur. Le second attrape les erreurs de division que le premier laisserait passer si on le fait de tête.

Conclusion rédigée

La vitesse vaut environ $6{,}26$ mètre par seconde pour $h=2$ m, et il faut environ $5{,}10$ m de hauteur pour atteindre $10$ mètres par seconde.

L'erreur classique sur cet exercice : Sortir le $19{,}6$ du radical en le laissant tel quel, ce qui donne $4{,}43\times 2=8{,}85$ au lieu de $6{,}26$ . Une racine ne se distribue que sur un PRODUIT entier, et il faut alors prendre la racine de chaque facteur.

À savoir par cœur

• $f(x)=a\sqrt{bx}$ : sommet $(0\,;0)$ , une seule branche.
• Sous le radical, le DOMAINE. Devant le radical, l'IMAGE.
• $b>0$ : branche à droite. $b<0$ : branche à gauche.
• $a>0$ : croissante, image positive. $a<0$ : décroissante, image négative.
• Monotone sur tout le domaine : pas de retournement.
• $\sqrt{bx}=\sqrt{b}\,\sqrt{x}$ : seul le signe de $b$ compte.
• $a=\dfrac{y}{\sqrt{x}}$ : on divise par la RACINE de l'abscisse.
• $\sqrt{x}=k$ n'a qu'UNE solution, contrairement à $x^{2}=k$ .
• Inéquation : croiser avec le domaine, la borne de gauche en vient souvent.
• Réciproque : la quadratique restreinte, symétrique par rapport à $y=x$ .

Questions fréquentes

Comment trouver le domaine d'une fonction racine carrée ?

Regardez uniquement ce qui se trouve sous le radical et rendez-le positif ou nul. Le coefficient placé devant la racine n'intervient pas : il ne change que l'image et le sens de variation. Par exemple, la fonction moins trois fois racine de x a pour domaine les réels positifs, malgré le signe moins.

Pourquoi la courbe n'a-t-elle qu'une seule branche ?

Parce que la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans les réels. Le domaine est donc une demi-droite, et il n'y a rien de l'autre côté du sommet. C'est la grande différence avec la parabole : il faut quatre courbes de ce type, une par combinaison de signes, pour reconstituer une parabole complète, et celle-ci est couchée.

Combien de solutions a une équation avec racine carrée ?

Une au plus, dans ce chapitre. La racine carrée est une fonction, donc elle ne rend qu'un seul nombre, et ce nombre est positif. Si le membre isolé face au radical est négatif, il n'y a aucune solution, et l'on conclut sans élever au carré. Le double signe appartient aux équations du type x au carré égale k.

Comment trouver le coefficient à partir d'un point ?

Divisez l'ordonnée par la racine de l'abscisse, et non par l'abscisse elle-même. Par exemple, pour un point d'abscisse neuf et d'ordonnée douze, le coefficient vaut douze divisé par trois, soit quatre. Choisissez d'abord le signe du paramètre sous le radical selon le côté où part la branche.

Quel est le lien entre la racine carrée et la fonction quadratique ?

Ce sont deux fonctions réciproques l'une de l'autre, à condition de restreindre la quadratique aux abscisses positives. En échangeant les rôles des deux variables dans l'une, on obtient l'autre, et leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite d'équation y égale x. Le domaine de l'une est l'image de l'autre.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La fonction racine carrée de sommet à l'origine

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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Les paramètres des fonctionsSecondaire 5 TS La fonction racine carréeSecondaire 5 TS

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