Exercices corrigés : la fonction racine carrée de sommet à l'origine (math TS, secondaire 4)

a) On calcule la racine AVANT de multiplier : $f(0)=0$, $f(1)=3$, $f(4)=3\times 2=6$, $f(9)=3\times 3=9$ et $f(16)=3\times 4=12$. Les abscisses choisies sont des carrés parfaits, et ce n'est pas un hasard : ce sont les seules qui donnent des images entières. Remarquez la progression des images, $3$, $6$, $9$, $12$ : elles augmentent d'un pas CONSTANT alors que les abscisses, elles, s'écartent de plus en plus.

b) Le domaine est $[0\,;+\infty[$ : ce qui est sous une racine carrée doit être positif ou nul, donc $x\ge 0$. L'image est $[0\,;+\infty[$ aussi, puisque $\sqrt{x}\ge 0$ et que le facteur $3$ est positif. Les deux crochets sont FERMÉS en zéro, la valeur $0$ étant atteinte en $x=0$ : le sommet appartient à la courbe.

c) Les images changent de signe : $g(0)=0$, $g(1)=-2$, $g(4)=-4$, $g(9)=-6$ et $g(16)=-8$. Le domaine est le MÊME, $[0\,;+\infty[$, parce qu'il ne dépend que de ce qui est sous le radical. L'image, elle, devient $]-\infty\,;0]$. C'est la différence à retenir : le facteur $a$ agit sur l'image, jamais sur le domaine.

d) $f$ est CROISSANTE sur tout son domaine, $g$ est DÉCROISSANTE. C'est le SIGNE de $a$ qui décide, exactement comme le sens d'ouverture d'une parabole. Une différence importante avec la quadratique : il n'y a pas de retournement, donc pas d'intervalle de croissance suivi d'un intervalle de décroissance. Une fonction racine carrée est monotone sur tout son domaine.

e) Parce que la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans les réels. Pour $x=-4$, il faudrait un nombre dont le carré vaut $-4$, ce qu'aucun réel ne fait. La courbe n'a donc rien à gauche de l'origine, et c'est une différence majeure avec la parabole, qui s'étend des deux côtés. La raison est la même que celle du chapitre d'arithmétique : indice pair, base positive.

a) Il faut $4x\ge 0$, donc $x\ge 0$ : le domaine est $[0\,;+\infty[$. Pour simplifier, on sort le carré parfait : $\sqrt{4x}=\sqrt{4}\times\sqrt{x}=2\sqrt{x}$. Le paramètre $b=4$ s'est transformé en un facteur $a=2$, et le domaine n'a pas bougé. C'est la question e) en germe.

b) Il faut $-x\ge 0$, donc $x\le 0$ : le domaine est $]-\infty\,;0]$. La branche part vers la GAUCHE. On calcule : $g(0)=0$, $g(-1)=\sqrt{1}=1$, $g(-4)=\sqrt{4}=2$ et $g(-9)=\sqrt{9}=3$. Les abscisses sont négatives mais les images sont positives : c'est le signe moins SOUS le radical qui rend le radicande positif, et il ne sort jamais devant.

c) Il faut $-2x\ge 0$, donc $x\le 0$ : le domaine est $]-\infty\,;0]$. Le facteur $-3$ étant négatif, l'image est $]-\infty\,;0]$ également. On calcule : $h(-2)=-3\sqrt{4}=-6$ et $h(-8)=-3\sqrt{16}=-12$. La branche part donc vers la gauche ET vers le bas : c'est le troisième quart du plan.

d) Quatre cas, et la règle est mécanique. $a>0$ et $b>0$ : branche vers la droite et vers le haut, donc premier quart. $a<0$ et $b>0$ : vers la droite et vers le bas, quatrième quart. $a>0$ et $b<0$ : vers la gauche et vers le haut, deuxième quart. $a<0$ et $b<0$ : vers la gauche et vers le bas, troisième quart. Le sommet, lui, est toujours l'origine, et la courbe reste dans un SEUL quart.

e) Oui, elles sont égales sur leur domaine commun $[0\,;+\infty[$, puisque $\sqrt{9x}=3\sqrt{x}$. On en conclut que le paramètre $b$ n'apporte, en valeur absolue, rien de plus que le paramètre $a$ : on peut toujours le ramener à $1$ ou à $-1$ en sortant $\sqrt{|b|}$ devant le radical. Seul son SIGNE compte vraiment, parce que lui seul décide du domaine. C'est pourquoi les exercices suivants s'écrivent avec $b=\pm 1$.

a) On remplace : $12=a\sqrt{9}=3a$, donc $a=4$ et $f(x)=4\sqrt{x}$. On calcule la RACINE avant de diviser : diviser $12$ par $9$ donnerait $a=\dfrac{4}{3}$, et la courbe passerait par $(9\,;4)$. Vérification : $4\sqrt{9}=12$.

b) $-20=a\sqrt{16}=4a$, donc $a=-5$ et $f(x)=-5\sqrt{x}$. L'abscisse est positive, donc la branche part bien vers la droite ; c'est l'ordonnée négative, et elle seule, qui rend $a$ négatif. Vérification : $-5\times 4=-20$.

c) La branche part vers la gauche, donc la règle est de la forme $f(x)=a\sqrt{-x}$. On remplace : $6=a\sqrt{-(-4)}=a\sqrt{4}=2a$, donc $a=3$ et $f(x)=3\sqrt{-x}$. Le double signe moins est le point délicat : $-x$ avec $x=-4$ donne $+4$, et la racine existe bien. Écrire $\sqrt{-4}$ signalerait qu'on a oublié le signe de la formule.

d) $5=a\sqrt{2}$, donc $a=\dfrac{5}{\sqrt{2}}$. On rationalise, comme au chapitre d'arithmétique : $a=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\approx 3{,}536$. La règle est $f(x)=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\sqrt{x}$. La forme exacte est attendue en plus de la valeur approchée, et laisser un radical au dénominateur coûte un demi-point.

e) Avec $(1\,;2)$ : $2=a\sqrt{1}=a$, donc $a=2$. Avec $(4\,;4)$ : $4=a\sqrt{4}=2a$, donc $a=2$ également. Les deux points donnent la même valeur : une seule règle convient, $f(x)=2\sqrt{x}$. Contrairement à la quadratique, deux points distincts ne portent PAS forcément la même information ici, puisque la courbe n'est pas symétrique : c'est donc une vraie vérification, et non une redite.

a) On lit le quart de plan. La courbe P occupe le deuxième quart, à gauche et en haut : abscisses négatives, donc $b<0$, et ordonnées positives, donc $a>0$ : c'est $y=2\sqrt{-x}$. La courbe Q occupe le premier quart, $y=2\sqrt{x}$. La courbe R occupe le troisième, $y=-2\sqrt{-x}$. La courbe S occupe le quatrième, $y=-2\sqrt{x}$. Le signe de $b$ se lit sur le CÔTÉ, celui de $a$ sur le HAUT ou le BAS.

b) Les quatre points sont $(-9\,;6)$, $(9\,;6)$, $(-9\,;-6)$ et $(9\,;-6)$, car $2\sqrt{9}=6$ dans tous les cas, au signe près. Ils confirment les associations : le point $(-9\,;6)$ appartient à P, le point $(9\,;6)$ à Q, et ainsi de suite. Une seule substitution par courbe suffit à valider la lecture, et c'est la vérification attendue.

c) L'ORIGINE, et elle seule. Les quatre courbes y ont leur sommet, et aucune ne se prolonge au-delà : deux d'entre elles n'existent que pour $x\ge 0$, les deux autres que pour $x\le 0$. Elles ne peuvent donc se rencontrer qu'en $x=0$, où elles valent toutes $0$.

d) De P à R, on change le signe de $a$ : la courbe est renvoyée par SYMÉTRIE par rapport à l'axe des abscisses, les ordonnées devenant opposées. De P à Q, on change le signe de $b$ : la courbe est renvoyée par symétrie par rapport à l'axe des ORDONNÉES, les abscisses devenant opposées. Les deux transformations sont indépendantes, et les appliquer toutes les deux mène de P à S.

e) Quatre branches, qui forment ensemble une PARABOLE COUCHÉE d'axe horizontal, celle d'équation $x=\pm\dfrac{y^{2}}{4}$. Ce n'est pas une fonction, puisqu'un même $x$ y a deux images : c'est exactement ce qu'on retrouvera à l'exercice 5 en cherchant la réciproque. Chaque branche, prise seule, est bien une fonction, et c'est pour cela que le chapitre les étudie séparément.

a) On échange : $x=2\sqrt{y}$. On isole le radical : $\sqrt{y}=\dfrac{x}{2}$. On élève au carré : $y=\dfrac{x^{2}}{4}$. La réciproque est donc la quadratique de sommet à l'origine de paramètre $\dfrac{1}{4}$. Élever au carré est ici licite sans vérification, parce que les deux membres sont positifs : c'est justement ce que garantit la restriction de la question b).

b) Il faut $x\ge 0$. La raison se lit sur la ligne $\sqrt{y}=\dfrac{x}{2}$ : un radical est positif ou nul, donc $\dfrac{x}{2}$ doit l'être aussi. Autrement dit, la restriction n'est pas une convention, elle vient de l'IMAGE de $f$, qui est $[0\,;+\infty[$ : la réciproque ne peut recevoir que ce que $f$ a produit.

c) Pour $f$ : domaine $[0\,;+\infty[$, image $[0\,;+\infty[$. Pour la réciproque : domaine $[0\,;+\infty[$, image $[0\,;+\infty[$. Ils sont ÉCHANGÉS, ce qui est la règle générale, même si le cas est ici peu spectaculaire, les quatre ensembles étant identiques. Avec $f(x)=-2\sqrt{x}$, l'image serait $]-\infty\,;0]$ et la réciproque aurait ce même ensemble pour domaine : l'échange y serait visible.

d) On part de $x=9$ : $f(9)=2\sqrt{9}=6$. On applique la réciproque à ce résultat : $\dfrac{6^{2}}{4}=\dfrac{36}{4}=9$. On retombe sur le nombre de départ, donc la réciproque est juste. Ce test en deux calculs est la vérification attendue, et il fonctionne dans les deux sens : $\dfrac{4^{2}}{4}=4$ puis $2\sqrt{4}=4$.

e) Parce que la réciproque échange les rôles de $x$ et de $y$ : si le point $(p\,;q)$ est sur la courbe de $f$, alors le point $(q\,;p)$ est sur celle de la réciproque. Or échanger les deux coordonnées d'un point est exactement la symétrie par rapport à la droite $y=x$. La figure le montre : les points $(9\,;6)$ et $(6\,;9)$ se correspondent, et la droite $y=x$ est la médiatrice du segment qui les joint.

a) Domaine : $x\ge 0$. On isole le radical : $\sqrt{x}=4$. Les deux membres sont positifs, donc on peut élever au carré : $x=16$. Vérification : $3\sqrt{16}=3\times 4=12$. Une seule solution, et non deux : contrairement à $x^{2}=16$, l'équation $\sqrt{x}=4$ n'a qu'une réponse, parce que la racine carrée est une fonction et qu'elle ne rend qu'un seul nombre.

b) Domaine : $x\ge 0$. On isole : $\sqrt{x}=\dfrac{-10}{-2}=5$, un nombre POSITIF, donc l'équation est possible. On élève au carré : $x=25$. Vérification : $-2\sqrt{25}=-2\times 5=-10$. Les deux signes moins se sont simplifiés à la division, et c'est ce qui sauve l'équation : un seul aurait suffi à la rendre impossible.

c) Domaine : $x\ge 0$. On isole : $\sqrt{x}=\dfrac{-8}{4}=-2$. Un radical ne vaut jamais un nombre négatif, donc l'équation n'a AUCUNE solution. On s'arrête là, sans élever au carré. Une copie qui élève quand même trouve $x=4$, et cette valeur ne vérifie rien : $4\sqrt{4}=8$, et non $-8$. C'est la racine étrangère du chapitre.

d) Domaine : $3x\ge 0$, donc $x\ge 0$. Les deux membres étant positifs, on élève au carré directement, sans isoler quoi que ce soit : $3x=36$, donc $x=12$. Vérification : $\sqrt{36}=6$. L'erreur ici serait d'élever seulement le $3x$ ou seulement le $6$ : l'élévation porte sur les deux membres ENTIERS.

e) Domaine : $x\ge 0$. On isole : $\sqrt{x}\le 3$. Les deux membres sont positifs, donc on élève au carré en conservant le sens : $x\le 9$. En croisant avec le domaine, $x\in[0\,;9]$. La borne de GAUCHE vient du domaine, pas de l'inéquation, et l'oublier donne $]-\infty\,;9]$, où la moitié des nombres rendent le radical impossible. Vérification : $2\sqrt{9}=6$, et $2\sqrt{0}=0\le 6$.

a) Les racines des abscisses valent $1$, $2$, $3$ et $4$. Les quotients $\dfrac{y}{\sqrt{x}}$ valent donc $\dfrac{5}{1}=5$, $\dfrac{10}{2}=5$, $\dfrac{15}{3}=5$ et $\dfrac{20}{4}=5$. Le quotient est constant, donc le modèle convient et $y=5\sqrt{x}$. Attention à ne pas diviser par $x$ : les quotients $\dfrac{y}{x}$ valent $5$, $2{,}5$, $1{,}67$ et $1{,}25$, ce qui ferait conclure à tort qu'aucun modèle simple ne convient.

b) Quotients par la racine : $2$, $4$, $6$ et $8$. Ils ne sont pas constants, donc le modèle racine ne convient pas. En revanche $\dfrac{y}{x}$ vaut $2$ à chaque ligne : c'est un modèle LINÉAIRE, $y=2x$. Les trois modèles du programme se distinguent par le dénominateur du test : $x$ pour le linéaire, $x^{2}$ pour la quadratique, $\sqrt{x}$ pour la racine.

c) Quotients par la racine : $4$, $3{,}5$, $\dfrac{10}{3}\approx 3{,}33$ et $3{,}25$. Ils ne sont pas constants : le modèle ne convient pas. Mais en retranchant $1$ à chaque ordonnée, on obtient $3$, $6$, $9$ et $12$, c'est-à-dire exactement $3\sqrt{x}$. La table suit donc $y=3\sqrt{x}+1$ : c'est bien une fonction racine carrée, mais son sommet est en $(0\,;1)$ et non à l'origine, donc elle sort du chapitre.

d) Si $x$ est multiplié par $4$, alors $y$ est multiplié par $\sqrt{4}=2$ : $a\sqrt{4x}=2a\sqrt{x}$. Le facteur est la RACINE du facteur appliqué à $x$, et il ne dépend ni de $a$ ni de la valeur de départ. C'est exactement l'inverse de la quadratique, où multiplier $x$ par $2$ multipliait $y$ par $4$.

e) Avec $y=5\sqrt{x}$ et $x=100$ : $y=5\times 10=50$. On peut aussi raisonner par facteur : de $x=1$ à $x=100$, l'abscisse est multipliée par $100$, donc l'ordonnée par $\sqrt{100}=10$, et $5\times 10=50$. Les deux chemins donnent le même résultat, et le second se fait sans connaître $a$.

a) Faux : elle n'a qu'UNE branche. La parabole se déploie des deux côtés de son axe parce que $x$ peut être négatif ; la racine carrée, elle, n'existe que d'un seul côté. L'énoncé correct : la courbe de $a\sqrt{x}$ est une demi-branche de parabole COUCHÉE, et il en faut quatre, comme à l'exercice 4, pour reconstituer une parabole entière.

b) Faux : le domaine est $]-\infty\,;0]$. Contre-exemple : $g(-9)=\sqrt{9}=3$, parfaitement défini. L'affirmation confond le signe de $x$ et le signe du RADICANDE. Ce qui doit être positif, c'est $-x$, et cela se produit précisément quand $x$ est négatif. L'énoncé correct : $\sqrt{-x}$ existe si et seulement si $x\le 0$.

c) Faux : $\sqrt{9x}=\sqrt{9}\times\sqrt{x}=3\sqrt{x}$. Contre-exemple avec $x=1$ : la gauche vaut $3$ et la droite vaut $9$. La racine se distribue sur un produit, mais elle s'applique aussi au facteur numérique : on en prend la RACINE, on ne le recopie pas. L'énoncé correct : $\sqrt{b\,x}=\sqrt{b}\,\sqrt{x}$ pour $b>0$.

d) Faux : le dénominateur est $4$, pas $2$. En échangeant, $x=2\sqrt{y}$ donne $\sqrt{y}=\dfrac{x}{2}$, puis $y=\dfrac{x^{2}}{4}$ : c'est le carré du quotient, donc le dénominateur est lui aussi élevé au carré. Contre-exemple : $f(9)=6$, et la réciproque proposée donnerait $\dfrac{36}{2}=18$, et non $9$.

e) Faux : elle est multipliée par $\sqrt{2}\approx 1{,}41$. En effet $a\sqrt{2x}=\sqrt{2}\,a\sqrt{x}$. Contre-exemple : avec $f(x)=\sqrt{x}$, on a $f(4)=2$ et $f(8)=2{,}83$, et non $4$. L'énoncé correct : multiplier $x$ par $k$ multiplie $y$ par $\sqrt{k}$. C'est la marque de ce chapitre, exactement inverse de celle du précédent.

a) Pour $h=2$ : $v=\sqrt{19{,}6\times 2}=\sqrt{39{,}2}\approx 6{,}26$ mètre par seconde. Pour $h=8$ : $v=\sqrt{19{,}6\times 8}=\sqrt{156{,}8}\approx 12{,}52$ mètre par seconde. On multiplie SOUS le radical avant de prendre la racine : prendre $\sqrt{19{,}6}$ puis multiplier par $2$ donnerait $8{,}85$, ce qui est faux, et ce raccourci est l'erreur la plus fréquente sur ce type de formule.

b) Parce que la hauteur est SOUS le radical : $v(4h)=\sqrt{19{,}6\times 4h}=\sqrt{4}\times\sqrt{19{,}6h}=2\,v(h)$. Le facteur sur la vitesse est la RACINE du facteur sur la hauteur, et il ne dépend pas de la hauteur de départ. C'est exactement la propriété de l'exercice 7, appliquée à une situation physique.

c) On résout $\sqrt{19{,}6h}=10$. Les deux membres sont positifs, donc on élève au carré : $19{,}6h=100$, d'où $h=\dfrac{100}{19{,}6}\approx 5{,}10$ m. Vérification : $\sqrt{19{,}6\times 5{,}102}=\sqrt{100}=10$. Contrôle de vraisemblance : $10$ est entre $6{,}26$ et $12{,}52$, donc $h$ doit être entre $2$ et $8$ m, ce qui est le cas.

d) Il faut QUADRUPLER la hauteur. En effet, doubler $v$ revient à doubler $\sqrt{19{,}6h}$, donc à multiplier $19{,}6h$ par $2^{2}=4$. C'est la réciproque exacte de la question b), et c'est la raison pour laquelle un château d'eau doit être très haut pour gagner un peu de pression : les gains se paient au carré.

e) L'aire doit passer en mètres carrés : $5$ centimètres carrés valent $5\times 10^{-4}$ mètre carré, puisqu'un mètre carré vaut $10\,000$ centimètres carrés. Le débit est le produit de l'aire par la vitesse : $Q=5\times 10^{-4}\times 6{,}26\approx 3{,}13\times 10^{-3}$ mètre cube par seconde. Un mètre cube valant mille litres, cela fait environ $3{,}13$ litres par seconde. La conversion des aires est le seul piège : diviser par $100$ au lieu de $10\,000$ donne un débit cent fois trop grand.

a) On a $2R=2\times 6371=12\,742$ km. Mais $h$ est en MÈTRES, donc il vaut $\dfrac{h}{1000}$ kilomètre. Le produit devient $2Rh=12\,742\times\dfrac{h}{1000}=12{,}742\,h$, avec $h$ en mètres et le résultat en kilomètres carrés. Le coefficient $12{,}742$ contient donc à la fois le double du rayon et la conversion des unités : c'est la seule chose à vérifier avant de l'employer.

b) $d=\sqrt{12{,}742\times 2}=\sqrt{25{,}484}\approx 5{,}05$ km. Une personne debout sur une plage voit donc la mer jusqu'à environ cinq kilomètres, ce qui est beaucoup moins que ce qu'on imagine. C'est le premier résultat surprenant du problème, et il se vérifie en une ligne.

c) $d=\sqrt{12{,}742\times 50}=\sqrt{637{,}1}\approx 25{,}24$ km. La hauteur a été multipliée par $25$ et la portée seulement par $5$, la racine de $25$. C'est la propriété du chapitre, et elle explique la taille des phares : monter coûte cher et rapporte peu, mais c'est le seul levier disponible.

d) On résout $\sqrt{12{,}742h}=40$, donc $12{,}742h=1600$ et $h=\dfrac{1600}{12{,}742}\approx 125{,}57$ m. Il faut donc une tour d'environ $126$ mètres pour voir à quarante kilomètres. Vérification : $\sqrt{12{,}742\times 125{,}57}=\sqrt{1600}=40$.

e) $d=\sqrt{12{,}742\times 233}=\sqrt{2968{,}9}\approx 54{,}49$ km. Quant à la seconde question, doubler la portée exige de QUADRUPLER la hauteur, puisque $d$ dépend de la racine de $h$ : passer de $54{,}49$ km à $108{,}98$ km demanderait une tour de $932$ mètres, soit quatre fois $233$. Le rendement décroît sans cesse, et c'est ce que dit la forme même de la courbe, de plus en plus plate.