Exercices corrigés : les équations et les inéquations (math TS, secondaire 4)

a) Produit $20$, somme $-9$ : les deux nombres sont $-4$ et $-5$. Donc $(x-4)(x-5)=0$, et un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est : $x=4$ ou $x=5$. La règle du produit nul est ce qui rend la factorisation utile ; sans elle, factoriser ne servirait à rien. Vérification : $16-36+20=0$ et $25-45+20=0$.

b) Ici $a=6$, $b=1$ et $c=-12$. Le discriminant vaut $\Delta=1^{2}-4\times 6\times(-12)=1+288=289$, et $\sqrt{289}=17$, un entier : bonne nouvelle, les solutions seront rationnelles. Donc $x=\dfrac{-1\pm 17}{12}$, ce qui donne $x=\dfrac{16}{12}=\dfrac{4}{3}$ et $x=\dfrac{-18}{12}=-\dfrac{3}{2}$. Le piège du calcul est le signe de $c$ : $-4\times 6\times(-12)$ est POSITIF, et l'oublier donne $\Delta=-287$, donc « aucune solution », une réponse fausse et lourde de conséquences.

c) $\Delta=(-4)^{2}-4\times 4\times 1=16-16=0$. Une seule solution, dite double : $x=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$. On pouvait la voir sans calcul, $4x^{2}-4x+1$ étant le carré parfait $(2x-1)^{2}$, et un carré ne s'annule qu'en un point. Discriminant nul et trinôme carré parfait sont deux façons de dire la même chose.

d) $\Delta=(-2)^{2}-4\times 3\times 5=4-60=-56$, strictement négatif : aucune solution réelle. La rédaction attendue est « $\Delta<0$, donc l'équation n'a pas de solution dans les réels », et surtout pas une racine carrée de nombre négatif écrite quand même. Interprétation graphique : la parabole $y=3x^{2}-2x+5$ ne coupe jamais l'axe des abscisses.

e) L'inconnue n'apparaît que dans un carré : on prend directement la racine carrée des deux membres, SANS oublier le double signe. $3x+2=5$ ou $3x+2=-5$, donc $x=1$ ou $x=-\dfrac{7}{3}$. Développer d'abord donnerait $9x^{2}+12x-21=0$, puis un discriminant de $900$ : le même résultat en quatre fois plus de temps. Oublier le signe moins est l'erreur la plus fréquente de la question, et elle coûte la moitié des points.

a) Les racines sont $4$ et $5$, trouvées à l'exercice 1. Le coefficient de $x^{2}$ est positif, donc la parabole s'ouvre vers le haut : elle est NÉGATIVE entre les racines et POSITIVE à l'extérieur. On cherche le positif strict, donc $x\in\,]-\infty\,;4[\,\cup\,]5\,;+\infty[$. Les bornes sont ouvertes parce que l'inégalité est stricte et que les racines annulent l'expression.

b) Le coefficient dominant est négatif. Deux routes : garder la parabole ouverte vers le BAS, ou multiplier par $-1$ en RETOURNANT le sens. Prenons la seconde : $2x^{2}-8x+6\le 0$, puis en divisant par $2$, $x^{2}-4x+3\le 0$. Les racines sont $1$ et $3$, et l'on cherche le négatif, donc l'INTÉRIEUR : $x\in[1\,;3]$. Oublier de retourner le sens en multipliant par $-1$ donne l'ensemble complémentaire, donc zéro.

c) Les racines sont $-\dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{4}{3}$, calculées à l'exercice 1. Le coefficient dominant est positif et l'on cherche le négatif ou nul, donc l'intervalle entre les racines, bornes comprises : $x\in\left[-\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{4}{3}\right]$. Attention à l'ordre : la plus petite racine est la négative, et écrire l'intervalle à l'envers n'est pas une réponse.

d) $x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}$, un carré. Un carré est positif ou nul, et il ne s'annule qu'en $x=3$. L'inéquation stricte est donc vraie PARTOUT SAUF en $3$ : l'ensemble-solution est l'ensemble des réels privé de $3$. C'est le cas $\Delta=0$, et il est le seul où l'ensemble-solution n'est ni un intervalle ni une réunion de deux intervalles ouverts classiques.

e) $\Delta=1-4=-3<0$, donc la parabole ne coupe jamais l'axe. Comme le coefficient dominant est positif, elle est entièrement AU-DESSUS : $x^{2}+x+1>0$ pour tout $x$. L'inéquation demandait le contraire, donc elle n'a AUCUNE solution. On rédige en deux lignes, sans chercher de racines : le discriminant a déjà tout dit.

a) Le radical est déjà isolé et le second membre est positif : on élève au carré, $x+5=16$, donc $x=11$. Vérification : $\sqrt{11+5}=\sqrt{16}=4$, ce qui convient. Un seul candidat, une seule solution, mais la vérification s'écrit quand même : c'est elle qui distingue une copie méthodique d'une copie chanceuse.

b) On élève au carré : $2x-3=(x-3)^{2}=x^{2}-6x+9$, donc $x^{2}-8x+12=0$, dont les racines sont $2$ et $6$. Vérification, et c'est ici que tout se joue. Pour $x=2$ : à gauche $\sqrt{1}=1$, à droite $2-3=-1$. Une racine carrée n'est jamais négative, donc $x=2$ est une racine ÉTRANGÈRE, à rejeter. Pour $x=6$ : à gauche $\sqrt{9}=3$, à droite $3$, donc elle convient. Solution unique : $x=6$.

c) On isole d'abord : $\sqrt{x+7}=x+1$. On élève au carré : $x+7=x^{2}+2x+1$, donc $x^{2}+x-6=0$, dont les racines sont $2$ et $-3$. Vérification. Pour $x=2$ : $\sqrt{9}-2=3-2=1$, ce qui convient. Pour $x=-3$ : $\sqrt{4}-(-3)=2+3=5$, et non $1$ : rejetée. Isoler AVANT d'élever au carré est indispensable ; élever au carré $\sqrt{x+7}-x$ tel quel ferait réapparaître un radical.

d) Aucune solution, et cela s'écrit en une ligne sans le moindre calcul : une racine carrée est positive ou nulle, donc elle ne peut pas valoir $-2$. Une copie qui élève au carré trouve $3x+1=4$, donc $x=1$, et livre une solution qui ne vérifie rien : $\sqrt{4}=2$, et non $-2$. C'est la démonstration la plus nette de l'utilité de la vérification.

e) On élève au carré : $4x=(x-3)^{2}=x^{2}-6x+9$, donc $x^{2}-10x+9=0$, dont les racines sont $1$ et $9$. Vérification. Pour $x=1$ : à gauche $2\sqrt{1}=2$, à droite $1-3=-2$ : rejetée, toujours pour la même raison. Pour $x=9$ : à gauche $2\times 3=6$, à droite $6$ : elle convient. Solution unique : $x=9$. Dans les trois équations b), c) et e), la racine rejetée est exactement celle qui rendait le SECOND membre négatif.

a) Deux conditions. Domaine : $x-2\ge 0$, donc $x\ge 2$. Puis, les deux membres étant positifs, on élève au carré : $x-2<9$, donc $x<11$. L'ensemble-solution est l'intersection : $x\in[2\,;11[$. La borne de gauche est FERMÉE, car $x=2$ donne $\sqrt{0}=0<3$, et celle de droite est ouverte. Oublier le domaine donne $]-\infty\,;11[$, où la moitié des nombres rendent le radical impossible.

b) Domaine : $x\ge -1$. On élève au carré : $x+1\ge 4$, donc $x\ge 3$. L'intersection est $x\in[3\,;+\infty[$, le domaine n'apportant ici aucune restriction supplémentaire. Il fallait quand même l'écrire : c'est en le vérifiant qu'on s'aperçoit, dans d'autres exercices, qu'il mord.

c) Trois conditions. Domaine : $2x+3\ge 0$, donc $x\ge -1{,}5$. Second membre positif : $x\ge 0$, car un radical ne peut pas être inférieur à un nombre négatif. Enfin le carré : $2x+3\le x^{2}$, donc $x^{2}-2x-3\ge 0$, soit $(x-3)(x+1)\ge 0$, ce qui donne $x\le -1$ ou $x\ge 3$. On croise les trois : $x\ge 3$. Vérification en $x=3$ : $\sqrt{9}=3\le 3$, juste. En $x=2$ : $\sqrt{7}\approx 2{,}65>2$, donc $2$ est bien exclu.

d) Un radical est toujours positif ou nul, donc il est TOUJOURS supérieur à $-1$ dès qu'il existe. La seule condition est donc le domaine : $x-4\ge 0$, soit $x\in[4\,;+\infty[$. Élever au carré ici serait une faute de raisonnement, puisqu'on ne peut pas élever au carré une inégalité dont un membre est négatif sans en changer le sens.

e) Parce que le carré efface le SIGNE. Si $A=B$, alors $A^{2}=B^{2}$ : toute solution de l'équation de départ reste solution après élévation, donc on n'en perd jamais. Mais la réciproque est fausse : $A^{2}=B^{2}$ signifie $A=B$ OU $A=-B$, donc l'équation carrée contient aussi les solutions d'une autre équation, celle qu'on n'a pas posée. C'est exactement d'où viennent les racines étrangères de l'exercice 3, et c'est la même mécanique que la condensation des logarithmes à l'exercice 7.

a) $32=2^{5}$, donc les deux membres sont en base $2$ : $2^{3x-1}=2^{5}$ impose $3x-1=5$, d'où $x=2$. La fonction exponentielle étant strictement croissante, deux puissances de même base sont égales si et seulement si leurs exposants le sont : c'est ce qui autorise le passage, et il vaut la peine de l'écrire.

b) Ni $9$ ni $27$ n'est une puissance de l'autre, mais les deux sont des puissances de $3$ : $9=3^{2}$ et $27=3^{3}$. L'équation devient $3^{2x}=3^{3(x-1)}$, donc $2x=3x-3$ et $x=3$. Vérification : $9^{3}=729$ et $27^{2}=729$. Chercher la base COMMUNE, et non l'une des deux bases de l'énoncé, est le geste du chapitre.

c) $40$ n'est pas une puissance de $5$, puisque $5^{2}=25$ et $5^{3}=125$ : la réponse est donc entre $2$ et $3$, ce qui est déjà un contrôle. On prend le logarithme : $x\ln 5=\ln 40$, donc $x=\dfrac{\ln 40}{\ln 5}\approx 2{,}292$. Le logarithme fait DESCENDRE l'inconnue de l'exposant, et c'est là toute son utilité.

d) On remarque que $4^{x}=(2^{2})^{x}=(2^{x})^{2}$. En posant $u=2^{x}$, l'équation devient $u^{2}-5u+4=0$, dont les racines sont $u=1$ et $u=4$. On revient à $x$ : $2^{x}=1$ donne $x=0$, et $2^{x}=4$ donne $x=2$. Deux solutions. Le changement d'inconnue doit être ANNONCÉ dans la copie, et il faut revenir à $x$ à la fin : s'arrêter à $u$ coûte la moitié des points. Remarquez qu'une racine $u$ négative aurait été à rejeter, $2^{x}$ étant toujours positif.

e) Les bases $3$ et $7$ n'ont aucune puissance commune : le logarithme est obligatoire. $2x\ln 3=(x+1)\ln 7$, donc $2x\ln 3-x\ln 7=\ln 7$, puis $x(2\ln 3-\ln 7)=\ln 7$ et $x=\dfrac{\ln 7}{2\ln 3-\ln 7}\approx \dfrac{1{,}94591}{0{,}25131}\approx 7{,}743$. Le dénominateur est petit, donc le résultat est grand : c'est normal, $9^{x}$ et $7^{x}$ croissent à des vitesses proches et mettent longtemps à se rejoindre. Le regroupement des termes en $x$ d'un même côté est l'étape où l'on perd le plus de points.

a) $64=2^{6}$, donc l'inéquation s'écrit $2^{x}>2^{6}$. La base $2$ est supérieure à $1$, la fonction est croissante, et l'inégalité passe aux exposants SANS changer de sens : $x>6$. L'ensemble-solution est $]6\,;+\infty[$. Contrôle : $2^{7}=128>64$, donc $7$ est bien dans la solution, et $2^{5}=32<64$, donc $5$ n'y est pas.

b) On ramène tout en base $3$ : $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}=3^{-x}$ et $27=3^{3}$, donc $3^{-x}\ge 3^{3}$, ce qui donne $-x\ge 3$ et enfin $x\le -3$. On peut aussi raisonner directement sur la base $\dfrac{1}{3}$, inférieure à $1$ : la fonction est décroissante, donc l'inégalité se retourne en passant aux exposants. Les deux chemins donnent $]-\infty\,;-3]$. Contrôle : $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-4}=81\ge 27$, donc $-4$ convient.

c) $100$ n'est pas une puissance de $5$, et l'encadrement $25<100<125$ annonce une réponse entre $2$ et $3$. On prend le logarithme, et comme $\ln 5>0$ le sens ne change pas : $x<\dfrac{\ln 100}{\ln 5}\approx 2{,}861$. L'ensemble-solution est $]-\infty\,;2{,}861[$. La condition $\ln 5>0$ est ce qui justifie de ne pas retourner l'inégalité, et un correcteur attend cette phrase.

d) Le logarithme impose d'abord son DOMAINE : $x-1>0$, donc $x>1$. Ensuite, la base $2$ étant supérieure à $1$, la fonction est croissante et $\log_{2}(x-1)<3$ équivaut à $x-1<2^{3}=8$, donc $x<9$. On croise : $x\in\,]1\,;9[$. Oublier le domaine donnerait $]-\infty\,;9[$, où tous les nombres inférieurs à $1$ rendent le logarithme impossible.

e) Domaine : $x>0$. La base vaut $0{,}5$, comprise entre $0$ et $1$, donc la fonction est DÉCROISSANTE et l'inégalité se retourne : $\log_{0{,}5}(x)>2$ équivaut à $x<0{,}5^{2}=0{,}25$. En croisant avec le domaine, $x\in\,]0\,;0{,}25[$. Contrôle : $\log_{0{,}5}(0{,}1)=\dfrac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}5}\approx 3{,}32>2$, donc $0{,}1$ est bien dans la solution, alors qu'il est plus PETIT que $0{,}25$. C'est le renversement en action.

a) Domaine : il faut $x>0$ ET $x-2>0$, donc $x>2$. On condense : $\log_{3}\left[x(x-2)\right]=1$, donc $x(x-2)=3^{1}=3$, soit $x^{2}-2x-3=0$, dont les racines sont $3$ et $-1$. La valeur $-1$ est hors du domaine et se rejette. Solution : $x=3$. Vérification : $\log_{3}3+\log_{3}1=1+0=1$, juste.

b) Domaine : $x>0$ et $x+3>0$, donc $x>0$. On condense la différence en quotient : $\log\dfrac{x+3}{x}=1$, donc $\dfrac{x+3}{x}=10$, soit $x+3=10x$ et $x=\dfrac{1}{3}$. Cette valeur est dans le domaine, donc elle convient. Vérification : $\log\dfrac{10/3}{1/3}=\log 10=1$. Ici aucun candidat n'est rejeté, et c'est normal : le domaine et l'équation condensée coïncident.

c) Domaine : $x>0$ et $x+6>0$, donc $x>0$. On condense : $x(x+6)=2^{4}=16$, soit $x^{2}+6x-16=0$, dont les racines sont $2$ et $-8$. On rejette $-8$, hors du domaine. Solution : $x=2$. Vérification : $\log_{2}2+\log_{2}8=1+3=4$, juste.

d) Domaine : $x>1$ et $x>-2$, donc $x>1$. Les deux membres sont des logarithmes de même base, donc leurs arguments sont égaux : $(x-1)(x+2)=4$, soit $x^{2}+x-6=0$, dont les racines sont $2$ et $-3$. On rejette $-3$. Solution : $x=2$. Vérification : $\log 1+\log 4=0+\log 4$, juste.

e) De l'ÉLARGISSEMENT du domaine par la condensation. La somme $\log A+\log B$ exige que $A$ et $B$ soient tous deux strictement positifs. Le logarithme du produit, $\log(AB)$, n'exige que $AB>0$, ce qui est aussi vrai quand les DEUX sont négatifs. L'équation condensée a donc un domaine plus large que l'équation de départ, et ses solutions supplémentaires ne sont pas des solutions du problème posé. C'est la même mécanique qu'à l'exercice 4 : une transformation qui ne perd rien mais qui peut ajouter, d'où l'obligation de vérifier.

a) L'erreur est l'absence de vérification. En élevant au carré on obtient bien $x=9$, mais $\sqrt{9}=3$ et non $-3$ : le candidat ne vérifie pas l'équation de départ. Résolution correcte, en une ligne : une racine carrée est positive ou nulle, donc l'équation n'a AUCUNE solution. On n'avait même pas besoin d'élever au carré.

b) L'erreur est la racine oubliée. $x^{2}=16$ signifie $x=4$ OU $x=-4$, puisque $(-4)^{2}=16$ aussi. Rédaction correcte : $x^{2}=16$ donne $|x|=4$, donc $x=\pm 4$. Ce double signe est celui qu'on oublie aussi en écrivant $(3x+2)^{2}=25$, et il vaut la moitié des points de la question.

c) L'erreur est de prendre le logarithme de ZÉRO, qui n'existe pas. Résolution correcte : $2^{x}$ est strictement positif pour tout $x$ réel, donc l'équation $2^{x}=0$ n'a aucune solution. La figure de l'exercice 6 le montre : les deux courbes exponentielles restent au-dessus de l'axe, aussi loin qu'on aille. C'est d'ailleurs pour la même raison qu'un logarithme d'argument nul n'existe pas.

d) L'erreur est l'oubli du domaine. Il faut $x>0$ et $x-3>0$, donc $x>3$. L'équation condensée, $x(x-3)=10$, donne bien $x^{2}-3x-10=0$ et les racines $5$ et $-2$, mais $-2$ est hors du domaine : c'est une racine ÉTRANGÈRE, née de l'élargissement du domaine par la condensation. Résolution correcte : une seule solution, $x=5$.

e) L'erreur est d'oublier le SENS. Multiplier par un nombre négatif retourne l'inégalité : $-x<3$ devient $x>-3$, et non $x<-3$. Contre-exemple : $x=0$ vérifie $-x<3$, et il vérifie bien $x>-3$, alors qu'il ne vérifie pas $x<-3$. C'est l'erreur de la question b) de l'exercice 2, et elle produit toujours l'ensemble complémentaire du bon.

a) Chaque rinçage multiplie la concentration par le même facteur $0{,}25$, donc après $n$ rinçages elle a été multipliée $n$ fois : $C(n)=40\times 0{,}25^{\,n}$. C'est le sens même d'une exponentielle, un facteur CONSTANT répété. Les trois premières valeurs sont $C(1)=10$, $C(2)=2{,}5$ et $C(3)=0{,}625$ gramme par litre. Remarquez que la baisse RALENTIT en valeur absolue, $30$ puis $7{,}5$ puis $1{,}875$, alors que le facteur, lui, ne change jamais.

b) On résout l'inéquation $40\times 0{,}25^{\,n}<0{,}05$, soit $0{,}25^{\,n}<0{,}00125$. On prend le logarithme des deux membres. Attention : $\ln 0{,}25$ est NÉGATIF, donc diviser par lui RETOURNE l'inégalité : $n>\dfrac{\ln 0{,}00125}{\ln 0{,}25}=\dfrac{-6{,}6846}{-1{,}3863}\approx 4{,}822$. Comme $n$ est un nombre entier de rinçages, il en faut $5$. Vérification : $C(5)\approx 0{,}0391$, qui est bien sous $0{,}05$, alors que $C(4)\approx 0{,}156$ ne l'est pas.

c) Même chemin : $0{,}25^{\,n}<0{,}00025$ donne $n>\dfrac{\ln 0{,}00025}{\ln 0{,}25}\approx 5{,}983$, donc $6$ rinçages. Vérification : $C(6)\approx 0{,}0098$. Le commentaire attendu est celui-ci : l'exigence a été multipliée par CINQ, de $0{,}05$ à $0{,}01$, et il n'en coûte qu'UN rinçage de plus. C'est le propre d'une décroissance exponentielle, et c'est pourquoi les procédés de rinçage sont rentables : les derniers rinçages coûtent le même prix et font gagner un ordre de grandeur.

d) Le facteur devient $0{,}5$ au lieu de $0{,}25$. On résout $0{,}5^{\,n}<0{,}00125$, donc $n>\dfrac{\ln 0{,}00125}{\ln 0{,}5}\approx 9{,}644$, soit $10$ rinçages. C'est exactement le double du nombre trouvé en b), et ce n'est pas une coïncidence : $0{,}5^{2}=0{,}25$, donc deux rinçages à $50$ pour cent valent un rinçage à $75$ pour cent. On le vérifie sur les valeurs, $C(10)=C(5)\approx 0{,}0391$.

e) Non, jamais. Le modèle est un PRODUIT de $40$ par une puissance de $0{,}25$, et une exponentielle de base strictement positive ne s'annule jamais : $0{,}25^{\,n}>0$ pour tout $n$. La concentration se rapproche donc de zéro sans l'atteindre, ce qui est aussi la réalité physique du procédé, puisqu'on ne retire jamais la totalité du bain. C'est la même remarque qu'à l'exercice 8 sur $2^{x}=0$ : une exponentielle n'a pas de zéro.

a) Les deux courbes se rencontrent là où leurs ordonnées coïncident : $x^{2}-4=x+2$, donc $x^{2}-x-6=0$. Par produit-somme, $(x-3)(x+2)=0$, d'où $x=3$ ou $x=-2$. On reporte dans l'équation la plus simple, celle de la droite : pour $x=3$, $y=5$ ; pour $x=-2$, $y=0$. Les points sont donc $(3\,;5)$ et $(-2\,;0)$. Reporter dans la PARABOLE donnerait bien sûr le même résultat, et c'est une vérification gratuite : $3^{2}-4=5$ et $(-2)^{2}-4=0$.

b) Première inéquation : $0\ge 0^{2}-4$, c'est-à-dire $0\ge -4$, VRAI. Seconde : $0\le 0+2$, c'est-à-dire $0\le 2$, VRAI. Les deux étant vérifiées, le point appartient à la région. Il faut tester les DEUX : un point qui vérifie une seule inéquation est dans un seul des deux ensembles, donc pas dans leur intersection, et c'est l'erreur la plus fréquente de ce type de question.

c) Première inéquation : $6\ge 4^{2}-4$, c'est-à-dire $6\ge 12$, FAUX. Inutile de tester la seconde : le point n'appartient pas à la région. Une réponse complète nomme l'inéquation qui échoue, elle ne se contente pas de dire non. Géométriquement, $(4\,;6)$ est situé SOUS la parabole, donc hors de l'intérieur.

d) La région n'est non vide que là où la droite est AU-DESSUS de la parabole, c'est-à-dire là où $x^{2}-4\le x+2$, soit $x^{2}-x-6\le 0$, donc $(x-3)(x+2)\le 0$. Le coefficient dominant est positif, donc l'expression est négative ENTRE les racines : $x\in[-2\,;3]$. C'est exactement l'intervalle délimité par les deux points d'intersection de la question a), ce qui était prévisible et sert de contrôle.