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Math TS, secondaire 4 à Montréal • Algèbre

Fiche de révision : la factorisation

Cette fiche de révision accompagne le chapitre de factorisation du programme de mathématique Technico-sciences de quatrième secondaire : mise en évidence simple et par groupement, différence de carrés, trinôme carré parfait et technique produit-somme.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

On ne factorise pas au hasard : on teste toujours dans le même ordre, mise en évidence d'abord, puis on COMPTE les termes, et c'est ce nombre qui nomme la technique.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
  2. 2Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3
  3. 3Expressions algébriques et mise en évidenceSecondaire 3
  4. 4Les calculs algébriques et les expressions rationnelles

L'essentiel

L'ordre des tests, qui fait tout le travail

  • • UN : mise en évidence simple. On sort le plus grand facteur commun, coefficients et lettres, chaque lettre prise à sa plus PETITE puissance présente.
  • • DEUX : on compte les termes restants. Deux termes appellent la différence de carrés ; trois termes appellent le carré parfait puis le produit-somme ; quatre termes appellent le groupement.
  • • TROIS : on recommence sur CHAQUE parenthèse obtenue. C'est l'étape qu'on oublie, et elle vaut la moitié des points d'un « factorisez complètement ».
  • • Un terme égal au facteur commun laisse 11 derrière lui, jamais rien : 6a2b26a^{2}b^{2} sorti de 6a2b26a^{2}b^{2} laisse +1+1.

Les trois identités, et la quatrième qui n'existe pas

  • • a2−b2=(a−b)(a+b)a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) : la figure en donne la preuve par les aires, en découpant le carré privé d'un coin et en le recollant en rectangle.
  • • a2+2ab+b2=(a+b)2a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2} et a2−2ab+b2=(a−b)2a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2} : les extrêmes sont des carrés, et le terme du milieu est le DOUBLE PRODUIT de leurs racines. C'est ce double produit qu'on teste, pas autre chose.
  • • a2+b2a^{2}+b^{2} NE SE FACTORISE PAS sur les réels : une somme de carrés est strictement positive, donc elle n'a aucune racine réelle, donc aucun facteur du premier degré.
  • • Ces identités valent pour n'importe quelle expression, pas seulement pour une lettre : (x+2)2−9=[(x+2)−3][(x+2)+3]=(x−1)(x+5)(x+2)^{2}-9=\left[(x+2)-3\right]\left[(x+2)+3\right]=(x-1)(x+5).
a carré - b carréa = 7b = 3a + b = 10a - bmême aire
Le carré privé de son coin se recoupe exactement en un rectangle de côtés a−ba-b et a+ba+b : c'est la différence de carrés, vue comme une conservation d'aire.

Le produit-somme, et le signe qui divise le travail par deux

  • • Pour x2+bx+cx^{2}+bx+c : deux nombres de PRODUIT cc et de SOMME bb. Le signe du produit tranche avant tout essai. Produit positif, les deux nombres ont le même signe, celui de la somme. Produit négatif, ils sont de signes contraires, et le plus grand en valeur absolue porte le signe de la somme.
  • • Pour ax2+bx+cax^{2}+bx+c avec a≠1a\neq 1 : deux nombres de produit a×ca\times c et de somme bb, on coupe le terme du milieu en deux, et l'on groupe. C'est un groupement déguisé.
  • • Devant un coefficient dominant NÉGATIF, on sort le signe moins avec le facteur commun : −3x2−12x−12=−3(x+2)2-3x^{2}-12x-12=-3(x+2)^{2}. Sortir 33 laisserait une parenthèse qu'on ne reconnaît plus.
  • • La règle du PRODUIT NUL est ce qui rend la factorisation utile : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est. Chaque facteur du premier degré annonce donc une racine.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Factoriser une somme de carrés

toute la question, et souvent la résolution d'équation qui suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

x2+16=(x+4)2x^{2}+16=(x+4)^{2}, ou encore x2+16=(x−4)(x+4)x^{2}+16=(x-4)(x+4)

Ce qu'il faut écrire

x2+16x^{2}+16 ne se factorise pas sur les réels

-6-5-4-3-2-112345678910-32-24-16-88162432plein : x carré + 16pointillé : x carré - 16le pointillé coupe l'axe
La courbe en pointillé coupe l'axe en −4-4 et 44, ses deux racines ; celle en trait plein ne le coupe jamais, et c'est pour cela qu'elle n'a aucun facteur.

Pourquoi : Contre-exemple : x=1x=1 donne 1717 à gauche et 2525 pour (x+4)2(x+4)^{2}. La figure le montre autrement : la courbe de x2+16x^{2}+16 ne touche JAMAIS l'axe, donc le polynôme n'a aucune racine réelle et aucun facteur du premier degré. Seule la DIFFÉRENCE se factorise, et un seul signe sépare les deux cas.

2. Chercher une identité avant d'avoir mis en évidence

toute la question, alors que le premier geste suffisait

Ce qu'il ne faut pas écrire

3a3−27a3a^{3}-27a : ni 3a33a^{3} ni 27a27a n'est un carré, donc on conclut que rien ne se factorise

Ce qu'il faut écrire

3a3−27a=3a(a2−9)=3a(a−3)(a+3)3a^{3}-27a=3a(a^{2}-9)=3a(a-3)(a+3)

Pourquoi : La mise en évidence vient TOUJOURS en premier, et c'est elle qui fait apparaître l'identité. Sans le 3a3a sorti, la différence de carrés est invisible. Le même piège guette 2x4−322x^{4}-32, qui ne devient 2(x4−16)2(x^{4}-16), puis une double différence de carrés, qu'après la mise en évidence.

3. Forcer le trinôme carré parfait

2 points, et un test qui prenait cinq secondes

Ce qu'il ne faut pas écrire

x2+10x+24=(x+5)2x^{2}+10x+24=(x+5)^{2}

Ce qu'il faut écrire

2424 n'est pas un carré parfait ; par produit-somme, x2+10x+24=(x+4)(x+6)x^{2}+10x+24=(x+4)(x+6)

Pourquoi : (x+5)2(x+5)^{2} vaut x2+10x+25x^{2}+10x+25 : une unité de trop sur le terme constant, et cette unité change tout. Le test se fait sur les EXTRÊMES d'abord, puis sur le double produit : si 2424 n'est pas un carré, la question est réglée sans rien développer.

4. Sortir le mauvais signe d'un groupe

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

8xy−12x−10y+15=4x(2y−3)+5(−2y+3)8xy-12x-10y+15=4x(2y-3)+5(-2y+3), donc on conclut que le groupement échoue

Ce qu'il faut écrire

8xy−12x−10y+15=4x(2y−3)−5(2y−3)=(2y−3)(4x−5)8xy-12x-10y+15=4x(2y-3)-5(2y-3)=(2y-3)(4x-5)

Pourquoi : Il fallait sortir −5-5 et non 55 du second groupe : c'est le signe qui aligne les deux parenthèses. Règle pratique : on décide du signe à sortir en regardant la parenthèse DÉJÀ obtenue, et l'on s'arrange pour la reproduire à l'identique.

5. S'arrêter trop tôt sur un « factorisez complètement »

la moitié des points de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

2x2−8=2(x2−4)2x^{2}-8=2(x^{2}-4), et c'est fini

Ce qu'il faut écrire

2x2−8=2(x−2)(x+2)2x^{2}-8=2(x-2)(x+2)

Pourquoi : Après chaque étape, on relit CHAQUE parenthèse et on lui applique le même ordre de tests. Le contrôle par les racines le signale : x=2x=2 annule l'expression de départ, 2×4−8=02\times 4-8=0, donc le facteur (x−2)(x-2) doit figurer dans la réponse. S'il n'y est pas, il manque une étape.

6. Prendre la mauvaise puissance d'une lettre en facteur commun

1 à 2 points, et une parenthèse impossible à factoriser ensuite

Ce qu'il ne faut pas écrire

5a3b−45ab3=5a3b3(…)5a^{3}b-45ab^{3}=5a^{3}b^{3}(\ldots)

Ce qu'il faut écrire

5a3b−45ab3=5ab(a2−9b2)=5ab(a−3b)(a+3b)5a^{3}b-45ab^{3}=5ab(a^{2}-9b^{2})=5ab(a-3b)(a+3b)

Pourquoi : On prend chaque lettre à sa plus PETITE puissance présente dans TOUS les termes : aa apparaît en a3a^{3} et en a1a^{1}, donc on sort aa ; bb apparaît en b1b^{1} et b3b^{3}, donc on sort bb. Sortir a3b3a^{3}b^{3} obligerait à écrire des puissances négatives dans la parenthèse.

7. Résoudre une équation après factorisation

la moitié des points, systématiquement

Ce qu'il ne faut pas écrire

x2−9=0x^{2}-9=0 donne x=3x=3

Ce qu'il faut écrire

(x−3)(x+3)=0(x-3)(x+3)=0 donne x=3x=3 OU x=−3x=-3

Pourquoi : La règle du produit nul donne AUTANT de solutions que le produit a de facteurs distincts. Passer par la factorisation sans lire tous les facteurs revient à factoriser pour rien. Contrôle : (−3)2−9=0(-3)^{2}-9=0, donc −3-3 est bien solution.

Quelle méthode choisir

Quelle technique, selon le nombre de termes

Une expression à factoriser, APRÈS la mise en évidence simple

2 termes3 termes4 termesdifférencede carréscarré parfaitou produit-sommegroupementdeux par deuxaprès la mise en évidence, on compte
Le nombre de termes restants décide seul de la technique : c'est la seule question à se poser une fois le facteur commun sorti.

  • Si DEUX termes, tous deux des carrés, séparés par un MOINS → Différence de carrés

    Exemple : 25m2−81n2=(5m−9n)(5m+9n)25m^{2}-81n^{2}=(5m-9n)(5m+9n)

  • Si DEUX termes séparés par un PLUS → Irréductible sur les réels, on s'arrête

    Exemple : 4y2+14y^{2}+1 et x2+16x^{2}+16 ne se factorisent pas

  • Si TROIS termes, extrêmes carrés, milieu égal au double produit des racines → Trinôme carré parfait

    Exemple : 9x2+24x+16=(3x+4)29x^{2}+24x+16=(3x+4)^{2}, car 2×3x×4=24x2\times 3x\times 4=24x

  • Si TROIS termes, mais le test du carré parfait échoue → Produit-somme, avec a×ca\times c si le coefficient dominant n'est pas 11

    Exemple : 10x2−19x+6=(2x−3)(5x−2)10x^{2}-19x+6=(2x-3)(5x-2), par −15-15 et −4-4

  • Si QUATRE termes → Groupement deux par deux ; si le premier appariement échoue, essayer l'autre

    Exemple : x3+2x2−9x−18=(x+2)(x−3)(x+3)x^{3}+2x^{2}-9x-18=(x+2)(x-3)(x+3)

Une différence de carrés dont les deux termes sont eux-mêmes des carrés se factorise DEUX fois : 16y4−1=(2y−1)(2y+1)(4y2+1)16y^{4}-1=(2y-1)(2y+1)(4y^{2}+1).

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger un « factorisez complètement »

Quand l'utiliser : À chaque fois que l'énoncé écrit « complètement », « le plus possible » ou « au maximum »

  1. 1 Mettre en évidence le facteur commun, s'il y en a un, et l'écrire devant la parenthèse.
  2. 2 Compter les termes de la parenthèse et nommer la technique choisie, en une demi-ligne.
  3. 3 Appliquer la technique, puis RELIRE chaque parenthèse obtenue et recommencer si besoin.
  4. 4 Écrire la réponse finale sous forme d'un produit, sans rien redévelopper.
  5. 5 Contrôler par les racines ou par un développement partiel.

Phrase de conclusion

« On met 22 en évidence : 2x4−32=2(x4−16)2x^{4}-32=2(x^{4}-16). La parenthèse a deux termes, tous deux des carrés : 2(x2−4)(x2+4)2(x^{2}-4)(x^{2}+4). Le premier facteur est encore une différence de carrés : 2(x−2)(x+2)(x2+4)2(x-2)(x+2)(x^{2}+4). »

Le piège : Écrire la dernière ligne sans avoir relu les parenthèses intermédiaires : c'est là que se perdent les points d'un exercice pourtant bien commencé.

Barème : 1 point pour la mise en évidence, 1 point par identité correctement appliquée, 1 point pour la forme complètement factorisée. Une réponse arrêtée une étape trop tôt plafonne aux deux tiers.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Factoriser complètement 2x3+4x2−2x−42x^{3}+4x^{2}-2x-4

Factorisez l'expression 2x3+4x2−2x−42x^{3}+4x^{2}-2x-4 le plus complètement possible, puis donnez ses racines réelles.

Étape 1

Les quatre termes sont tous pairs : on met 22 en évidence. 2x3+4x2−2x−4=2(x3+2x2−x−2)2x^{3}+4x^{2}-2x-4=2\left(x^{3}+2x^{2}-x-2\right).

Pourquoi

La mise en évidence passe AVANT tout le reste, même quand le facteur commun n'est qu'un nombre. Elle allège les coefficients pour toute la suite, et c'est souvent elle qui rend une identité visible.

Étape 2

La parenthèse a quatre termes : groupement. x2(x+2)−1(x+2)x^{2}(x+2)-1(x+2).

Pourquoi

Le compte des termes nomme la technique, sans qu'on ait à réfléchir. Le −1-1 sorti du second groupe n'est pas décoratif : c'est lui qui fait apparaître la même parenthèse (x+2)(x+2) des deux côtés.

Étape 3

x2(x+2)−1(x+2)=(x+2)(x2−1)x^{2}(x+2)-1(x+2)=(x+2)\left(x^{2}-1\right).

Pourquoi

La parenthèse commune se met en évidence à son tour. À ce stade, une copie pressée s'arrête : la réponse ressemble déjà à un produit, et l'énoncé disait « complètement ».

Étape 4

x2−1x^{2}-1 est une différence de carrés : (x−1)(x+1)(x-1)(x+1). Donc 2x3+4x2−2x−4=2(x+2)(x−1)(x+1)2x^{3}+4x^{2}-2x-4=2(x+2)(x-1)(x+1).

Pourquoi

On relit chaque parenthèse et on lui applique l'ordre de tests. Deux termes, tous deux des carrés, séparés par un moins : la technique est imposée, il n'y a rien à décider.

Étape 5

Racines : x=−2x=-2, x=1x=1 et x=−1x=-1. Contrôle en x=−2x=-2 : 2(−8)+4(4)−2(−2)−4=−16+16+4−4=02(-8)+4(4)-2(-2)-4=-16+16+4-4=0.

Pourquoi

Trois facteurs du premier degré, donc trois racines, ce qui est bien le maximum pour un degré 33. Le contrôle numérique sur une seule racine suffit à valider toute la chaîne, parce qu'une erreur en cours de route déplacerait forcément les racines.

Conclusion rédigée

2x3+4x2−2x−4=2(x+2)(x−1)(x+1)2x^{3}+4x^{2}-2x-4=2(x+2)(x-1)(x+1), et les racines sont −2-2, −1-1 et 11.

L'erreur classique sur cet exercice : S'arrêter à 2(x+2)(x2−1)2(x+2)(x^{2}-1). L'expression est bien un produit, mais elle n'est pas complètement factorisée, et le barème retire la moitié des points d'un exercice par ailleurs juste.

À savoir par cœur

  • • Mise en évidence d'abord, toujours.
  • • Ensuite on COMPTE les termes : deux, trois ou quatre.
  • • a2−b2=(a−b)(a+b)a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) ; a2+b2a^{2}+b^{2} ne se factorise pas.
  • • Carré parfait : le milieu doit être le DOUBLE produit des racines des extrêmes.
  • • Produit-somme : le signe du produit dit si les deux nombres sont de même signe.
  • • Coefficient dominant ≠1\neq 1 : produit a×ca\times c, on coupe et on groupe.
  • • Coefficient dominant négatif : on sort le signe moins avec le facteur.
  • • Chaque lettre se sort à sa plus PETITE puissance présente.
  • • « Complètement » veut dire qu'on relit chaque parenthèse.
  • • Produit nul : autant de solutions que de facteurs.

Questions fréquentes

Dans quel ordre faut-il essayer les techniques de factorisation ?

Toujours la mise en évidence simple en premier, puis on compte les termes qui restent. Deux termes font penser à une différence de carrés, trois au trinôme carré parfait puis au produit-somme, quatre au groupement. Et l'on recommence sur chaque parenthèse obtenue, car une différence de carrés peut en cacher une autre.

Pourquoi une somme de deux carrés ne se factorise-t-elle pas ?

Parce qu'elle est strictement positive pour tout nombre réel, donc elle ne s'annule jamais. Un facteur du premier degré annoncerait une racine, et il n'y en a aucune. Graphiquement, la courbe ne touche jamais l'axe des abscisses, alors que celle d'une différence de carrés le coupe en deux points.

Comment savoir si un trinôme est un carré parfait ?

Vérifiez d'abord que les deux termes extrêmes sont des carrés parfaits. Si oui, prenez leurs racines et calculez le double de leur produit : ce nombre doit être exactement le terme du milieu. Si l'un des extrêmes n'est pas un carré, le test s'arrête là et vous passez au produit-somme.

Que faire quand le coefficient devant x au carré n'est pas 1 ?

Cherchez deux nombres dont le produit vaut le coefficient dominant multiplié par le terme constant, et dont la somme vaut le coefficient du milieu. Coupez ensuite le terme du milieu en deux selon ces nombres, et groupez deux par deux. C'est exactement un groupement, avec une étape de préparation.

Comment vérifier une factorisation sans tout redévelopper ?

Multipliez seulement les termes constants des facteurs, et séparément les termes de plus haut degré : vous devez retrouver le terme constant et le terme dominant de départ. Ou bien testez une valeur simple dans les deux écritures. Les deux contrôles prennent moins d'une minute.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La factorisation

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

  • 10 exercices corrigés
  • 100 points
  • 150 minutes
Faire les exercices
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Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

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