Math TS, secondaire 4 à Montréal • Algèbre

Fiche de révision : les équations et les inéquations

Q: Pourquoi faut-il vérifier les solutions d'une équation avec racine carrée ?

Parce qu'élever au carré efface le signe. Une égalité entre carrés est vraie aussi quand les deux membres sont opposés, donc l'équation obtenue après élévation contient les solutions de l'équation voulue plus celles d'une autre. La vérification dans l'équation de départ est le seul moyen de séparer les deux.

Q: Quand faut-il retourner le sens d'une inéquation ?

Dans deux situations. D'abord quand on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif. Ensuite quand on passe aux exposants ou aux arguments avec une base comprise entre zéro et un, car la fonction est alors décroissante. Dans les deux cas, oublier le retournement donne exactement l'ensemble complémentaire du bon.

Q: D'où viennent les racines étrangères d'une équation logarithmique ?

De la condensation. Une somme de logarithmes exige que chaque argument soit strictement positif, alors que le logarithme du produit n'exige que le produit positif, ce qui est aussi vrai quand les deux facteurs sont négatifs. L'équation condensée a donc un domaine plus large, et ses solutions supplémentaires ne conviennent pas au problème posé.

Q: Comment résoudre une équation exponentielle en secondaire 4 TS ?

Demandez-vous d'abord si les deux membres peuvent s'écrire dans la même base. Si oui, il suffit d'égaler les exposants. Sinon, prenez le logarithme des deux membres, ce qui fait descendre l'inconnue de l'exposant, puis regroupez les termes qui contiennent l'inconnue d'un même côté.

Q: Combien de conditions faut-il pour une inéquation avec radical ?

Au moins deux, souvent trois. Le domaine impose que ce qui est sous la racine soit positif ou nul. Si la racine doit être inférieure à une expression, cette expression doit être positive, sinon il n'y a aucune solution. Vient enfin l'inégalité obtenue en élevant au carré. On croise les trois à la fin.

Cette fiche de révision accompagne le chapitre le plus large du programme de mathématique Technico-sciences de quatrième secondaire : équations et inéquations du second degré, avec radical, exponentielles, logarithmiques, et régions du plan cartésien.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

On ne résout pas, on TRANSFORME : élever au carré, condenser deux logarithmes ou multiplier par un nombre négatif change l'ensemble des solutions, d'où le domaine AVANT et la vérification APRÈS.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (6 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

L'essentiel

Le second degré, et ce que le discriminant dit d'avance

• $\Delta=b^{2}-4ac$ : deux solutions s'il est positif, une s'il est nul, aucune s'il est négatif. On l'écrit AVANT la formule, c'est un point à lui seul.
• Attention au signe de $c$ : $-4ac$ devient POSITIF quand $c$ est négatif, et l'oublier transforme un discriminant de $289$ en $-287$ , donc deux solutions en zéro.
• Quand l'inconnue n'apparaît que dans un carré, on prend la racine des deux membres avec le DOUBLE SIGNE : $(3x+2)^{2}=25$ donne $3x+2=5$ ou $3x+2=-5$ .
• Une inéquation du second degré se lit sur la parabole, jamais sur un tableau appris par coeur : négative ENTRE les racines et positive à l'extérieur quand elle s'ouvre vers le haut, l'inverse sinon.

Le signe se lit sur la courbe, pas dans un tableau : au-dessus de l'axe à l'extérieur des racines, au-dessous entre les deux.

Radical, exponentielle, logarithme : trois transformations, trois précautions

• RADICAL : isoler, élever au carré, résoudre, puis VÉRIFIER dans l'équation de départ. La racine rejetée est presque toujours celle qui rend le second membre négatif.
• Élever au carré ne PERD jamais de solution mais peut en AJOUTER, parce que $A^{2}=B^{2}$ contient aussi $A=-B$ . C'est là l'origine exacte des racines étrangères.
• EXPONENTIELLE : si les deux membres s'écrivent dans la même base, on égale les exposants ; sinon, on prend le logarithme, qui fait DESCENDRE l'inconnue. Et $4^{x}$ étant le carré de $2^{x}$ , un trinôme en $2^{x}$ se résout par changement d'inconnue.
• LOGARITHME : le DOMAINE s'écrit en premier, avant toute condensation, parce que la condensation l'élargit. Toute solution hors du domaine est une racine étrangère.
• Une exponentielle ne s'annule JAMAIS : $2^{x}=0$ n'a pas de solution, et c'est pour la même raison que $\log 0$ n'existe pas.

Le sens des inéquations, et les deux façons de le perdre

• Multiplier ou diviser par un nombre NÉGATIF retourne le sens. L'oublier produit exactement l'ensemble complémentaire du bon, donc zéro à la question.
• Le sens d'une inéquation exponentielle ou logarithmique se lit sur la BASE : au-dessus de $1$ la fonction croît et le sens se conserve, entre $0$ et $1$ elle décroît et le sens se retourne.
• Une inéquation avec radical porte au moins DEUX conditions : le domaine, et le signe du second membre. On les croise à la fin, jamais avant.
• Une région du plan se teste avec un POINT choisi hors des frontières : on vérifie CHAQUE inéquation, et un seul échec suffit à l'exclure.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Résoudre une équation avec radical sans vérifier

la moitié des points, et parfois toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\sqrt{2x-3}=x-3$ a pour solutions $x=2$ et $x=6$

Ce qu'il faut écrire

Seule $x=6$ convient ; $x=2$ donne $\sqrt{1}=1$ à gauche et $-1$ à droite

Un seul point commun, en

x=6

. En

x=2

la droite vaut

-1

, et aucune racine carrée ne vaut

-1

: c'est là que naît la racine étrangère.

Pourquoi : Élever au carré efface le signe : $A^{2}=B^{2}$ contient $A=B$ ET $A=-B$ . L'équation carrée a donc les solutions de l'équation voulue plus celles d'une autre. La figure montre le phénomène : les deux courbes ne se rencontrent qu'en $x=6$ , et en $x=2$ la droite est SOUS l'axe, là où la racine ne descend jamais.

2. Multiplier une inéquation par un nombre négatif

toute la question : l'ensemble obtenu est le complémentaire du bon

Ce qu'il ne faut pas écrire

$-2x^{2}+8x-6\ge 0$ donne $2x^{2}-8x+6\ge 0$

Ce qu'il faut écrire

$-2x^{2}+8x-6\ge 0$ donne $2x^{2}-8x+6\le 0$ , donc $x\in[1\,;3]$

Pourquoi : Multiplier par $-1$ retourne le sens, toujours. L'erreur ne se voit pas dans la forme du résultat, qui reste un intervalle plausible, et c'est ce qui la rend dangereuse. Contrôle en trois secondes : $x=2$ donne $-8+16-6=2\ge 0$ , donc $2$ DOIT être dans la solution, ce que l'ensemble faux exclurait.

3. Résoudre une équation logarithmique sans écrire le domaine

1 à 2 points, systématiquement

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\log(x)+\log(x-3)=1$ a deux solutions, $5$ et $-2$

Ce qu'il faut écrire

Le domaine est $x>3$ , donc $-2$ est rejetée : une seule solution, $x=5$

Pourquoi : La somme $\log A+\log B$ exige $A>0$ ET $B>0$ . Le logarithme du produit, lui, n'exige que $AB>0$ , ce qui est aussi vrai quand les DEUX sont négatifs. Condenser ÉLARGIT donc le domaine, et les solutions supplémentaires ne sont pas des solutions du problème posé. Le domaine s'écrit avant la condensation, pas après.

4. Chercher à annuler une exponentielle

toute la question, plus une ligne mathématiquement impossible

Ce qu'il ne faut pas écrire

Pour résoudre $2^{x}=0$ , on prend le logarithme des deux membres

Ce qu'il faut écrire

$2^{x}>0$ pour tout $x$ réel : l'équation n'a aucune solution, et $\log 0$ n'existe pas

Pourquoi : Une exponentielle de base positive ne s'annule jamais : elle se rapproche de zéro quand l'exposant descend, sans jamais l'atteindre. Prendre le logarithme de zéro n'est pas une étape valide, c'est une écriture qui n'existe pas. Une seule ligne de rédaction suffit à conclure.

5. Prendre la racine carrée des deux membres

la moitié des points de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$x^{2}=16$ donne $x=4$

Ce qu'il faut écrire

$x^{2}=16$ donne $|x|=4$ , donc $x=4$ ou $x=-4$

Pourquoi : Un carré efface le signe, donc deux nombres opposés ont le même carré. Le double signe est obligatoire, et il se perd aussi dans $(3x+2)^{2}=25$ , où une seule des deux équations est souvent écrite. Contrôle : $(-4)^{2}=16$ , donc $-4$ est bien solution.

6. Oublier une condition dans une inéquation avec radical

la moitié des points, l'ensemble obtenu contenant un morceau entièrement faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\sqrt{2x+3}\le x$ donne $2x+3\le x^{2}$ , donc $x\le -1$ ou $x\ge 3$

Ce qu'il faut écrire

Il faut AUSSI $x\ge 0$ , car un radical n'est jamais inférieur à un négatif : $x\ge 3$

Pourquoi : Trois conditions se croisent ici : le domaine $2x+3\ge 0$ , la positivité du second membre $x\ge 0$ , et l'inégalité des carrés. Le morceau $x\le -1$ vient de la seule troisième, et il est absurde : avec $x=-2$ , la gauche n'existe même pas. Le contrôle par un point de chaque morceau l'attrape immédiatement.

7. Résoudre un trinôme en $2^{x}$

la moitié des points, alors que tout le calcul était juste

Ce qu'il ne faut pas écrire

$4^{x}-5\cdot 2^{x}+4=0$ donne $u=1$ et $u=4$ , donc les solutions sont $1$ et $4$

Ce qu'il faut écrire

Il faut REVENIR à $x$ : $2^{x}=1$ donne $x=0$ , et $2^{x}=4$ donne $x=2$

Pourquoi : Le changement d'inconnue doit être annoncé ET défait. Les valeurs $1$ et $4$ sont celles de l'inconnue auxiliaire $u=2^{x}$ , pas celles de $x$ . Remarquez au passage qu'une racine $u$ négative serait à rejeter sans calcul, $2^{x}$ étant toujours strictement positif.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode, selon la forme de l'équation

Une équation à une inconnue, après avoir tout ramené d'un côté si c'est utile

Une base supérieure à

1

monte, une base comprise entre

0

1

descend : c'est la seconde qui retourne le sens d'une inéquation.

Si Un trinôme du second degré → Discriminant, puis factorisation, racine carrée ou formule selon la forme

Exemple : $6x^{2}+x-12=0$ : $\Delta=289$ , donc $x=\dfrac{4}{3}$ ou $x=-\dfrac{3}{2}$
Si Un radical → Isoler, élever au carré, résoudre, VÉRIFIER dans l'équation de départ

Exemple : $2\sqrt{x}=x-3$ donne $x=9$ ; $x=1$ est rejetée
Si Une exponentielle, et les deux membres s'écrivent dans la même base → Égaler les exposants

Exemple : $9^{x}=27^{\,x-1}$ devient $3^{2x}=3^{3x-3}$ , donc $x=3$
Si Une exponentielle, bases sans puissance commune → Logarithme des deux membres, puis regrouper les termes en $x$

Exemple : $3^{2x}=7^{\,x+1}$ donne $x=\dfrac{\ln 7}{2\ln 3-\ln 7}\approx 7{,}743$
Si Un trinôme déguisé, en $2^{x}$ ou en $\sqrt{x}$ → Changement d'inconnue, puis RETOUR à $x$

Exemple : $4^{x}-5\cdot 2^{x}+4=0$ donne $x=0$ ou $x=2$
Si Des logarithmes → Domaine d'abord, condenser, passer à la forme exponentielle, rejeter hors domaine

Exemple : $\log_{2}x+\log_{2}(x+6)=4$ donne $x=2$ ; $x=-8$ est rejetée

Pour une INÉQUATION, on ajoute une question à chaque branche : le sens se conserve-t-il ? Il se retourne en multipliant par un négatif, et avec une base comprise entre $0$ et $1$ .

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger une équation avec radical ou avec logarithme

Quand l'utiliser : Dès que l'inconnue est sous une racine ou dans un logarithme

1 Première ligne : le DOMAINE. Ce qui est sous une racine paire est positif ou nul ; l'argument d'un logarithme est strictement positif.
2 Isoler le radical, ou écrire la somme de logarithmes comme un seul logarithme.
3 Élever au carré, ou passer à la forme exponentielle.
4 Résoudre l'équation obtenue, en nommant les candidats.
5 Confronter chaque candidat au domaine ET à l'équation de départ, puis conclure en écrivant les solutions retenues et les rejets.

Phrase de conclusion

« Domaine : $x>3$ . En condensant, $\log\left[x(x-3)\right]=1$ , donc $x(x-3)=10$ et $x^{2}-3x-10=0$ , dont les racines sont $5$ et $-2$ . La valeur $-2$ est hors du domaine : elle est rejetée. La seule solution est $x=5$ . »

Le piège : Écrire le domaine APRÈS avoir condensé : il est alors plus large, et la racine étrangère passe inaperçue.

Barème : 1 point pour le domaine, 1 point pour la transformation, 1 point pour la résolution, 1 point pour le rejet motivé. Une copie sans rejet écrit plafonne aux trois quarts.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Remettre chaque solution dans l'équation DE DÉPART

Pas dans l'équation transformée, qui a peut-être gagné des solutions en route.

$\sqrt{3x+1}=-2$ donne $x=1$ après élévation au carré, mais $\sqrt{4}=2$ et non $-2$ : il n'y a aucune solution.
Tester un point de chaque morceau d'une inéquation

Un point dans chaque intervalle trouvé ET un point dans la zone exclue. Si le point exclu passe, l'ensemble est le complémentaire du bon.

Pour $|2x-7|\ge 3$ : $x=0$ et $x=6$ conviennent, $x=3{,}5$ ne convient pas, ce qui confirme $]-\infty\,;2]\cup[5\,;+\infty[$ .
Encadrer avant de croire une valeur logarithmique

Placer l'argument entre deux puissances consécutives de la base avant de calculer.

$5^{x}=40$ : comme $25<40<125$ , la réponse est entre $2$ et $3$ , et $2{,}292$ est plausible.
Compter les solutions attendues

Le discriminant annonce le nombre de solutions d'un trinôme, et un changement d'inconnue en donne deux fois moins qu'il n'y paraît.

$4^{x}-5\cdot 2^{x}+4=0$ : deux valeurs de $u$ , donc au plus deux valeurs de $x$ , et exactement deux ici car les deux $u$ sont positifs.

L'exercice type décortiqué

Résoudre $\sqrt{x+7}-x=1$

Résolvez l'équation $\sqrt{x+7}-x=1$ dans l'ensemble des réels, en justifiant chaque rejet.

Étape 1

Domaine : $x+7\ge 0$ , donc $x\ge -7$ .

Pourquoi

Le domaine se pose avant tout calcul. Il ne suffira pas ici à trancher, mais il encadre la recherche, et une solution qu'il exclurait serait rejetée sans autre examen.

Étape 2

On ISOLE le radical : $\sqrt{x+7}=x+1$ .

Pourquoi

Élever au carré une expression où le radical n'est pas seul ferait réapparaître un radical au milieu du développement. L'isolement n'est pas une élégance, c'est ce qui rend l'élévation utile.

Étape 3

On élève au carré : $x+7=(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ , donc $x^{2}+x-6=0$ , soit $(x-2)(x+3)=0$ et les candidats $x=2$ et $x=-3$ .

Pourquoi

On dit CANDIDATS, pas solutions. L'élévation au carré a pu ajouter des valeurs, parce que $A^{2}=B^{2}$ contient aussi $A=-B$ : l'équation résolue n'est donc pas tout à fait celle de départ.

Étape 4

Vérification de $x=2$ : $\sqrt{2+7}-2=3-2=1$ . Vérification de $x=-3$ : $\sqrt{-3+7}-(-3)=2+3=5$ , et non $1$ .

Pourquoi

On remet dans l'équation DE DÉPART, jamais dans l'équation carrée, qui les accepterait toutes les deux. Le candidat $-3$ est dans le domaine et vérifie pourtant l'équation carrée : c'est bien une racine étrangère, pas une valeur interdite.

Étape 5

Le candidat $-3$ correspond à $\sqrt{4}=-2$ , c'est-à-dire à l'équation $\sqrt{x+7}=-(x+1)$ . Solution unique : $x=2$ .

Pourquoi

Nommer l'équation parasite montre d'où vient la racine étrangère et rend le rejet incontestable. Le correcteur attend cette phrase, ou au moins la vérification chiffrée qui la précède.

Conclusion rédigée

$S=\{2\}$ . Le candidat $x=-3$ est rejeté : il vérifie l'équation carrée mais pas celle de départ.

L'erreur classique sur cet exercice : Donner les deux candidats comme solutions. L'équation carrée en a bien deux, l'équation de départ une seule, et c'est celle de départ qu'on résolvait.

À savoir par cœur

• $\Delta=b^{2}-4ac$ s'écrit avant la formule.
• $-4ac$ est POSITIF quand $c$ est négatif.
• $x^{2}=k$ donne deux solutions opposées, jamais une.
• Radical : isoler, élever, résoudre, VÉRIFIER.
• La racine rejetée est celle qui rend le second membre négatif.
• Multiplier par un négatif retourne le sens.
• Base entre $0$ et $1$ : la fonction décroît, le sens se retourne.
• Logarithme : domaine AVANT condensation.
• $2^{x}=0$ n'a pas de solution, et $\log 0$ n'existe pas.
• Changement d'inconnue : annoncé, puis DÉFAIT.

Questions fréquentes

Pourquoi faut-il vérifier les solutions d'une équation avec racine carrée ?

Parce qu'élever au carré efface le signe. Une égalité entre carrés est vraie aussi quand les deux membres sont opposés, donc l'équation obtenue après élévation contient les solutions de l'équation voulue plus celles d'une autre. La vérification dans l'équation de départ est le seul moyen de séparer les deux.

Quand faut-il retourner le sens d'une inéquation ?

Dans deux situations. D'abord quand on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif. Ensuite quand on passe aux exposants ou aux arguments avec une base comprise entre zéro et un, car la fonction est alors décroissante. Dans les deux cas, oublier le retournement donne exactement l'ensemble complémentaire du bon.

D'où viennent les racines étrangères d'une équation logarithmique ?

De la condensation. Une somme de logarithmes exige que chaque argument soit strictement positif, alors que le logarithme du produit n'exige que le produit positif, ce qui est aussi vrai quand les deux facteurs sont négatifs. L'équation condensée a donc un domaine plus large, et ses solutions supplémentaires ne conviennent pas au problème posé.

Comment résoudre une équation exponentielle en secondaire 4 TS ?

Demandez-vous d'abord si les deux membres peuvent s'écrire dans la même base. Si oui, il suffit d'égaler les exposants. Sinon, prenez le logarithme des deux membres, ce qui fait descendre l'inconnue de l'exposant, puis regroupez les termes qui contiennent l'inconnue d'un même côté.

Combien de conditions faut-il pour une inéquation avec radical ?

Au moins deux, souvent trois. Le domaine impose que ce qui est sous la racine soit positif ou nul. Si la racine doit être inférieure à une expression, cette expression doit être positive, sinon il n'y a aucune solution. Vient enfin l'inégalité obtenue en élevant au carré. On croise les trois à la fin.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les équations et les inéquations

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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Les systèmes d'équations

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Fiche de révision : les équations et les inéquations

L'essentiel

Le second degré, et ce que le discriminant dit d'avance

Radical, exponentielle, logarithme : trois transformations, trois précautions

Le sens des inéquations, et les deux façons de le perdre

Les pièges qui coûtent des points

1. Résoudre une équation avec radical sans vérifier

2. Multiplier une inéquation par un nombre négatif

3. Résoudre une équation logarithmique sans écrire le domaine

4. Chercher à annuler une exponentielle

5. Prendre la racine carrée des deux membres

6. Oublier une condition dans une inéquation avec radical

7. Résoudre un trinôme en 2x2^{x}2x

Quelle méthode choisir

Quelle méthode, selon la forme de l'équation

La rédaction attendue

Rédiger une équation avec radical ou avec logarithme

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Résoudre x+7−x=1\sqrt{x+7}-x=1x+7​−x=1

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi faut-il vérifier les solutions d'une équation avec racine carrée ?

Quand faut-il retourner le sens d'une inéquation ?

D'où viennent les racines étrangères d'une équation logarithmique ?

Comment résoudre une équation exponentielle en secondaire 4 TS ?

Combien de conditions faut-il pour une inéquation avec radical ?

Exercices corrigés : Les équations et les inéquations

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7. Résoudre un trinôme en $2^{x}$

Résoudre $\sqrt{x+7}-x=1$