Exercices corrigés : la factorisation (math TS, secondaire 4)

a) Le plus grand facteur commun aux coefficients $12$, $18$ et $6$ est $6$. Pour les lettres, on prend chaque lettre à sa plus PETITE puissance présente : $a^{2}$ et $b^{2}$. On sort donc $6a^{2}b^{2}$, et il reste $12a^{3}b^{2}\div 6a^{2}b^{2}=2a$, puis $-3b$, puis $+1$. Le résultat est $6a^{2}b^{2}(2a-3b+1)$. Le $+1$ est l'erreur classique : quand un terme est exactement le facteur commun, il laisse $1$ derrière lui, jamais rien. Contrôle : on redéveloppe, et les trois termes doivent réapparaître.

b) Aucun facteur n'est commun aux quatre termes, mais les deux premiers ont $5x^{2}$ et les deux derniers ont $-3$. On écrit $5x^{2}(x+2)-3(x+2)$, et la parenthèse $(x+2)$ est maintenant commune : on la met en évidence à son tour, ce qui donne $(x+2)(5x^{2}-3)$. Le signe moins devant le $3$ est le point délicat : on sort $-3$ et non $3$, sans quoi la seconde parenthèse serait $(-x-2)$ et ne coïnciderait pas avec la première.

c) On groupe : $m(n-3)+2(n-3)$, donc $(n-3)(m+2)$. Ici le groupement saute aux yeux parce que $n-3$ apparaît deux fois. Quand ce n'est pas le cas, on essaie l'autre appariement, premier avec troisième et deuxième avec quatrième : $mn+2n-3m-6=n(m+2)-3(m+2)=(m+2)(n-3)$, le même résultat. Un groupement qui ne marche pas ne condamne donc pas l'expression : il faut essayer l'autre découpage avant de conclure.

d) $8xy-12x=4x(2y-3)$ et $-10y+15=-5(2y-3)$. La parenthèse commune est $(2y-3)$, donc $(2y-3)(4x-5)$. Il fallait sortir $-5$ et non $5$ du second groupe : c'est le signe qui aligne les deux parenthèses. Un élève qui sort $5$ obtient $5(-2y+3)$ et croit l'expression non factorisable, alors qu'il lui manquait un signe.

e) Groupement : $x^{2}(x-1)-1(x-1)=(x-1)(x^{2}-1)$. Mais $x^{2}-1$ est une différence de carrés, donc $(x-1)(x+1)$, et le résultat complet est $(x-1)(x-1)(x+1)=(x-1)^{2}(x+1)$. S'arrêter à $(x-1)(x^{2}-1)$ coûte la moitié des points : après un groupement, on REGARDE toujours si l'une des deux parenthèses se factorise encore.

a) Les deux termes sont des carrés parfaits : $25m^{2}=(5m)^{2}$ et $81n^{2}=(9n)^{2}$. Donc $25m^{2}-81n^{2}=(5m-9n)(5m+9n)$. Le geste consiste à prendre la racine carrée de chaque terme, coefficient ET lettre : écrire $(5m-81n)(5m+81n)$ est l'erreur de celui qui n'a pris la racine que du premier. Contrôle : le double produit doit s'annuler au développement, ce qui n'arrive que si les deux parenthèses sont conjuguées.

b) $16y^{4}=(4y^{2})^{2}$ et $1=1^{2}$, donc une première fois : $(4y^{2}-1)(4y^{2}+1)$. La première parenthèse est ENCORE une différence de carrés, $(2y)^{2}-1^{2}$, donc $(2y-1)(2y+1)$. La seconde, $4y^{2}+1$, est une SOMME de carrés et ne se factorise pas. Le résultat complet est $(2y-1)(2y+1)(4y^{2}+1)$. Une différence de carrés dont les deux termes sont eux-mêmes des carrés se factorise toujours deux fois : c'est le réflexe à prendre devant une puissance quatrième.

c) La mise en évidence vient d'abord, toujours : $3a^{3}-27a=3a(a^{2}-9)$. La parenthèse est une différence de carrés, donc $3a(a-3)(a+3)$. Attaquer par la différence de carrés sans avoir sorti le $3a$ ne mène nulle part, puisque ni $3a^{3}$ ni $27a$ n'est un carré parfait. C'est l'ordre des tests qui fait tout le travail, et il est le même à chaque exercice.

d) La formule s'applique à n'importe quelle expression, pas seulement à une lettre : ici $a=x+2$ et $b=3$. Donc $(x+2)^{2}-9=\left[(x+2)-3\right]\left[(x+2)+3\right]=(x-1)(x+5)$. Développer le carré d'abord donnerait $x^{2}+4x-5$, qu'il faudrait ensuite factoriser par produit-somme : deux fois plus de travail pour le même résultat.

e) $51^{2}-49^{2}=(51-49)(51+49)=2\times 100=200$. Puis $203^{2}-197^{2}=(203-197)(203+197)=6\times 400=2400$. Les deux calculs directs demanderaient des multiplications à trois chiffres ; la factorisation les remplace par un produit d'une seconde. C'est le sujet de l'exercice 7, et c'est l'usage le plus ancien de cette identité.

a) Les extrêmes sont des carrés : $9x^{2}=(3x)^{2}$ et $16=4^{2}$. Le double produit des racines vaut $2\times 3x\times 4=24x$, exactement le terme du milieu. C'est donc un trinôme carré parfait, et $9x^{2}+24x+16=(3x+4)^{2}$. La figure en donne la lecture par les aires : le carré de côté $3x+4$ contient un carré de $9x^{2}$, un carré de $16$ et DEUX rectangles de $12x$, dont la somme fait bien $24x$.

b) Extrêmes : $4a^{2}=(2a)^{2}$ et $25b^{2}=(5b)^{2}$. Double produit : $2\times 2a\times 5b=20ab$, et le terme du milieu vaut $-20ab$ : le signe moins indique simplement la forme $(a-b)^{2}$. Donc $4a^{2}-20ab+25b^{2}=(2a-5b)^{2}$. Le signe du terme central est le SEUL à regarder pour choisir entre les deux formules ; les extrêmes, eux, sont toujours positifs.

c) Premier : les extrêmes sont $x^{2}$ et $49=7^{2}$, donc le double produit vaut $2\times x\times 7=14x$, et le terme manquant est $14$ ou $-14$, selon qu'on veut $(x+7)^{2}$ ou $(x-7)^{2}$. Deux réponses, et les donner toutes les deux rapporte le point. Deuxième : $16x^{2}=(4x)^{2}$ et le milieu vaut $-24x$, donc $2\times 4x\times b=24x$ donne $b=3$, et le terme manquant est $b^{2}=9$. Troisième : $25=5^{2}$ et le milieu vaut $30x$, donc $2\times a\times 5=30$ donne $a=3$, et le coefficient manquant est $a^{2}=9$.

d) Les extrêmes sont $x^{2}$ et $24$, or $24$ n'est pas un carré parfait : ce n'est donc PAS un trinôme carré parfait, et la question est réglée en cinq secondes. On passe au produit-somme : deux nombres de produit $24$ et de somme $10$, soit $4$ et $6$. Donc $x^{2}+10x+24=(x+4)(x+6)$. Le piège serait de forcer $(x+5)^{2}$, qui vaut $x^{2}+10x+25$ : le terme constant diffère de $1$, et cette unité fait toute la différence.

e) On reconnaît un trinôme carré parfait : $4x^{2}=(2x)^{2}$, $9=3^{2}$ et $2\times 2x\times 3=12x$, ce qui correspond au $-12x$ de l'énoncé. Donc $4x^{2}-12x+9=(2x-3)^{2}$, et $\sqrt{(2x-3)^{2}}=|2x-3|$. La valeur absolue est obligatoire : une racine carrée ne rend jamais un négatif, et $2x-3$ est négatif dès que $x<1{,}5$. C'est exactement la règle du chapitre d'arithmétique, et elle se rencontre ici pour la première fois dans un contexte de factorisation.

a) Produit $-35$, somme $2$. Le produit est NÉGATIF, donc les deux nombres sont de signes contraires, et le plus grand en valeur absolue porte le signe de la somme, ici le plus. Les diviseurs de $35$ sont $1$ et $35$, $5$ et $7$ : c'est $7$ et $-5$, dont la somme vaut $2$. Donc $x^{2}+2x-35=(x+7)(x-5)$. Lire le SIGNE du produit avant de chercher les nombres divise par deux le nombre d'essais.

b) Produit $28$, somme $-11$. Le produit est POSITIF, donc les deux nombres ont le même signe, et la somme étant négative, ils sont tous deux négatifs. Les couples de produit $28$ sont $1$ et $28$, $2$ et $14$, $4$ et $7$ : c'est $-4$ et $-7$. Donc $x^{2}-11x+28=(x-4)(x-7)$. Contrôle : le produit des termes constants doit redonner $28$, et leur somme $-11$.

c) Le coefficient dominant vaut $3$, donc on cherche deux nombres de produit $3\times 8=24$ et de somme $14$ : ce sont $12$ et $2$. On coupe le terme du milieu : $3x^{2}+12x+2x+8$, puis on groupe : $3x(x+4)+2(x+4)=(x+4)(3x+2)$. La coupure n'est pas arbitraire, elle est dictée par les deux nombres trouvés, et l'ordre des deux morceaux ne change rien au résultat.

d) Produit $10\times 6=60$, somme $-19$. Les deux nombres sont négatifs : $-15$ et $-4$. On coupe : $10x^{2}-15x-4x+6$, puis on groupe : $5x(2x-3)-2(2x-3)=(2x-3)(5x-2)$. Le second groupe demande de sortir $-2$ et non $2$, exactement comme à l'exercice 1 : c'est le même geste, et c'est pourquoi le produit-somme avec $a\neq 1$ n'est qu'un groupement déguisé.

e) Produit $4\times(-15)=-60$, somme $4$. Signes contraires, et le plus grand est positif : $10$ et $-6$. On coupe : $4x^{2}+10x-6x-15$, puis on groupe : $2x(2x+5)-3(2x+5)=(2x+5)(2x-3)$. Contrôle rapide : le produit des deux termes constants, $5\times(-3)=-15$, redonne bien le terme constant de départ.

a) à d) : a) deux termes, tous deux des carrés, différence de carrés : $(x-8)(x+8)$. b) trois termes, extrêmes carrés et milieu égal au double produit $2\times x\times 8=16x$, carré parfait : $(x-8)^{2}$. c) trois termes, mais $63$ n'est pas un carré, donc produit-somme : produit $-63$, somme $-2$, soit $-9$ et $7$, d'où $(x-9)(x+7)$. d) deux termes avec un facteur commun, mise en évidence : $2x(x-4)$, et la parenthèse ne se factorise plus.

e) à h) : e) quatre termes, groupement : $a(x+3)+2(x+3)=(x+3)(a+2)$. f) deux termes, mais c'est une SOMME de carrés : elle ne se factorise pas sur les réels. g) trois termes, extrêmes carrés, milieu $2\times 2x\times 3=12x$ : carré parfait, $(2x-3)^{2}$. h) quatre termes, groupement : $x^{2}(x+2)-9(x+2)=(x+2)(x^{2}-9)$, et la seconde parenthèse est une différence de carrés, donc $(x+2)(x-3)(x+3)$.

i) C'est f), $x^{2}+64$. Une somme de deux carrés est strictement positive pour tout $x$ réel, donc elle n'a aucune racine réelle, donc aucun facteur du premier degré. La différence d'un seul signe avec a), qui se factorise en deux facteurs, est ce que l'examen teste le plus souvent sur ce chapitre : on relit le signe AVANT d'appliquer la formule.

j) « D'abord la mise en évidence simple. Puis je compte les termes : deux, je cherche une différence de carrés ; trois, je teste le carré parfait puis le produit-somme ; quatre, je groupe deux par deux. Et je recommence sur chaque parenthèse obtenue. » La dernière phrase est celle qu'on oublie : h) demande deux tours, et c) un seul.

a) Mise en évidence d'abord : $2x^{4}-32=2(x^{4}-16)$. Puis différence de carrés : $2(x^{2}-4)(x^{2}+4)$. La première parenthèse est encore une différence de carrés, la seconde est une somme et s'arrête là. Résultat : $2(x-2)(x+2)(x^{2}+4)$. Trois tours de test, et c'est le facteur $2$ sorti au départ qui rendait la différence de carrés visible, $2x^{4}$ n'étant pas un carré parfait.

b) Le coefficient dominant est négatif : on sort $-3$, ce qui remet le trinôme dans sa forme habituelle. $-3x^{2}-12x-12=-3(x^{2}+4x+4)$, et la parenthèse est un carré parfait, $2\times x\times 2=4x$. Donc $-3(x+2)^{2}$. Sortir $3$ au lieu de $-3$ laisserait $3(-x^{2}-4x-4)$, une parenthèse à coefficient dominant négatif qu'on ne reconnaît plus. La règle : devant un coefficient dominant négatif, on sort le signe moins.

c) $x^{5}-x=x(x^{4}-1)$, puis $x(x^{2}-1)(x^{2}+1)$, puis $x(x-1)(x+1)(x^{2}+1)$. Quatre facteurs, dont trois du premier degré : l'expression s'annule en $0$, en $1$ et en $-1$, ce qu'on peut vérifier directement sur $x^{5}-x$. Ce contrôle par les racines est le plus rapide qui soit sur une factorisation complète.

d) Facteur commun $5ab$ : $5a^{3}b-45ab^{3}=5ab(a^{2}-9b^{2})$. La parenthèse est une différence de carrés à deux lettres : $(a-3b)(a+3b)$. Résultat : $5ab(a-3b)(a+3b)$. Prendre $5a^{3}b$ ou $5ab^{3}$ comme facteur commun est l'erreur du jour : on prend chaque lettre à sa plus PETITE puissance présente dans les deux termes.

e) Facteur commun $2$ : $2(x^{3}+2x^{2}-x-2)$. Quatre termes dans la parenthèse, donc groupement : $x^{2}(x+2)-1(x+2)=(x+2)(x^{2}-1)$, puis différence de carrés. Résultat : $2(x+2)(x-1)(x+1)$. Contrôle par les racines : l'expression doit s'annuler en $-2$, en $1$ et en $-1$, et $2(-2)^{3}+4(-2)^{2}-2(-2)-4=-16+16+4-4=0$.

a) Le numérateur est une différence de carrés : $2024^{2}-2023^{2}=(2024-2023)(2024+2023)=1\times 4047$. Le dénominateur vaut $4047$, donc le quotient vaut $1$. Le calcul direct demanderait deux élévations au carré à sept chiffres ; la factorisation le réduit à une soustraction. Remarquez que la réponse vaut $1$ pour DEUX entiers consécutifs quelconques, puisque leur différence vaut toujours $1$.

b) $97^{2}-9=97^{2}-3^{2}=(97-3)(97+3)=94\times 100$. Le dénominateur vaut $94$, donc le quotient vaut $100$. Il fallait voir le $9$ comme $3^{2}$, ce qui est le seul pas de raisonnement de la question : sans lui, on se retrouve à calculer $9409-9=9400$, puis à diviser par $94$, ce qui marche mais prend dix fois plus de temps.

c) La forme $a^{2}+2ab+b^{2}$ est visible telle quelle, avec $a=48$ et $b=2$ : l'expression vaut $(48+2)^{2}=50^{2}=2500$. Reconnaître le double produit est ici la totalité du travail. C'est aussi la façon dont on calcule $51^{2}$ de tête : $(50+1)^{2}=2500+100+1=2601$.

d) Mise en évidence au numérateur : $35\times 41-35\times 27=35(41-27)=35\times 14$. En divisant par $14$, il reste $35$. La mise en évidence est la plus simple des factorisations et la plus rentable en calcul mental, parce qu'elle évite deux multiplications à deux chiffres.

e) Parce qu'une factorisation remplace une SOMME, qui oblige à calculer chaque terme en entier, par un PRODUIT, dont les facteurs se simplifient avant tout calcul. Dans les quatre questions, le facteur qui apparaît est exactement celui qui se simplifiait avec le dénominateur, ou qui donnait un nombre rond. C'est la même raison qui rend la forme factorisée plus utile que la forme développée en algèbre.

a) Contre-exemple : $x=1$ donne $1+16=17$ à gauche et $5^{2}=25$ à droite. L'affirmation oublie le double produit. L'énoncé correct est $(x+4)^{2}=x^{2}+8x+16$, et $x^{2}+16$ ne se factorise pas du tout, étant une somme de carrés. Deux erreurs en une, donc, et c'est la plus fréquente du chapitre.

b) Contre-exemple : $x=0$ donne $9$ à gauche et $(-3)(3)=-9$ à droite. L'affirmation applique la différence de carrés à un trinôme. L'énoncé correct est $x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}$ : trois termes appellent le carré parfait ou le produit-somme, jamais la différence de carrés, qui n'a que DEUX termes.

c) L'égalité écrite est vraie, mais la conclusion est fausse : $x^{2}-4$ est une différence de carrés et se factorise encore. Le résultat complet est $2(x-2)(x+2)$. On vérifie qu'il manquait quelque chose en cherchant les racines : $x=2$ annule l'expression de départ, $2\times 4-8=0$, donc $(x-2)$ doit figurer parmi les facteurs.

d) Contre-exemple : $x=-3$ donne aussi $9-9=0$. L'affirmation oublie une racine. L'énoncé correct passe par la factorisation : $x^{2}-9=0$ s'écrit $(x-3)(x+3)=0$, donc $x=3$ OU $x=-3$. C'est tout l'intérêt de factoriser avant de résoudre : un produit nul donne AUTANT de solutions qu'il a de facteurs.

e) Contre-exemple : $x=0$ donne $-8$ à gauche et $(-2)^{3}=-8$ à droite, donc cette valeur ne réfute rien ; il faut en essayer une autre. Avec $x=1$ : $1-8=-7$ à gauche et $(-1)^{3}=-1$ à droite. L'égalité est donc fausse. L'énoncé correct est la différence de cubes, $x^{3}-8=(x-2)(x^{2}+2x+4)$, et le second facteur ne se factorise pas sur les réels. Le choix du contre-exemple compte : une valeur qui annule les deux membres ne prouve rien.

a) Le cylindre plein a pour volume $\pi R^{2}h$ et le vide $\pi r^{2}h$, donc $V=\pi R^{2}h-\pi r^{2}h=\pi h\left(R^{2}-r^{2}\right)$. La parenthèse est une différence de carrés : $V=\pi h(R-r)(R+r)$. Cette forme est la bonne pour la suite, parce qu'elle fait apparaître l'ÉPAISSEUR, $R-r$, qui est la grandeur que le fabricant contrôle.

b) $R-r=6-5{,}4=0{,}6$ et $R+r=11{,}4$, donc $R^{2}-r^{2}=0{,}6\times 11{,}4=6{,}84$. Alors $V=\pi\times 200\times 6{,}84=1368\pi\approx 4297{,}70$ cm cubes. Le calcul direct donnerait $36-29{,}16=6{,}84$, la même chose, mais avec deux carrés à quatre chiffres et une soustraction de nombres proches, où une décimale se perd facilement. La forme factorisée travaille sur des nombres à une décimale.

c) Puisque $e=R-r$, on a $r=R-e$, donc $R+r=R+(R-e)=2R-e$. En remplaçant dans la forme factorisée : $V=\pi h(R-r)(R+r)=\pi h\,e\,(2R-e)$. On a remplacé deux variables par l'épaisseur et le rayon extérieur, qui sont précisément les deux cotes d'un plan de fabrication : c'est cela, choisir la bonne écriture d'une formule.

d) On résout $\pi\times 200\times e\times(12-e)=2000$, soit $e(12-e)=\dfrac{2000}{200\pi}=\dfrac{10}{\pi}\approx 3{,}1831$. On développe : $e^{2}-12e+3{,}1831=0$, dont le discriminant vaut $144-12{,}7324=131{,}2676$ et la racine carrée $11{,}4572$. Les deux solutions sont $e\approx 0{,}2714$ et $e\approx 11{,}7286$. La seconde est à REJETER : une épaisseur ne peut pas dépasser le rayon extérieur, qui vaut $6$ cm. Donc $e\approx 0{,}27$ cm. Le rejet motivé vaut un point à lui seul.

e) Non. Avec $e=0{,}5428$ cm, on obtient $V=\pi\times 200\times 0{,}5428\times(12-0{,}5428)\approx 3907{,}44$ cm cubes, soit environ $1{,}95$ fois le volume de départ et non $2$. La forme $V=\pi h\,e\,(2R-e)$ explique pourquoi : quand $e$ double, le facteur $e$ double bien, mais le facteur $(2R-e)$ DIMINUE, puisqu'on retranche davantage. Le produit augmente donc un peu moins que du double, et l'écart grandit avec l'épaisseur.