Exercices corrigés : la complétion du carré et la factorisation par la formule quadratique (math TS, secondaire 5)

La moitié de $14$ vaut $7$, et $7^{2}=49$. On ajoute donc $49$, ce qui donne $x^{2}+14x+49=(x+7)^{2}$. Vérification par développement : $(x+7)^{2}=x^{2}+14x+49$, le double produit $2\times x\times 7$ redonne bien $14x$. C'est ce double produit qui explique la moitié : le coefficient de $x$ vaut DEUX fois le nombre qui est dans la parenthèse.

La moitié de $-9$ vaut $-4{,}5$, et $(-4{,}5)^{2}=20{,}25$, c'est-à-dire $\dfrac{81}{4}$. On obtient $x^{2}-9x+\dfrac{81}{4}=\left(x-\dfrac{9}{2}\right)^{2}$. Un coefficient impair ne change rien à la méthode : il donne simplement une fraction, et il vaut mieux garder $\dfrac{9}{2}$ que d'arrondir, parce que l'arrondi se propage ensuite dans le sommet.

Le trinôme porte déjà un $40$, or le carré parfait en demande $49$. On écrit donc $40=49-9$ : $x^{2}+14x+40=\underbrace{x^{2}+14x+49}_{(x+7)^{2}}-9=(x+7)^{2}-9$. Vérification à $x=0$ : l'expression de départ vaut $40$, et $(0+7)^{2}-9=49-9=40$. Les deux écritures sont la même expression, pas deux expressions égales par hasard.

Il faut $20{,}25$, on n'a que $7$ : $x^{2}-9x+7=(x-4{,}5)^{2}-20{,}25+7=(x-4{,}5)^{2}-13{,}25$. Vérification à $x=0$ : $(-4{,}5)^{2}-13{,}25=20{,}25-13{,}25=7$. En fractions, la même chose s'écrit $\left(x-\dfrac{9}{2}\right)^{2}-\dfrac{53}{4}$.

Le carré de départ a pour côté $x$. Pour agrandir ce carré en gardant un carré, on ajoute une bande le long du côté du bas ET une bande le long du côté de droite : le terme $bx$ se partage donc en DEUX rectangles de largeur $\dfrac{b}{2}$. Le coin où les deux bandes se rejoignent est un carré de côté $\dfrac{b}{2}$, donc d'aire $\left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}$. Ajouter $b^{2}$ reviendrait à poser une seule bande de largeur $b$ d'un seul côté, ce qui ne ferme aucun carré. L'erreur coûte toute la question, parce que le sommet trouvé ensuite est faux.

$3x^{2}+12x+5=3(x^{2}+4x)+5$. Dans la parenthèse, la moitié de $4$ vaut $2$ et $2^{2}=4$ : $3\left[(x+2)^{2}-4\right]+5$. On redistribue : $3(x+2)^{2}-12+5=3(x+2)^{2}-7$. Le $-4$ de la parenthèse est devenu $-12$, c'est là que tout se joue. Vérification à $x=0$ : $3\times 4-7=5$, et le trinôme de départ vaut $5$.

$2x^{2}-10x+3=2(x^{2}-5x)+3$. Moitié de $-5$ : $-2{,}5$, au carré $6{,}25$. Donc $2\left[(x-2{,}5)^{2}-6{,}25\right]+3=2(x-2{,}5)^{2}-12{,}5+3=2(x-2{,}5)^{2}-9{,}5$. Vérification à $x=0$ : $2\times 6{,}25-9{,}5=12{,}5-9{,}5=3$.

$-x^{2}+6x-4=-(x^{2}-6x)-4$. Attention au signe : en mettant $-1$ en évidence, le $+6x$ devient $-6x$ dans la parenthèse. Moitié de $-6$ : $-3$, au carré $9$. Donc $-\left[(x-3)^{2}-9\right]-4=-(x-3)^{2}+9-4=-(x-3)^{2}+5$. Vérification à $x=3$ : le trinôme vaut $-9+18-4=5$, et la forme canonique donne $5$. La parabole s'ouvre vers le bas, son maximum vaut donc $5$ et il est atteint en $x=3$.

$-4x^{2}-8x+1=-4(x^{2}+2x)+1$. Ici $-8x$ divisé par $-4$ donne $+2x$, et un signe mal géré envoie tout le reste à l'erreur. Moitié de $2$ : $1$, au carré $1$. Donc $-4\left[(x+1)^{2}-1\right]+1=-4(x+1)^{2}+4+1=-4(x+1)^{2}+5$. Vérification à $x=-1$ : le trinôme vaut $-4+8+1=5$.

Parce que la complétion du carré ne s'occupe QUE des termes en $x^{2}$ et en $x$ : le terme constant n'entre jamais dans le carré. Si on mettait $a$ en évidence sur les trois termes, le terme constant deviendrait $\dfrac{c}{a}$, une fraction de plus à traîner, qu'il faudrait de toute façon ressortir à la fin. La méthode courte est la bonne, et elle est aussi celle que l'examen attend.

$x^{2}-6x+5=(x^{2}-6x+9)-9+5=(x-3)^{2}-4$. Sommet $(3\,;-4)$, et comme $a=1>0$ la parabole s'ouvre vers le haut : c'est un MINIMUM, la valeur $-4$ est la plus petite que $y$ puisse prendre. Vérification : à $x=3$, $9-18+5=-4$.

$2x^{2}+8x+3=2(x^{2}+4x)+3=2\left[(x+2)^{2}-4\right]+3=2(x+2)^{2}-8+3=2(x+2)^{2}-5$. Sommet $(-2\,;-5)$, minimum car $a=2>0$. Vérification : à $x=-2$, $2\times 4-16+3=-5$.

$-3x^{2}+12x-7=-3(x^{2}-4x)-7=-3\left[(x-2)^{2}-4\right]-7=-3(x-2)^{2}+12-7=-3(x-2)^{2}+5$. Sommet $(2\,;5)$, MAXIMUM car $a=-3<0$. Vérification : à $x=2$, $-12+24-7=5$.

Pour b), $-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{8}{4}=-2$, qui est bien le $h$ trouvé. D'où cela vient : après la mise en évidence, la parenthèse contient $x^{2}+\dfrac{b}{a}x$, et la complétion y place la MOITIÉ de $\dfrac{b}{a}$, c'est-à-dire $\dfrac{b}{2a}$, sous la forme $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}$. Or la forme canonique s'écrit avec un MOINS, $(x-h)^{2}$, donc $h=-\dfrac{b}{2a}$. La formule n'est pas une règle à retenir à part : c'est la complétion du carré faite une fois pour toutes avec des lettres. Le $k$, lui, se calcule ensuite en évaluant la règle en $h$, ce qui est plus rapide que la deuxième formule.

$a=2$, $b=-7$, $c=3$. Discriminant : $(-7)^{2}-4\times 2\times 3=49-24=25$, un carré parfait, donc les zéros sont rationnels : $x=\dfrac{7\pm 5}{4}$, soit $x_{1}=3$ et $x_{2}=\dfrac{1}{2}$. La factorisation est $2(x-3)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$, et on fait entrer le $2$ dans le second facteur pour obtenir des coefficients entiers : $(x-3)(2x-1)$. Vérification par développement : $2x^{2}-x-6x+3=2x^{2}-7x+3$.

$a=6$, $b=1$, $c=-2$. Discriminant : $1+48=49$, donc $x=\dfrac{-1\pm 7}{12}$, soit $x_{1}=\dfrac{1}{2}$ et $x_{2}=-\dfrac{2}{3}$. On écrit $6\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(x+\dfrac{2}{3}\right)$, puis on répartit le $6$ en $2$ et $3$, un par facteur : $(2x-1)(3x+2)$. Vérification : $6x^{2}+4x-3x-2=6x^{2}+x-2$. Répartir le facteur $a$ facteur par facteur, plutôt que de le coller à l'un des deux, est ce qui donne des coefficients entiers du premier coup.

$a=4$, $b=-12$, $c=9$. Discriminant : $144-144=0$. Un discriminant NUL donne un seul zéro, $x=\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2}$, compté deux fois : $4\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(x-\dfrac{3}{2}\right)=4\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}$. En faisant entrer $4=2\times 2$, un $2$ par facteur : $(2x-3)^{2}$. On retrouve le trinôme carré parfait de la TS 4, mais par un autre chemin, et sans avoir eu besoin de le reconnaître.

Le facteur $a=2$ a été oublié. On le détecte en regardant le seul terme en $x^{2}$ : le produit proposé donne $x\times x=x^{2}$, alors que le trinôme commence par $2x^{2}$. Deux secondes suffisent, et cette vérification s'applique à toute factorisation. On peut aussi évaluer en un point simple : à $x=0$, le trinôme vaut $3$ tandis que $(0-3)\left(0-\dfrac{1}{2}\right)=1{,}5$, soit exactement la moitié. L'erreur coûte tous les points de la question, parce que l'expression écrite n'est pas égale à celle de départ.

Discriminant : $36-16=20$, positif mais pas un carré parfait. $x=\dfrac{6\pm\sqrt{20}}{2}=\dfrac{6\pm 2\sqrt{5}}{2}=3\pm\sqrt{5}$. On simplifie le radical AVANT de diviser, sinon la fraction ne se simplifie pas. La factorisation est donc $\left(x-3-\sqrt{5}\right)\left(x-3+\sqrt{5}\right)$, avec $a=1$. Vérification par développement, en reconnaissant une différence de carrés : $\left[(x-3)-\sqrt{5}\right]\left[(x-3)+\sqrt{5}\right]=(x-3)^{2}-5=x^{2}-6x+9-5=x^{2}-6x+4$. Au passage, $(x-3)^{2}-5$ est la forme canonique : la factorisation et la complétion du carré disent la même chose.

Discriminant : $16+8=24$. $x=\dfrac{-4\pm\sqrt{24}}{4}=\dfrac{-4\pm 2\sqrt{6}}{4}=\dfrac{-2\pm\sqrt{6}}{2}=-1\pm\dfrac{\sqrt{6}}{2}$. Avec le facteur $a=2$ : $2\left(x+1-\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)\left(x+1+\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)$. Vérification : le produit des deux parenthèses vaut $(x+1)^{2}-\dfrac{6}{4}$, et en multipliant par $2$ on obtient $2(x+1)^{2}-3=2x^{2}+4x+2-3=2x^{2}+4x-1$. Valeurs approchées des zéros : $0{,}2247$ et $-2{,}2247$.

Discriminant : $1-4=-3<0$. Il n'y a aucun zéro réel, donc aucune factorisation sur les réels. La complétion du carré le montre autrement, et mieux : $x^{2}+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{4}$, une somme d'un carré et d'un nombre strictement positif, donc une expression toujours supérieure ou égale à $\dfrac{3}{4}$. Un trinôme qui ne s'annule jamais ne peut pas s'écrire comme un produit de deux facteurs du premier degré, puisqu'un tel produit s'annule.

Pour $3x^{2}-5x+2$ : $25-24=1>0$, et c'est même un carré parfait, donc les zéros sont rationnels : $x=\dfrac{5\pm 1}{6}$, soit $1$ et $\dfrac{2}{3}$. La factorisation est $3(x-1)\left(x-\dfrac{2}{3}\right)=(x-1)(3x-2)$. Pour $3x^{2}-5x+3$ : $25-36=-11<0$, aucune factorisation réelle. Un seul chiffre change dans le trinôme, et la réponse bascule : c'est pourquoi on calcule le discriminant AVANT de chercher une factorisation à tâtons.

$\Delta=49-48=1$, un carré parfait. Les zéros sont $x=\dfrac{7\pm 1}{2}$, soit $4$ et $3$, et la factorisation est $(x-3)(x-4)$. Le produit-somme l'aurait donnée aussi vite, puisqu'il faut deux nombres de produit $12$ et de somme $7$.

$\Delta=49-44=5$, positif mais pas un carré parfait. Les zéros sont $x=\dfrac{7\pm\sqrt{5}}{2}$, environ $2{,}382$ et $4{,}618$. La factorisation exacte est $\left(x-\dfrac{7-\sqrt{5}}{2}\right)\left(x-\dfrac{7+\sqrt{5}}{2}\right)$. Ici le produit-somme échoue complètement : aucun couple d'entiers ne convient, et un élève qui s'entête à en chercher un perd son temps et conclut à tort que le trinôme est irréductible.

$\Delta=49-52=-3<0$ : aucune factorisation réelle. La forme canonique $\left(x-\dfrac{7}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{4}$ confirme que l'expression reste toujours supérieure à zéro.

Les zéros sont rationnels quand $\Delta=49-4c$ est un carré parfait positif ou nul. On teste les carrés : $49-4c=1$ donne $c=12$, $49-4c=9$ donne $c=10$, $49-4c=25$ donne $c=6$, $49-4c=49$ donne $c=0$, hors de la plage demandée. Les cas $49-4c=4$, $16$ ou $36$ conduisent à des $c$ non entiers, parce que $49$ est impair et que $4c$ est pair : $49-4c$ est donc toujours IMPAIR, et seuls les carrés impairs sont possibles. Réponse : $c=6$, $c=10$ et $c=12$, qui donnent respectivement $(x-1)(x-6)$, $(x-2)(x-5)$ et $(x-3)(x-4)$. La remarque de parité épargne la moitié des essais, et c'est le genre d'argument que la compétence « raisonnement » attend.

$x^{2}-8x+20=(x^{2}-8x+16)+4=(x-4)^{2}+4$. Un carré est toujours positif ou nul, donc l'expression vaut au moins $4$ : elle est strictement positive, et son minimum est $4$, atteint pour $x=4$. Le discriminant dirait aussi qu'il n'y a pas de zéro, $64-80=-16<0$, mais il ne donnerait pas le minimum, alors que la forme canonique donne les deux d'un coup.

$-2x^{2}+12x-13=-2(x^{2}-6x)-13=-2\left[(x-3)^{2}-9\right]-13=-2(x-3)^{2}+18-13=-2(x-3)^{2}+5$. Le carré est positif ou nul, on le multiplie par $-2$, donc $-2(x-3)^{2}$ est négatif ou nul : l'expression vaut au plus $5$. Maximum $5$, atteint en $x=3$. Vérification : $-18+36-13=5$.

$x^{2}+6x-16=(x+3)^{2}-9-16=(x+3)^{2}-25$. L'inéquation devient $(x+3)^{2}>25$, c'est-à-dire $|x+3|>5$, donc $x+3>5$ ou $x+3<-5$ : $x>2$ ou $x<-8$. L'ensemble-solution est $]-\infty\,;-8[\ \cup\ ]2\,;+\infty[$. Le passage par la valeur absolue est ce qui évite le tableau de signes : une inéquation $A^{2}>k$ avec $k>0$ donne toujours DEUX morceaux séparés, jamais un intervalle unique.

On complète le carré en $x$ et en $y$ séparément : $x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9$ et $y^{2}+4y=(y+2)^{2}-4$. L'équation devient $(x-3)^{2}-9+(y+2)^{2}-4+9=0$, donc $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=4$. C'est l'équation du cercle de centre $(3\,;-2)$ et de rayon $\sqrt{4}=2$. Vérification avec un point : $(5\,;-2)$ donne $4+0=4$, il est bien sur le cercle, et il est bien à distance $2$ du centre. La complétion du carré en deux variables est l'outil qui sert à reconnaître une conique écrite sous forme développée, au chapitre des lieux géométriques.

Les deux bords relevés mesurent $x$ chacun, donc le fond mesure $30-2x$ centimètres. La section est un rectangle de hauteur $x$ et de base $30-2x$ : $A(x)=x(30-2x)=-2x^{2}+30x$, en centimètres carrés. Pour que la figure existe, il faut $x>0$ et $30-2x>0$, donc $0<x<15$. Cette contrainte n'est pas décorative : elle élimine d'avance toute réponse négative ou supérieure à $15$.