Exercices corrigés : la complétion du carré et la factorisation par la formule quadratique (math TS, secondaire 5)

a) La moitié de $14$ vaut $7$, et $7^{2}=49$. On ajoute donc $49$, ce qui donne $x^{2}+14x+49=(x+7)^{2}$. Vérification par développement : $(x+7)^{2}=x^{2}+14x+49$, le double produit $2\times x\times 7$ redonne bien $14x$. C'est ce double produit qui explique la moitié : le coefficient de $x$ vaut DEUX fois le nombre qui est dans la parenthèse.

b) La moitié de $-9$ vaut $-4{,}5$, et $(-4{,}5)^{2}=20{,}25$, c'est-à-dire $\dfrac{81}{4}$. On obtient $x^{2}-9x+\dfrac{81}{4}=\left(x-\dfrac{9}{2}\right)^{2}$. Un coefficient impair ne change rien à la méthode : il donne simplement une fraction, et il vaut mieux garder $\dfrac{9}{2}$ que d'arrondir, parce que l'arrondi se propage ensuite dans le sommet.

c) Le trinôme porte déjà un $40$, or le carré parfait en demande $49$. On écrit donc $40=49-9$ : $x^{2}+14x+40=\underbrace{x^{2}+14x+49}_{(x+7)^{2}}-9=(x+7)^{2}-9$. Vérification à $x=0$ : l'expression de départ vaut $40$, et $(0+7)^{2}-9=49-9=40$. Les deux écritures sont la même expression, pas deux expressions égales par hasard.

d) Il faut $20{,}25$, on n'a que $7$ : $x^{2}-9x+7=(x-4{,}5)^{2}-20{,}25+7=(x-4{,}5)^{2}-13{,}25$. Vérification à $x=0$ : $(-4{,}5)^{2}-13{,}25=20{,}25-13{,}25=7$. En fractions, la même chose s'écrit $\left(x-\dfrac{9}{2}\right)^{2}-\dfrac{53}{4}$.

e) Le carré de départ a pour côté $x$. Pour agrandir ce carré en gardant un carré, on ajoute une bande le long du côté du bas ET une bande le long du côté de droite : le terme $bx$ se partage donc en DEUX rectangles de largeur $\dfrac{b}{2}$. Le coin où les deux bandes se rejoignent est un carré de côté $\dfrac{b}{2}$, donc d'aire $\left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}$. Ajouter $b^{2}$ reviendrait à poser une seule bande de largeur $b$ d'un seul côté, ce qui ne ferme aucun carré. L'erreur coûte toute la question, parce que le sommet trouvé ensuite est faux.

a) $3x^{2}+12x+5=3(x^{2}+4x)+5$. Dans la parenthèse, la moitié de $4$ vaut $2$ et $2^{2}=4$ : $3\left[(x+2)^{2}-4\right]+5$. On redistribue : $3(x+2)^{2}-12+5=3(x+2)^{2}-7$. Le $-4$ de la parenthèse est devenu $-12$, c'est là que tout se joue. Vérification à $x=0$ : $3\times 4-7=5$, et le trinôme de départ vaut $5$.

b) $2x^{2}-10x+3=2(x^{2}-5x)+3$. Moitié de $-5$ : $-2{,}5$, au carré $6{,}25$. Donc $2\left[(x-2{,}5)^{2}-6{,}25\right]+3=2(x-2{,}5)^{2}-12{,}5+3=2(x-2{,}5)^{2}-9{,}5$. Vérification à $x=0$ : $2\times 6{,}25-9{,}5=12{,}5-9{,}5=3$.

c) $-x^{2}+6x-4=-(x^{2}-6x)-4$. Attention au signe : en mettant $-1$ en évidence, le $+6x$ devient $-6x$ dans la parenthèse. Moitié de $-6$ : $-3$, au carré $9$. Donc $-\left[(x-3)^{2}-9\right]-4=-(x-3)^{2}+9-4=-(x-3)^{2}+5$. Vérification à $x=3$ : le trinôme vaut $-9+18-4=5$, et la forme canonique donne $5$. La parabole s'ouvre vers le bas, son maximum vaut donc $5$ et il est atteint en $x=3$.

d) $-4x^{2}-8x+1=-4(x^{2}+2x)+1$. Ici $-8x$ divisé par $-4$ donne $+2x$, et un signe mal géré envoie tout le reste à l'erreur. Moitié de $2$ : $1$, au carré $1$. Donc $-4\left[(x+1)^{2}-1\right]+1=-4(x+1)^{2}+4+1=-4(x+1)^{2}+5$. Vérification à $x=-1$ : le trinôme vaut $-4+8+1=5$.

e) Parce que la complétion du carré ne s'occupe QUE des termes en $x^{2}$ et en $x$ : le terme constant n'entre jamais dans le carré. Si on mettait $a$ en évidence sur les trois termes, le terme constant deviendrait $\dfrac{c}{a}$, une fraction de plus à traîner, qu'il faudrait de toute façon ressortir à la fin. La méthode courte est la bonne, et elle est aussi celle que l'examen attend.

a) $x^{2}-6x+5=(x^{2}-6x+9)-9+5=(x-3)^{2}-4$. Sommet $(3\,;-4)$, et comme $a=1>0$ la parabole s'ouvre vers le haut : c'est un MINIMUM, la valeur $-4$ est la plus petite que $y$ puisse prendre. Vérification : à $x=3$, $9-18+5=-4$.

b) $2x^{2}+8x+3=2(x^{2}+4x)+3=2\left[(x+2)^{2}-4\right]+3=2(x+2)^{2}-8+3=2(x+2)^{2}-5$. Sommet $(-2\,;-5)$, minimum car $a=2>0$. Vérification : à $x=-2$, $2\times 4-16+3=-5$.

c) $-3x^{2}+12x-7=-3(x^{2}-4x)-7=-3\left[(x-2)^{2}-4\right]-7=-3(x-2)^{2}+12-7=-3(x-2)^{2}+5$. Sommet $(2\,;5)$, MAXIMUM car $a=-3<0$. Vérification : à $x=2$, $-12+24-7=5$.

d) Pour b), $-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{8}{4}=-2$, qui est bien le $h$ trouvé. D'où cela vient : après la mise en évidence, la parenthèse contient $x^{2}+\dfrac{b}{a}x$, et la complétion y place la MOITIÉ de $\dfrac{b}{a}$, c'est-à-dire $\dfrac{b}{2a}$, sous la forme $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}$. Or la forme canonique s'écrit avec un MOINS, $(x-h)^{2}$, donc $h=-\dfrac{b}{2a}$. La formule n'est pas une règle à retenir à part : c'est la complétion du carré faite une fois pour toutes avec des lettres. Le $k$, lui, se calcule ensuite en évaluant la règle en $h$, ce qui est plus rapide que la deuxième formule.

a) $a=2$, $b=-7$, $c=3$. Discriminant : $(-7)^{2}-4\times 2\times 3=49-24=25$, un carré parfait, donc les zéros sont rationnels : $x=\dfrac{7\pm 5}{4}$, soit $x_{1}=3$ et $x_{2}=\dfrac{1}{2}$. La factorisation est $2(x-3)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$, et on fait entrer le $2$ dans le second facteur pour obtenir des coefficients entiers : $(x-3)(2x-1)$. Vérification par développement : $2x^{2}-x-6x+3=2x^{2}-7x+3$.

b) $a=6$, $b=1$, $c=-2$. Discriminant : $1+48=49$, donc $x=\dfrac{-1\pm 7}{12}$, soit $x_{1}=\dfrac{1}{2}$ et $x_{2}=-\dfrac{2}{3}$. On écrit $6\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(x+\dfrac{2}{3}\right)$, puis on répartit le $6$ en $2$ et $3$, un par facteur : $(2x-1)(3x+2)$. Vérification : $6x^{2}+4x-3x-2=6x^{2}+x-2$. Répartir le facteur $a$ facteur par facteur, plutôt que de le coller à l'un des deux, est ce qui donne des coefficients entiers du premier coup.

c) $a=4$, $b=-12$, $c=9$. Discriminant : $144-144=0$. Un discriminant NUL donne un seul zéro, $x=\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2}$, compté deux fois : $4\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(x-\dfrac{3}{2}\right)=4\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}$. En faisant entrer $4=2\times 2$, un $2$ par facteur : $(2x-3)^{2}$. On retrouve le trinôme carré parfait de la TS 4, mais par un autre chemin, et sans avoir eu besoin de le reconnaître.

d) Le facteur $a=2$ a été oublié. On le détecte en regardant le seul terme en $x^{2}$ : le produit proposé donne $x\times x=x^{2}$, alors que le trinôme commence par $2x^{2}$. Deux secondes suffisent, et cette vérification s'applique à toute factorisation. On peut aussi évaluer en un point simple : à $x=0$, le trinôme vaut $3$ tandis que $(0-3)\left(0-\dfrac{1}{2}\right)=1{,}5$, soit exactement la moitié. L'erreur coûte tous les points de la question, parce que l'expression écrite n'est pas égale à celle de départ.

a) Discriminant : $36-16=20$, positif mais pas un carré parfait. $x=\dfrac{6\pm\sqrt{20}}{2}=\dfrac{6\pm 2\sqrt{5}}{2}=3\pm\sqrt{5}$. On simplifie le radical AVANT de diviser, sinon la fraction ne se simplifie pas. La factorisation est donc $\left(x-3-\sqrt{5}\right)\left(x-3+\sqrt{5}\right)$, avec $a=1$. Vérification par développement, en reconnaissant une différence de carrés : $\left[(x-3)-\sqrt{5}\right]\left[(x-3)+\sqrt{5}\right]=(x-3)^{2}-5=x^{2}-6x+9-5=x^{2}-6x+4$. Au passage, $(x-3)^{2}-5$ est la forme canonique : la factorisation et la complétion du carré disent la même chose.

b) Discriminant : $16+8=24$. $x=\dfrac{-4\pm\sqrt{24}}{4}=\dfrac{-4\pm 2\sqrt{6}}{4}=\dfrac{-2\pm\sqrt{6}}{2}=-1\pm\dfrac{\sqrt{6}}{2}$. Avec le facteur $a=2$ : $2\left(x+1-\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)\left(x+1+\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)$. Vérification : le produit des deux parenthèses vaut $(x+1)^{2}-\dfrac{6}{4}$, et en multipliant par $2$ on obtient $2(x+1)^{2}-3=2x^{2}+4x+2-3=2x^{2}+4x-1$. Valeurs approchées des zéros : $0{,}2247$ et $-2{,}2247$.

c) Discriminant : $1-4=-3<0$. Il n'y a aucun zéro réel, donc aucune factorisation sur les réels. La complétion du carré le montre autrement, et mieux : $x^{2}+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{4}$, une somme d'un carré et d'un nombre strictement positif, donc une expression toujours supérieure ou égale à $\dfrac{3}{4}$. Un trinôme qui ne s'annule jamais ne peut pas s'écrire comme un produit de deux facteurs du premier degré, puisqu'un tel produit s'annule.

d) Pour $3x^{2}-5x+2$ : $25-24=1>0$, et c'est même un carré parfait, donc les zéros sont rationnels : $x=\dfrac{5\pm 1}{6}$, soit $1$ et $\dfrac{2}{3}$. La factorisation est $3(x-1)\left(x-\dfrac{2}{3}\right)=(x-1)(3x-2)$. Pour $3x^{2}-5x+3$ : $25-36=-11<0$, aucune factorisation réelle. Un seul chiffre change dans le trinôme, et la réponse bascule : c'est pourquoi on calcule le discriminant AVANT de chercher une factorisation à tâtons.

a) $\Delta=49-48=1$, un carré parfait. Les zéros sont $x=\dfrac{7\pm 1}{2}$, soit $4$ et $3$, et la factorisation est $(x-3)(x-4)$. Le produit-somme l'aurait donnée aussi vite, puisqu'il faut deux nombres de produit $12$ et de somme $7$.

b) $\Delta=49-44=5$, positif mais pas un carré parfait. Les zéros sont $x=\dfrac{7\pm\sqrt{5}}{2}$, environ $2{,}382$ et $4{,}618$. La factorisation exacte est $\left(x-\dfrac{7-\sqrt{5}}{2}\right)\left(x-\dfrac{7+\sqrt{5}}{2}\right)$. Ici le produit-somme échoue complètement : aucun couple d'entiers ne convient, et un élève qui s'entête à en chercher un perd son temps et conclut à tort que le trinôme est irréductible.

c) $\Delta=49-52=-3<0$ : aucune factorisation réelle. La forme canonique $\left(x-\dfrac{7}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{4}$ confirme que l'expression reste toujours supérieure à zéro.

d) Les zéros sont rationnels quand $\Delta=49-4c$ est un carré parfait positif ou nul. On teste les carrés : $49-4c=1$ donne $c=12$, $49-4c=9$ donne $c=10$, $49-4c=25$ donne $c=6$, $49-4c=49$ donne $c=0$, hors de la plage demandée. Les cas $49-4c=4$, $16$ ou $36$ conduisent à des $c$ non entiers, parce que $49$ est impair et que $4c$ est pair : $49-4c$ est donc toujours IMPAIR, et seuls les carrés impairs sont possibles. Réponse : $c=6$, $c=10$ et $c=12$, qui donnent respectivement $(x-1)(x-6)$, $(x-2)(x-5)$ et $(x-3)(x-4)$. La remarque de parité épargne la moitié des essais, et c'est le genre d'argument que la compétence « raisonnement » attend.

a) $x^{2}-8x+20=(x^{2}-8x+16)+4=(x-4)^{2}+4$. Un carré est toujours positif ou nul, donc l'expression vaut au moins $4$ : elle est strictement positive, et son minimum est $4$, atteint pour $x=4$. Le discriminant dirait aussi qu'il n'y a pas de zéro, $64-80=-16<0$, mais il ne donnerait pas le minimum, alors que la forme canonique donne les deux d'un coup.

b) $-2x^{2}+12x-13=-2(x^{2}-6x)-13=-2\left[(x-3)^{2}-9\right]-13=-2(x-3)^{2}+18-13=-2(x-3)^{2}+5$. Le carré est positif ou nul, on le multiplie par $-2$, donc $-2(x-3)^{2}$ est négatif ou nul : l'expression vaut au plus $5$. Maximum $5$, atteint en $x=3$. Vérification : $-18+36-13=5$.

c) $x^{2}+6x-16=(x+3)^{2}-9-16=(x+3)^{2}-25$. L'inéquation devient $(x+3)^{2}>25$, c'est-à-dire $|x+3|>5$, donc $x+3>5$ ou $x+3<-5$ : $x>2$ ou $x<-8$. L'ensemble-solution est $]-\infty\,;-8[\ \cup\ ]2\,;+\infty[$. Le passage par la valeur absolue est ce qui évite le tableau de signes : une inéquation $A^{2}>k$ avec $k>0$ donne toujours DEUX morceaux séparés, jamais un intervalle unique.

d) On complète le carré en $x$ et en $y$ séparément : $x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9$ et $y^{2}+4y=(y+2)^{2}-4$. L'équation devient $(x-3)^{2}-9+(y+2)^{2}-4+9=0$, donc $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=4$. C'est l'équation du cercle de centre $(3\,;-2)$ et de rayon $\sqrt{4}=2$. Vérification avec un point : $(5\,;-2)$ donne $4+0=4$, il est bien sur le cercle, et il est bien à distance $2$ du centre. La complétion du carré en deux variables est l'outil qui sert à reconnaître une conique écrite sous forme développée, au chapitre des lieux géométriques.

a) Les deux bords relevés mesurent $x$ chacun, donc le fond mesure $30-2x$ centimètres. La section est un rectangle de hauteur $x$ et de base $30-2x$ : $A(x)=x(30-2x)=-2x^{2}+30x$, en centimètres carrés. Pour que la figure existe, il faut $x>0$ et $30-2x>0$, donc $0<x<15$. Cette contrainte n'est pas décorative : elle élimine d'avance toute réponse négative ou supérieure à $15$.

b) $A(x)=-2(x^{2}-15x)$. La moitié de $-15$ vaut $-7{,}5$, au carré $56{,}25$. Donc $A(x)=-2\left[(x-7{,}5)^{2}-56{,}25\right]=-2(x-7{,}5)^{2}+112{,}5$. Vérification à $x=5$ : la forme de départ donne $5\times 20=100$, et la forme canonique $-2\times 6{,}25+112{,}5=100$.

c) Le coefficient $-2$ est négatif, donc le sommet est un maximum : la section est maximale pour $x=7{,}5$ cm et vaut $112{,}5$ cm². Le fond mesure alors $30-15=15$ cm, soit exactement le double de la hauteur. C'est un résultat d'atelier utile à retenir : pour une feuille pliée en U, la meilleure section est obtenue quand le fond vaut le double du pli, autrement dit quand on relève le quart de la largeur de chaque côté.

d) On résout $-2(x-7{,}5)^{2}+112{,}5\ge 100$, soit $-2(x-7{,}5)^{2}\ge -12{,}5$, puis, en divisant par $-2$ ce qui RENVERSE le sens, $(x-7{,}5)^{2}\le 6{,}25$. Donc $|x-7{,}5|\le 2{,}5$, c'est-à-dire $5\le x\le 10$. Les deux bornes appartiennent bien à l'intervalle $]0\,;15[$, elles sont donc toutes deux acceptables. Vérification aux bornes : $A(5)=5\times 20=100$ et $A(10)=10\times 10=100$. Oublier de renverser l'inégalité en divisant par $-2$ donne $x\le 5$ ou $x\ge 10$, soit exactement le contraire de la réponse.