Exercices corrigés : les équations et les inéquations rationnelles et à valeur absolue (math TS, secondaire 5)

a) On factorise le dénominateur : $x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$, qui s'annule pour $x=-3$ et $x=2$. Ce sont les deux valeurs interdites. Le numérateur, lui, ne joue aucun rôle ici : il décide des zéros, pas de l'existence.

b) Trois dénominateurs, donc trois conditions : $x\neq 0$, $x-4\neq 0$ donc $x\neq 4$, et $x^{2}-4x=x(x-4)\neq 0$, qui redonne les deux mêmes. Les valeurs interdites sont donc $0$ et $4$. Factoriser le troisième dénominateur était la seule façon de le voir, et c'est aussi ce qui donnera le dénominateur commun $x(x-4)$ au moment de résoudre.

c) $x^{2}+1$ vaut au moins $1$ pour tout réel : il ne s'annule jamais. Il n'y a donc AUCUNE valeur interdite, et l'expression est définie sur $\mathbb{R}$. Un dénominateur du second degré à discriminant négatif ne donne jamais de valeur interdite, et le vérifier évite d'en inventer.

d) $\dfrac{x-3}{x^{2}-9}=\dfrac{x-3}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{1}{x+3}$, pour $x\neq 3$. La simplification change l'ÉCRITURE, pas le domaine : $x=3$ reste interdit, même si le nouveau dénominateur ne s'annule plus en $3$. Les valeurs interdites se lisent sur l'expression de DÉPART. Graphiquement, la courbe de $\dfrac{x-3}{x^{2}-9}$ est celle de $\dfrac{1}{x+3}$ percée d'un trou au point d'abscisse $3$, où la valeur aurait été $\dfrac{1}{6}$. C'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre, parce qu'elle fait accepter une solution étrangère.

a) Le dénominateur de droite se factorise : $x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1)$, donc les valeurs interdites sont $3$ et $-1$, et le dénominateur commun est $(x-3)(x+1)$. En multipliant : $x(x+1)+2(x-3)=12$, soit $x^{2}+3x-6=12$, donc $x^{2}+3x-18=0$. Produit $-18$, somme $3$ : $(x+6)(x-3)=0$, d'où $x=-6$ ou $x=3$. Or $3$ est une valeur INTERDITE : c'est une solution étrangère, fabriquée par la multiplication. La seule solution est $x=-6$. Vérification : $\dfrac{-6}{-9}+\dfrac{2}{-5}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{15}$, et $\dfrac{12}{36+12-3}=\dfrac{12}{45}=\dfrac{4}{15}$.

b) Valeurs interdites : $0$ et $-1$. Dénominateur commun $x(x+1)$ : $6(x+1)+6x=5x(x+1)$, soit $12x+6=5x^{2}+5x$, donc $5x^{2}-7x-6=0$. Discriminant : $49+120=169=13^{2}$, donc $x=\dfrac{7\pm 13}{10}$, soit $x=2$ ou $x=-\dfrac{3}{5}$. Aucune des deux n'est interdite, les deux sont solutions. Vérification pour $x=2$ : $3+2=5$.

c) Valeurs interdites : $2$ et $-1$. Produit en croix : $(x+1)^{2}=(x+4)(x-2)$, soit $x^{2}+2x+1=x^{2}+2x-8$, donc $1=-8$, ce qui est FAUX. L'équation n'a aucune solution. Ce n'est pas une erreur de calcul : les $x^{2}$ et les $x$ disparaissent tous, et il reste une égalité impossible. On l'écrit telle quelle et on conclut.

d) Valeurs interdites : $2$ et $-2$, puisque $x^{2}-4=(x-2)(x+2)$. Dénominateur commun $(x-2)(x+2)$ : $(x+2)-4=(x-2)$, soit $x-2=x-2$, une IDENTITÉ vraie pour tout $x$. L'ensemble des solutions est donc tout $\mathbb{R}$ privé des deux valeurs interdites : $\mathbb{R}\setminus\{-2\,;2\}$. Répondre « tous les réels » sans retirer les deux valeurs interdites coûte la moitié de la question, parce que l'équation n'a aucun sens en $2$ ni en $-2$.

a) Le quotient est déjà seul. Le numérateur s'annule en $5$, le dénominateur en $-2$, valeur exclue. Signes : pour $x<-2$, le haut et le bas sont négatifs, le quotient est POSITIF ; entre $-2$ et $5$, le haut est négatif et le bas positif, le quotient est NÉGATIF ; après $5$, les deux sont positifs. On veut « négatif ou nul » : la solution est $]-2\,;5]$, avec le crochet fermé en $5$ parce que le quotient y vaut zéro, et ouvert en $-2$ parce que l'expression n'y existe pas.

b) On passe tout à gauche : $\dfrac{3}{x-1}-2>0$, soit $\dfrac{3-2(x-1)}{x-1}=\dfrac{5-2x}{x-1}>0$. Le numérateur s'annule en $2{,}5$, le dénominateur en $1$. Signes : pour $x<1$, $5-2x>0$ et $x-1<0$, le quotient est négatif ; entre $1$ et $2{,}5$, les deux sont positifs, le quotient est POSITIF ; après $2{,}5$, le numérateur devient négatif. La solution est $]1\,;2{,}5[$, les deux bornes exclues, l'une parce qu'elle est interdite, l'autre parce que l'inégalité est stricte. Vérification avec $x=2$ : $\dfrac{3}{1}=3>2$.

c) Le numérateur $x^{2}-9=(x-3)(x+3)$ s'annule en $-3$ et $3$, et il est négatif entre les deux. Le dénominateur s'annule en $-1$. Quatre intervalles : pour $x<-3$, haut positif, bas négatif, quotient négatif ; pour $-3<x<-1$, haut négatif, bas négatif, quotient POSITIF ; pour $-1<x<3$, haut négatif, bas positif, quotient négatif ; pour $x>3$, tout positif, quotient POSITIF. La solution est $[-3\,;-1[\ \cup\ [3\,;+\infty[$. Les deux zéros du numérateur sont inclus, celui du dénominateur est exclu.

d) Parce que $x-1$ est positif pour $x>1$ et négatif pour $x<1$ : on ne sait donc pas s'il faut garder ou renverser le sens de l'inégalité. La preuve par un nombre : en multipliant sans précaution, on obtiendrait $3>2(x-1)$, soit $x<2{,}5$, ce qui contiendrait $x=0$. Or à $x=0$, $\dfrac{3}{0-1}=-3$, qui n'est pas supérieur à $2$. La multiplication sans discussion a donc ajouté tout l'intervalle $]-\infty\,;1[$ à la réponse.

a) Deux cas. Premier : $2x-7=5$, donc $2x=12$ et $x=6$. Second : $2x-7=-5$, donc $2x=2$ et $x=1$. Vérification : $|12-7|=5$ et $|2-7|=|-5|=5$. Les deux conviennent. Lue comme une distance, l'équation dit que $2x$ est à distance $5$ de $7$, donc $2x$ vaut $12$ ou $2$.

b) Une valeur absolue est une distance : elle n'est jamais négative. L'équation $|3x+1|=-4$ n'a donc AUCUNE solution, et cela se dit en une ligne, sans écrire les deux cas. Poser $3x+1=-4$ et conclure $x=-\dfrac{5}{3}$ est l'erreur classique : on vérifie alors que $|3x+1|$ y vaut $4$, et non $-4$.

c) Deux cas. Premier : $x-4=2x+1$, donc $-5=x$. Second : $x-4=-(2x+1)=-2x-1$, donc $3x=3$ et $x=1$. Vérification pour $x=-5$ : $|-9|=9$ et $|-9|=9$. Pour $x=1$ : $|-3|=3$ et $|3|=3$. Les deux conviennent. Ici aucune condition de signe n'est à poser, puisque les deux membres sont des valeurs absolues, donc positifs tous les deux.

d) Deux cas. Premier : $x^{2}-4=5$, donc $x^{2}=9$ et $x=\pm 3$. Second : $x^{2}-4=-5$, donc $x^{2}=-1$, impossible sur les réels. Les solutions sont $3$ et $-3$. Vérification : $|9-4|=5$. Le second cas ne donne rien, mais il devait être écrit : c'est lui qui prouve qu'on n'a pas oublié de solution.

a) Inégalité avec un petit signe : $-4\le x-3\le 4$. On ajoute $3$ partout : $-1\le x\le 7$, soit $[-1\,;7]$. Lecture en distance : les nombres à au plus $4$ de $3$, donc le segment centré en $3$ et de rayon $4$. Vérification aux bornes : $|-1-3|=4$ et $|7-3|=4$.

b) Grand signe, donc deux morceaux. Premier : $2x+1>7$, donc $x>3$. Second : $2x+1<-7$, donc $2x<-8$ et $x<-4$. La solution est $]-\infty\,;-4[\ \cup\ ]3\,;+\infty[$. Écrire $-7>2x+1>7$ n'a aucun sens, puisque aucun nombre n'est à la fois inférieur à $-7$ et supérieur à $7$ : c'est l'erreur qui trahit une règle apprise sans image.

c) $|5-x|=|x-5|$, parce qu'une distance ne dépend pas du sens. L'inéquation devient $|x-5|<2$, donc $-2<x-5<2$, soit $3<x<7$ : l'intervalle ouvert $]3\,;7[$. On peut aussi travailler directement : $-2<5-x<2$, puis retrancher $5$, $-7<-x<-3$, puis multiplier par $-1$ en RENVERSANT les deux inégalités, $7>x>3$. Les deux chemins donnent la même chose ; le premier évite le renversement.

d) Une valeur absolue est toujours supérieure ou égale à $0$, donc toujours supérieure à $-1$ : $|3x-2|\ge -1$ est vraie pour TOUS les réels, sans aucun calcul. Inversement, $|3x-2|\le -1$ n'est jamais vraie : aucune solution. Ces deux cas ne se résolvent pas, ils se raisonnent, et dérouler la double inéquation mène à des absurdités.

a) Condition : $2x-4\ge 0$, donc $x\ge 2$. Premier cas : $x-1=2x-4$, donc $x=3$, qui respecte la condition. Second cas : $x-1=-(2x-4)=-2x+4$, donc $3x=5$ et $x=\dfrac{5}{3}\approx 1{,}67$, qui NE respecte pas la condition $x\ge 2$ : on la rejette. Vérification : à $x=\dfrac{5}{3}$, le membre de gauche vaut $\dfrac{2}{3}$ et celui de droite $-\dfrac{2}{3}$, ils sont opposés et non égaux. La seule solution est $x=3$, où les deux membres valent $2$.

b) Condition : $x+6\ge 0$, donc $x\ge -6$. Premier cas : $2x+3=x+6$, donc $x=3$, accepté. Second cas : $2x+3=-(x+6)$, donc $3x=-9$ et $x=-3$, qui respecte aussi $x\ge -6$ : accepté. Vérification pour $x=-3$ : $|-3|=3$ et $-3+6=3$. Les deux solutions sont donc $3$ et $-3$. La condition ne rejette pas toujours quelque chose, mais elle doit toujours être écrite.

c) Il faudrait $-x<x+2<x$. La partie droite, $x+2<x$, se simplifie en $2<0$, qui est faux quel que soit $x$. Il n'y a donc AUCUNE solution. Autre argument, plus rapide : $|x+2|$ est la distance de $x$ à $-2$, or elle vaut toujours au moins $x+2$, donc elle ne peut pas être strictement inférieure à $x$, qui est encore plus petit. Un test suffit à s'en convaincre : à $x=10$, $|12|=12$ n'est pas inférieur à $10$.

d) Deux régions. Si $3x<0$, c'est-à-dire $x<0$, le membre de droite est négatif et une valeur absolue lui est toujours supérieure : tout $x<0$ convient. Si $x\ge 0$, on écrit les deux cas : $x-1>3x$ donne $-1>2x$, donc $x<-0{,}5$, incompatible avec $x\ge 0$ ; et $x-1<-3x$ donne $4x<1$, donc $x<\dfrac{1}{4}$, compatible, ce qui retient $0\le x<\dfrac{1}{4}$. En réunissant les deux régions : $x<\dfrac{1}{4}$, soit $]-\infty\,;\dfrac{1}{4}[$. Vérification à $x=0{,}25$ : $|{-0{,}75}|=0{,}75$ et $3\times 0{,}25=0{,}75$, l'égalité est atteinte, donc la borne est bien exclue.

a) Cinq pour cent de $24$ font $0{,}05\times 24=1{,}2$ volt. La condition s'écrit $|U-24|\le 1{,}2$, ce qui donne $-1{,}2\le U-24\le 1{,}2$, donc $22{,}8\le U\le 25{,}2$. L'intervalle est $[22{,}8\,;25{,}2]$. Le piège serait d'écrire $|U|-24\le 1{,}2$ : la barre englobe l'ÉCART tout entier, pas la seule tension.

b) « À moins de » est une inégalité stricte : $|p-4{,}5|<0{,}3$, donc $4{,}2<p<4{,}8$, soit $]4{,}2\,;4{,}8[$. Si le cahier des charges avait dit « à $0{,}3$ bar près », l'inégalité serait large et les bornes acceptées. Ce détail de vocabulaire change les crochets, et il est explicitement évalué.

c) La longueur mesurée ne doit pas s'écarter de plus de $0{,}8$ millimètre de la longueur nominale de $150$ millimètres. Autrement dit, elle doit rester entre $149{,}2$ et $150{,}8$ millimètres, bornes comprises. Une bonne traduction nomme les trois éléments : la grandeur, la valeur nominale et l'écart admissible.

d) Le centre de l'intervalle est sa moyenne : $\dfrac{17{,}4+18{,}6}{2}=18$ grammes. Le rayon est la demi-largeur : $\dfrac{18{,}6-17{,}4}{2}=0{,}6$ gramme. La condition s'écrit donc $|m-18|\le 0{,}6$. Vérification aux deux bornes : $|17{,}4-18|=0{,}6$ et $|18{,}6-18|=0{,}6$, les deux sont bien acceptées. Écrire $|m-17{,}4|\le 1{,}2$ décrirait le même intervalle vu depuis sa borne gauche, mais ce n'est pas une écriture centrée et elle ne se lit pas comme une tolérance.

a) L'équation est $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+20}=\dfrac{1}{24}$. Les valeurs interdites sont $x=0$ et $x=-20$. Physiquement, une résistance est strictement positive, donc on cherche $x>0$ : cette contrainte est plus forte que la seule interdiction mathématique, et c'est elle qui servira à la question c).

b) Le dénominateur commun est $24x(x+20)$. En multipliant : $24(x+20)+24x=x(x+20)$, soit $24x+480+24x=x^{2}+20x$, donc $x^{2}+20x-48x-480=0$ et $x^{2}-28x-480=0$. Discriminant : $784+1920=2704$, et $\sqrt{2704}=52$. Donc $x=\dfrac{28\pm 52}{2}$, soit $x=40$ ou $x=-12$. Aucune des deux n'est une valeur interdite au sens mathématique.

c) La solution $x=-12$ est rejetée parce qu'une résistance négative n'existe pas : c'est le contexte, et non l'algèbre, qui l'écarte. Il faut le dire explicitement, sinon la question est incomplète. Le montage comporte donc $R_{1}=40$ ohms et $R_{2}=40+20=60$ ohms. Vérification : $\dfrac{1}{40}+\dfrac{1}{60}=\dfrac{3}{120}+\dfrac{2}{120}=\dfrac{5}{120}=\dfrac{1}{24}$.

d) En réduisant la formule au même dénominateur : $\dfrac{1}{R}=\dfrac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}}$, donc $R=\dfrac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}=R_{1}\times\dfrac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$. Comme $R_{1}>0$, le dénominateur $R_{1}+R_{2}$ est strictement plus grand que $R_{2}$, donc la fraction $\dfrac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$ est strictement inférieure à $1$, et $R<R_{1}$. Le même calcul avec les rôles échangés donne $R<R_{2}$. La résistance équivalente est donc inférieure aux deux, donc à la plus petite. Contrôle sur le montage : $24<40$. C'est le test de plausibilité à faire systématiquement, et il repère immédiatement une erreur d'addition des inverses.

a) Le dénominateur $q^{2}+36$ vaut au moins $36$ pour tout réel, il ne s'annule donc jamais : il n'y a aucune valeur interdite. Le domaine est limité par le contexte et non par l'algèbre : un débit est strictement positif, donc le domaine utile est $]0\,;+\infty[$. À $q=0$ la formule donnerait $0$, ce qui est cohérent mais correspond à une pompe arrêtée.

b) On résout $\dfrac{1080q}{q^{2}+36}\ge 72$. Le dénominateur est strictement positif pour tout $q$, donc on peut multiplier sans changer le sens, et c'est la seule raison pour laquelle on s'y autorise ici : $1080q\ge 72q^{2}+2592$. On ramène tout d'un côté : $72q^{2}-1080q+2592\le 0$, et on divise par $72$ : $q^{2}-15q+36\le 0$. Discriminant : $225-144=81$, donc $q=\dfrac{15\pm 9}{2}$, soit $3$ et $12$. Une parabole ouverte vers le haut est négative ENTRE ses zéros : la solution est $[3\,;12]$. Le rendement atteint donc au moins $72\%$ pour un débit compris entre $3$ et $12$ litres par seconde. Vérification à $q=3$ : $\dfrac{3240}{45}=72$.

c) On veut montrer $\dfrac{1080q}{q^{2}+36}\le 90$ pour tout $q>0$. Comme le dénominateur est positif, cela équivaut à $1080q\le 90q^{2}+3240$, soit $90q^{2}-1080q+3240\ge 0$, et en divisant par $90$ : $q^{2}-12q+36\ge 0$. Or $q^{2}-12q+36=(q-6)^{2}$, un carré : l'inégalité est vraie pour tout $q$, et l'égalité n'a lieu que pour $q=6$. Le rendement est donc toujours inférieur ou égal à $90\%$, et il vaut exactement $90\%$ au seul débit de $6$ litres par seconde. Vérification : $\dfrac{1080\times 6}{36+36}=\dfrac{6480}{72}=90$.

d) L'annonce est fausse telle qu'elle est écrite. Le rendement ATTEINT $90\%$, mais en un seul point de fonctionnement, et il ne le dépasse jamais : la question c) le démontre. Une formulation honnête serait « rendement maximal de $90\%$ », ou « jusqu'à $90\%$ ». C'est le genre de vérification qu'un technicien fait avant de choisir une pompe, et elle tient en une inéquation.