Math TS, secondaire 5 à Montréal • Algèbre

Fiche de révision : les équations et les inéquations rationnelles et à valeur absolue

Cette fiche de révision accompagne le chapitre d'équations et d'inéquations du programme de mathématique Technico-sciences de cinquième secondaire, pour ses deux familles nouvelles : la rationnelle et la valeur absolue.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Les deux familles se résolvent par le même réflexe en trois temps : on dit d'abord ce qui est interdit ou ce qui est imposé, on transforme ensuite, et on REVIENT vérifier, parce que la transformation fabrique des solutions qui n'en sont pas.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Expressions algébriques et mise en évidenceSecondaire 3
2Les calculs algébriques et les expressions rationnellesSecondaire 4 TS
3La factorisationSecondaire 4 TS
4La complétion du carré et la formule quadratique

L'essentiel

Le rationnel : interdire d'abord, vérifier ensuite

• Les VALEURS INTERDITES sont celles qui annulent un dénominateur. On les cherche AVANT de résoudre, en factorisant chaque dénominateur, et on les garde sous les yeux jusqu'à la fin.
• Elles se lisent sur l'expression de DÉPART : une simplification ne les efface jamais. $\dfrac{x-3}{x^{2}-9}=\dfrac{1}{x+3}$ POUR $x\neq 3$ et $x\neq -3$ .
• Multiplier par le dénominateur commun n'est pas réversible : l'équation polynomiale obtenue peut avoir des solutions que l'équation de départ n'a pas. Ce sont les SOLUTIONS ÉTRANGÈRES.
• Un dénominateur du second degré à discriminant négatif, comme $x^{2}+1$ , ne donne AUCUNE valeur interdite : on vérifie avant d'en inventer.

L'inéquation rationnelle : jamais de multiplication

• On ne multiplie JAMAIS les deux membres par un dénominateur dont le signe est inconnu : l'inégalité serait à renverser une fois sur deux, sans qu'on sache laquelle.
• Méthode unique : tout passer d'un côté, réduire en UN SEUL quotient, chercher les zéros du numérateur et ceux du dénominateur, dresser le tableau de signes.
• Les zéros du DÉNOMINATEUR sont toujours exclus, crochet ouvert. Ceux du NUMÉRATEUR sont inclus si l'inégalité est large.
• La seule exception tient à un dénominateur de signe CONSTANT et connu, par exemple $q^{2}+36$ : là, on peut multiplier, et il faut le justifier en une ligne.

La valeur absolue : deux cas, et une condition

• $|A|=k$ : deux équations si $k>0$ , une seule si $k=0$ , aucune solution si $k<0$ . $|A|=|B|$ : deux cas, $A=B$ et $A=-B$ .
• $|A|<k$ donne UN SEUL intervalle, $-k<A<k$ . $|A|>k$ donne DEUX morceaux, $A<-k$ ou $A>k$ . Écrire $-k>A>k$ n'a aucun sens.
• $|A|=B$ avec $B$ qui dépend de l'inconnue EXIGE $B\ge 0$ : on résout les deux cas, puis on écarte les solutions qui rendent le second membre négatif.
• Une tolérance s'écrit $|x-\text{nominale}|\le\text{écart}$ . Dans l'autre sens, un intervalle a pour centre sa moyenne et pour rayon sa demi-largeur.

Le petit signe garde le segment du milieu, le grand signe garde les deux ailes : c'est l'image à retenir, et elle évite la double inéquation impossible.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Multiplier une inéquation par son dénominateur

toute la question : la réponse fausse contient un intervalle entier de trop

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\dfrac{3}{x-1}>2$ donne $3>2(x-1)$ , donc $x<2{,}5$

Ce qu'il faut écrire

$\dfrac{5-2x}{x-1}>0$ , donc $]1\,;2{,}5[$

Pourquoi : $x-1$ est négatif pour $x<1$ , donc la multiplication aurait dû renverser l'inégalité de ce côté. La preuve par un nombre : $x=0$ appartient à la réponse fausse, or $\dfrac{3}{-1}=-3$ n'est pas supérieur à $2$ . Un seul test suffit à détecter l'erreur.

2. Garder une solution étrangère

la moitié de la question, et parfois toute la réponse d'un problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\dfrac{x}{x-3}+\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{12}{x^{2}-2x-3}$ a pour solutions $-6$ et $3$

Ce qu'il faut écrire

$x=3$ est une valeur interdite : la seule solution est $-6$

Pourquoi : La multiplication par le dénominateur commun $(x-3)(x+1)$ efface l'interdiction : l'équation polynomiale obtenue accepte $3$ , l'équation de départ n'y existe même pas. La liste des valeurs interdites, écrite AVANT de résoudre, est la seule protection.

3. Croire qu'une simplification rend une valeur permise

1 à 2 points, et une courbe mal décrite

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\dfrac{x-3}{x^{2}-9}=\dfrac{1}{x+3}$ , donc $x=3$ est permis

Ce qu'il faut écrire

L'égalité vaut POUR $x\neq 3$ et $x\neq -3$

-3

la courbe part à l'infini, c'est une asymptote ; en

3

elle est continue mais percée d'un seul point, c'est un trou. Les deux valeurs sont pourtant interdites.

Pourquoi : Le domaine se lit sur l'expression de DÉPART. Graphiquement, la courbe présente un TROU au point d'abscisse $3$ , où la valeur aurait été un sixième, et une ASYMPTOTE en $-3$ . Les deux accidents ne se confondent pas, et la figure montre la différence.

4. Oublier le second cas d'une équation à valeur absolue

la moitié des points de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$|2x-7|=5$ donne $2x-7=5$ , donc $x=6$

Ce qu'il faut écrire

$x=6$ ou $x=1$

Pourquoi : Deux nombres opposés ont la même valeur absolue : $|12-7|=5$ et $|2-7|=5$ . Une équation $|A|=k$ avec $k>0$ a donc toujours deux solutions, sauf si les deux coïncident. Le réflexe est d'écrire les deux lignes AVANT de calculer quoi que ce soit.

5. Écrire une double inéquation pour un grand signe

toute la question, et une réponse vide au lieu de deux intervalles

Ce qu'il ne faut pas écrire

$|2x+1|>7$ donne $-7>2x+1>7$

Ce qu'il faut écrire

$2x+1>7$ OU $2x+1<-7$ , donc $]-\infty\,;-4[\ \cup\ ]3\,;+\infty[$

Pourquoi : Aucun nombre n'est à la fois inférieur à $-7$ et supérieur à $7$ : l'écriture proposée décrit l'ensemble vide. Le grand signe éloigne de zéro, donc il donne deux morceaux SÉPARÉS, reliés par une union et jamais par une double inégalité.

6. Ne pas poser la condition quand le second membre dépend de l'inconnue

la moitié de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$|x-1|=2x-4$ a pour solutions $3$ et $\dfrac{5}{3}$

Ce qu'il faut écrire

Il faut $2x-4\ge 0$ , donc $x\ge 2$ : seule $x=3$ convient

Pourquoi : À $x=\dfrac{5}{3}$ , le membre de gauche vaut $\dfrac{2}{3}$ et celui de droite $-\dfrac{2}{3}$ : ils sont opposés, donc non égaux. Une valeur absolue ne peut pas égaler un nombre négatif, et cette condition doit être écrite au début, pas devinée à la fin.

7. Traiter un second membre négatif comme un cas ordinaire

toute la question, alors qu'elle se règle en une ligne

Ce qu'il ne faut pas écrire

$|3x+1|=-4$ donne $3x+1=-4$ , donc $x=-\dfrac{5}{3}$

Ce qu'il faut écrire

Aucune solution, une valeur absolue n'étant jamais négative

Pourquoi : En vérifiant, $|3\times(-\frac{5}{3})+1|=|-4|=4$ , et non $-4$ . Le même raisonnement rend $|3x-2|\ge -1$ vraie pour tous les réels et $|3x-2|\le -1$ impossible : ces cas se raisonnent, ils ne se calculent pas.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode, selon la forme rencontrée

Une équation ou une inéquation contenant un quotient ou une valeur absolue

Si ÉQUATION rationnelle → Valeurs interdites, dénominateur commun, résolution, puis confrontation à la liste

Exemple : $\dfrac{6}{x}+\dfrac{6}{x+1}=5$ donne $x=2$ et $x=-\dfrac{3}{5}$ , aucune interdite
Si INÉQUATION rationnelle → Tout d'un côté, un seul quotient, tableau de signes ; jamais de multiplication

Exemple : $\dfrac{x-5}{x+2}\le 0$ donne $]-2\,;5]$
Si $|A|=k$ ou $|A|=|B|$ , second membre CONSTANT ou en valeur absolue → Deux cas, sans condition supplémentaire ; si $k<0$ , aucune solution

Exemple : $|x-4|=|2x+1|$ donne $x=-5$ et $x=1$
Si $|A|=B$ ou $|A|<B$ , second membre VARIABLE → Poser $B\ge 0$ , résoudre les deux cas, écarter ce que la condition refuse

Exemple : $|x-1|=2x-4$ donne $x=3$ seulement
Si $|A|<k$ ou $|A|>k$ , avec $k>0$ → Petit signe, un intervalle ; grand signe, deux morceaux réunis par une union

Exemple : $|x-3|\le 4$ donne $[-1\,;7]$

Dans les deux familles, la dernière étape est la même : revenir à l'énoncé de départ et vérifier. Ce n'est pas une politesse, c'est ce qui élimine les solutions étrangères et les candidats refusés par la condition.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger une inéquation rationnelle

Quand l'utiliser : Dès qu'un quotient est comparé à un nombre ou à zéro

1 Écrire les valeurs interdites, en factorisant les dénominateurs.
2 Tout passer d'un côté et réduire en un seul quotient, sans développer le numérateur inutilement.
3 Donner les zéros du numérateur et ceux du dénominateur, en les rangeant dans l'ordre.
4 Dresser le tableau de signes, une ligne par facteur et une ligne de bilan.
5 Lire l'ensemble-solution en surveillant les crochets : ouverts sur les valeurs interdites.
6 Vérifier avec un nombre pris dans chaque intervalle retenu.

Phrase de conclusion

« Valeur interdite : $x=1$ . On passe tout à gauche : $\dfrac{3}{x-1}-2=\dfrac{5-2x}{x-1}>0$ . Zéros : $2{,}5$ au numérateur, $1$ au dénominateur. Le tableau donne un quotient positif entre les deux, donc $S=\ ]1\,;2{,}5[$ . Contrôle : $x=2$ donne $3>2$ . »

Le piège : Sauter le tableau de signes et raisonner de tête. Le correcteur attend la trace du raisonnement, et surtout, de tête, on oublie que le dénominateur change de signe, ce qui est exactement l'objet du chapitre.

Barème : 1 point pour les valeurs interdites, 1 point pour la réduction en un seul quotient, 2 points pour le tableau de signes, 1 point pour les crochets. Une réponse juste sans tableau plafonne à la moitié.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Remplacer dans l'équation de DÉPART

Chaque solution trouvée se substitue dans l'énoncé initial, pas dans l'équation transformée. C'est le seul contrôle qui attrape une solution étrangère.

Pour $x=-6$ : $\dfrac{-6}{-9}+\dfrac{2}{-5}=\dfrac{4}{15}$ , et $\dfrac{12}{45}=\dfrac{4}{15}$ .
Tester un nombre dans chaque intervalle

Une inéquation se contrôle en prenant un nombre simple dans chaque morceau retenu, et un dans un morceau rejeté. Deux tests suffisent à valider un tableau de signes.

Pour $]1\,;2{,}5[$ : $x=2$ donne $3>2$ , vrai ; $x=0$ donne $-3>2$ , faux.
Vérifier le signe du second membre

Après avoir résolu une équation à valeur absolue à second membre variable, on évalue ce second membre en chaque solution. Un résultat négatif signale un candidat à rejeter.

Pour $|x-1|=2x-4$ et $x=\dfrac{5}{3}$ : $2x-4=-\dfrac{2}{3}<0$ , donc rejet.
Compter les morceaux attendus

Un petit signe donne un intervalle, un grand signe en donne deux. Un résultat qui ne correspond pas au signe de départ signale une erreur de cas.

$|2x+1|>7$ doit donner deux morceaux ; une réponse en un seul intervalle est fausse avant même d'être lue.

L'exercice type décortiqué

Résoudre $\dfrac{x^{2}-9}{x+1}\ge 0$ , puis $|2x+5|\le x+7$

Résolvez l'inéquation rationnelle $\dfrac{x^{2}-9}{x+1}\ge 0$ , puis l'inéquation à valeur absolue $|2x+5|\le x+7$ , et donnez chaque ensemble-solution en intervalles.

Le quotient change de signe aux trois nombres. Les deux morceaux retenus sont

[-3\,;-1[

[3\,;+\infty[

: le crochet est fermé sur les zéros du numérateur, ouvert sur la valeur interdite.

Étape 1

Valeur interdite : $x=-1$ . Zéros du numérateur : $x^{2}-9=(x-3)(x+3)$ , donc $-3$ et $3$ .

Pourquoi

On factorise le numérateur pour connaître ses zéros, et on repère la valeur interdite avant tout. Les trois nombres $-3$ , $-1$ et $3$ découpent la droite en quatre intervalles.

Étape 2

Signes : négatif sur $]-\infty\,;-3[$ , positif sur $]-3\,;-1[$ , négatif sur $]-1\,;3[$ , positif sur $]3\,;+\infty[$ .

Pourquoi

Le numérateur est positif à l'extérieur de $[-3\,;3]$ et négatif à l'intérieur ; le dénominateur change de signe en $-1$ . Le quotient change donc de signe à CHACUN des trois nombres, ce qui donne l'alternance.

Étape 3

Solution : $[-3\,;-1[\ \cup\ [3\,;+\infty[$ .

Pourquoi

Les zéros du numérateur sont inclus, l'inégalité étant large ; la valeur interdite est exclue, crochet ouvert, quoi qu'il arrive. Contrôle : $x=-2$ donne $\dfrac{-5}{-1}=5\ge 0$ , vrai.

Étape 4

Pour la seconde : condition $x+7\ge 0$ , donc $x\ge -7$ . Puis $-(x+7)\le 2x+5\le x+7$ .

Pourquoi

Le second membre dépend de l'inconnue : il doit être positif ou nul, sinon aucune valeur absolue ne peut lui être inférieure. Le petit signe donne ensuite un ENCADREMENT, donc une seule double inéquation.

Étape 5

À gauche : $-x-7\le 2x+5$ donne $-12\le 3x$ , soit $x\ge -4$ . À droite : $2x+5\le x+7$ donne $x\le 2$ .

Pourquoi

On traite les deux inégalités séparément, puis on prend l'intersection. Aucune division par un nombre négatif n'intervient ici, donc aucun sens ne bascule.

Étape 6

Intersection avec la condition $x\ge -7$ : $S=[-4\,;2]$ .

Pourquoi

La condition est ici moins forte que $x\ge -4$ , elle ne retire donc rien, mais elle devait être écrite. Contrôle aux bornes : $|{-3}|=3$ et $-4+7=3$ , égalité atteinte ; $|9|=9$ et $2+7=9$ , égalité atteinte aussi.

Conclusion rédigée

$\dfrac{x^{2}-9}{x+1}\ge 0$ a pour solution $[-3\,;-1[\ \cup\ [3\,;+\infty[$ , et $|2x+5|\le x+7$ a pour solution $[-4\,;2]$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Multiplier la première inéquation par $x+1$ , ce qui donnerait $x^{2}-9\ge 0$ et la réponse fausse $]-\infty\,;-3]\cup[3\,;+\infty[$ , sans la fenêtre $[-3\,;-1[$ . Et oublier la condition de positivité dans la seconde.

À savoir par cœur

• Valeurs interdites d'abord, confrontation des solutions à la fin.
• Elles se lisent sur l'expression de départ, pas sur la simplifiée.
• Une inéquation rationnelle ne se multiplie pas : tableau de signes.
• Zéros du dénominateur toujours exclus, crochet ouvert.
• $|A|=k$ : deux cas si $k>0$ , aucun si $k<0$ .
• $|A|<k$ : un intervalle. $|A|>k$ : deux morceaux et une union.
• $|A|=B$ avec $B$ variable : poser $B\ge 0$ .
• Une tolérance, c'est $|x-\text{nominale}|\le\text{écart}$ .
• Centre d'un intervalle : sa moyenne. Rayon : sa demi-largeur.
• « À moins de » est strict, « à ... près » est large.

Questions fréquentes

Pourquoi ne peut-on pas multiplier une inéquation par son dénominateur ?

Parce que le signe de ce dénominateur dépend de la valeur de l'inconnue. Multiplier par un nombre positif conserve le sens de l'inégalité, multiplier par un nombre négatif le renverse, et tant que l'inconnue n'est pas fixée on ne sait pas dans quel cas on se trouve. On passe donc tout d'un côté, on réduit en un seul quotient et on étudie les signes, ce qui traite les deux cas d'un coup.

Qu'est-ce qu'une solution étrangère, et comment l'éviter ?

C'est une valeur qui vérifie l'équation transformée mais pas l'équation de départ, le plus souvent parce qu'elle annule un dénominateur. Elle apparaît quand on multiplie les deux membres par le dénominateur commun, une opération qui efface l'interdiction. On l'évite en dressant la liste des valeurs interdites avant de résoudre, puis en comparant chaque solution trouvée à cette liste.

Une équation avec une valeur absolue a-t-elle toujours deux solutions ?

Non. Elle en a deux quand le second membre est strictement positif, une seule quand il est nul, et aucune quand il est négatif, puisqu'une valeur absolue mesure une distance. Quand le second membre contient l'inconnue, il faut en plus vérifier qu'il reste positif ou nul pour chaque candidat, ce qui élimine parfois l'un des deux.

Comment traduire une tolérance de fabrication en inéquation ?

Une tolérance donne une valeur nominale et un écart admissible. La condition s'écrit avec une valeur absolue : l'écart entre la mesure et la valeur nominale doit rester inférieur ou égal à la tolérance. Dans l'autre sens, si l'on connaît l'intervalle accepté, son centre est la moyenne de ses deux bornes et son rayon la moitié de sa largeur.

Pourquoi une simplification ne rend-elle pas une valeur interdite permise ?

Parce que le domaine d'une expression se lit sur l'écriture de départ. La simplification remplace une expression par une autre qui lui est égale partout où la première existe, et seulement là. Sur la courbe, la valeur simplifiée laisse un trou : un point manquant, isolé, que rien ne signale si l'on oublie la condition.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les équations et les inéquations rationnelles et à valeur absolue

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Les systèmes semi-linéaires et les régions du plan La fonction rationnelle, dite homographique

Voir aussi

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Fiche de révision : les équations et les inéquations rationnelles et à valeur absolue

L'essentiel

Le rationnel : interdire d'abord, vérifier ensuite

L'inéquation rationnelle : jamais de multiplication

La valeur absolue : deux cas, et une condition

Les pièges qui coûtent des points

1. Multiplier une inéquation par son dénominateur

2. Garder une solution étrangère

3. Croire qu'une simplification rend une valeur permise

4. Oublier le second cas d'une équation à valeur absolue

5. Écrire une double inéquation pour un grand signe

6. Ne pas poser la condition quand le second membre dépend de l'inconnue

7. Traiter un second membre négatif comme un cas ordinaire

Quelle méthode choisir

Quelle méthode, selon la forme rencontrée

La rédaction attendue

Rédiger une inéquation rationnelle

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Résoudre x2−9x+1≥0\dfrac{x^{2}-9}{x+1}\ge 0x+1x2−9​≥0, puis ∣2x+5∣≤x+7|2x+5|\le x+7∣2x+5∣≤x+7

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi ne peut-on pas multiplier une inéquation par son dénominateur ?

Qu'est-ce qu'une solution étrangère, et comment l'éviter ?

Une équation avec une valeur absolue a-t-elle toujours deux solutions ?

Comment traduire une tolérance de fabrication en inéquation ?

Pourquoi une simplification ne rend-elle pas une valeur interdite permise ?

Exercices corrigés : Les équations et les inéquations rationnelles et à valeur absolue

Ce chapitre resservira dans

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