Math TS, secondaire 5 à Montréal • Fonctions

Fiche de révision : la fonction rationnelle, dite homographique

Cette fiche de révision accompagne le chapitre de la fonction rationnelle du programme de mathématique Technico-sciences de cinquième secondaire : asymptotes, passage entre les deux formes, zéro, équations et inéquations, réciproque.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

Une fonction rationnelle se lit sur ses DEUX ASYMPTOTES. La verticale vient du domaine, l'horizontale vient de l'image, et leur croisement $(h\,;k)$ est un point de repère que la courbe évite toujours.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (10 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3
2Fonctions : propriétés et réciproqueSecondaire 3
3Les exposants, les radicaux et la valeur absolueSecondaire 4 TS
4Les calculs algébriques et les expressions rationnellesSecondaire 4 TS
5La factorisationSecondaire 4 TS
6La fonction quadratique de sommet à l'origineSecondaire 4 TS
7La fonction racine carrée de sommet à l'origineSecondaire 4 TS
8La complétion du carré et la formule quadratique
9Les équations et les inéquations rationnelles et à valeur absolue
10Les paramètres des fonctions

L'essentiel

Les deux asymptotes, et le repère hors de la courbe

• Forme canonique : $f(x)=\dfrac{a}{x-h}+k$ . Asymptote VERTICALE $x=h$ , asymptote HORIZONTALE $y=k$ .
• Domaine : $\mathbb{R}$ privé de $h$ . Image : $\mathbb{R}$ privé de $k$ . Les deux exclusions sont symétriques, et c'est la signature de la famille.
• Le point $(h\,;k)$ n'appartient PAS à la courbe : c'est le croisement des asymptotes et le CENTRE DE SYMÉTRIE de l'hyperbole.
• Le signe de $a$ décide de la paire de quadrants occupée autour du repère ; sa valeur absolue décide de l'écartement des branches.

Le point marqué est creux : la courbe ne passe ni par cette abscisse, où elle n'existe pas, ni par cette ordonnée, qu'elle n'atteint jamais.

Passer d'une forme à l'autre

• De la forme générale $\dfrac{px+q}{rx+s}$ à la canonique : on écrit le numérateur comme un MULTIPLE du dénominateur plus un reste. Le quotient donne $k$ , le reste donne $a$ .
• Exemple : $2x+7=2(x+3)+1$ , donc $\dfrac{2x+7}{x+3}=\dfrac{1}{x+3}+2$ .
• Si le dénominateur porte un coefficient, on le met d'abord en évidence : $2x-1=2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$ .
• CONTRÔLE SANS DIVISER : l'asymptote horizontale est le quotient des coefficients DOMINANTS, $y=\dfrac{p}{r}$ . À faire après chaque division.

Zéro, inéquations, réciproque

• AU PLUS UN ZÉRO : sous forme générale, le numérateur est du premier degré, donc il s'annule au plus une fois.
• Une INÉQUATION ne se multiplie jamais par $x-h$ , dont le signe est inconnu : on ramène à un seul quotient et on dresse le tableau de signes.
• LA RÉCIPROQUE est encore une rationnelle, de mêmes asymptotes ÉCHANGÉES : $h$ et $k$ permutent, $a$ ne bouge pas. Aucune restriction n'est nécessaire.
• CAS DÉGÉNÉRÉ : si $ps=qr$ , le quotient se simplifie en une CONSTANTE percée d'un trou, et il n'y a aucune asymptote. Le test se fait par multiplication croisée.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Placer le point de repère sur la courbe

2 points, et un tracé qui passe par un point interdit

Ce qu'il ne faut pas écrire

Pour $\dfrac{-4}{x-2}+6$ , le point $(2\,;6)$ appartient à la courbe

Ce qu'il faut écrire

C'est le croisement des asymptotes ; la fonction n'existe même pas en $2$

Pourquoi : Le point est doublement évité : son abscisse n'est pas au domaine et son ordonnée n'est pas à l'image. C'est la seule famille du programme où le repère est extérieur à la courbe, et c'est ce qui la distingue de la parabole et de la racine carrée.

2. Multiplier une inéquation par son dénominateur

toute la question : la réponse fausse perd une branche entière

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\dfrac{6}{x-3}+4\le 7$ donne $6\le 3(x-3)$ , donc $x\ge 5$

Ce qu'il faut écrire

$]-\infty\,;3[\ \cup\ [5\,;+\infty[$

Pourquoi : $x-3$ est négatif pour $x<3$ , donc la multiplication aurait dû renverser l'inégalité de ce côté. Le test : $x=0$ donne $-2$ , qui est bien inférieur à $7$ , alors que la réponse fausse l'exclut.

3. Prendre l'axe des abscisses pour l'asymptote horizontale

2 points, et une image fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

L'asymptote horizontale de $\dfrac{3x-1}{x-2}$ est $y=0$

Ce qu'il faut écrire

$y=3$ , le quotient des coefficients dominants

Pourquoi : L'asymptote vaut $y=0$ seulement quand le numérateur est de degré inférieur. Ici les deux sont du premier degré. Contrôle : à $x=1000$ , la fonction vaut environ $3{,}005$ , et non quelque chose près de zéro.

4. Chercher un antécédent de $k$

1 point, et du temps perdu

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\dfrac{6}{x-3}+4=4$ a une solution

Ce qu'il faut écrire

Aucune : il faudrait $\dfrac{6}{x-3}=0$ , impossible

Pourquoi : Une fraction de numérateur non nul ne s'annule jamais. La valeur $k$ n'appartient donc pas à l'image, et c'est exactement ce que signifie l'asymptote horizontale. La courbe peut s'en approcher à un millionième près, jamais la toucher.

5. Traiter un cas dégénéré comme une hyperbole

toute la question, et un tracé qui n'a rien à voir

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\dfrac{2x+4}{x+2}$ a pour asymptote verticale $x=-2$

Ce qu'il faut écrire

Le quotient vaut $2$ partout sauf en $-2$ : c'est une droite horizontale trouée

Aucune branche ne part à l'infini : la courbe est une droite horizontale à laquelle il manque un seul point, celui d'abscisse

-2

Pourquoi : Le numérateur est le double du dénominateur : tout se simplifie. Le test préalable est une multiplication croisée, $ps$ contre $qr$ : ici $2\times 2=4$ et $4\times 1=4$ , donc le cas est dégénéré. Un trou et une asymptote ne se ressemblent pas du tout sur un graphique.

6. Oublier le coefficient du dénominateur en divisant

2 points, et un domaine faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\dfrac{4x+5}{2x-1}$ a pour asymptote verticale $x=1$

Ce qu'il faut écrire

$2x-1=2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$ , donc l'asymptote est $x=0{,}5$

Pourquoi : L'asymptote verticale est le ZÉRO du dénominateur, pas son terme constant. On le trouve en résolvant $2x-1=0$ , ce qui donne $0{,}5$ . Le contrôle : la fonction doit exploser près de cette valeur, ce qu'un calcul en $x=0{,}501$ confirme.

7. Restreindre le domaine pour la réciproque

1 point, et une confusion entre les familles

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Comme pour la parabole, il faut restreindre avant d'inverser »

Ce qu'il faut écrire

Aucune restriction : la réciproque est encore une rationnelle, de mêmes asymptotes échangées

Pourquoi : Une fonction rationnelle ne prend jamais deux fois la même valeur : aucune horizontale ne la coupe deux fois. La restriction est réservée aux fonctions qui ont un extremum à l'intérieur de leur domaine, ce qui n'est pas le cas ici.

Quelle méthode choisir

Comment lire une fonction rationnelle

Une expression du type $\dfrac{px+q}{rx+s}$ ou $\dfrac{a}{x-h}+k$

Si Elle est déjà sous forme CANONIQUE → Les asymptotes se lisent : $x=h$ et $y=k$ , et le repère est leur croisement

Exemple : $\dfrac{6}{x-3}+4$ donne $x=3$ et $y=4$
Si Elle est sous forme GÉNÉRALE et $ps\neq qr$ → Vraie hyperbole : on divise pour obtenir la canonique, et l'on vérifie par le quotient des dominants

Exemple : $\dfrac{2x+7}{x+3}=\dfrac{1}{x+3}+2$
Si Elle est sous forme GÉNÉRALE et $ps=qr$ → Cas dégénéré : le quotient vaut une constante, percée d'un trou. Aucune asymptote

Exemple : $\dfrac{2x+4}{x+2}=2$ pour $x\neq -2$
Si On demande une INÉQUATION → Tout d'un côté, un seul quotient, tableau de signes. Jamais de multiplication

Exemple : $\dfrac{6}{x-3}+4\le 7$ donne $]-\infty\,;3[\cup[5\,;+\infty[$
Si On demande la RÉCIPROQUE → On échange $h$ et $k$ , $a$ reste. Aucune restriction

Exemple : La réciproque de $\dfrac{6}{x-3}+4$ est $\dfrac{6}{x-4}+3$

Le test de dégénérescence se fait AVANT tout : une multiplication croisée, et l'on sait si la courbe est une hyperbole ou une droite trouée.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger le passage à la forme canonique

Quand l'utiliser : Dès qu'une fonction rationnelle est donnée sous forme générale et qu'on demande ses asymptotes, son tracé ou ses propriétés

1 Vérifier que le quotient ne se simplifie pas, par multiplication croisée.
2 Mettre le coefficient du dénominateur en évidence s'il y en a un.
3 Écrire le numérateur comme un multiple du dénominateur plus un reste.
4 Séparer la fraction, lire $a$ , $h$ et $k$ .
5 Contrôler l'asymptote horizontale par le quotient des coefficients dominants.
6 Donner le domaine, l'image et les deux asymptotes.

Phrase de conclusion

« $3\times(-2)=-6$ et $-1\times 1=-1$ , différents, donc vraie hyperbole. $3x-1=3(x-2)+5$ , donc $\dfrac{3x-1}{x-2}=\dfrac{5}{x-2}+3$ . Asymptotes $x=2$ et $y=3$ ; domaine $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ , image $\mathbb{R}\setminus\{3\}$ . Contrôle : $\dfrac{3}{1}=3$ . »

Le piège : Diviser de tête et se tromper de reste. On écrit la ligne $3x-1=3(x-2)+5$ en entier, et l'on vérifie qu'elle est vraie en développant : $3x-6+5=3x-1$ .

Barème : 1 point pour le test de dégénérescence, 2 points pour la division, 1 point pour les deux asymptotes, 1 point pour le domaine et l'image. Des asymptotes justes sans division visible plafonnent à la moitié.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le quotient des coefficients dominants

Après toute division, l'asymptote horizontale trouvée doit égaler le quotient des coefficients de plus haut degré. C'est un contrôle instantané.

$\dfrac{4x+5}{2x-1}$ : le quotient vaut $2$ , et la division donne bien $k=2$ .
Évaluer en un grand nombre

La fonction doit s'approcher de l'asymptote horizontale, et de rien d'autre.

$\dfrac{6}{x-3}+4$ vaut environ $4{,}006$ en $x=1000$ .
Vérifier les deux exclusions

Le domaine exclut $h$ , l'image exclut $k$ . Une réponse où l'une des deux manque est incomplète.

Pour $\dfrac{-4}{x-2}+6$ : domaine sans $2$ , image sans $6$ .
Tester la dégénérescence par multiplication croisée

Avant toute lecture d'asymptote, comparer $ps$ et $qr$ . S'ils sont égaux, il n'y a pas d'hyperbole.

$\dfrac{2x+5}{x+2}$ : $4\neq 5$ , donc vraie hyperbole, de reste $1$ .

L'exercice type décortiqué

Étudier $y=\dfrac{5x+3}{x-1}$ de bout en bout

Donnez la forme canonique, les asymptotes, le domaine, l'image, le zéro, l'ordonnée à l'origine et la réciproque de $y=\dfrac{5x+3}{x-1}$ , puis résolvez $y>5$ .

La branche de droite est au-dessus de l'asymptote horizontale, celle de gauche en dessous : c'est la lecture du signe de

a

, ici positif.

Étape 1

Test : $p\,s=5\times(-1)=-5$ et $q\,r=3\times 1=3$ , différents. Vraie hyperbole.

Pourquoi

Le test de dégénérescence se fait avant tout. S'il avait donné l'égalité, il n'y aurait ni asymptote ni branche, et toute la suite serait sans objet.

Étape 2

$5x+3=5(x-1)+8$ , donc $y=\dfrac{8}{x-1}+5$ : $a=8$ , $h=1$ , $k=5$ .

Pourquoi

On écrit la ligne de division en entier et on la vérifie en développant : $5x-5+8=5x+3$ . Le reste, $8$ , est le paramètre $a$ .

Étape 3

Asymptotes $x=1$ et $y=5$ . Domaine $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ , image $\mathbb{R}\setminus\{5\}$ .

Pourquoi

Contrôle de l'horizontale par le quotient des dominants : $\dfrac{5}{1}=5$ , conforme. Les deux exclusions sont symétriques, comme toujours dans cette famille.

Étape 4

Zéro : le numérateur s'annule en $x=-0{,}6$ . Ordonnée à l'origine : $y(0)=\dfrac{3}{-1}=-3$ .

Pourquoi

Le zéro se lit plus vite sur la forme GÉNÉRALE, l'ordonnée à l'origine aussi. Les deux formes servent donc à des questions différentes, et l'on choisit à chaque fois la plus commode.

Étape 5

Réciproque : $y-5=\dfrac{8}{x-1}$ donne $x=\dfrac{8}{y-5}+1$ , donc $f^{-1}(x)=\dfrac{8}{x-5}+1$ .

Pourquoi

Les paramètres $h$ et $k$ ont permuté, $a$ n'a pas bougé. Contrôle : $f(3)=9$ et $f^{-1}(9)=\dfrac{8}{4}+1=3$ .

Étape 6

$y>5$ revient à $\dfrac{8}{x-1}>0$ , donc $x-1>0$ et $x>1$ . Solution $]1\,;+\infty[$ .

Pourquoi

Comme $a=8>0$ , le quotient est positif exactement quand le dénominateur l'est : la branche de droite est au-dessus de l'asymptote, celle de gauche en dessous. Aucun tableau n'est nécessaire ici, mais il l'aurait été avec un second membre différent de $k$ .

Conclusion rédigée

$y=\dfrac{8}{x-1}+5$ , asymptotes $x=1$ et $y=5$ , domaine et image privés de $1$ et de $5$ , zéro en $-0{,}6$ , ordonnée à l'origine $-3$ , réciproque $\dfrac{8}{x-5}+1$ , et $y>5$ sur $]1\,;+\infty[$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Annoncer l'asymptote horizontale $y=0$ parce que la forme canonique commence par une fraction. Le $+5$ est là, et le quotient des coefficients dominants le confirme en deux secondes.

À savoir par cœur

• Asymptote verticale $x=h$ , horizontale $y=k$ .
• Domaine sans $h$ , image sans $k$ : deux exclusions symétriques.
• $(h\,;k)$ n'est pas sur la courbe : c'est le centre de symétrie.
• Division : quotient égale $k$ , reste égale $a$ .
• Asymptote horizontale = quotient des coefficients dominants.
• Au plus un zéro.
• Jamais de multiplication dans une inéquation : tableau de signes.
• Réciproque : $h$ et $k$ permutent, $a$ reste, sans restriction.
• $\dfrac{c}{x}$ est sa propre réciproque.
• Si $ps=qr$ , c'est une constante trouée, pas une hyperbole.

Questions fréquentes

Pourquoi le point de repère d'une fonction rationnelle n'est-il pas sur la courbe ?

Parce que son abscisse annule le dénominateur, donc la fonction n'y existe pas, et parce que son ordonnée correspond à une fraction nulle, ce qu'un numérateur non nul ne produit jamais. Il est donc doublement évité. Il reste très utile : c'est le centre de symétrie de l'hyperbole, et les deux branches se répartissent autour de lui.

Comment trouver l'asymptote horizontale sans faire la division ?

En comparant les coefficients des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. Pour de grandes valeurs, les termes constants deviennent négligeables et le quotient se comporte comme le rapport de ces deux coefficients. Ce calcul instantané sert aussi de vérification après une division complète.

Peut-on multiplier une inéquation rationnelle par son dénominateur ?

Non, sauf si l'on connaît le signe de ce dénominateur, ce qui est rare. Le signe dépend de la valeur de l'inconnue, donc l'inégalité devrait être renversée d'un côté et pas de l'autre. La méthode sûre consiste à tout ramener d'un côté, à réduire en un seul quotient et à dresser un tableau de signes.

Pourquoi certaines expressions qui ressemblent à des hyperboles n'en sont-elles pas ?

Parce que le numérateur peut être un multiple du dénominateur. Tout se simplifie alors, et il reste une valeur constante, définie partout sauf en un point. La courbe est une droite horizontale percée d'un trou, sans aucune asymptote. Une multiplication croisée entre les coefficients détecte ce cas avant tout calcul.

La réciproque d'une fonction rationnelle demande-t-elle une restriction ?

Non. Contrairement à la parabole, une fonction rationnelle ne prend jamais deux fois la même valeur : elle est strictement monotone sur chacune de ses branches et les deux branches n'ont aucune valeur commune. Sa réciproque est donc une fonction, et c'est encore une rationnelle, dont les deux asymptotes sont celles de départ, échangées.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La fonction rationnelle, dite homographique

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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L'essentiel

Les deux asymptotes, et le repère hors de la courbe

Passer d'une forme à l'autre

Zéro, inéquations, réciproque

Les pièges qui coûtent des points

1. Placer le point de repère sur la courbe

2. Multiplier une inéquation par son dénominateur

3. Prendre l'axe des abscisses pour l'asymptote horizontale

4. Chercher un antécédent de kkk

5. Traiter un cas dégénéré comme une hyperbole

6. Oublier le coefficient du dénominateur en divisant

7. Restreindre le domaine pour la réciproque

Quelle méthode choisir

Comment lire une fonction rationnelle

La rédaction attendue

Rédiger le passage à la forme canonique

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Étudier y=5x+3x−1y=\dfrac{5x+3}{x-1}y=x−15x+3​ de bout en bout

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi le point de repère d'une fonction rationnelle n'est-il pas sur la courbe ?

Comment trouver l'asymptote horizontale sans faire la division ?

Peut-on multiplier une inéquation rationnelle par son dénominateur ?

Pourquoi certaines expressions qui ressemblent à des hyperboles n'en sont-elles pas ?

La réciproque d'une fonction rationnelle demande-t-elle une restriction ?

Exercices corrigés : La fonction rationnelle, dite homographique

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4. Chercher un antécédent de $k$

Étudier $y=\dfrac{5x+3}{x-1}$ de bout en bout