Math TS, secondaire 5 à Montréal • Algèbre

Fiche de révision : le rôle des paramètres a, b, h et k

Q: Pourquoi un plus dans la parenthèse donne-t-il une translation vers la gauche ?

Parce que la forme canonique est écrite avec une soustraction. Un plus trois se lit donc comme moins moins trois, et le paramètre vaut moins trois : la courbe se déplace de trois unités vers la gauche. Le contrôle le plus rapide est de calculer la valeur de la fonction au point candidat, et de vérifier qu'on y trouve bien le sommet ou le point de départ annoncé.

Q: Comment distinguer un étirement d'une translation sur un graphique ?

Le point de repère est le juge. Une translation le déplace et laisse la forme inchangée, de sorte que les deux courbes se superposent par simple glissement. Un étirement le laisse en place et change la forme : la courbe devient plus resserrée ou plus étalée. Regarder si le sommet a bougé suffit donc à trancher.

Q: Le point de repère appartient-il toujours à la courbe ?

Non, et c'est une source d'erreur fréquente. Pour la fonction du second degré, la racine carrée et la fonction définie par parties, il appartient bien à la courbe. Pour la fonction rationnelle, l'exponentielle et la logarithmique, il sert de repère extérieur : c'est le croisement des asymptotes, un point que la courbe approche sans jamais l'atteindre.

Q: Quand faut-il un crochet ouvert et quand un crochet fermé dans une image ?

Le crochet est fermé quand la valeur est réellement atteinte, ouvert quand elle ne l'est jamais. Une racine carrée atteint la valeur de son point de départ, donc son image est fermée de ce côté. Une exponentielle approche son asymptote sans la toucher, donc son image est ouverte. La question à se poser est toujours la même : existe-t-il un nombre qui donne exactement cette valeur ?

Q: Pourquoi la période d'une sinusoïde diminue-t-elle quand le paramètre augmente ?

Parce que ce paramètre compte le nombre de cycles sur un tour, alors que la période mesure la longueur d'un seul cycle. Deux cycles par tour signifie que chaque cycle occupe la moitié du tour. La période s'obtient donc en divisant le tour complet par la valeur absolue du paramètre, et non en le multipliant.

Cette fiche de révision accompagne le chapitre des paramètres du programme de mathématique Technico-sciences de cinquième secondaire : la forme canonique, le rôle de a, b, h et k, et leurs effets sur le point de repère, le domaine, l'image et les asymptotes.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Le fil du chapitre

L'an dernier, toutes les fonctions du cours avaient leur point de repère à l'origine. Cette année, $h$ et $k$ le déplacent : c'est la seule nouveauté du chapitre, et elle change la lecture de toutes les familles.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 5

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

La fonction racine carrée de sommet à l'origineSecondaire 4 TS Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (8 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3
3Fonctions : propriétés et réciproqueSecondaire 3
4Les exposants, les radicaux et la valeur absolueSecondaire 4 TS
5Les calculs algébriques et les expressions rationnellesSecondaire 4 TS
6La factorisationSecondaire 4 TS
7La fonction quadratique de sommet à l'origineSecondaire 4 TS
8La fonction racine carrée de sommet à l'origineSecondaire 4 TS

L'essentiel

Lire les quatre paramètres, sans se tromper de signe

• Forme canonique : $f(x)=a\,f_{0}\!\left(b(x-h)\right)+k$ , où $f_{0}$ est la fonction de base de la famille.
• Le $h$ se lit avec un MOINS : un $+3$ dans la parenthèse donne $h=-3$ , donc une translation vers la GAUCHE. Le contrôle est immédiat, l'asymptote ou le sommet est à gauche de l'axe.
• On met $b$ EN ÉVIDENCE avant de lire $h$ . Dans $2^{3x-6}$ , l'exposant s'écrit $3(x-2)$ , donc $b=3$ et $h=2$ , et non $h=6$ . Ce geste est obligatoire, pas cosmétique.
• Dans une fonction rationnelle, $b$ et $a$ font la même chose : $\dfrac{6}{3(x-2)}=\dfrac{2}{x-2}$ . C'est une particularité de cette famille, et elle explique qu'on y donne souvent $b=1$ .

Ce que chaque paramètre fait, et ce qu'il ne fait pas

• $h$ TRANSLATE horizontalement, $k$ TRANSLATE verticalement : ni l'un ni l'autre ne change la forme de la courbe.
• $|a|$ ÉTIRE verticalement, son signe retourne la courbe autour de la droite $y=k$ . $|b|$ étire horizontalement, son signe la retourne autour de la droite $x=h$ .
• Le DOMAINE est le test qui distingue les deux réflexions : seul $b$ le retourne. $y=-\sqrt{x}$ garde le domaine $[0\,;+\infty[$ , $y=\sqrt{-x}$ prend $]-\infty\,;0]$ .
• Les asymptotes ne dépendent que de $h$ et de $k$ : verticale en $x=h$ , horizontale en $y=k$ . Ni $a$ ni $b$ ne les déplacent.

La translatée garde exactement la forme de la parabole de base ; la pointillée, elle, a le même sommet mais une ouverture resserrée. Translation et étirement ne se confondent pas.

Le point de repère change de nom selon la famille

• Quadratique : $(h\,;k)$ est le SOMMET, sur la courbe. Racine carrée : c'est le POINT DE DÉPART, sur la courbe, et il ouvre le domaine.
• Rationnelle : c'est le CROISEMENT DES ASYMPTOTES, et il n'est PAS sur la courbe. C'est la famille qui piège le plus.
• Exponentielle : $k$ est l'asymptote horizontale, jamais atteinte ; le point de la courbe d'abscisse $h$ a pour ordonnée $a+k$ . Logarithmique : $h$ est l'asymptote verticale.
• Sinusoïde : $k$ est la valeur MOYENNE, $|a|$ la demi-différence des extrêmes, et la période vaut $\dfrac{360}{|b|}$ en degrés.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Lire le signe de h à l'endroit

toute la question qui suit, sommet, axe de symétrie et tracé compris

Ce qu'il ne faut pas écrire

Dans $y=2(x+3)^{2}-1$ , $h=3$

Ce qu'il faut écrire

$x+3=x-(-3)$ , donc $h=-3$ et le sommet est $(-3\,;-1)$

Pourquoi : La forme canonique contient un MOINS par définition. Le contrôle en deux secondes : évaluer la fonction en la valeur candidate. Ici $y(3)=2\times 36-1=71$ , ce qui n'est manifestement pas un sommet, alors que $y(-3)=-1$ .

2. Lire h sans avoir mis b en évidence

toute la description de la courbe

Ce qu'il ne faut pas écrire

Dans $y=5\cdot 2^{3x-6}+1$ , $h=6$

Ce qu'il faut écrire

$3x-6=3(x-2)$ , donc $b=3$ et $h=2$

Pourquoi : La forme canonique demande $b(x-h)$ , pas $bx+c$ . Contrôle : la courbe passe par $(2\,;6)$ , puisque $5\cdot 2^{0}+1=6$ , alors qu'en $x=6$ elle vaut $5\cdot 2^{12}+1$ , c'est-à-dire plus de vingt mille. Une différence pareille se repère sans calculatrice.

3. Confondre l'étirement et la translation

1 à 2 points, et un tracé faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $y=5x^{2}$ est la parabole $y=x^{2}$ déplacée vers le haut »

Ce qu'il faut écrire

Elle a le même sommet, $(0\,;0)$ , mais elle est resserrée

Pourquoi : Les deux courbes passent par l'origine : aucun déplacement n'a eu lieu. Chaque ordonnée est multipliée par $5$ , donc la courbe monte plus vite, ce qui n'est pas la même chose que monter plus haut à partir du même point. Le test : comparer les deux en $x=0$ .

4. Confondre la réflexion due à a et celle due à b

toute la question, domaine compris

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $y=-\sqrt{x}$ et $y=\sqrt{-x}$ ont le même graphique »

Ce qu'il faut écrire

L'une descend vers la droite, l'autre monte vers la gauche

Les deux demi-courbes occupent des quadrants différents. Aucune valeur de

x

ne les fait coïncider, et leurs domaines sont même disjoints à l'origine près.

Pourquoi : Le point $(-4\,;2)$ appartient à la seconde et pas à la première, où le radical n'existe même pas. Le DOMAINE est le test décisif : $a$ ne le change jamais, $b$ le retourne. Les deux courbes sont symétriques par rapport à l'origine, ce qui n'est pas être confondues.

5. Croire que le point de repère est toujours sur la courbe

2 points, et souvent un tracé qui passe par un point interdit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour $y=\dfrac{-4}{x-2}+6$ , le point $(2\,;6)$ appartient à la courbe »

Ce qu'il faut écrire

C'est le croisement des asymptotes ; la fonction n'est même pas définie en $2$

Pourquoi : Pour la rationnelle, l'exponentielle et la logarithmique, $(h\,;k)$ est un repère EXTÉRIEUR. Seules la quadratique, la racine carrée et la fonction définie par parties ont leur point de repère sur la courbe. Il faut donc savoir de quelle famille on parle avant de placer le point.

6. Fermer le crochet sur une asymptote

1 point à chaque occurrence, et elles sont nombreuses

Ce qu'il ne faut pas écrire

L'image de $y=3\cdot 2^{x}+5$ est $[5\,;+\infty[$

Ce qu'il faut écrire

$]5\,;+\infty[$ , crochet ouvert

Pourquoi : Une puissance est strictement positive, donc $3\cdot 2^{x}$ ne vaut jamais zéro et la valeur $5$ n'est jamais atteinte. La racine carrée, elle, atteint bien son $k$ , puisque le radical s'annule : c'est la différence à retenir entre une borne d'asymptote et une borne de point de départ.

7. Déplacer une asymptote verticale avec a ou b

1 à 2 points, et un domaine faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Dans $y=\dfrac{5}{3(x-1)}+3$ , le $3$ du dénominateur déplace l'asymptote »

Ce qu'il faut écrire

L'asymptote verticale reste $x=1$

Pourquoi : Le dénominateur $3(x-1)$ s'annule exactement quand $x=1$ , quel que soit le facteur devant. Le paramètre $b$ étire la courbe AUTOUR de l'asymptote, il ne la déplace pas. Seul $h$ la déplace, et seul $k$ déplace l'horizontale.

8. Chercher la période d'une sinusoïde sans diviser

toute la question de modélisation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Dans $y=12\sin(2x)+16$ , la période vaut $2$ »

Ce qu'il faut écrire

Elle vaut $\dfrac{360}{2}=180$ degrés

Pourquoi : Le paramètre $b$ compte les cycles, la période les mesure : plus $b$ est grand, plus la période est COURTE. Contrôle : avec $b=2$ , le maximum arrive deux fois plus tôt, à $45$ degrés au lieu de $90$ .

Quelle méthode choisir

Où est le point de repère, et que vaut le domaine

Une fonction écrite sous forme canonique, famille identifiée

Si QUADRATIQUE → $(h\,;k)$ est le sommet, sur la courbe ; domaine $\mathbb{R}$ , image bornée d'un côté

Exemple : $y=-3(x+1)^{2}+7$ : sommet $(-1\,;7)$ , image $]-\infty\,;7]$
Si RACINE CARRÉE → $(h\,;k)$ est le point de départ, sur la courbe ; le signe de $b$ ouvre le domaine à droite ou à gauche

Exemple : $y=2\sqrt{x-5}-3$ : départ $(5\,;-3)$ , domaine $[5\,;+\infty[$
Si RATIONNELLE → $(h\,;k)$ est le croisement des asymptotes, hors de la courbe ; domaine et image privés d'une valeur

Exemple : $y=\dfrac{-4}{x-2}+6$ : asymptotes $x=2$ et $y=6$
Si EXPONENTIELLE → $k$ est l'asymptote horizontale ; domaine $\mathbb{R}$ , image ouverte en $k$

Exemple : $y=-2\cdot 3^{x+1}+6$ : image $]-\infty\,;6[$
Si LOGARITHMIQUE → $h$ est l'asymptote verticale ; domaine ouvert en $h$ , image $\mathbb{R}$

Exemple : $y=\log_{2}(x-3)+1$ : domaine $]3\,;+\infty[$

Deux familles ont leur repère SUR la courbe, trois l'ont à côté. C'est la première question à se poser avant de placer un point ou d'écrire un crochet.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger une description complète de courbe

Quand l'utiliser : Dès qu'une question demande de décrire, de tracer ou de donner les propriétés d'une fonction

1 Identifier la famille et écrire la fonction de base.
2 Mettre $b$ en évidence si besoin, puis lire les quatre paramètres, signes compris.
3 Donner le point de repère en le NOMMANT selon la famille.
4 Donner le domaine, puis l'image, en surveillant les crochets.
5 Donner les asymptotes s'il y en a, et le sens de variation à partir des signes de $a$ et $b$ .
6 Placer deux points supplémentaires avant de tracer.

Phrase de conclusion

« $y=-2\sqrt{-(x-4)}+1$ est une fonction racine carrée. $a=-2$ , $b=-1$ , $h=4$ , $k=1$ . Point de départ $(4\,;1)$ . Comme $b<0$ , le domaine est $]-\infty\,;4]$ ; comme $a<0$ , l'image est $]-\infty\,;1]$ . La fonction est croissante sur son domaine, et passe par $(0\,;-3)$ . »

Le piège : Donner le domaine sans regarder le signe de $b$ , et l'image sans regarder celui de $a$ . Les deux se lisent sur des paramètres différents, et les inverser donne deux réponses fausses au lieu d'une.

Barème : 1 point par paramètre correctement lu, 1 point pour le point de repère nommé, 1 point pour le domaine, 1 point pour l'image, 1 point pour les asymptotes. Un seul signe mal lu contamine en général trois de ces lignes.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Évaluer en $x=h$

Pour une quadratique ou une racine carrée, la fonction doit y valoir exactement $k$ . Pour une exponentielle, elle doit valoir $a+k$ .

$y=3\cdot 5^{x-2}+4$ en $x=2$ vaut $3+4=7$ , et non $4$ : $k$ est l'asymptote.
Tester le domaine avec un nombre

Prendre un nombre du côté supposé du domaine et vérifier que la fonction existe. C'est le contrôle du signe de $b$ .

Pour $\sqrt{-(x-4)}$ , tester $x=0$ : le radicande vaut $4$ , la fonction existe, donc le domaine s'ouvre bien à gauche.
Vérifier l'asymptote par une valeur lointaine

Évaluer la fonction en un nombre très grand, ou très proche de $h$ , et regarder de quelle valeur elle s'approche.

$\dfrac{5}{x-1}+3$ en $x=101$ vaut $3{,}05$ , tout près de $3$ , l'asymptote horizontale annoncée.
Contrôler une sinusoïde par ses trois repères

La valeur moyenne, le maximum et le minimum doivent redonner $k$ , $k+|a|$ et $k-|a|$ . Un écart signale une erreur d'amplitude.

$y=12\sin x+16$ : moyenne $16$ , maximum $28$ , minimum $4$ , conformes à l'énoncé.

L'exercice type décortiqué

Décrire $y=-2\cdot 3^{x+1}+6$ de bout en bout

Donnez la famille, les quatre paramètres, le domaine, l'image, l'asymptote et le sens de variation de $y=-2\cdot 3^{x+1}+6$ , puis deux points de la courbe.

La courbe longe l'asymptote

y=6

par en dessous sans jamais l'atteindre : l'image est

]-\infty\,;6[

, crochet ouvert. Le point d'abscisse

h=-1

a pour ordonnée

a+k=4

, et non

k

Étape 1

Famille exponentielle, base $3$ . L'exposant $x+1$ s'écrit $1\cdot(x-(-1))$ , donc $b=1$ et $h=-1$ ; $a=-2$ et $k=6$ .

Pourquoi

L'exposant est déjà de la forme $b(x-h)$ avec $b=1$ , il n'y a rien à mettre en évidence. Le $+1$ donne un $h$ négatif, translation vers la gauche.

Étape 2

Domaine : $\mathbb{R}$ .

Pourquoi

Une exponentielle est définie partout, quels que soient ses paramètres : c'est la seule famille du programme sans aucune restriction de domaine.

Étape 3

Image : $3^{x+1}>0$ , donc $-2\cdot 3^{x+1}<0$ , donc $y<6$ . Image $]-\infty\,;6[$ .

Pourquoi

Le crochet est OUVERT parce que la puissance ne s'annule jamais. C'est le point le plus souvent perdu de la question, et il se justifie en une ligne, sans tracé.

Étape 4

Asymptote horizontale $y=6$ , approchée par en dessous.

Pourquoi

L'asymptote est toujours $y=k$ . Le côté d'approche se lit sur le signe de $a$ : négatif, donc la courbe reste sous l'asymptote. Contrôle en $x=-20$ : $-2\cdot 3^{-19}+6$ vaut $6$ à un milliardième près.

Étape 5

Sens de variation : décroissante sur $\mathbb{R}$ .

Pourquoi

La base $3$ est supérieure à $1$ , donc $3^{x+1}$ croît ; multipliée par $-2$ , la fonction décroît. Deux signes à combiner, et celui de $b$ n'intervient pas ici puisqu'il vaut $1$ .

Étape 6

Deux points : $y(-1)=-2+6=4$ et $y(0)=-6+6=0$ .

Pourquoi

Le premier est le point d'abscisse $h$ , d'ordonnée $a+k$ , à ne pas confondre avec $(h\,;k)$ . Le second est l'ordonnée à l'origine, et c'est aussi le zéro de la fonction, ce qui se vérifie en résolvant $-2\cdot 3^{x+1}+6=0$ .

Conclusion rédigée

Exponentielle de paramètres $a=-2$ , $b=1$ , $h=-1$ , $k=6$ ; domaine $\mathbb{R}$ , image $]-\infty\,;6[$ , asymptote $y=6$ , décroissante, passant par $(-1\,;4)$ et $(0\,;0)$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire l'image $]-\infty\,;6]$ avec un crochet fermé, et placer le point $(-1\,;6)$ sur la courbe. Les deux erreurs viennent de la même confusion entre l'asymptote et une valeur atteinte.

À savoir par cœur

• Forme canonique : $a\,f_{0}\!\left(b(x-h)\right)+k$ .
• Un $+$ dans la parenthèse donne un $h$ NÉGATIF.
• On met $b$ en évidence AVANT de lire $h$ .
• $h$ et $k$ translatent, $a$ et $b$ étirent et retournent.
• $a$ retourne autour de $y=k$ , $b$ autour de $x=h$ .
• Seul $b$ retourne le DOMAINE : c'est le test.
• Asymptotes en $x=h$ et $y=k$ , que $a$ et $b$ ne déplacent jamais.
• Repère SUR la courbe : quadratique, racine carrée, par parties.
• Crochet ouvert sur une asymptote, fermé sur un point de départ.
• Sinusoïde : $k$ la moyenne, $|a|$ la demi-différence, période $\dfrac{360}{|b|}$ .

Questions fréquentes

Pourquoi un plus dans la parenthèse donne-t-il une translation vers la gauche ?

Parce que la forme canonique est écrite avec une soustraction. Un plus trois se lit donc comme moins moins trois, et le paramètre vaut moins trois : la courbe se déplace de trois unités vers la gauche. Le contrôle le plus rapide est de calculer la valeur de la fonction au point candidat, et de vérifier qu'on y trouve bien le sommet ou le point de départ annoncé.

Comment distinguer un étirement d'une translation sur un graphique ?

Le point de repère est le juge. Une translation le déplace et laisse la forme inchangée, de sorte que les deux courbes se superposent par simple glissement. Un étirement le laisse en place et change la forme : la courbe devient plus resserrée ou plus étalée. Regarder si le sommet a bougé suffit donc à trancher.

Le point de repère appartient-il toujours à la courbe ?

Non, et c'est une source d'erreur fréquente. Pour la fonction du second degré, la racine carrée et la fonction définie par parties, il appartient bien à la courbe. Pour la fonction rationnelle, l'exponentielle et la logarithmique, il sert de repère extérieur : c'est le croisement des asymptotes, un point que la courbe approche sans jamais l'atteindre.

Quand faut-il un crochet ouvert et quand un crochet fermé dans une image ?

Le crochet est fermé quand la valeur est réellement atteinte, ouvert quand elle ne l'est jamais. Une racine carrée atteint la valeur de son point de départ, donc son image est fermée de ce côté. Une exponentielle approche son asymptote sans la toucher, donc son image est ouverte. La question à se poser est toujours la même : existe-t-il un nombre qui donne exactement cette valeur ?

Pourquoi la période d'une sinusoïde diminue-t-elle quand le paramètre augmente ?

Parce que ce paramètre compte le nombre de cycles sur un tour, alors que la période mesure la longueur d'un seul cycle. Deux cycles par tour signifie que chaque cycle occupe la moitié du tour. La période s'obtient donc en divisant le tour complet par la valeur absolue du paramètre, et non en le multipliant.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les paramètres des fonctions

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

Fiche précédente Programmation linéaire et optimisation Fiche suivante Les opérations sur les fonctions

Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Les opérations sur les fonctions La fonction rationnelle, dite homographique Les fonctions exponentielles La fonction partie entière Les fonctions sinus et cosinus

Voir aussi

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L'essentiel

Lire les quatre paramètres, sans se tromper de signe

Ce que chaque paramètre fait, et ce qu'il ne fait pas

Le point de repère change de nom selon la famille

Les pièges qui coûtent des points

1. Lire le signe de h à l'endroit

2. Lire h sans avoir mis b en évidence

3. Confondre l'étirement et la translation

4. Confondre la réflexion due à a et celle due à b

5. Croire que le point de repère est toujours sur la courbe

6. Fermer le crochet sur une asymptote

7. Déplacer une asymptote verticale avec a ou b

8. Chercher la période d'une sinusoïde sans diviser

Quelle méthode choisir

Où est le point de repère, et que vaut le domaine

La rédaction attendue

Rédiger une description complète de courbe

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Décrire y=−2⋅3x+1+6y=-2\cdot 3^{x+1}+6y=−2⋅3x+1+6 de bout en bout

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi un plus dans la parenthèse donne-t-il une translation vers la gauche ?

Comment distinguer un étirement d'une translation sur un graphique ?

Le point de repère appartient-il toujours à la courbe ?

Quand faut-il un crochet ouvert et quand un crochet fermé dans une image ?

Pourquoi la période d'une sinusoïde diminue-t-elle quand le paramètre augmente ?

Exercices corrigés : Les paramètres des fonctions

Ce chapitre resservira dans

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