Exercices corrigés : les fonctions sinus et cosinus (math TS, secondaire 5)

Le DOMAINE est $\mathbb{R}$ : on peut tourner d'un angle aussi grand qu'on veut, dans les deux sens. L'IMAGE est $[-1\,;1]$ : l'ordonnée d'un point du cercle de rayon $1$ ne sort jamais de là. La PÉRIODE est $2\pi$ : un tour complet ramène au même point image, donc à la même valeur.

Le sinus est l'ORDONNÉE du point image, donc il s'annule quand le point est sur l'axe horizontal : en $0$ et en $\pi$. En général, $x=k\pi$ avec $k$ entier. Remarquez qu'il y a un zéro tous les DEMI-tours, pas tous les tours : la période de la fonction est $2\pi$, mais l'écart entre deux zéros consécutifs n'est que de $\pi$.

Mêmes domaine, image et période. Les zéros diffèrent : le cosinus est l'ABSCISSE du point image, donc il s'annule quand le point est sur l'axe vertical, en $\dfrac{\pi}{2}$ et en $\dfrac{3\pi}{2}$, c'est-à-dire en $\dfrac{\pi}{2}+k\pi$.

Un QUART de tour, $\dfrac{\pi}{2}$. Le cosinus part de son maximum, le sinus part de zéro et atteint son maximum un quart de tour plus tard : $\sin x=\cos\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)$. Les deux courbes sont donc LA MÊME, décalée, et c'est ce qui permettra plus loin d'écrire une même sinusoïde de deux façons.

L'AMPLITUDE est $|a|=3$ : c'est la demi-hauteur de l'oscillation, la distance de l'axe médian au maximum. La PÉRIODE est $\dfrac{2\pi}{|b|}=\dfrac{2\pi}{2}=\pi$ : la courbe fait un cycle complet deux fois plus vite que le sinus de base.

L'axe médian est $y=k=1$. Le maximum vaut $k+|a|=1+3=4$, le minimum $k-|a|=1-3=-2$. L'image est donc $[-2\,;4]$, un intervalle d'amplitude $6$, c'est-à-dire DEUX fois l'amplitude : ne pas confondre l'amplitude, $3$, avec l'écart total, $6$.

Le sinus de base atteint son maximum quand son argument vaut $\dfrac{\pi}{2}$. Ici l'argument est $2\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)$, donc $2\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\pi}{2}$, d'où $x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}$ et $x=\dfrac{\pi}{2}$. Vérification : $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=3\sin\dfrac{\pi}{2}+1=4$, bien le maximum.

On DIVISE par $|b|$, on ne multiplie pas : la période est $\dfrac{2\pi}{|b|}=\pi$. Le sens se retrouve sans formule : $b=2$ fait avancer l'argument deux fois plus vite, donc le cycle est deux fois plus COURT. Un $b$ plus grand que $1$ COMPRIME toujours la courbe, et c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre parce qu'elle va contre l'intuition.

Période $=\dfrac{2\pi}{\pi/3}=2\pi\times\dfrac{3}{\pi}=6$. Amplitude $|a|=2$. Axe médian $y=k=-1$. Quand $b$ contient $\pi$, la période devient un nombre SANS $\pi$, et c'est normal : les $\pi$ se simplifient.

Le cosinus part de son maximum en $x=h=1$. Les cinq points sont espacés d'un quart de période, soit $1{,}5$. Maximum $(1\,;-1+2)=(1\,;1)$ ; médian $(2{,}5\,;-1)$ ; minimum $(4\,;-1-2)=(4\,;-3)$ ; médian $(5{,}5\,;-1)$ ; maximum $(7\,;1)$. Ces cinq points suffisent à tracer proprement, et les répéter tous les $6$ donne toute la courbe.

L'image est $[k-|a|\,;k+|a|]=[-3\,;1]$. Pour les zéros : $2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}(x-1)\right)=1$, donc $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}(x-1)\right)=0{,}5$, donc $\dfrac{\pi}{3}(x-1)=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$, d'où $x-1=\pm 1+6k$ et $x=2$ ou $x=0$, puis $x=6$ en ajoutant une période au second. Dans $[1\,;7]$ : $x=2$ et $x=6$, exactement.

OUI, et on le sait avant tout calcul : l'image est $[-3\,;1]$, qui CONTIENT $0$. Une sinusoïde coupe l'axe des abscisses si et seulement si son axe médian est à une distance inférieure ou égale à l'amplitude de cet axe, c'est-à-dire si $|k|\le|a|$. Ici $|-1|=1\le 2$ : elle le coupe. Avec $k=-4$ et $a=2$, elle ne le couperait pas.

L'axe médian est à mi-chemin entre le maximum et le minimum : $k=\dfrac{5+(-3)}{2}=1$. L'amplitude est la DEMI-différence : $|a|=\dfrac{5-(-3)}{2}=4$. Ces deux formules, demi-somme et demi-différence, sont à savoir par coeur : elles évitent de compter les carreaux.

Le maximum est en $x=2$ et le minimum en $x=6$ : un maximum et le minimum suivant sont distants d'une DEMI-période, donc la demi-période vaut $4$ et la période vaut $8$. D'où $|b|=\dfrac{2\pi}{8}=\dfrac{\pi}{4}$. Prendre $8$ pour la demi-période est l'erreur classique : elle divise la période par deux.

On choisit le COSINUS parce qu'un maximum est visible, et le cosinus part de son maximum : $h$ est donc l'abscisse de ce maximum, $2$. La règle est $f(x)=4\cos\left(\dfrac{\pi}{4}(x-2)\right)+1$. Avec un sinus il faudrait prendre $h=0$, le sinus partant de l'axe médian en montant, ce qui donnerait $f(x)=4\sin\left(\dfrac{\pi}{4}x\right)+1$ : les deux règles décrivent la même courbe.

$f(4)=4\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\times 2\right)+1=4\cos\dfrac{\pi}{2}+1=0+1=1$, ce qui est bien l'axe médian, à mi-chemin entre le maximum de $x=2$ et le minimum de $x=6$. En $x=10$, on n'a rien à calculer : $10=2+8$, soit une PÉRIODE après le maximum, donc $f(10)=5$.

$\sin x=-\dfrac{1}{2}$. Référence $\dfrac{\pi}{6}$, sinus NÉGATIF donc quadrants III et IV : $x=\pi+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{6}$ et $x=2\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{11\pi}{6}$. Deux solutions.

$\cos(2x)=0{,}5$. Référence $\dfrac{\pi}{3}$, cosinus POSITIF donc quadrants I et IV : $2x=\dfrac{\pi}{3}$ ou $2x=\dfrac{5\pi}{3}$, plus $2k\pi$. Mais $x$ parcourant $[0\,;2\pi[$, l'argument $2x$ parcourt $[0\,;4\pi[$, donc il faut AUSSI les solutions du deuxième tour : $2x=\dfrac{7\pi}{3}$ et $2x=\dfrac{11\pi}{3}$. En divisant par deux : $x=\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{5\pi}{6}$, $\dfrac{7\pi}{6}$ et $\dfrac{11\pi}{6}$. QUATRE solutions.

$\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=1$, valeur EXTRÊME : une seule solution par tour, $x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$, donc $x=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{3\pi+\pi}{6}=\dfrac{4\pi}{6}=\dfrac{2\pi}{3}$. Une seule solution dans l'intervalle.

Parce que $b=2$ COMPRIME la courbe : la période vaut $\pi$, donc DEUX périodes tiennent dans $[0\,;2\pi[$, et chacune fournit ses deux solutions. La règle générale : sur un intervalle d'une longueur donnée, le nombre de solutions est multiplié par $|b|$. C'est le meilleur contrôle de fin de résolution : compter les solutions AVANT de les chercher, et vérifier qu'on en a bien trouvé autant.

$2\sin x=1$, donc $\sin x=\dfrac{1}{2}$. Référence $\dfrac{\pi}{6}$, sinus positif, quadrants I et II : $x=\dfrac{\pi}{6}$ et $x=\dfrac{5\pi}{6}$, soit environ $0{,}52$ et $2{,}62$, ce que la figure confirme.

Entre les deux zéros, la courbe est AU-DESSUS de l'axe : la figure le montre, et un test le confirme, $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2-1=1>0$. La solution est $\left[\dfrac{\pi}{6}\,;\dfrac{5\pi}{6}\right]$, crochets FERMÉS puisque l'inégalité est large.

$2\sin x-1<-2$ donne $\sin x<-\dfrac{1}{2}$. L'égalité $\sin x=-\dfrac{1}{2}$ a pour solutions $\dfrac{7\pi}{6}$ et $\dfrac{11\pi}{6}$, et entre les deux le sinus descend jusqu'à $-1$, donc y est bien plus petit que $-\dfrac{1}{2}$ : test en $\dfrac{3\pi}{2}$, $f=-3<-2$. La solution est $\left]\dfrac{7\pi}{6}\,;\dfrac{11\pi}{6}\right[$, crochets OUVERTS, l'inégalité étant stricte.

AUCUNE solution. Le maximum de $f$ vaut $2\times 1-1=1$, donc $f(x)\ge 2$ est impossible. On le voit d'un coup d'oeil sur l'image de la fonction, $[-3\,;1]$, et il ne faut surtout pas se lancer dans une résolution : l'IMAGE se regarde toujours avant de résoudre une inéquation, elle répond parfois toute seule.

On distribue d'abord : $2\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=2x-\dfrac{\pi}{2}$. L'expression devient $3\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{2}\right)+1$. Or, en posant $\theta=2x$, $\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{2}\right)=-\cos\theta$ : reculer d'un quart de tour sur le cercle échange abscisse et ordonnée en changeant un signe. D'où $-3\cos(2x)+1$.

En $x=0$ : à gauche, $3\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)+1=-3+1=-2$ ; à droite, $-3\cos 0+1=-3+1=-2$. En $x=\dfrac{\pi}{4}$ : à gauche, $3\sin 0+1=1$ ; à droite, $-3\cos\dfrac{\pi}{2}+1=0+1=1$. Deux points ne PROUVENT pas une identité, mais ils la réfuteraient si elle était fausse : c'est le contrôle à faire avant de rendre.

Un cosinus part de son maximum, un sinus part de l'axe médian en montant, et le sinus est en RETARD d'un quart de période. La période vaut ici $\dfrac{2\pi}{\pi/2}=4$, donc le quart vaut $1$, et l'on RECULE $h$ de $1$ : $f(x)=5\sin\left(\dfrac{\pi}{2}(x-2)\right)$. Vérification en $x=3$ : à gauche $5\cos 0=5$, à droite $5\sin\dfrac{\pi}{2}=5$. Même maximum, même endroit.

La SECONDE, $-3\cos(2x)+1$. Un cosinus vaut $\pm 1$ quand son argument est un multiple de $\pi$, donc ici en $x=0$, $\dfrac{\pi}{2}$, $\pi$ et ainsi de suite : les extrémums tombent sur des abscisses simples, sans fraction à résoudre. C'est le critère de choix : on prend l'écriture dont le $h$ est nul ou rond, parce qu'elle place les points clés sur des abscisses faciles. Attention au signe négatif devant, qui INVERSE maximum et minimum.

Période $=\dfrac{2\pi}{\pi/20}=40$ ms. Vérification par le régime : $1500$ tours par minute font $\dfrac{1500}{60}=25$ tours par seconde, donc un tour dure $\dfrac{1}{25}=0{,}04$ s, soit $40$ ms. Les deux calculs, l'un par la formule et l'autre par la physique, doivent concorder, et c'est le premier contrôle à faire dans ce genre de problème.

La course va du minimum au maximum, soit $2\times|a|=2\times 40=80$ mm. C'est l'écart total, pas l'amplitude : le piston monte de $40$ mm au-dessus du milieu et descend de $40$ mm en dessous. Dire « course $40$ mm » est l'erreur classique, et elle donnerait une cylindrée deux fois trop petite.

$p(10)=40\cos\left(\dfrac{\pi\times 10}{20}\right)=40\cos\dfrac{\pi}{2}=0$ : le piston est exactement au MILIEU de sa course, et c'est là qu'il va le plus vite. $p(20)=40\cos\pi=-40$ : il est au point le plus BAS, où il s'arrête un instant avant de remonter.

On cherche le premier $t>0$ tel que $p(t)=20$ : $\cos\left(\dfrac{\pi t}{20}\right)=0{,}5$, donc $\dfrac{\pi t}{20}=\dfrac{\pi}{3}$, d'où $t=\dfrac{20}{3}\approx 6{,}67$ ms. On garde la SOLUTION du premier quadrant parce que le piston descend depuis son maximum et croise $20$ mm une première fois avant la mi-course. L'autre solution du tour, $t=\dfrac{100}{3}\approx 33{,}33$ ms, est le passage à la remontée.

Période $=\dfrac{2\pi}{120\pi}=\dfrac{1}{60}$ s, soit environ $16{,}7$ ms. La fréquence est l'inverse de la période : $60$ hertz, ce qui est bien le réseau nord-américain. En Europe le même calcul donnerait $50$ hertz.

La tension de CRÊTE est l'amplitude, $170$ volts. Le sinus s'annule DEUX fois par période, en montant et en descendant, et il y a $60$ périodes par seconde : cela fait $2\times 60=120$ passages par zéro par seconde. C'est d'ailleurs pourquoi une ampoule à incandescence scintille à $120$ hertz et non à $60$.

$\dfrac{170}{\sqrt{2}}\approx 120{,}2$ volts. C'est de là que vient le nom : la prise « de $120$ volts » n'est pas mesurée à sa crête, mais à sa valeur EFFICACE, celle qui produit le même échauffement qu'une tension continue de $120$ volts. Les deux nombres sont donc justes, ils ne mesurent pas la même chose, et un appareil doit supporter les $170$ volts de crête même s'il est marqué $120$.

On résout $170\sin(120\pi t)=120$, donc $\sin(120\pi t)=\dfrac{120}{170}\approx 0{,}7059$, donc $120\pi t\approx 0{,}7835$ radian, d'où $t\approx\dfrac{0{,}7835}{376{,}99}\approx 0{,}002078$ s, soit environ $2{,}08$ ms. La seconde solution du tour, $120\pi t=\pi-0{,}7835$, donne $6{,}25$ ms, le passage à la descente : l'énoncé demandant le PREMIER instant, c'est la solution du premier quadrant qu'on garde.