Math TS, secondaire 5 à Montréal • Trigonométrie

Fiche de révision : les fonctions sinus et cosinus

Cette fiche de révision accompagne le chapitre des fonctions sinus et cosinus du programme de mathématique Technico-sciences de cinquième secondaire : forme canonique, paramètres, tracé, recherche de la règle, équations et inéquations.

Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.

Mis à jour le 16 octobre 2026

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Le fil du chapitre

Les quatre paramètres ne font pas quatre choses différentes. Deux DILATENT, $a$ verticalement et $b$ horizontalement, deux TRANSLATENT, $h$ horizontalement et $k$ verticalement. Amplitude, période, maximum, image et zéros se lisent tous dessus, sans rien apprendre de plus.

Ce chapitre fait partie de Mathématique TS, secondaire 5

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (10 chapitres, les plus proches) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1 Fonctions : propriétés et réciproque Secondaire 3
2 Les exposants, les radicaux et la valeur absolue Secondaire 4 TS
3 La factorisation Secondaire 4 TS
4 La fonction quadratique de sommet à l'origine Secondaire 4 TS
5 La fonction racine carrée de sommet à l'origine Secondaire 4 TS
6 La similitude et l'isométrie des triangles Secondaire 4 TS
7 Relations métriques et trigonométrie du triangle rectangle Secondaire 4 TS
8 L'aire d'un triangle par la trigonométrie Secondaire 4 TS
9 Les paramètres des fonctions
10 Le cercle trigonométrique

L'essentiel

Les quatre paramètres et ce qu'ils donnent

• FORME CANONIQUE : $f(x)=a\sin\big(b(x-h)\big)+k$ , et de même avec un cosinus.
• AMPLITUDE $=|a|$ , une DISTANCE donc positive. PÉRIODE $=\dfrac{2\pi}{|b|}$ , on DIVISE.
• AXE MÉDIAN $y=k$ , MAXIMUM $k+|a|$ , MINIMUM $k-|a|$ , IMAGE $[k-|a|\,;k+|a|]$ .
• Le paramètre $h$ décale horizontalement : pour un cosinus, c'est l'abscisse d'un MAXIMUM ; pour un sinus, celle d'un passage à l'axe médian en MONTANT.

Le maximum

(2\,;5)

et le minimum

(6\,;-3)

sont à une DEMI-période l'un de l'autre. Leur demi-somme donne l'axe médian, leur demi-différence l'amplitude.

Tracer et lire

• LES CINQ POINTS CLÉS d'une période sont espacés d'un QUART de période. Pour un cosinus : maximum, médian, minimum, médian, maximum.
• LIRE UN GRAPHIQUE dans cet ordre : $k$ par la demi-somme du maximum et du minimum, $|a|$ par la demi-différence, la période par l'écart entre deux maximums, puis $h$ sur un point remarquable.
• LA COURBE COUPE L'AXE DES ABSCISSES si et seulement si $|k|\le|a|$ . On regarde l'image avant tout calcul.
• DEUX ÉCRITURES pour une même courbe : sinus et cosinus sont la même courbe décalée d'un quart de période. On choisit celle dont le $h$ est nul ou rond.

Une période de

2\cos\left(\frac{\pi}{2}(x-1)\right)+1

: maximum, médian, minimum, médian, maximum, tous les quarts de période (

1

unité ici), autour de l'axe médian

y=1

(pointillé).

Équations et inéquations

• Sur un intervalle de longueur $2\pi$ , une équation en $\sin(bx)$ a $2|b|$ solutions. On COMPTE avant de chercher.
• Méthode : isoler le rapport, trouver l'angle de référence, placer les deux solutions par tour, puis revenir à $x$ en n'oubliant pas les tours supplémentaires de l'argument.
• Une valeur EXTRÊME ne donne qu'une solution par période ; une valeur hors de l'image n'en donne aucune.
• INÉQUATION : on résout d'abord l'ÉGALITÉ, qui donne les bornes, puis on teste un point pour choisir les intervalles. Crochets fermés si l'inégalité est large.

Sur une période de

\sin x

\sin x=0{,}5

a deux solutions (bleu),

\sin x=1

, valeur extrême, une seule (orange),

\sin x=1{,}4

, hors de l'image, aucune (violet).

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Multiplier par $b$ au lieu de diviser

toute la question, et un tracé trois fois trop large

Ce qu'il ne faut pas écrire

La période de $\sin(3x)$ vaut $6\pi$

Ce qu'il faut écrire

$\dfrac{2\pi}{3}$

\sin(3x)

fait TROIS oscillations là où

\sin x

en fait une : sa période est

\frac{2\pi}{3}

(vert). On divise par

3

, et une période de

6\pi

serait trois fois plus lente.

Pourquoi : Un $b$ plus grand que $1$ fait avancer l'argument plus vite, donc le cycle est plus COURT. C'est l'inverse de l'intuition, et c'est pour cela que l'erreur est si fréquente. Le contrôle : $\sin\left(3\times\dfrac{2\pi}{3}\right)=\sin(2\pi)=0=\sin 0$ , le cycle est bien bouclé.

2. Donner une amplitude négative

1 point, et une image mal décrite

Ce qu'il ne faut pas écrire

L'amplitude de $-4\sin x+2$ vaut $-4$

Ce qu'il faut écrire

$4$

Pour

-4\sin x+2

, l'amplitude est la DISTANCE de l'axe médian

y=2

au maximum

6

4

(vert). Le signe de

a

retourne la courbe, il ne rend pas la distance négative.

Pourquoi : L'amplitude est la distance de l'axe médian au maximum, donc une valeur positive. Le signe négatif de $a$ ne réduit rien : il RETOURNE la courbe, qui descend là où le sinus monte, et l'image reste $[-2\,;6]$ .

3. Confondre la demi-période et la période

toute la règle,

b

étant doublé

Ce qu'il ne faut pas écrire

Maximum en $x=2$ , minimum en $x=6$ , donc période $4$

Ce qu'il faut écrire

Période $8$ : ces deux points sont à une DEMI-période

Du maximum en

x=2

au minimum en

x=6

: une DEMI-période (rouge). Il faut aller jusqu'au maximum suivant, en

x=10

, pour une période entière :

8

(vert).

Pourquoi : Une période sépare deux maximums CONSÉCUTIFS, ou deux minimums. Un maximum et le minimum suivant n'en séparent qu'une moitié. Le contrôle est immédiat : avec la règle trouvée, la valeur en $x=6$ doit être le minimum, et elle ne l'est pas si $b$ est doublé.

4. Sous-évaluer le nombre de solutions

la moitié de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

$\cos(2x)=0{,}5$ a deux solutions dans $[0\,;2\pi[$

Ce qu'il faut écrire

Quatre

Deux périodes complètes tiennent dans un tour, donc la droite horizontale rencontre la courbe QUATRE fois, et non deux.

Pourquoi : Quand $x$ parcourt $[0\,;2\pi[$ , l'ARGUMENT $2x$ parcourt $[0\,;4\pi[$ , soit DEUX tours, et chaque tour fournit deux solutions. La règle : on multiplie par $|b|$ . Compter avant de chercher évite de s'arrêter trop tôt.

5. Résoudre une inéquation sans regarder l'image

du temps perdu, et parfois une réponse inventée

Ce qu'il ne faut pas écrire

Se lancer dans la résolution de $2\sin x-1\ge 2$

Ce qu'il faut écrire

L'image est $[-3\,;1]$ : aucune solution, et on le voit sans calcul

L'image de

2\sin x-1

s'arrête à

1

: la droite

y=2

(rouge) passe au-dessus de toute la courbe.

2\sin x-1\ge 2

n'a aucune solution, et cela se voit sans calcul.

Pourquoi : Le maximum de la fonction vaut $1$ , donc l'inégalité est impossible. Regarder l'image prend trois secondes et répond parfois toute seule à la question : c'est le premier geste d'une inéquation, avant même de résoudre l'égalité.

6. Oublier que $h$ est un décalage du bon signe

1 à 2 points, et un tracé décalé d'un demi-quart de période

Ce qu'il ne faut pas écrire

Dans $\sin\big(2(x-\frac{\pi}{4})\big)$ , la courbe est décalée de $-\dfrac{\pi}{4}$

Ce qu'il faut écrire

Elle est décalée de $+\dfrac{\pi}{4}$ , vers la DROITE

\sin\big(2(x-\frac{\pi}{4})\big)

(bleu) est

\sin(2x)

(pointillé) décalée de

\frac{\pi}{4}

vers la DROITE : son maximum passe de

\frac{\pi}{4}

\frac{\pi}{2}

Pourquoi : Le signe moins est dans la forme canonique elle-même : $x-h$ avec $h=\dfrac{\pi}{4}$ donne un décalage vers la droite. C'est la même convention que pour toutes les familles de fonctions, et le contrôle consiste à vérifier où tombe le maximum.

7. Écrire l'image comme un intervalle d'amplitude simple

1 point, et toutes les inéquations qui suivent

Ce qu'il ne faut pas écrire

L'image de $3\sin(2x)+1$ est $[-3\,;3]$

Ce qu'il faut écrire

$[-2\,;4]$

3\sin(2x)+1

oscille de

3

autour de l'axe

y=1

: de

1-3=-2

1+3=4

(vert). L'intervalle

[-3\,;3]

oublie le décalage

k

Pourquoi : Le paramètre $k$ translate l'image tout entière. On part de $[-|a|\,;|a|]$ et on ajoute $k$ aux deux bornes. Oublier $k$ est fréquent parce que l'amplitude a l'air de tout dire, alors qu'elle ne donne que la LARGEUR de l'intervalle, pas sa position.

Quelle méthode choisir

Quelle écriture choisir, sinus ou cosinus

Un graphique de sinusoïde dont on cherche la règle

Sur la même courbe, trois départs possibles : le maximum en

x=2

(cosinus,

h=2

), le passage montant en

x=0

(sinus,

h=0

), le minimum en

x=6

(cosinus avec

a<0

h=6

Si Un MAXIMUM tombe sur une abscisse simple → Écriture en cosinus, avec $h$ égal à cette abscisse

Exemple : Maximum en $x=2$ : $f(x)=4\cos\left(\dfrac{\pi}{4}(x-2)\right)+1$
Si Un passage à l'axe médian EN MONTANT tombe sur une abscisse simple → Écriture en sinus, avec $h$ égal à cette abscisse

Exemple : Passage montant en $x=0$ : $f(x)=4\sin\left(\dfrac{\pi}{4}x\right)+1$
Si Un MINIMUM tombe sur une abscisse simple → Cosinus avec un $a$ NÉGATIF, la courbe étant retournée

Exemple : Minimum en $x=6$ : $f(x)=-4\cos\left(\dfrac{\pi}{4}(x-6)\right)+1$
Si Aucune abscisse remarquable n'est simple → On prend celle qui l'est le moins mal, puis on VÉRIFIE en deux points

Exemple : Une règle juste vérifiée en deux points vaut mieux qu'une règle élégante non vérifiée

Les quatre branches décrivent la MÊME courbe : il n'y a pas de bonne ou de mauvaise réponse, seulement une écriture plus commode que les autres. Le correcteur accepte toute règle vérifiable.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger la recherche d'une règle à partir d'un graphique

Quand l'utiliser : Chaque fois qu'une sinusoïde est donnée par sa courbe

1 Lire le maximum et le minimum, et en déduire $k$ par la demi-somme et $|a|$ par la demi-différence.
2 Mesurer la période entre deux maximums consécutifs, jamais entre un maximum et un minimum.
3 En déduire $|b|=\dfrac{2\pi}{\text{période}}$ .
4 Choisir l'écriture, sinus ou cosinus, selon le point remarquable dont l'abscisse est la plus simple.
5 Lire $h$ sur ce point, et dire lequel on a pris.
6 Vérifier la règle en DEUX points du graphique, dont un extrémum.

Phrase de conclusion

« Le maximum vaut $5$ et le minimum $-3$ , donc $k=\dfrac{5-3}{2}=1$ et $|a|=\dfrac{5+3}{2}=4$ . Le maximum est en $x=2$ et le minimum en $x=6$ , donc la DEMI-période vaut $4$ et la période $8$ , d'où $b=\dfrac{\pi}{4}$ . Un maximum tombe en $x=2$ , donc j'écris en cosinus avec $h=2$ : $f(x)=4\cos\left(\dfrac{\pi}{4}(x-2)\right)+1$ . Contrôle : $f(2)=5$ et $f(6)=-3$ . »

Le piège : Prendre l'écart maximum-minimum pour la période. C'est la faute la plus coûteuse de l'exercice, parce qu'elle fausse $b$ et donc tout le tracé.

Barème : 1 point pour $k$ , 1 point pour $|a|$ , 2 points pour la période et $b$ , 1 point pour le choix justifié de l'écriture, 1 point pour $h$ , 2 points pour la vérification en deux points.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Tester la règle aux deux extrémums

Une règle juste doit rendre exactement le maximum et le minimum lus sur le graphique, aux abscisses lues.

$f(2)=5$ et $f(6)=-3$ : la règle tient.
Vérifier la période par périodicité

La fonction doit prendre la même valeur en $x$ et en $x$ plus une période. Un écart signale un $b$ faux.

$f(10)=f(2)=5$ avec une période de $8$ .
Comparer la valeur cible à l'image

Avant de résoudre une équation ou une inéquation, on vérifie que la valeur demandée appartient à $[k-|a|\,;k+|a|]$ .

Chercher $f(x)=10$ quand l'image est $[-3\,;1]$ : aucune solution.
Compter les solutions avant de les chercher

Sur un intervalle de longueur $2\pi$ , on attend $2|b|$ solutions. Le compte final doit correspondre.

Avec $b=2$ , on attend quatre solutions dans $[0\,;2\pi[$ .

L'exercice type décortiqué

Un piston, de la période au premier passage

Le vilebrequin d'un compresseur tourne à $1500$ tours par minute. La position du piston au-dessus du milieu de sa course est $p(t)=40\cos\left(\dfrac{\pi t}{20}\right)$ , en millimètres, avec $t$ en millisecondes. Trouvez la période, la course totale, la position à $t=10$ ms et le premier instant où le piston passe $20$ mm au-dessus du milieu.

La position du piston (bleu marine) et la hauteur

20

mm (orange). La droite coupe la courbe deux fois par période, à la descente et à la remontée : l'énoncé demande la première.

Étape 1

Période $=\dfrac{2\pi}{\pi/20}=40$ ms.

Pourquoi

On DIVISE $2\pi$ par le paramètre. Les $\pi$ se simplifient et la période devient un nombre sans $\pi$ , ce qui est normal quand le paramètre en contient un.

Étape 2

Contrôle physique : $1500$ tours par minute font $25$ tours par seconde, donc $\dfrac{1}{25}=0{,}04$ s, soit $40$ ms.

Pourquoi

Deux calculs indépendants, l'un par la formule et l'autre par le régime moteur, donnent le même nombre. Ce contrôle est gratuit et il vaut un point.

Étape 3

Course totale $=2\times|a|=80$ mm.

Pourquoi

L'amplitude est la distance du milieu à un extrême ; la course va d'un extrême à l'autre, donc elle vaut le DOUBLE. Répondre $40$ mm donnerait une cylindrée deux fois trop petite.

Étape 4

$p(10)=40\cos\dfrac{\pi}{2}=0$ mm.

Pourquoi

Le piston est exactement au milieu de sa course, un quart de période après le point haut. C'est là qu'il va le plus vite, et c'est cohérent avec le tracé.

Étape 5

$40\cos\left(\dfrac{\pi t}{20}\right)=20$ donne $\cos\left(\dfrac{\pi t}{20}\right)=0{,}5$ , donc $\dfrac{\pi t}{20}=\dfrac{\pi}{3}$ et $t=\dfrac{20}{3}\approx 6{,}67$ ms.

Pourquoi

On isole le cosinus, puis on utilise la valeur remarquable. La solution du PREMIER quadrant est la bonne, le piston descendant depuis son point haut.

Étape 6

L'autre solution du tour, $\dfrac{\pi t}{20}=\dfrac{5\pi}{3}$ , donne $t=\dfrac{100}{3}\approx 33{,}33$ ms.

Pourquoi

C'est le passage à la REMONTÉE, dans la même période. L'énoncé demandant le premier instant, on garde $6{,}67$ ms, mais il faut avoir vu la seconde pour savoir laquelle est la première.

Conclusion rédigée

Période $40$ ms, course $80$ mm, position nulle à $10$ ms, et premier passage à $20$ mm après environ $6{,}67$ ms.

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre $40$ mm à la course totale. L'amplitude est la demi-course, et confondre les deux fausse toute la suite du dimensionnement.

À savoir par cœur

• $f(x)=a\sin\big(b(x-h)\big)+k$ : deux dilatations, deux translations.
• Amplitude $=|a|$ , toujours positive.
• Période $=\dfrac{2\pi}{|b|}$ : on DIVISE.
• Axe médian $y=k$ , image $[k-|a|\,;k+|a|]$ .
• $k$ = demi-somme du max et du min ; $|a|$ = demi-différence.
• Un maximum et le minimum suivant sont à une DEMI-période.
• Cinq points clés espacés d'un quart de période.
• La courbe coupe l'axe des $x$ si et seulement si $|k|\le|a|$ .
• Sur $2\pi$ , une équation en $\sin(bx)$ a $2|b|$ solutions.
• Sinus et cosinus : la même courbe, décalée d'un quart de période.

Questions fréquentes

Pourquoi divise-t-on par le paramètre pour trouver la période ?

Parce que ce paramètre multiplie la variable à l'intérieur de la fonction, donc il fait avancer l'argument plus vite. Si l'argument atteint un tour complet deux fois plus tôt, la courbe boucle son cycle deux fois plus tôt aussi, et la période est deux fois plus courte. L'intuition suggère le contraire, ce qui explique que ce soit l'erreur la plus fréquente du chapitre. Le contrôle consiste à calculer la fonction au bout d'une période supposée et à vérifier qu'on retrouve la valeur de départ.

L'amplitude peut-elle être négative ?

Non, jamais. L'amplitude est une distance, celle qui sépare l'axe médian du maximum, donc elle est positive par définition. Quand le paramètre est négatif, il retourne la courbe : elle descend là où elle monterait autrement, mais elle s'écarte toujours autant de son axe médian. L'image ne change pas non plus. Le signe se mentionne en disant que la courbe est réfléchie, pas en donnant une amplitude négative.

Comment savoir si une sinusoïde coupe l'axe des abscisses ?

On compare la distance de l'axe médian à zéro avec l'amplitude. Si la valeur absolue du décalage vertical est inférieure ou égale à l'amplitude, la courbe descend assez bas ou monte assez haut pour traverser l'axe, sinon elle reste entièrement d'un côté. C'est une comparaison de deux nombres, elle prend cinq secondes, et elle évite de chercher des zéros qui n'existent pas.

Une même courbe peut-elle s'écrire avec un sinus et avec un cosinus ?

Oui, toujours. Les deux fonctions décrivent la même courbe décalée d'un quart de période, donc il suffit de déplacer le paramètre de décalage horizontal pour passer de l'une à l'autre. On choisit l'écriture qui rend ce paramètre nul ou rond, parce qu'elle place les points remarquables sur des abscisses faciles. Un correcteur accepte les deux, à condition que la règle soit vérifiée en deux points.

Comment résout-on une inéquation trigonométrique ?

En deux temps. On résout d'abord l'égalité correspondante, ce qui donne les bornes des intervalles, puis on choisit lesquels retenir en testant un point à l'intérieur de chacun ou en regardant la courbe. Les crochets sont fermés si l'inégalité est large, ouverts si elle est stricte. Et avant tout cela, on regarde l'image de la fonction : elle répond parfois toute seule, quand la valeur cible est hors de portée.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les fonctions sinus et cosinus

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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La fonction tangente

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/ts5-fonctions-trigonometriques. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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Fiche de révision : les fonctions sinus et cosinus

L'essentiel

Les quatre paramètres et ce qu'ils donnent

Tracer et lire

Équations et inéquations

Les pièges qui coûtent des points

1. Multiplier par bbb au lieu de diviser

2. Donner une amplitude négative

3. Confondre la demi-période et la période

4. Sous-évaluer le nombre de solutions

5. Résoudre une inéquation sans regarder l'image

6. Oublier que hhh est un décalage du bon signe

7. Écrire l'image comme un intervalle d'amplitude simple

Quelle méthode choisir

Quelle écriture choisir, sinus ou cosinus

La rédaction attendue

Rédiger la recherche d'une règle à partir d'un graphique

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Un piston, de la période au premier passage

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Pourquoi divise-t-on par le paramètre pour trouver la période ?

L'amplitude peut-elle être négative ?

Comment savoir si une sinusoïde coupe l'axe des abscisses ?

Une même courbe peut-elle s'écrire avec un sinus et avec un cosinus ?

Comment résout-on une inéquation trigonométrique ?

Exercices corrigés : Les fonctions sinus et cosinus

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1. Multiplier par $b$ au lieu de diviser

6. Oublier que $h$ est un décalage du bon signe