Math TS, secondaire 5 à Montréal • Trigonométrie
Cette fiche de révision accompagne le chapitre des fonctions sinus et cosinus du programme de mathématique Technico-sciences de cinquième secondaire : forme canonique, paramètres, tracé, recherche de la règle, équations et inéquations.
Elle ne redit pas le cours. Elle dit ce qui coûte des points en évaluation, ce que le correcteur attend exactement, et les contrôles à faire avant de rendre la copie.
Le fil du chapitre
Les quatre paramètres ne font pas quatre choses différentes. Deux DILATENT, verticalement et horizontalement, deux TRANSLATENT, horizontalement et verticalement. Amplitude, période, maximum, image et zéros se lisent tous dessus, sans rien apprendre de plus.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
La période de vaut
Ce qu'il faut écrire
Pourquoi : Un plus grand que fait avancer l'argument plus vite, donc le cycle est plus COURT. C'est l'inverse de l'intuition, et c'est pour cela que l'erreur est si fréquente. Le contrôle : , le cycle est bien bouclé.
Ce qu'il ne faut pas écrire
L'amplitude de vaut
Ce qu'il faut écrire
Pourquoi : L'amplitude est la distance de l'axe médian au maximum, donc une valeur positive. Le signe négatif de ne réduit rien : il RETOURNE la courbe, qui descend là où le sinus monte, et l'image reste .
Ce qu'il ne faut pas écrire
Maximum en , minimum en , donc période
Ce qu'il faut écrire
Période : ces deux points sont à une DEMI-période
Pourquoi : Une période sépare deux maximums CONSÉCUTIFS, ou deux minimums. Un maximum et le minimum suivant n'en séparent qu'une moitié. Le contrôle est immédiat : avec la règle trouvée, la valeur en doit être le minimum, et elle ne l'est pas si est doublé.
Ce qu'il ne faut pas écrire
a deux solutions dans
Ce qu'il faut écrire
Quatre
Pourquoi : Quand parcourt , l'ARGUMENT parcourt , soit DEUX tours, et chaque tour fournit deux solutions. La règle : on multiplie par . Compter avant de chercher évite de s'arrêter trop tôt.
Ce qu'il ne faut pas écrire
Se lancer dans la résolution de
Ce qu'il faut écrire
L'image est : aucune solution, et on le voit sans calcul
Pourquoi : Le maximum de la fonction vaut , donc l'inégalité est impossible. Regarder l'image prend trois secondes et répond parfois toute seule à la question : c'est le premier geste d'une inéquation, avant même de résoudre l'égalité.
Ce qu'il ne faut pas écrire
Dans , la courbe est décalée de
Ce qu'il faut écrire
Elle est décalée de , vers la DROITE
Pourquoi : Le signe moins est dans la forme canonique elle-même : avec donne un décalage vers la droite. C'est la même convention que pour toutes les familles de fonctions, et le contrôle consiste à vérifier où tombe le maximum.
Ce qu'il ne faut pas écrire
L'image de est
Ce qu'il faut écrire
Pourquoi : Le paramètre translate l'image tout entière. On part de et on ajoute aux deux bornes. Oublier est fréquent parce que l'amplitude a l'air de tout dire, alors qu'elle ne donne que la LARGEUR de l'intervalle, pas sa position.
Un graphique de sinusoïde dont on cherche la règle
Si Un MAXIMUM tombe sur une abscisse simple → Écriture en cosinus, avec égal à cette abscisse
Exemple : Maximum en :
Si Un passage à l'axe médian EN MONTANT tombe sur une abscisse simple → Écriture en sinus, avec égal à cette abscisse
Exemple : Passage montant en :
Si Un MINIMUM tombe sur une abscisse simple → Cosinus avec un NÉGATIF, la courbe étant retournée
Exemple : Minimum en :
Si Aucune abscisse remarquable n'est simple → On prend celle qui l'est le moins mal, puis on VÉRIFIE en deux points
Exemple : Une règle juste vérifiée en deux points vaut mieux qu'une règle élégante non vérifiée
Les quatre branches décrivent la MÊME courbe : il n'y a pas de bonne ou de mauvaise réponse, seulement une écriture plus commode que les autres. Le correcteur accepte toute règle vérifiable.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : Chaque fois qu'une sinusoïde est donnée par sa courbe
Phrase de conclusion
« Le maximum vaut et le minimum , donc et . Le maximum est en et le minimum en , donc la DEMI-période vaut et la période , d'où . Un maximum tombe en , donc j'écris en cosinus avec : . Contrôle : et . »
Le piège : Prendre l'écart maximum-minimum pour la période. C'est la faute la plus coûteuse de l'exercice, parce qu'elle fausse et donc tout le tracé.
Barème : 1 point pour , 1 point pour , 2 points pour la période et , 1 point pour le choix justifié de l'écriture, 1 point pour , 2 points pour la vérification en deux points.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Tester la règle aux deux extrémums
Une règle juste doit rendre exactement le maximum et le minimum lus sur le graphique, aux abscisses lues.
et : la règle tient.
Vérifier la période par périodicité
La fonction doit prendre la même valeur en et en plus une période. Un écart signale un faux.
avec une période de .
Comparer la valeur cible à l'image
Avant de résoudre une équation ou une inéquation, on vérifie que la valeur demandée appartient à .
Chercher quand l'image est : aucune solution.
Compter les solutions avant de les chercher
Sur un intervalle de longueur , on attend solutions. Le compte final doit correspondre.
Avec , on attend quatre solutions dans .
Le vilebrequin d'un compresseur tourne à tours par minute. La position du piston au-dessus du milieu de sa course est , en millimètres, avec en millisecondes. Trouvez la période, la course totale, la position à ms et le premier instant où le piston passe mm au-dessus du milieu.
Étape 1
Période ms.
Pourquoi
On DIVISE par le paramètre. Les se simplifient et la période devient un nombre sans , ce qui est normal quand le paramètre en contient un.
Étape 2
Contrôle physique : tours par minute font tours par seconde, donc s, soit ms.
Pourquoi
Deux calculs indépendants, l'un par la formule et l'autre par le régime moteur, donnent le même nombre. Ce contrôle est gratuit et il vaut un point.
Étape 3
Course totale mm.
Pourquoi
L'amplitude est la distance du milieu à un extrême ; la course va d'un extrême à l'autre, donc elle vaut le DOUBLE. Répondre mm donnerait une cylindrée deux fois trop petite.
Étape 4
mm.
Pourquoi
Le piston est exactement au milieu de sa course, un quart de période après le point haut. C'est là qu'il va le plus vite, et c'est cohérent avec le tracé.
Étape 5
donne , donc et ms.
Pourquoi
On isole le cosinus, puis on utilise la valeur remarquable. La solution du PREMIER quadrant est la bonne, le piston descendant depuis son point haut.
Étape 6
L'autre solution du tour, , donne ms.
Pourquoi
C'est le passage à la REMONTÉE, dans la même période. L'énoncé demandant le premier instant, on garde ms, mais il faut avoir vu la seconde pour savoir laquelle est la première.
Conclusion rédigée
Période ms, course mm, position nulle à ms, et premier passage à mm après environ ms.
L'erreur classique sur cet exercice : Répondre mm à la course totale. L'amplitude est la demi-course, et confondre les deux fausse toute la suite du dimensionnement.
Parce que ce paramètre multiplie la variable à l'intérieur de la fonction, donc il fait avancer l'argument plus vite. Si l'argument atteint un tour complet deux fois plus tôt, la courbe boucle son cycle deux fois plus tôt aussi, et la période est deux fois plus courte. L'intuition suggère le contraire, ce qui explique que ce soit l'erreur la plus fréquente du chapitre. Le contrôle consiste à calculer la fonction au bout d'une période supposée et à vérifier qu'on retrouve la valeur de départ.
Non, jamais. L'amplitude est une distance, celle qui sépare l'axe médian du maximum, donc elle est positive par définition. Quand le paramètre est négatif, il retourne la courbe : elle descend là où elle monterait autrement, mais elle s'écarte toujours autant de son axe médian. L'image ne change pas non plus. Le signe se mentionne en disant que la courbe est réfléchie, pas en donnant une amplitude négative.
On compare la distance de l'axe médian à zéro avec l'amplitude. Si la valeur absolue du décalage vertical est inférieure ou égale à l'amplitude, la courbe descend assez bas ou monte assez haut pour traverser l'axe, sinon elle reste entièrement d'un côté. C'est une comparaison de deux nombres, elle prend cinq secondes, et elle évite de chercher des zéros qui n'existent pas.
Oui, toujours. Les deux fonctions décrivent la même courbe décalée d'un quart de période, donc il suffit de déplacer le paramètre de décalage horizontal pour passer de l'une à l'autre. On choisit l'écriture qui rend ce paramètre nul ou rond, parce qu'elle place les points remarquables sur des abscisses faciles. Un correcteur accepte les deux, à condition que la règle soit vérifiée en deux points.
En deux temps. On résout d'abord l'égalité correspondante, ce qui donne les bornes des intervalles, puis on choisit lesquels retenir en testant un point à l'intérieur de chacun ou en regardant la courbe. Les crochets sont fermés si l'inégalité est large, ouverts si elle est stricte. Et avant tout cela, on regarde l'image de la fonction : elle répond parfois toute seule, quand la valeur cible est hors de portée.
