Exercices corrigés : le cercle trigonométrique et le radian (math TS, secondaire 5)

a) On multiplie par $\dfrac{\pi}{180}$. $135\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{135\pi}{180}=\dfrac{3\pi}{4}$, en simplifiant par $45$. De même $210\to\dfrac{7\pi}{6}$, en simplifiant par $30$, et $315\to\dfrac{7\pi}{4}$, en simplifiant par $45$. On simplifie TOUJOURS la fraction : une réponse en $\dfrac{135\pi}{180}$ n'est pas fausse, mais elle se lit mal et elle coûte un point de présentation.

b) On multiplie par $\dfrac{180}{\pi}$, ce qui revient à remplacer $\pi$ par $180$. $\dfrac{5\pi}{6}\to\dfrac{5\times 180}{6}=150^{\circ}$. $\dfrac{7\pi}{4}\to\dfrac{7\times 180}{4}=315^{\circ}$. $\dfrac{2\pi}{3}\to\dfrac{2\times 180}{3}=120^{\circ}$. Remplacer $\pi$ par $180$ de tête est la méthode la plus rapide, et elle évite la calculatrice.

c) $1$ radian $=\dfrac{180}{\pi}\approx 57{,}30$ degrés. La valeur n'est jamais ronde parce que $\pi$ est IRRATIONNEL : aucun nombre entier de radians ne fait un nombre entier de degrés. C'est pour cette raison qu'on garde les angles en multiples de $\pi$ plutôt qu'en décimales, sauf quand un calcul numérique l'exige.

d) L'angle en radians est le rapport de l'arc au rayon : $\theta=\dfrac{12}{8}=1{,}5$ radian. En degrés, $1{,}5\times\dfrac{180}{\pi}\approx 85{,}9$ degrés. C'est la définition même du radian, et elle rend la formule de la longueur d'arc, $\ell=r\theta$, immédiate : elle n'est que la même relation lue dans l'autre sens.

a) $\dfrac{5\pi}{4}$ vaut $225$ degrés, entre $180$ et $270$ : TROISIÈME quadrant. $-\dfrac{\pi}{3}$ vaut $-60$ degrés, donc on tourne dans le sens HORAIRE d'un sixième de tour : on arrive entre $270$ et $360$ degrés, QUATRIÈME quadrant. Convertir en degrés pour repérer le quadrant est légitime et rapide, à condition de revenir aux radians pour la réponse.

b) $\dfrac{19\pi}{4}=\dfrac{16\pi}{4}+\dfrac{3\pi}{4}=4\pi+\dfrac{3\pi}{4}$. Or $4\pi$ vaut DEUX tours complets, qui ne changent pas le point image : l'angle réduit est $\dfrac{3\pi}{4}$, soit $135$ degrés, DEUXIÈME quadrant. La méthode : on retranche des multiples de $2\pi$, c'est-à-dire de $\dfrac{8\pi}{4}$ ici, jusqu'à tomber dans $[0\,;2\pi[$.

c) On ajoute ou retranche $2\pi=\dfrac{6\pi}{3}$. Positif : $\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{6\pi}{3}=\dfrac{8\pi}{3}$. Négatif : $\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{6\pi}{3}=-\dfrac{4\pi}{3}$. Il y en a une infinité, tous de la forme $\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi$ avec $k$ entier, et c'est cette écriture générale que l'examen attend quand il demande « tous les angles ».

d) Ils sont ÉGAUX. Deux angles coterminaux distincts diffèrent d'un nombre entier NON NUL de tours, donc d'au moins $2\pi$. Si l'écart est strictement inférieur à un tour et que les points images coïncident, c'est que l'écart est nul. Ce raisonnement sert à vérifier une réduction : l'angle réduit est unique dans $[0\,;2\pi[$.

a) $\dfrac{\pi}{6}$, soit $30$ degrés : $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\dfrac{1}{2}\right)$. $\dfrac{\pi}{4}$, soit $45$ degrés : $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$, les deux coordonnées étant égales par symétrie. $\dfrac{\pi}{3}$, soit $60$ degrés : $\left(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Repère mnémotechnique : plus l'angle grandit dans le premier quadrant, plus le sinus grandit et plus le cosinus diminue.

b) L'angle de référence se mesure jusqu'à l'axe HORIZONTAL le plus proche. Pour $\dfrac{5\pi}{6}$, soit $150$ degrés : $180-150=30$ degrés, donc $\dfrac{\pi}{6}$. Pour $\dfrac{4\pi}{3}$, soit $240$ degrés : $240-180=60$ degrés, donc $\dfrac{\pi}{3}$. Pour $\dfrac{7\pi}{4}$, soit $315$ degrés : $360-315=45$ degrés, donc $\dfrac{\pi}{4}$. L'erreur classique est de mesurer jusqu'à l'axe VERTICAL : l'angle de référence est toujours pris depuis l'horizontale.

c) L'angle de référence est $\dfrac{\pi}{3}$, dont les coordonnées sont $\left(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Le point image de $\dfrac{4\pi}{3}$ est au TROISIÈME quadrant, où les deux coordonnées sont négatives : $\left(-\dfrac{1}{2}\,;-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$. La méthode en deux temps, valeur absolue par la référence puis signes par le quadrant, évite d'apprendre par coeur les seize points du cercle.

d) PREMIER quadrant : $\cos>0$ et $\sin>0$. DEUXIÈME : $\cos<0$, $\sin>0$. TROISIÈME : les deux négatifs. QUATRIÈME : $\cos>0$, $\sin<0$. Le cosinus est l'abscisse, donc il est positif à DROITE ; le sinus est l'ordonnée, donc il est positif en HAUT. Retenir cela dispense de tout moyen mnémotechnique.

a) $\ell=15\times\dfrac{2\pi}{5}=6\pi\approx 18{,}85$ cm. $A=\dfrac{225\times\dfrac{2\pi}{5}}{2}=\dfrac{90\pi}{2}=45\pi\approx 141{,}37$ cm². On garde les valeurs exactes en $\pi$ jusqu'au dernier moment : c'est plus sûr et souvent plus rapide.

b) $72$ degrés font $72\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{2\pi}{5}$ radians : c'est exactement l'angle de la question a), donc les résultats sont identiques. L'exercice n'est pas une répétition : il montre que la conversion est le seul travail supplémentaire, et qu'appliquer $\ell=r\theta$ avec $\theta=72$ donnerait $1080$ cm, une absurdité que la longueur du cercle entier, $94{,}2$ cm, dément immédiatement.

c) $\theta=\dfrac{\ell}{r}=\dfrac{30}{12}=2{,}5$ radians. On peut vérifier la plausibilité : $2{,}5$ radians font environ $143$ degrés, donc un peu moins d'un demi-tour, et l'arc doit mesurer un peu moins que la demi-circonférence, $37{,}7$ cm. C'est bien le cas.

d) De $A=\dfrac{r^{2}\theta}{2}$, on tire $r^{2}=\dfrac{2A}{\theta}=\dfrac{100}{\pi/4}=\dfrac{400}{\pi}\approx 127{,}32$, donc $r\approx 11{,}28$ cm. Vérification : $A=\dfrac{127{,}32\times 0{,}7854}{2}\approx 50$ cm². Isoler le rayon demande une racine carrée, et l'on garde la racine positive, un rayon étant positif.

a) L'angle de référence est $\dfrac{\pi}{6}$, puisque $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$. Le sinus est POSITIF dans les quadrants I et II, donc les solutions sont $\dfrac{\pi}{6}$ et $\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}$. En général : $\theta=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ ou $\theta=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi$, $k$ entier.

b) Référence : $\dfrac{\pi}{4}$. Le cosinus est NÉGATIF dans les quadrants II et III, donc $\theta=\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}$ ou $\theta=\pi+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{4}$, plus $2k\pi$. Vérification : $\cos\dfrac{3\pi}{4}=-0{,}7071$, conforme.

c) Référence : $\dfrac{\pi}{3}$. Le sinus est NÉGATIF dans les quadrants III et IV, donc $\theta=\pi+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}$ ou $\theta=2\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{3}$, plus $2k\pi$. Les formules à retenir sont celles-là : $\pi-r$ et $\pi+r$ et $2\pi-r$, selon le quadrant visé.

d) Une SEULE solution par tour, $\theta=0$, plus $2k\pi$. C'est un cas limite : la valeur $1$ est le MAXIMUM du cosinus, atteint en un seul point du cercle, celui d'abscisse $1$. Les valeurs extrêmes, $1$ et $-1$, donnent toujours une seule solution par tour ; toutes les autres en donnent deux. Une valeur hors de $[-1\,;1]$ n'en donne aucune.

a) L'angle de référence est $\dfrac{\pi}{3}$, et le point image est au QUATRIÈME quadrant, puisqu'on tourne dans le sens horaire d'un sixième de tour. Le cosinus y est positif et le sinus négatif : $\left(\dfrac{1}{2}\,;-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

b) $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}=\cos\dfrac{\pi}{3}$ : les deux sont ÉGAUX, le cosinus est une fonction PAIRE. $\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-\sin\dfrac{\pi}{3}$ : les deux sont OPPOSÉS, le sinus est une fonction IMPAIRE. C'est la lecture directe de la symétrie par rapport à l'axe horizontal, qui garde l'abscisse et retourne l'ordonnée.

c) $\cos(-x)=\cos x$ et $\sin(-x)=-\sin x$, donc l'expression vaut $\cos x-\sin x+\sin x=\cos x$. Les deux termes en sinus s'annulent. Vérification en $x=\dfrac{\pi}{2}$ : l'expression de départ vaut $0-1+1=0$, et $\cos\dfrac{\pi}{2}=0$.

d) La première égalité est juste, la SECONDE est fausse : le cosinus est pair, donc $\cos(-x)=+\cos x$. La vérification tient en un point bien choisi, $x=0$ : $\cos(-0)=\cos 0=1$, alors que $-\cos 0=-1$. Un seul nombre suffit à réfuter, et $x=0$ est toujours le meilleur candidat pour tester une parité, puisqu'il rend les deux membres immédiatement calculables.

a) $0$ donne $(1\,;0)$, le point de départ. $\dfrac{\pi}{2}$, soit un quart de tour, donne $(0\,;1)$. $\pi$, un demi-tour, donne $(-1\,;0)$. $\dfrac{3\pi}{2}$, trois quarts de tour, donne $(0\,;-1)$. Ces quatre points se retrouvent en tournant sur la figure, sans aucun calcul.

b) $\dfrac{2\pi}{3}$, soit $120$ degrés : référence $\dfrac{\pi}{3}$, quadrant II, donc cosinus négatif : $\left(-\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$. $\dfrac{5\pi}{4}$, soit $225$ degrés : référence $\dfrac{\pi}{4}$, quadrant III, les deux négatifs : $\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,;-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$. $\dfrac{11\pi}{6}$, soit $330$ degrés : référence $\dfrac{\pi}{6}$, quadrant IV, sinus négatif : $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;-\dfrac{1}{2}\right)$.

c) $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1$. Le contrôle fonctionne pour n'importe lequel des seize points, et il attrape une erreur de valeur ou de signe en cinq secondes.

d) Parce que le point image est sur un cercle de RAYON $1$ centré à l'origine : la distance du point à l'origine vaut donc $1$, et le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par les deux coordonnées donne $x^{2}+y^{2}=1$. Comme $x=\cos\theta$ et $y=\sin\theta$, cela s'écrit $\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1$ : c'est l'IDENTITÉ PYTHAGORICIENNE, la plus utilisée de toute la trigonométrie, et elle n'est rien d'autre que Pythagore sur le cercle unité.

a) Neuf trous également répartis découpent le tour complet en neuf parts égales : $\dfrac{2\pi}{9}$ radian. En degrés, $\dfrac{360}{9}=40$ degrés exactement. La division du tour est la première chose à écrire, et elle se fait aussi bien en radians qu'en degrés.

b) La distance le long du cercle est une LONGUEUR D'ARC, sur le cercle de perçage dont le rayon vaut $100$ mm : $\ell=100\times\dfrac{2\pi}{9}\approx 69{,}8$ mm. Le rayon à utiliser est celui du cercle de PERÇAGE, pas celui du plateau : confondre les deux donne $87{,}3$ mm, une erreur de vingt-cinq pour cent.

c) La distance en ligne droite est la CORDE, et non l'arc. Le triangle formé par le centre et deux trous consécutifs a deux côtés de $100$ mm et un angle de $40$ degrés entre eux : loi des cosinus. $d^{2}=100^{2}+100^{2}-2\times 100\times 100\cos 40^{\circ}=20\,000-20\,000\times 0{,}766=4680$, donc $d\approx 68{,}4$ mm. La corde est toujours un peu plus courte que l'arc, ici de $1{,}4$ mm, et c'est la corde que mesure un pied à coulisse.

d) Un secteur du PLATEAU, de rayon $125$ mm : $A=\dfrac{125^{2}\times\dfrac{2\pi}{9}}{2}=\dfrac{15\,625\times 0{,}6981}{2}\approx 5454$ mm². On peut vérifier autrement : l'aire totale du plateau vaut $\pi\times 125^{2}\approx 49\,087$ mm², et le neuvième en fait bien $5454$. Deux méthodes indépendantes, et elles concordent.

a) Les deux poulies ayant le même diamètre, les deux brins de courroie sont PARALLÈLES à la ligne des centres. Chaque poulie est donc enveloppée sur exactement un demi-tour, soit $\pi$ radian, ou $180$ degrés. C'est le seul cas où l'angle d'enroulement se trouve sans calcul, et il faut dire pourquoi.

b) Longueur d'arc sur un rayon de $90$ mm : $\ell=90\times\pi\approx 282{,}7$ mm. Le rayon est la MOITIÉ du diamètre, et confondre les deux double le résultat : c'est l'erreur la plus fréquente de ce type de problème.

c) La courroie se compose de deux arcs, un par poulie, et de deux brins droits égaux à la distance entre les centres. Total : $2\times 282{,}7+2\times 400=565{,}5+800=1365{,}5$ mm. On commanderait donc une courroie de $1366$ mm, en arrondissant au millimètre supérieur, une courroie trop courte étant inutilisable.

d) Il AUGMENTE. Avec deux poulies de tailles différentes, les brins ne sont plus parallèles : ils s'inclinent vers la petite poulie, ce qui referme l'enroulement sur celle-ci et l'OUVRE sur la grande. La grande est donc enveloppée sur plus d'un demi-tour, la petite sur moins. Le mécanicien s'y intéresse parce que le couple transmissible dépend de l'angle d'enroulement le PLUS PETIT, donc de celui de la petite poulie : c'est elle qui limite la transmission.