Exercices corrigés : les figures et les solides semblables : k, k au carré, k au cube (math, secondaire 3)

a) A et B : $\dfrac{9}{6}=1{,}5$ et $\dfrac{6}{4}=1{,}5$, les deux rapports sont égaux, donc A et B sont semblables, avec $k=1{,}5$ de A vers B. A et C : $\dfrac{8}{6}\approx 1{,}33$ mais $\dfrac{5}{4}=1{,}25$ ; les rapports diffèrent, donc A et C ne sont PAS semblables, même si C « ressemble » à A. Deux rectangles ont toujours les mêmes angles : pour eux, tout se joue sur les rapports des côtés.

b) Oui : ce sont les mêmes trois angles, dans un ordre différent, et deux triangles qui ont les mêmes angles sont semblables, la somme des angles étant fixée, deux angles égaux suffisent même. Pour des QUADRILATÈRES, non : un carré et un rectangle $2\times 5$ ont tous deux quatre angles droits et ne sont pas semblables. Au-delà du triangle, il faut vérifier les angles ET les rapports des côtés.

c) On range les dimensions dans le même ordre et on compare : $\dfrac{16}{10}=1{,}6$, $\dfrac{24}{15}=1{,}6$, $\dfrac{32}{20}=1{,}6$. Trois rapports égaux, les boîtes sont semblables et $k=1{,}6$. Une boîte $16\times 24\times 30$ ne l'aurait pas été, à cause du $\dfrac{30}{20}=1{,}5$ : il suffit d'UNE dimension qui ne suit pas pour casser la similitude.

d) Deux carrés : toujours semblables, un seul côté à comparer, $k$ est le rapport des côtés. Deux cercles : toujours semblables, $k$ est le rapport des rayons. Deux rectangles : pas toujours, exemple A et C. Deux triangles rectangles : pas toujours, un triangle $3$-$4$-$5$ et un triangle $5$-$12$-$13$ ont chacun un angle droit mais pas les mêmes angles aigus. Les figures « toujours semblables » sont celles qu'un seul nombre suffit à décrire.

a) Grandes bases : $8$ cm dans P et $12$ cm dans Q, donc $k=\dfrac{12}{8}=1{,}5$. Il faut prendre deux côtés CORRESPONDANTS, la grande base avec la grande base, et former le rapport dans le sens demandé, Q sur P puisqu'on va de P vers Q. Le rapport est plus grand que $1$ : Q est un agrandissement.

b) Petite base de Q : $4\times 1{,}5=6$ cm. Côté gauche de Q : $4{,}5\times 1{,}5=6{,}75$ cm. De la petite figure vers la grande, on MULTIPLIE par $k$. Les angles, eux, ne changent pas : les deux trapèzes ont les mêmes quatre angles, c'est ce qui les rend semblables.

c) Côté droit de Q : $6{,}7$ cm, donné. Côté droit de P : $\dfrac{6{,}7}{1{,}5}\approx 4{,}47$ cm. De la grande figure vers la petite, on DIVISE par $k$. Vérification : $4{,}47\times 1{,}5\approx 6{,}7$. Le piège est de multiplier dans les deux sens ; la question à se poser est toujours « la mesure cherchée est-elle dans la grande ou dans la petite figure ? ».

d) De Q vers P, le rapport est $\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}667$ : c'est l'INVERSE de $k$, $\dfrac{1}{1{,}5}=\dfrac{2}{3}$. Un rapport plus petit que $1$ signale une réduction. Les deux rapports décrivent la même similitude vue dans les deux sens, et leur produit vaut $1$ : multiplier par $1{,}5$ puis par $\dfrac{2}{3}$ ramène à la longueur de départ.

a) Petit : $3\times 5$, périmètre $16$ cm, aire $15$ cm$^{2}$. Grand : $6\times 10$, périmètre $32$ cm, aire $60$ cm$^{2}$. Rapport des périmètres : $\dfrac{32}{16}=2=k$. Rapport des aires : $\dfrac{60}{15}=4=k^{2}$. Le périmètre est une longueur, il suit $k$ ; l'aire suit $k^{2}$, et le rectangle « deux fois plus grand » contient en réalité quatre fois plus de surface.

b) Aire agrandie : $18\times k^{2}=18\times\dfrac{25}{9}=50$ cm$^{2}$. On élève $k$ au carré AVANT de multiplier : $18\times\dfrac{5}{3}=30$ serait la réponse pour une longueur, pas pour une aire. Remarque : on n'a pas besoin de connaître la forme du triangle, la règle $k^{2}$ vaut pour toute figure.

c) Rapport des périmètres : $k=\dfrac{36}{24}=1{,}5$. Rapport des aires : $k^{2}=2{,}25$. L'aire est multipliée par $2{,}25$, pas par $1{,}5$. Si l'aire de départ valait $40$ cm$^{2}$, elle passerait à $90$ cm$^{2}$. Le périmètre donne $k$ directement parce que c'est une longueur ; on en déduit $k^{2}$ pour l'aire.

d) Un carreau de $1$ cm de côté agrandi avec $k=2$ devient un carreau de $2$ cm de côté, qui contient $2\times 2=4$ petits carreaux : il a été doublé en largeur ET en hauteur. Une figure de $15$ carreaux en contient donc $15\times 4=60$ après agrandissement. Avec $k=3$, chaque carreau en devient $9$. Le facteur d'aire est $k\times k=k^{2}$, une fois pour chaque direction du plan. C'est la même raison qui donnera $k^{3}$ aux volumes, à cause de la troisième direction.

a) $k=\dfrac{6}{2}=3$. Petit cube : aire totale $6\times 2^{2}=24$, volume $2^{3}=8$. Grand cube : aire totale $6\times 6^{2}=216$, volume $6^{3}=216$. Que l'aire et le volume du grand cube valent tous deux $216$ est une coïncidence numérique due à l'arête $6$ ; les unités sont différentes, cm$^{2}$ et cm$^{3}$.

b) Aires : $\dfrac{216}{24}=9=3^{2}=k^{2}$. Volumes : $\dfrac{216}{8}=27=3^{3}=k^{3}$. Tout est cohérent : tripler l'arête multiplie la surface par $9$ et le volume par $27$. Sur la figure, le grand cube contient $27$ petits cubes, trois en largeur, trois en profondeur, trois en hauteur.

c) $k=\dfrac{5}{2}=2{,}5$, et TOUTES les longueurs suivent : hauteur du second $5\times 2{,}5=12{,}5$. Un cylindre de rayon $5$ et de hauteur $5$ ne serait pas semblable au premier. Volumes : rapport $k^{3}=2{,}5^{3}=15{,}625$. Vérification : $V_{1}=\pi\times 4\times 5=20\pi$ et $V_{2}=\pi\times 25\times 12{,}5=312{,}5\pi$, et $\dfrac{312{,}5}{20}=15{,}625$.

d) Deux boules sont toujours semblables, avec $k=\dfrac{r'}{r}$. On veut $k^{3}=2$, donc $k=\sqrt[3]{2}\approx 1{,}26$ et $r'=\sqrt[3]{2}\,r\approx 1{,}26r$. Pour doubler le volume, il ne faut PAS doubler le rayon (cela multiplierait le volume par $8$) : il suffit de l'augmenter d'environ $26\,\%$. C'est le sens de la racine cubique dans ce chapitre : elle remonte d'un rapport de volumes vers un rapport de longueurs.

a) $k^{2}=\dfrac{50}{18}=\dfrac{25}{9}$, donc $k=\sqrt{\dfrac{25}{9}}=\dfrac{5}{3}$. Le côté de la grande mesure $6\times\dfrac{5}{3}=10$ cm. On ne garde que la racine positive, un rapport de longueurs est positif. Vérification : $18\times\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2}=50$.

b) $k^{3}=\dfrac{216}{64}=\dfrac{27}{8}$, donc $k=\sqrt[3]{\dfrac{27}{8}}=\dfrac{3}{2}$. Rapport des aires : $k^{2}=\dfrac{9}{4}=2{,}25$. On passe des volumes aux aires en PASSANT par $k$ : racine cubique d'abord, carré ensuite. Il n'y a pas de raccourci direct qui se retienne facilement, alors que $k$ est un pont naturel.

c) $k^{2}=\dfrac{600}{150}=4$, donc $k=2$, et $k^{3}=8$. Volume de la grande : $125\times 8=1000$ cm$^{3}$, un litre. Ici on va des aires aux volumes : racine carrée pour trouver $k$, cube ensuite. Multiplier le volume par $4$, le rapport des aires, donnerait $500$ cm$^{3}$, faux.

d) Un rapport de volumes $8$ correspond à $k=\sqrt[3]{8}=2$ : les longueurs sont dans le rapport $2$, pas $8$. Le rapport des aires est $k^{2}=4$. L'élève a confondu le rapport des volumes avec celui des longueurs, l'erreur du chapitre dans sa forme la plus pure. Un contrôle simple : de trois nombres $k$, $k^{2}$, $k^{3}$ avec $k>1$, le plus petit est toujours celui des longueurs et le plus grand celui des volumes.

a) Aires : $2\times 8=16$ et $4\times 4=16$, égales. Isométriques : NON, leurs côtés ne sont pas les mêmes, on ne peut pas superposer un rectangle allongé et un carré. Semblables : non plus, $\dfrac{4}{2}=2$ mais $\dfrac{4}{8}=0{,}5$. Deux figures peuvent donc avoir la même aire sans être ni isométriques ni semblables : l'aire est un seul nombre, il ne suffit pas à décrire une forme.

b) Oui : ce sont les trois mêmes longueurs, dans un ordre différent. Un triangle est entièrement déterminé par ses trois côtés, donc deux triangles qui ont les mêmes trois côtés sont superposables, éventuellement après retournement. Pour un quadrilatère, ce ne serait plus vrai : quatre côtés égaux ne suffisent pas, un carré et un losange non carré ont les mêmes quatre côtés.

c) Même volume signifie $k^{3}=1$, donc $k=1$ : les solides sont ISOMÉTRIQUES. Pour des solides SEMBLABLES, un seul rapport égal à $1$, celui des longueurs, des aires ou des volumes, force tous les autres à valoir $1$. La condition « semblables » est essentielle : sans elle, même volume ne dit rien, comme le montre la question d).

d) Un cube d'arête $2$ (volume $8$, aire totale $24$) et un prisme $1\times 2\times 4$ (volume $8$, aire totale $2(2+4+8)=28$). Même volume, pas isométriques, pas semblables, et le prisme allongé a la plus grande aire totale. À volume égal, le solide le plus compact a la plus petite surface, ce qui explique pourquoi les gouttes d'eau sont rondes : le cube fait mieux que le prisme, et la boule ferait mieux que le cube.

a) Longueurs réelles : $12\times 200=2400$ cm $=24$ m et $9\times 200=1800$ cm $=18$ m. Aire réelle : $24\times 18=432$ m$^{2}$. On convertit les longueurs en mètres AVANT de calculer l'aire, ou on convertit l'aire au cube... non, au CARRÉ : $2400\times 1800=4\,320\,000$ cm$^{2}=432$ m$^{2}$, puisque $1$ m$^{2}=10\,000$ cm$^{2}$.

b) $k^{2}=200^{2}=40\,000$. Aire réelle : $108\times 40\,000=4\,320\,000$ cm$^{2}=432$ m$^{2}$. Même résultat qu'en a), ce qui confirme la règle : l'aire du plan est multipliée par $k^{2}$, pas par $k$. Multiplier $108$ par $200$ donnerait $21\,600$ cm$^{2}$, soit $2{,}16$ m$^{2}$, l'aire d'une table, pas d'une cour.

c) $k=50$, $k^{3}=125\,000$. Volume réel : $2400\times 125\,000=300\,000\,000$ cm$^{3}$. Or $1$ m$^{3}=100^{3}=1\,000\,000$ cm$^{3}$, donc $300$ m$^{3}$. Un immeuble de $300$ m$^{3}$ est petit, une maison plutôt ; l'ordre de grandeur est cohérent, ce qui n'aurait pas été le cas avec $k$ ou $k^{2}$.

d) Du réel vers le plan, on DIVISE par $k$ : $3{,}2$ km $=320\,000$ cm, et $\dfrac{320\,000}{25\,000}=12{,}8$ cm. La distance est une longueur, elle suit $k$ tout simplement. La difficulté de la question n'est pas la similitude, c'est la conversion des kilomètres en centimètres avant de diviser : $3{,}2$ km $=3200$ m $=320\,000$ cm.

a) Deux disques sont toujours semblables. $k=\dfrac{40}{30}=\dfrac{4}{3}\approx 1{,}33$ : la grande est un agrandissement de $\dfrac{4}{3}$ de la petite. Sur la figure, le rapport des diamètres est bien $\dfrac{4}{3}$.

b) Rapport des aires : $k^{2}=\dfrac{16}{9}\approx 1{,}78$. La grande pizza contient environ $1{,}78$ fois plus de pâte et de garniture que la petite, pas $2$ fois. Vérification directe : $A_{30}=\pi\times 15^{2}=225\pi\approx 706{,}9$ cm$^{2}$ et $A_{40}=\pi\times 20^{2}=400\pi\approx 1256{,}6$ cm$^{2}$, et $\dfrac{400}{225}=\dfrac{16}{9}$. L'affiche confond le diamètre, qui suit $k$, avec la quantité, qui suit $k^{2}$.

c) Petite : $\dfrac{12}{706{,}9}\approx 0{,}0170$ dollar par cm$^{2}$, soit $1{,}70$ cent. Grande : $\dfrac{24}{1256{,}6}\approx 0{,}0191$ dollar par cm$^{2}$, soit $1{,}91$ cent. La PETITE est la meilleure affaire : au cm$^{2}$, la grande coûte environ $12\,\%$ de plus. Deux petites pizzas ($24$ dollars, $1413{,}7$ cm$^{2}$) donnent plus de pizza que la grande au même prix.

d) On veut $k^{2}=2$, donc $k=\sqrt{2}\approx 1{,}414$ et un diamètre de $30\times\sqrt{2}\approx 42{,}4$ cm, soit environ $42$ cm. Il suffit donc de $2$ cm de plus que l'affiche pour que « deux fois plus grande » devienne vrai. La racine carrée est l'outil : on connaît le rapport des aires voulu, on remonte au rapport des longueurs.

a) $k=18$ de la maquette au réel, donc on DIVISE la longueur réelle par $18$ : $\dfrac{4{,}5}{18}=0{,}25$ m $=25$ cm. Une maquette au $1:18$ tient dans la main, c'est le format courant des voitures de collection.

b) Les aires suivent $k^{2}=324$ : $\dfrac{9}{324}=0{,}0278$ m$^{2}$. En cm$^{2}$ : $0{,}0278\times 10\,000\approx 278$ cm$^{2}$, un peu plus que la moitié d'une feuille de papier. Diviser $9$ m$^{2}$ par $18$ seulement donnerait $0{,}5$ m$^{2}=5000$ cm$^{2}$, dix-huit fois trop de peinture.

c) Les volumes suivent $k^{3}=5832$ : $\dfrac{60}{5832}\approx 0{,}01029$ L $\approx 10{,}3$ mL, deux cuillères à thé. Un réservoir de $60$ L réduit au $1:18$ ne contient que $10$ mL : c'est ce que le cube de $18$ fait à un volume, et c'est pour cela qu'aucune maquette n'a de réservoir « à l'échelle » qui serve à quelque chose.

d) De la maquette au $1:43$ à celle au $1:18$, le rapport de similitude est $\dfrac{43}{18}\approx 2{,}39$ : la maquette au $1:18$ est environ $2{,}4$ fois plus longue. Volumes : $\left(\dfrac{43}{18}\right)^{3}\approx 13{,}6$ fois plus volumineuse. Deux maquettes dont l'une est « deux fois et demie plus longue » que l'autre, et qui pèse pourtant près de quatorze fois plus si elles sont faites du même métal : c'est la règle des volumes, et c'est ce que le prix des maquettes reflète.