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Math secondaire 3 à Montréal • Géométrie

Fiche de révision : Aire et volume des solides (math, secondaire 3)

Cette fiche ne refait pas le cours sur les solides, vous l'avez dans vos notes avec ses formules. Elle traite ce qui décide de la note : la mauvaise longueur dans la bonne formule, l'unité convertie avec le mauvais facteur, et le geste qui remonte une formule à l'envers sans se perdre.

Les solides de secondaire 3 sont la base des figures équivalentes de SN4 et de l'optimisation de SN5 : un élève qui sait déjà isoler une mesure dans une formule y arrive avec les bons réflexes.

Le fil du chapitre

L'aire se compte en carrés, le volume en cubes ; une conversion de volume se fait AU CUBE, et une mesure manquante se retrouve en remontant la formule à l'envers, jusqu'à une racine carrée ou cubique s'il le faut.

Ce chapitre fait partie de Mathématique de secondaire 3 : tous les chapitres

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

  1. 1Nombres réels, racines et ensembles
  2. 2Lois des exposants et notation scientifique
  3. 3Expressions algébriques et mise en évidence
  4. 4Équations et inéquations du premier degré

L'essentiel

Convertir un volume : au cube

  • • Un cran d'unité de longueur vaut ×10\times 10 en longueur, ×100\times 100 en aire, ×1000\times 1000 en VOLUME. 11 m3=1000^{3}=1000 dm3^{3}.
  • • Capacité : 11 L =1=1 dm3^{3}, 11 mL =1=1 cm3^{3}, 11 m3=1000^{3}=1000 L.
  • • Convertir les longueurs AVANT de multiplier, ou convertir le volume APRÈS avec le facteur au cube ; jamais une seule dimension.
  • • Un nombre sans unité ne dit pas s'il mesure une surface ou un volume : 144π144\pi cm2^{2} et 144π144\pi cm3^{3} sont deux grandeurs différentes.
1 m = 10 dm10 dm10 × 10 × 10 = 1000 dm³
Le cube de 11 m contient 1010 cubes de 11 dm en longueur, 1010 en largeur et 1010 en hauteur : 10001000 en tout, pas 1010. Le facteur de longueur s'élève au cube.

Hauteur pour le volume, apothème pour l'aire

  • • Prisme et cylindre : Alat=Pbase×hA_{lat}=P_{base}\times h, Atot=Alat+2AbaseA_{tot}=A_{lat}+2A_{base}, V=Abase×hV=A_{base}\times h.
  • • Pyramide et cône : Alat=Pbase×a2A_{lat}=\dfrac{P_{base}\times a}{2} avec l'APOTHÈME aa, V=13Abase×hV=\dfrac{1}{3}A_{base}\times h avec la HAUTEUR hh. Il faut trois cônes pour remplir le cylindre de même base.
  • • Boule : A=4πr2A=4\pi r^{2}, V=43πr3V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}. Le rayon fait tout, et le diamètre n'est pas le rayon.
  • • Toujours a>ha>h : l'apothème est l'hypoténuse du triangle formé avec hh et rr.
ha : aire latéralera est toujours plus long que h
La hauteur hh va du sommet au centre de la base, à l'intérieur du solide : elle sert au VOLUME. L'apothème aa suit la surface jusqu'au bord : il sert à l'AIRE latérale, et il est toujours plus long.

Un élève qui trouve une aire latérale avec un nombre plus petit que la hauteur s'est trompé de segment. C'est le contrôle de bon sens du chapitre.

Mesure manquante, décomposable, tronqué

  • • Mesure manquante : écrire la formule, remplacer ce qu'on connaît, RÉSOUDRE. Aire totale donnée : retirer les bases avant de diviser.
  • • Dimension au carré : racine carrée, solution positive. Dimension au cube : racine cubique.
  • • Solide décomposable : additionner les volumes ; pour l'aire, NE PAS compter les faces de contact.
  • • Solide tronqué : le solide entier MOINS le morceau enlevé. Le rayon d'un cône est proportionnel à la distance au sommet.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Les formules, avec le nombre qui va dedans

Lisez d'abord le mot de la question, latérale, totale ou volume, puis la ligne du solide. La dernière colonne dit quelle longueur la formule attend.

solideaire latéralevolume
prisme droit Pbase×hP_{base}\times h Abase×hA_{base}\times h

Exemple : base 33-44-55, h=10h=10 : Alat=120A_{lat}=120, V=60V=60

cylindre 2πrh2\pi rh πr2h\pi r^{2}h

Exemple : r=4r=4, h=9h=9 : Alat=72πA_{lat}=72\pi, V=144πV=144\pi

pyramide Pbase×a2\dfrac{P_{base}\times a}{2} 13Abase×h\dfrac{1}{3}A_{base}\times h

Exemple : base 6×66\times 6, a=5a=5, h=4h=4 : Alat=60A_{lat}=60, V=48V=48

cône πra\pi ra 13πr2h\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h

Exemple : r=3r=3, a=5a=5, h=4h=4 : Alat=15πA_{lat}=15\pi, V=12πV=12\pi

boule 4πr24\pi r^{2} (aire de la sphère) 43πr3\dfrac{4}{3}\pi r^{3}

Exemple : r=6r=6 : A=144πA=144\pi, V=288πV=288\pi

cône avec hh dans l'aire πrh\pi rh ne mesure rien formule inexistante

Exemple : π×3×4=12π\pi\times 3\times 4=12\pi n'est l'aire de rien ; la vraie aire latérale vaut 15π15\pi.

Ce qu'il faut faire : Remplacer hh par l'apothème aa, l'hypoténuse du triangle hh, rr, aa.

L'aire totale ajoute les bases : deux pour un prisme ou un cylindre, une pour une pyramide ou un cône, aucune pour une boule.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Convertir un volume avec un seul zéro

toute la question, cent fois trop petit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« 2,52{,}5 m3=25^{3}=25 dm3^{3}, un mètre vaut dix décimètres. »

Ce qu'il faut écrire

« 2,52{,}5 m3=2,5×103=2500^{3}=2{,}5\times 10^{3}=2500 dm3=2500^{3}=2500 L : le facteur 1010 s'élève au cube. »

Pourquoi : Un cube de 11 m contient 10001000 cubes de 11 dm. La virgule d'un volume se déplace de TROIS rangs par cran d'unité.

2. Prendre le diamètre pour le rayon

toute la question, huit fois trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Balle de 6,76{,}7 cm de diamètre : V=43π×6,73≈1260V=\dfrac{4}{3}\pi\times 6{,}7^{3}\approx 1260 cm3^{3}. »

Ce qu'il faut écrire

« r=3,35r=3{,}35 cm, V=43π×3,353≈157,5V=\dfrac{4}{3}\pi\times 3{,}35^{3}\approx 157{,}5 cm3^{3}. »

Pourquoi : Le rayon est au cube dans un volume : confondre diamètre et rayon multiplie le résultat par 23=82^{3}=8. Une balle de tennis ne contient pas plus d'un litre.

3. Utiliser la hauteur dans l'aire latérale d'un cône

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Alat=πrh=π×3×4=12πA_{lat}=\pi rh=\pi\times 3\times 4=12\pi. »

Ce qu'il faut écrire

« Alat=πra=π×3×5=15πA_{lat}=\pi ra=\pi\times 3\times 5=15\pi : c'est l'apothème, la longueur le long de la surface, qui compte. »

Pourquoi : La hauteur est à l'intérieur du solide et ne mesure aucune longueur de la surface. Sur la figure de l'essentiel, aa est l'hypoténuse, donc plus long que hh.

4. Diviser une aire totale sans retirer les bases

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Cylindre de rayon 55, aire totale 150π150\pi : 150π=10πh150\pi=10\pi h, donc h=15h=15. »

Ce qu'il faut écrire

« 150π=2π×5×h+2π×25150\pi=2\pi\times 5\times h+2\pi\times 25, donc 100π=10πh100\pi=10\pi h et h=10h=10. »

Pourquoi : Une aire TOTALE contient les deux bases ; il faut les retirer avant d'isoler la hauteur. Lire l'adjectif, latérale ou totale, est la première étape.

5. Terminer un volume par une racine carrée

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« 43πr3=288π\dfrac{4}{3}\pi r^{3}=288\pi, donc r3=216r^{3}=216 et r=216≈14,7r=\sqrt{216}\approx 14{,}7. »

Ce qu'il faut écrire

« r3=216r^{3}=216, donc r=2163=6r=\sqrt[3]{216}=6 cm, car 63=2166^{3}=216. »

Pourquoi : Une dimension au cube se remonte par une racine CUBIQUE ; la racine carrée sert aux aires, où la dimension est au carré. Contrôle : 14,7314{,}7^{3} vaut plus de 30003000.

6. Compter les faces de contact d'un solide décomposable

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Réservoir : aire totale du cylindre plus aire de la sphère. »

Ce qu'il faut écrire

« Aire LATÉRALE du cylindre plus aire de la sphère : les deux disques du cylindre sont à l'intérieur, soudés aux demi-sphères, personne ne les peint. »

Pourquoi : Dans un solide décomposable, l'aire n'est pas la somme des aires totales : les faces de contact disparaissent. Le volume, lui, s'additionne sans rien retirer.

7. Arrondir π\pi dès le début

0,5 point de précision, et une valeur exacte perdue

Ce qu'il ne faut pas écrire

« π≈3,14\pi\approx 3{,}14, donc V=3,14×16×9=452,16V=3{,}14\times 16\times 9=452{,}16 cm3^{3}. »

Ce qu'il faut écrire

« V=144π≈452,4V=144\pi\approx 452{,}4 cm3^{3} : on garde π\pi jusqu'au bout et on arrondit à la fin. »

Pourquoi : L'énoncé demande souvent la valeur exacte avec π\pi ; et 3,143{,}14 fausse déjà la deuxième décimale d'un volume de quelques centaines de cm3^{3}.

8. Oublier de soustraire le morceau enlevé d'un solide tronqué

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pot en cône tronqué : V=13π×62×8V=\dfrac{1}{3}\pi\times 6^{2}\times 8. »

Ce qu'il faut écrire

« V=V= grand cône moins petit cône =13π×36×12−13π×4×4=4163π=\dfrac{1}{3}\pi\times 36\times 12-\dfrac{1}{3}\pi\times 4\times 4=\dfrac{416}{3}\pi. »

Pourquoi : Un cône tronqué n'a pas de formule directe en secondaire 3 : c'est une différence de deux cônes, et il faut les dimensions du morceau enlevé.

Quelle méthode choisir

Quelle formule ? Décider sur le mot, puis sur le solide

Repérez le mot de la question avant de regarder le solide : latérale, totale, volume, ou une mesure manquante.

  • Si « aire latérale » d'un prisme ou d'un cylindre → périmètre de la base fois hauteur

    Exemple : 2πrh2\pi rh pour le cylindre

  • Si « aire latérale » d'une pyramide ou d'un cône → demi-périmètre de la base fois APOTHÈME

    Exemple : πra\pi ra pour le cône

  • Si « aire totale » → aire latérale PLUS les bases : deux, une, ou aucune pour la boule

    Exemple : cylindre : 2πrh+2πr22\pi rh+2\pi r^{2}

  • Si « volume » → aire de la base fois HAUTEUR, avec un tiers pour la pyramide et le cône ; 43πr3\dfrac{4}{3}\pi r^{3} pour la boule

    Exemple : cône : 13πr2h\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h

  • Si « capacité », « litres » → volume, puis conversion : 11 dm3=1^{3}=1 L

    Exemple : 0,50{,}5 m3=500^{3}=500 L

  • Si « mesure manquante » → écrire la formule, remplacer, résoudre ; racine carrée si au carré, cubique si au cube

    Exemple : 4πr2=100π4\pi r^{2}=100\pi donne r=5r=5

  • Si plusieurs solides collés → volumes additionnés ; aires sans les faces de contact

    Exemple : réservoir : cylindre plus boule

  • Si « tronqué » → solide entier moins morceau enlevé

    Exemple : pot : grand cône moins petit cône

Devant une boîte de conserve, une étiquette est une aire latérale, le métal une aire totale, le contenu un volume. Les trois questions demandent trois formules différentes.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Retrouver une mesure manquante, la copie attendue

Quand l'utiliser : L'énoncé donne une aire ou un volume et toutes les dimensions sauf une.

  1. 1 Écrire la formule qui correspond au mot de l'énoncé : latérale, totale ou volume.
  2. 2 Remplacer chaque grandeur connue, en gardant π\pi.
  3. 3 Isoler la dimension cherchée, en retirant d'abord les bases si l'aire est totale.
  4. 4 Terminer par la racine qui convient : carrée pour une dimension au carré, cubique pour un cube, et ne garder que la solution positive.
  5. 5 Remplacer la mesure trouvée dans la formule pour vérifier.

Phrase de conclusion

« Aire totale 150π150\pi cm2^{2}, rayon 55 cm. Atot=2πrh+2πr2A_{tot}=2\pi rh+2\pi r^{2}, donc 150π=10πh+50π150\pi=10\pi h+50\pi. On retire 50π50\pi : 100π=10πh100\pi=10\pi h, donc h=10h=10 cm. Vérification : 2π×5×10+2π×25=150π2\pi\times 5\times 10+2\pi\times 25=150\pi. »

Le piège : Pour une boule de volume 288π288\pi : r3=216r^{3}=216, racine CUBIQUE, r=6r=6. Pour une sphère d'aire 100π100\pi : r2=25r^{2}=25, racine carrée, r=5r=5, et on écrit que −5-5 est écarté parce qu'un rayon est positif.

Barème : 1 point pour la bonne formule, 1 pour l'isolement, 1 pour la racine et la justification du signe.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Le cornet de crème glacée

Un cornet est un cône de 1010 cm de haut et de 33 cm de rayon, surmonté d'une boule de crème glacée de même rayon dont la moitié dépasse du cornet, comme sur la figure.

Calculer le volume de crème glacée si le cornet est plein et surmonté de la demi-boule, puis l'aire de gaufrette du cornet, sachant que son apothème vaut 109\sqrt{109} cm.

h = 10 cmr = 3 cmdemi-boulecône
Deux solides collés : un cône pointe en bas et une demi-boule posée sur son ouverture. Le disque de contact, en pointillé, ne compte ni pour la crème glacée visible ni pour la gaufrette.

Étape 1

Cône : V=13πr2h=13π×9×10=30π≈94,2V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h=\dfrac{1}{3}\pi\times 9\times 10=30\pi\approx 94{,}2 cm3^{3}.

Pourquoi

Le tiers est obligatoire : sans lui, on calcule le cylindre de même base, trois fois trop. On garde π\pi.

Étape 2

Demi-boule : 12×43πr3=23π×27=18π≈56,5\dfrac{1}{2}\times\dfrac{4}{3}\pi r^{3}=\dfrac{2}{3}\pi\times 27=18\pi\approx 56{,}5 cm3^{3}.

Pourquoi

La moitié d'une boule, donc la moitié de 43πr3\dfrac{4}{3}\pi r^{3}. Le rayon est bien 33, celui du cornet, pas le diamètre.

Étape 3

Crème glacée : 30π+18π=48π≈150,830\pi+18\pi=48\pi\approx 150{,}8 cm3^{3}, soit environ 151151 mL.

Pourquoi

Les volumes d'un solide décomposable s'additionnent sans rien retirer. Ordre de grandeur : une boule de crème glacée standard, cohérent.

Étape 4

Gaufrette : aire LATÉRALE du cône, πra=π×3×109≈98,4\pi ra=\pi\times 3\times\sqrt{109}\approx 98{,}4 cm2^{2}.

Pourquoi

Le cornet est ouvert en haut : pas de base à ajouter. Et c'est l'apothème 109≈10,44\sqrt{109}\approx 10{,}44, plus long que la hauteur 1010, qui sert à l'aire.

Étape 5

Vérification de l'apothème : a2=h2+r2=100+9=109a^{2}=h^{2}+r^{2}=100+9=109, donc a=109>10a=\sqrt{109}>10.

Pourquoi

L'apothème est l'hypoténuse du triangle hh, rr, aa : Pythagore le confirme, et a>ha>h passe le contrôle de bon sens.

Conclusion rédigée

Volume de crème glacée 48π≈15148\pi\approx 151 cm3^{3}, aire de gaufrette 3π109≈98,43\pi\sqrt{109}\approx 98{,}4 cm2^{2}.

L'erreur classique sur cet exercice : Compter le disque de contact dans la gaufrette, ou calculer la boule entière au lieu de la demi-boule : dans les deux cas, l'oubli de ce que la figure montre.

À savoir par cœur

  • • Volume : facteur au CUBE. 11 m3=1000^{3}=1000 dm3=1000^{3}=1000 L. 11 cm3=1^{3}=1 mL.
  • • Prisme, cylindre : Alat=Pbase×hA_{lat}=P_{base}\times h, V=Abase×hV=A_{base}\times h.
  • • Pyramide, cône : AlatA_{lat} avec l'APOTHÈME, VV avec la HAUTEUR et le tiers. Toujours a>ha>h.
  • • Boule : A=4πr2A=4\pi r^{2}, V=43πr3V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}. Diamètre ≠\neq rayon : erreur ×8\times 8.
  • • Aire totale : retirer les bases AVANT d'isoler. Au carré : racine carrée. Au cube : racine cubique.
  • • Décomposable : volumes additionnés, faces de contact exclues de l'aire. Tronqué : entier moins morceau enlevé.
  • • Garder π\pi, arrondir à la fin.

Questions fréquentes

Comment convertir des mètres cubes en litres ?

Un mètre cube vaut 1000 décimètres cubes, et un décimètre cube est exactement un litre : 1 mètre cube égale 1000 litres. Le facteur est 1000 et non 10, parce qu'un cube de 1 mètre contient 10 cubes de 1 décimètre dans chacune des trois directions. De même, 1 centimètre cube est un millilitre. La virgule se déplace de trois rangs par cran d'unité.

Quelle est la différence entre la hauteur et l'apothème d'un cône ?

La hauteur va du sommet au centre de la base, à l'intérieur du cône ; elle sert au volume. L'apothème va du sommet au bord de la base en suivant la surface ; il sert à l'aire latérale, qui vaut pi fois le rayon fois l'apothème. L'apothème est l'hypoténuse du triangle rectangle formé avec la hauteur et le rayon, donc il est toujours plus long que la hauteur.

Comment trouver une mesure manquante à partir du volume ?

On écrit la formule du volume, on remplace toutes les grandeurs connues, et on isole la dimension cherchée. Si elle apparaît au cube, comme le rayon d'une boule, on termine par une racine cubique ; si elle est au carré, comme le rayon d'un cône, par une racine carrée en gardant la valeur positive ; si elle est au degré 1, comme une hauteur, une simple division suffit. On vérifie en remplaçant la valeur trouvée dans la formule.

Comment calculer l'aire d'un solide formé de plusieurs solides collés ?

On additionne les aires des surfaces visibles seulement : les faces où deux solides se touchent sont à l'intérieur et ne comptent pas. Pour un cylindre fermé par deux demi-sphères, on prend l'aire latérale du cylindre plus l'aire de la sphère complète, sans les deux disques du cylindre. Pour le volume, en revanche, on additionne tout sans rien retirer.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Aire et volume des solides

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

  • 10 exercices corrigés
  • 100 points
  • 120 minutes
Faire les exercices
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Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Figures et solides semblables : k, k², k³Les figures et les solides équivalentsSecondaire 5 CST

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