Math secondaire 3 à Montréal • Algèbre
Cette fiche ne refait pas le cours sur les équations, vous l'avez dans vos notes. Elle traite ce qui décide de la note : l'opération faite sur un seul membre, le renversement oublié, et les deux vérifications de dix secondes qui rattrapent presque toutes les erreurs.
Les équations et les inéquations du premier degré sont l'outil de tous les problèmes des années suivantes : chaque système, chaque fonction, chaque optimisation de SN4 et de SN5 finit par une équation à résoudre. Un élève qui les résout sans vérifier accumule des erreurs invisibles.
Le fil du chapitre
Résoudre, c'est faire la MÊME opération des deux côtés ; une inéquation ne diffère d'une équation qu'en un seul point, multiplier ou diviser par un négatif renverse le sens.
« On change de côté, on change de signe » n'est qu'un raccourci de « on fait la même opération des deux côtés ». C'est la version longue qui évite l'erreur.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc et . »
Ce qu'il faut écrire
« : on retire des deux côtés, , . Vérification : . »
Pourquoi : Défaire un , c'est retrancher des deux membres. La vérification, , aurait révélé l'erreur en dix secondes.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« : , donc . »
Ce qu'il faut écrire
« On multiplie TOUT par : , donc et . Vérification : . »
Pourquoi : La balance exige la même opération des deux côtés ; le doit être multiplié par lui aussi. La réponse donne , pas .
Ce qu'il ne faut pas écrire
« donne . »
Ce qu'il faut écrire
« , donc . »
Pourquoi : Le moins devant une parenthèse s'applique à CHAQUE terme. Avec : la version fausse et la bonne diffèrent de , le test le voit.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« , donc et . »
Ce qu'il faut écrire
« , on divise par en RENVERSANT : . Test : donne , vrai, donc doit être solution. »
Pourquoi : Multiplier par un négatif retourne la droite numérique comme un miroir : le plus grand devient le plus petit. Le test avec est le détecteur le plus rapide.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« : je passe le de l'autre côté, donc . »
Ce qu'il faut écrire
« : on ajoute aux deux membres, . Une addition ne renverse jamais. »
Pourquoi : Seule la multiplication ou la division par un NÉGATIF renverse. Le signe de la solution ou le déplacement d'un terme n'y sont pour rien.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« : . »
Ce qu'il faut écrire
« : , crochet ouvert et point vide, n'est pas solution. »
Pourquoi : Le crochet dit si la frontière est acceptée. « Plus de ans » et « au moins ans » ne désignent pas les mêmes personnes.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« donne , les s'annulent : pas de solution. »
Ce qu'il faut écrire
« Il reste , toujours VRAI : tout réel est solution, il y en a une infinité. C'est , une égalité fausse, qui donnerait aucune solution. »
Pourquoi : Quand les disparaissent, c'est la constante restante qui décide : vraie, infinité ; fausse, aucune. Les deux cas se ressemblent et se terminent à l'opposé.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« . »
Ce qu'il faut écrire
« : le double porte sur l'âge d'alors, en entier. Solution , et . »
Pourquoi : En mise en équation, chaque grandeur s'exprime d'abord en fonction de l'inconnue, puis on applique l'opération de l'énoncé à cette expression complète.
À chaque étape d'une inéquation, demandez-vous quelle opération vous faites sur les DEUX membres.
Si ajouter ou retrancher un nombre, ou un terme en → même sens
Exemple : donne
Si multiplier ou diviser par un nombre POSITIF → même sens
Exemple : donne
Si multiplier ou diviser par un nombre NÉGATIF → sens RENVERSÉ
Exemple : donne
pour éviter ce cas, regrouper les du côté positif
Si multiplier ou diviser par une double inéquation → les DEUX signes se renversent, et on réécrit dans l'ordre croissant
Exemple : donne , soit
Test final obligatoire : essayez dans l'inéquation de départ. S'il la vérifie, il doit être dans l'ensemble-solution.
Quand les termes en s'annulent des deux côtés, regardez l'égalité ou l'inégalité qui reste entre les constantes.
Si une égalité VRAIE, comme → infinité de solutions, tout réel
Exemple :
Si une égalité FAUSSE, comme → aucune solution
Exemple :
Si une inégalité vraie, comme → tout réel est solution
Exemple :
Si une inégalité fausse, comme → aucune solution
Exemple :
Ce n'est pas une erreur de calcul : c'est la réponse, et il faut l'écrire en toutes lettres.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé demande de résoudre une inéquation et d'écrire l'ensemble-solution, sous une forme précisée ou non.
Phrase de conclusion
« . On développe : . On retire et : . On divise par : . Ensemble-solution : . Test : donne , vrai, et est dans l'ensemble. »
Le piège : Regrouper les à gauche donne et oblige à renverser ; c'est juste aussi, mais c'est là que la moitié des copies se trompent.
Barème : 1 point pour le développement, 1 pour l'isolement avec le bon sens, 1 pour l'intervalle avec le bon crochet.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Remplacer dans l'équation de départ
Une fois trouvé, remplacez-le dans l'équation TELLE QU'ELLE ÉTAIT DONNÉE, pas dans une version transformée. Les deux membres doivent donner le même nombre.
dans : et . Bon. Un donnerait et .
Le test avec pour une inéquation
Si vérifie l'inéquation de départ, il doit être dans votre ensemble-solution, et inversement. C'est le détecteur du renversement oublié.
: en , vrai. La réponse exclut : elle est fausse, c'est .
Tester la borne
Remplacez par la borne elle-même : si l'inéquation est vérifiée, le crochet est fermé ; si elle est fausse, il est ouvert.
en : vrai, donc crochet fermé en . En pour : faux, crochet ouvert.
Le signe attendu
Avant de calculer, devinez le signe de la solution : exige qu'on retranche un négatif, donc . Une solution positive serait suspecte.
: . Un élève qui trouve devrait sentir que ne vaut pas .
Le matin, une serre est à degrés et son chauffage la réchauffe de degré par minute : après minutes, la température vaut .
Les semis doivent être rentrés quand la température est comprise entre et degrés, bornes incluses. Pendant quel intervalle de temps peut-on les rentrer ?
Étape 1
Traduction : .
Pourquoi
« Entre et , bornes incluses » donne deux signes larges. Une double inéquation, une seule ligne : les deux conditions se traitent ensemble.
Étape 2
On retire aux TROIS parties : .
Pourquoi
Chaque opération s'applique aux trois parties à la fois, sinon l'encadrement se déforme. Retirer ne renverse rien.
Étape 3
On divise les trois parties par , positif : .
Pourquoi
Diviser par , c'est multiplier par ; le diviseur est positif, le sens est conservé. Un diviseur négatif aurait renversé les deux signes.
Étape 4
Ensemble-solution : , crochets fermés.
Pourquoi
Les bornes sont incluses parce que les signes sont larges, et l'énoncé le disait. On peut rentrer les semis de la e à la e minute, pendant minutes.
Étape 5
Vérification aux bornes : et .
Pourquoi
Les deux bornes redonnent exactement les deux températures limites : la traduction et le calcul sont cohérents. Un test au milieu, , donne degrés, dans la zone.
Conclusion rédigée
On peut rentrer les semis quand , c'est-à-dire entre la e et la e minute de chauffage, bornes comprises.
L'erreur classique sur cet exercice : Retirer à une seule partie, par exemple écrire : l'encadrement n'a plus de sens, et la réponse est vide, ce qui devrait alerter.
Uniquement quand on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif : moins 3x inférieur ou égal à 9 devient x supérieur ou égal à moins 3. Ajouter ou retrancher un terme ne change jamais le sens, et le signe de la solution n'y est pour rien. Pour éviter le renversement, on peut regrouper les x du côté où leur coefficient reste positif.
On multiplie toute l'équation, y compris la constante, par un dénominateur commun : pour x sur 3 plus x sur 4 égale 7, on multiplie par 12 et on obtient 4x plus 3x égale 84, donc x égale 12. L'erreur classique est d'oublier de multiplier le membre de droite. On vérifie en remplaçant x par 12 dans l'équation de départ : 4 plus 3 font bien 7.
Quand les termes en x s'annulent des deux côtés, il reste une égalité entre deux constantes, et c'est elle qui décide. Si elle est vraie, comme moins 2 égale moins 2, tout nombre est solution : il y en a une infinité. Si elle est fausse, comme 1 égale 10, aucun nombre ne convient : pas de solution. Ce n'est pas une erreur de calcul, c'est la réponse.
De trois façons équivalentes : en compréhension, x appartient aux réels tels que x est plus grand que moins 2 ; en intervalle, de moins 2 exclu à plus l'infini ; sur une droite numérique, avec un point vide en moins 2 et une flèche vers la droite. Un signe strict donne un crochet ouvert et un point vide, un signe large un crochet fermé et un point plein. Du côté de l'infini, le crochet est toujours ouvert.
