Math secondaire 3 à Montréal • Algèbre

Fiche de révision : Expressions algébriques et mise en évidence (math, secondaire 3)

Cette fiche ne refait pas le cours sur les polynômes, vous l'avez dans vos notes. Elle traite ce qui coûte des points : la règle d'addition appliquée à une multiplication et l'inverse, le signe qui n'est distribué qu'à moitié, et le contrôle qui démasque un développement faux en trente secondes.

Ce chapitre est l'antichambre de la factorisation de secondaire 4 : la mise en évidence simple qu'on apprend ici est la première étape de toute factorisation, et les réflexes acquis ou manqués maintenant s'y retrouvent tels quels.

Le fil du chapitre

ADDITIONNER regarde la nature des termes, on n'additionne que des termes semblables ; MULTIPLIER ne regarde rien, tout se multiplie avec tout. Presque toutes les erreurs du chapitre mélangent les deux règles.

Ce chapitre fait partie de Mathématique de secondaire 3 : tous les chapitres

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Lois des exposants et notation scientifique Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (2 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

L'essentiel

Termes semblables : mêmes variables, mêmes exposants

• Un MONÔME : un coefficient et des variables à exposants entiers positifs. Son degré est la somme des exposants ; $-3xy^{2}$ est de degré $3$ et de coefficient $-3$ .
• Deux termes sont SEMBLABLES s'ils ont exactement les mêmes variables avec les mêmes exposants. $5x^{2}$ et $-2x^{2}$ oui ; $5x^{2}$ et $5x$ non ; $x^{2}y$ et $xy^{2}$ non.
• On n'additionne QUE des termes semblables, et alors seuls les coefficients s'ajoutent : $5x^{2}-2x^{2}=3x^{2}$ . $x^{2}+x$ reste $x^{2}+x$ .
• Le degré d'un polynôme est le plus grand degré de ses termes une fois réduit.

Un correcteur voit $x^{2}+x^{3}=x^{5}$ comme la faute la plus grave du chapitre : elle prouve qu'on n'a pas compris la différence entre additionner et multiplier.

Développer, c'est lire une aire de deux façons

• Multiplier deux monômes : coefficients multipliés, exposants d'une même variable ADDITIONNÉS. $(-3x^{2}y)(4xy^{3})=-12x^{3}y^{4}$ .
• Multiplier deux polynômes : chaque terme du premier multiplie chaque terme du second, puis on réduit. $(x+2)(x+5)=x^{2}+5x+2x+10=x^{2}+7x+10$ .
• Le signe voyage avec le terme : $(2x-3)(x+4)=2x^{2}+8x-3x-12$ .
• Soustraire une parenthèse : changer le signe de CHAQUE terme. $-(3a-7)=-3a+7$ .

Le grand rectangle

(x+2)(x+5)

vaut la somme des quatre petits :

x^{2}

5x

2x

10

. Les deux rectangles du milieu sont semblables et se réunissent en

7x

Diviser par un monôme, mettre en évidence : la même aire dans les deux sens

• Diviser un polynôme par un monôme : CHAQUE terme se divise. $\dfrac{15a^{4}-10a^{3}+5a^{2}}{5a^{2}}=3a^{2}-2a+1$ , et le dernier terme vaut $1$ , pas $0$ .
• Mettre en évidence : écrire le polynôme comme le produit du plus grand facteur commun par le quotient. PGCD des coefficients, chaque variable commune au plus PETIT exposant.
• $12x^{3}y^{2}-8x^{2}y^{3}=4x^{2}y^{2}(3x-2y)$ . La parenthèse a autant de termes que le polynôme de départ.
• Vérifier : redistribuer, on doit retrouver chaque terme.

Aire

6x^{2}+4x

, largeur

2x

: la longueur est le quotient

3x+2

, et l'égalité

6x^{2}+4x=2x(3x+2)

est la mise en évidence. Diviser et factoriser sont la même figure.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Additionner des exposants dans une somme

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x^{2}+x^{3}=x^{5}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $x^{2}$ et $x^{3}$ ne sont pas semblables : la somme reste $x^{2}+x^{3}$ . C'est $x^{2}\times x^{3}$ qui vaut $x^{5}$ . »

Pourquoi : Avec $x=2$ : $4+8=12$ , alors que $2^{5}=32$ . Les exposants s'additionnent dans un PRODUIT, jamais dans une somme.

2. Distribuer le signe moins sur le premier terme seulement

2 points, deux termes faux sur trois

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(4a^{2}-3a+5)-(2a^{2}+7a-9)=2a^{2}+4a-4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $-(2a^{2}+7a-9)=-2a^{2}-7a+9$ , donc la différence vaut $2a^{2}-10a+14$ . »

Pourquoi : Le signe moins devant une parenthèse est une multiplication par $-1$ de TOUTE la parenthèse. Avec $a=1$ : $6-0=6$ , et $2-10+14=6$ ; la réponse fausse donne $2$ .

3. Développer un carré de binôme sans ses termes du milieu

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(2x+3)^{2}=4x^{2}+9$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $(2x+3)^{2}=(2x+3)(2x+3)=4x^{2}+6x+6x+9=4x^{2}+12x+9$ . »

Le carré de côté

2x+3

contient quatre morceaux :

4x^{2}

9

, et DEUX rectangles

6x

. Écrire

4x^{2}+9

, c'est effacer les deux rectangles du milieu.

Pourquoi : Le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés : la figure montre les DEUX rectangles $6x$ que l'écriture $4x^{2}+9$ oublie. Test avec $x=1$ : $25$ contre $13$ .

4. Faire disparaître le terme divisé par lui-même

1 point, et la mise en évidence qui suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{15a^{4}-10a^{3}+5a^{2}}{5a^{2}}=3a^{2}-2a$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{5a^{2}}{5a^{2}}=1$ , donc le quotient vaut $3a^{2}-2a+1$ . »

Pourquoi : Un nombre divisé par lui-même vaut $1$ , jamais $0$ . Avec $a=1$ : $\dfrac{10}{5}=2$ , et $3-2+1=2$ ; la réponse fausse donne $1$ .

5. Perdre un terme dans la mise en évidence

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $8x^{2}-4x=4x(2x)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $8x^{2}-4x=4x(2x-1)$ : le terme $-4x$ divisé par $4x$ donne $-1$ , qui reste dans la parenthèse. »

Pourquoi : La parenthèse a autant de termes que le polynôme de départ. Une parenthèse à un seul terme est fausse à coup sûr, et redistribuer $4x(2x)=8x^{2}$ le montre.

6. Prendre deux termes de même coefficient pour des termes semblables

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $5x^{2}$ et $5x$ sont semblables, ils ont le même coefficient : $5x^{2}+5x=10x^{2}$ ou $10x^{3}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $5x^{2}$ et $5x$ diffèrent par l'exposant, ils ne sont pas semblables ; $5x^{2}+5x$ ne se réduit pas. »

Pourquoi : La ressemblance se juge sur les variables et leurs exposants, jamais sur le coefficient, qui est le seul élément autorisé à différer.

7. Tester un développement avec $x=0$

toute la question, sans s'en apercevoir

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $(x+1)^{2}=x^{2}+1$ : je vérifie avec $x=0$ , $1=1$ , c'est bon. »

Ce qu'il faut écrire

« En $x=0$ tous les termes en $x$ disparaissent, le test ne voit rien. Avec $x=1$ : $4\neq 2$ , le développement est faux. »

Pourquoi : Un test numérique doit utiliser une valeur qui n'annule pas les termes sur lesquels les réponses diffèrent ; $x=1$ ou $x=2$ , jamais $0$ seul.

8. Confondre $-x^{2}$ et $(-x)^{2}$

1 point, souvent le signe final

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour $x=5$ , $-x^{2}=25$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $-x^{2}=-(5^{2})=-25$ , alors que $(-x)^{2}=(-5)^{2}=25$ . La parenthèse décide de l'ordre des opérations. »

Pourquoi : $-x^{2}$ est l'opposé d'un carré, toujours négatif ou nul ; $(-x)^{2}$ est le carré d'un opposé, toujours positif ou nul.

Quelle méthode choisir

Quelle règle ? Décider sur le signe devant la parenthèse

Regardez ce qu'il y a immédiatement DEVANT la parenthèse, ou entre les deux parenthèses. C'est ce symbole qui commande.

Si un $+$ , ou rien → enlever la parenthèse sans rien changer, puis réduire

Exemple : $(4a^{2}-3a)+(2a^{2}+7a)=6a^{2}+4a$
Si un $-$ → changer le signe de CHAQUE terme de la parenthèse, puis réduire

Exemple : $3x-(2x-5)=3x-2x+5=x+5$
Si un monôme, ou une autre parenthèse (multiplication) → distribuer : chaque terme multiplie chaque terme, exposants additionnés

Exemple : $3x(2x^{2}-5x+4)=6x^{3}-15x^{2}+12x$

signe compris : $(2x-3)(x+4)$ donne $-3x$ et $-12$
Si une barre de fraction avec un monôme dessous → diviser CHAQUE terme, exposants soustraits, le terme identique donne $1$

Exemple : $\dfrac{12x^{3}-8x^{2}}{4x^{2}}=3x-2$
Si « mettre en évidence », « factoriser » → sortir le PGCD des coefficients et chaque variable au plus petit exposant ; la parenthèse est le quotient

Exemple : $9m^{3}n-6m^{2}n^{2}=3m^{2}n(3m-2n)$

Quand un exposant apparaît sur une parenthèse, $(2x+3)^{2}$ , on l'écrit comme un produit, $(2x+3)(2x+3)$ , et on retombe sur la branche multiplication.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Mettre en évidence, la copie attendue

Quand l'utiliser : L'énoncé dit « mettez en évidence », « factorisez » ou « écrivez sous forme de produit ».

1 Trouver le PGCD des coefficients, en écrivant les valeurs absolues.
2 Pour chaque variable présente dans TOUS les termes, prendre le plus petit exposant.
3 Écrire le facteur commun, puis diviser chaque terme par lui pour remplir la parenthèse.
4 Compter les termes de la parenthèse : autant qu'au départ.
5 Redistribuer mentalement pour vérifier.

Phrase de conclusion

« $9m^{3}n-6m^{2}n^{2}+3m^{2}n$ : PGCD $3$ , $m^{2}$ , $n$ . Facteur commun $3m^{2}n$ . Quotients : $3m$ , $-2n$ , $1$ . Donc $9m^{3}n-6m^{2}n^{2}+3m^{2}n=3m^{2}n(3m-2n+1)$ . »

Le piège : Quand le premier terme est négatif, on peut sortir un facteur négatif : $-4t^{2}+8t-12=-4(t^{2}-2t+3)$ , et CHAQUE terme change de signe, le dernier compris.

Barème : 1 point pour le facteur commun complet, 1 pour la parenthèse, 1 pour le terme égal à $1$ s'il y en a un.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le test avec $x=1$ , puis $x=2$

Remplacez $x$ par $1$ dans l'expression de départ et dans votre résultat. Si les nombres diffèrent, le résultat est faux ; s'ils coïncident, testez $x=2$ pour plus de sûreté. Jamais $x=0$ seul.

$(2x+3)^{2}$ en $x=1$ : $25$ . Le résultat $4x^{2}+9$ donne $13$ : faux. $4x^{2}+12x+9$ donne $25$ : bon.
Compter les termes de la parenthèse

Après une mise en évidence, la parenthèse doit contenir exactement autant de termes que le polynôme de départ.

$8x^{2}-4x$ a deux termes ; $4x(2x)$ n'en a qu'un dans la parenthèse : un terme a été perdu, c'est $4x(2x-1)$ .
Redistribuer

Multipliez le facteur commun par chaque terme de la parenthèse : vous devez retrouver le polynôme de départ, signe par signe.

$3m^{2}n\times(-2n)=-6m^{2}n^{2}$ : bon. Si vous obtenez $+6m^{2}n^{2}$ , un signe a sauté.
Le degré attendu

Un périmètre est de degré $1$ , une aire de degré $2$ , un volume de degré $3$ . Un résultat qui n'a pas le bon degré est faux avant tout calcul.

L'aire d'un rectangle coté en $x$ qui donne $12x+2$ est un périmètre, pas une aire : les deux ont été confondus.

L'exercice type décortiqué

Un rectangle coté en x, du périmètre à la mise en évidence

La longueur d'un rectangle dépasse de $3$ cm le double de sa largeur $x$ .

Exprimer le périmètre et l'aire sous forme réduite, calculer les deux pour $x=4$ , puis mettre l'aire en évidence.

Étape 1

Longueur : $2x+3$ . Périmètre : $2x+2(2x+3)=2x+4x+6=6x+6$ .

Pourquoi

On développe la parenthèse AVANT de regrouper : $2(2x+3)=4x+6$ , les deux termes. Le périmètre est de degré $1$ , comme toute longueur.

Étape 2

Aire : $x(2x+3)=2x^{2}+3x$ .

Pourquoi

Le monôme $x$ multiplie chaque terme : $x\times 2x=2x^{2}$ , exposants additionnés, et $x\times 3=3x$ . Degré $2$ , comme toute aire ; les deux termes ne sont pas semblables et ne se réduisent pas.

Étape 3

Pour $x=4$ : périmètre $6\times 4+6=30$ cm ; aire $2\times 16+12=44$ cm $^{2}$ .

Pourquoi

Vérification directe : le rectangle mesure $4$ sur $11$ , périmètre $2(4+11)=30$ , aire $44$ . Les formules et la figure disent la même chose.

Étape 4

Mise en évidence de l'aire : $2x^{2}+3x=x(2x+3)$ .

Pourquoi

PGCD des coefficients $2$ et $3$ : $1$ . Variable commune $x$ au plus petit exposant, $1$ . On retombe sur le produit de départ, largeur fois longueur : la mise en évidence a retrouvé les dimensions.

Étape 5

Contrôle : la parenthèse a deux termes comme le polynôme, et $x\times 2x+x\times 3=2x^{2}+3x$ .

Pourquoi

Compter les termes puis redistribuer, les deux vérifications de la rédaction. Trente secondes qui garantissent les points.

Conclusion rédigée

Périmètre $6x+6$ , aire $2x^{2}+3x=x(2x+3)$ ; pour $x=4$ , $30$ cm et $44$ cm $^{2}$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire le périmètre $2x+2x+3=4x+3$ , en oubliant de doubler la longueur : le test avec $x=4$ donne $19$ au lieu de $30$ , et la figure le refuse.

À savoir par cœur

• Termes SEMBLABLES : mêmes variables, mêmes exposants. Seuls les coefficients s'ajoutent.
• $x^{2}+x^{3}$ ne se réduit pas ; $x^{2}\times x^{3}=x^{5}$ .
• Un $-$ devant une parenthèse change TOUS les signes.
• Multiplier : chaque terme par chaque terme, coefficients multipliés, exposants additionnés.
• Diviser par un monôme : chaque terme ; le terme identique vaut $1$ .
• Mise en évidence : PGCD et plus petits exposants ; autant de termes dans la parenthèse qu'au départ ; redistribuer pour vérifier.
• Tester avec $x=1$ , jamais avec $x=0$ seul.

Questions fréquentes

Comment savoir si deux termes sont semblables ?

On compare les variables et leurs exposants, pas les coefficients. Deux termes sont semblables s'ils ont exactement les mêmes lettres avec exactement les mêmes exposants : 5 x carré et moins 2 x carré le sont, 5 x carré et 5 x ne le sont pas, x carré y et x y carré non plus. Seuls les termes semblables s'additionnent, et alors on additionne leurs coefficients.

Que fait le signe moins devant une parenthèse ?

Il change le signe de chaque terme de la parenthèse, pas seulement du premier : moins entre parenthèses 3a moins 7 devient moins 3a plus 7. Il s'agit d'une multiplication de toute la parenthèse par moins 1. L'erreur la plus fréquente est de ne changer que le premier signe ; on la détecte en remplaçant a par 1 des deux côtés.

Comment mettre en évidence un facteur commun en secondaire 3 ?

On cherche le plus grand facteur commun à tous les termes : le PGCD des coefficients et chaque variable présente partout, prise au plus petit exposant. On l'écrit devant une parenthèse, et on remplit la parenthèse en divisant chaque terme par ce facteur. La parenthèse doit avoir autant de termes que le polynôme de départ ; on vérifie en redistribuant.

Pourquoi (2x + 3) au carré ne donne pas 4x carré plus 9 ?

Parce qu'un carré est un produit : (2x + 3) fois (2x + 3). En multipliant chaque terme par chaque terme, on obtient 4 x carré, puis 6x, puis encore 6x, puis 9, et les deux termes du milieu s'additionnent en 12x. Le résultat est 4 x carré plus 12x plus 9. On le voit sur un carré de côté 2x + 3 découpé en quatre morceaux, et on le vérifie avec x égal à 1 : 25 d'un côté, 13 de l'autre si on oublie le milieu.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Expressions algébriques et mise en évidence

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
120 minutes

Faire les exercices

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Équations et inéquations du premier degré La manipulation d'expressions algébriquesSecondaire 4 SN4 Les calculs algébriques et les expressions rationnellesSecondaire 4 TS

Voir aussi

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Fiche de révision : Expressions algébriques et mise en évidence (math, secondaire 3)

L'essentiel

Termes semblables : mêmes variables, mêmes exposants

Développer, c'est lire une aire de deux façons

Diviser par un monôme, mettre en évidence : la même aire dans les deux sens

Les pièges qui coûtent des points

1. Additionner des exposants dans une somme

2. Distribuer le signe moins sur le premier terme seulement

3. Développer un carré de binôme sans ses termes du milieu

4. Faire disparaître le terme divisé par lui-même

5. Perdre un terme dans la mise en évidence

6. Prendre deux termes de même coefficient pour des termes semblables

7. Tester un développement avec x=0x=0x=0

8. Confondre −x2-x^{2}−x2 et (−x)2(-x)^{2}(−x)2

Quelle méthode choisir

Quelle règle ? Décider sur le signe devant la parenthèse

La rédaction attendue

Mettre en évidence, la copie attendue

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Un rectangle coté en x, du périmètre à la mise en évidence

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment savoir si deux termes sont semblables ?

Que fait le signe moins devant une parenthèse ?

Comment mettre en évidence un facteur commun en secondaire 3 ?

Pourquoi (2x + 3) au carré ne donne pas 4x carré plus 9 ?

Exercices corrigés : Expressions algébriques et mise en évidence

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