Exercices corrigés : les équations et les inéquations du premier degré (math, secondaire 3)

On ajoute $7$ : $5x=25$. On divise par $5$ : $x=5$. Vérification : $25-7=18$.

On retire $20$ : $3x=-18$, donc $x=-6$. Vérification : $-18+20=2$. Piège : ajouter $20$ au lieu de le retrancher, ce qui donne $3x=22$.

On retire $3$ : $\dfrac{x}{4}=-2$. On multiplie par $4$ : $x=-8$. Vérification : $-2+3=1$. Piège : diviser par $4$ au lieu de multiplier, ce qui donne $-\dfrac{1}{2}$ ; l'inverse de « diviser par $4$ » est « multiplier par $4$ ».

On retire $3x$ : $4x-4=24$. On ajoute $4$ : $4x=28$, donc $x=7$. Vérification : $49-4=45$ et $21+24=45$.

On développe : $5x-5=2x+13$. On retire $2x$ : $3x-5=13$, donc $3x=18$ et $x=6$. Vérification : $5\times 5=25$ et $12+13=25$. Piège : $5(x-1)=5x-1$, le $5$ oublié sur le second terme.

On développe les deux membres : $6x+3=4x-12+1=4x-11$. On retire $4x$ et $3$ : $2x=-14$, donc $x=-7$. Vérification : $3\times(-13)=-39$ et $4\times(-10)+1=-39$.

Le signe moins porte sur les DEUX termes : $-(3x-4)=-3x+4$. Donc $14-3x=2x-1$, puis $15=5x$ et $x=3$. Vérification : $10-5=5$ et $6-1=5$. Piège : écrire $-3x-4$, qui donne $6-3x=2x-1$ et $x=1{,}4$.

Dénominateur commun $12$ : $3(x+1)=2(2x-3)$, soit $3x+3=4x-6$, donc $x=9$. Vérification : $\dfrac{10}{4}=\dfrac{5}{2}$ et $\dfrac{15}{6}=\dfrac{5}{2}$. Piège : oublier les parenthèses et écrire $3x+1=4x-3$, ce qui donne $x=4$ ; c'est TOUT le numérateur qui est multiplié.

On multiplie tout par $10$ pour retirer les virgules : $12x-8=4x+24$. Donc $8x=32$ et $x=4$. Vérification : $4{,}8-0{,}8=4$ et $1{,}6+2{,}4=4$. On peut aussi travailler en décimaux : $0{,}8x=3{,}2$.

On développe : $6x-15=2x+2-4=2x-2$. On retire $2x$ et on ajoute $15$ : $4x=13$, donc $x=\dfrac{13}{4}=3{,}25$. Vérification : $3(6{,}5-5)=4{,}5$ et $2\times 4{,}25-4=4{,}5$. Une solution n'est pas toujours entière : on la garde exacte.

On retire $2$ : $3x>12$. On divise par $3$, positif : $x>4$. Ensemble-solution : $]4\,;+\infty[$.

On retire $1$ : $-5x\le 20$. On divise par $-5$, négatif, et on RENVERSE : $x\ge-4$. Ensemble : $[-4\,;+\infty[$. Piège : garder $\le$, ce qui donne $]-\infty\,;-4]$ ; le test $x=0$ ($1\le 21$, vrai) le réfute.

On retire $6x$ et $9$ : $-4x\ge-12$. On divise par $-4$ en renversant : $x\le 3$. Ensemble : $]-\infty\,;3]$. Autre voie sans renversement : retirer $2x$ et ajouter $3$, $12\ge 4x$, donc $3\ge x$.

On développe : $-2x+6>x+12$. On retire $x$ et $6$ : $-3x>6$. On divise par $-3$ en renversant : $x<-2$. Ensemble : $]-\infty\,;-2[$. Piège : $-2(x-3)=-2x-6$, le second signe oublié.

On multiplie par $2$, positif : $7-x<6$. On retire $7$ : $-x<-1$. On multiplie par $-1$ en renversant : $x>1$. Ensemble : $]1\,;+\infty[$. Vérification avec $x=3$ : $\dfrac{4}{2}=2<3$, vrai.

On multiplie par $4$, constante comprise : $x-2x\le 12$, soit $-x\le 12$. On multiplie par $-1$ en renversant : $x\ge-12$. Ensemble : $[-12\,;+\infty[$. Deux pièges : oublier de multiplier le $3$, et oublier le renversement, que cache la réduction $x-2x=-x$.

On multiplie par $10$ : $6x-15<9x+3$. On retire $9x$ et on ajoute $15$ : $-3x<18$. On divise par $-3$ en renversant : $x>-6$. Ensemble : $]-6\,;+\infty[$.

On retire $5$ aux trois parties : $-3\le 3x<12$. On divise les trois par $3$, positif : $-1\le x<4$. Ensemble : $[-1\,;4[$.

On retire $1$ aux trois parties : $-4\le-2x<10$. On divise les trois par $-2$, ce qui renverse les DEUX signes : $2\ge x>-5$, qu'on réécrit $-5<x\le 2$. Ensemble : $]-5\,;2]$. Piège : renverser un seul signe, ou garder le crochet fermé à gauche ; la borne atteinte change de côté.

On développe et on réduit : $3x+6-5x>-8$, soit $-2x+6>-8$, puis $-2x>-14$ et, en renversant, $x<7$. L'inégalité est STRICTE : $7$ n'est pas solution, le plus grand entier solution est $6$. Vérification : $x=6$ donne $24-30=-6>-8$, vrai ; $x=7$ donne $27-35=-8>-8$, faux.

On retire $4$ des deux plateaux : $3x=15$. On divise les deux plateaux par $3$ : $x=5$. L'ordre est celui de l'exercice inverse : le $+4$ est la DERNIÈRE opération faite sur $x$ (on multiplie par $3$ puis on ajoute $4$), donc c'est la PREMIÈRE qu'on défait. Vérification : $3\times 5+4=19$. Une équation non vérifiée n'est pas résolue : la vérification prend dix secondes et rattrape la moitié des erreurs.

$\dfrac{x}{5}-2=6$ : on ajoute $2$, $\dfrac{x}{5}=8$, puis on multiplie par $5$, $x=40$. Vérification : $8-2=6$. $-4x=26$ : on divise par $-4$, $x=\dfrac{26}{-4}=-6{,}5$. Une solution n'est pas toujours un entier positif, et une fraction ou un décimal négatif est une réponse aussi correcte que $5$. Vérification : $-4\times(-6{,}5)=26$.

$7-2x=15$ : on retire $7$, $-2x=8$, on divise par $-2$, $x=-4$. La solution est NÉGATIVE, et on pouvait le prévoir : $7-2x$ doit valoir $15$, plus que $7$, donc il faut RETRANCHER un nombre négatif, ce qui exige $x<0$. Vérification : $7-2\times(-4)=7+8=15$. Prévoir le signe avant de calculer est un contrôle gratuit : un élève qui trouve $x=4$ devrait sentir que $7-8=-1$ ne vaut pas $15$.

Vérification : $3\times\dfrac{23}{3}+4=23+4=27\neq 19$. La réponse est fausse. L'erreur : pour défaire « $+4$ », il faut RETRANCHER $4$, pas l'ajouter ; l'élève a déplacé le $4$ sans changer son signe. Sur la balance, il a enlevé $4$ d'un plateau et en a AJOUTÉ $4$ sur l'autre, ce qui déséquilibre tout. La règle « on change de côté, on change de signe » n'est qu'un raccourci de « on fait la même opération des deux côtés », et c'est la version longue qui évite l'erreur.

On développe : $3x-12=5x+2$. On regroupe les $x$ à gauche en retirant $5x$ des deux côtés : $-2x-12=2$. On ajoute $12$ : $-2x=14$. On divise par $-2$ : $x=-7$. Vérification : $3(-7-4)=3\times(-11)=-33$ et $5\times(-7)+2=-35+2=-33$. On peut aussi regrouper les $x$ à droite pour éviter le coefficient négatif : $-12-2=5x-3x$, soit $-14=2x$, $x=-7$. Même résultat, et c'est souvent le chemin le plus sûr.

On développe : $6x+2-4=6x-2$, soit $6x-2=6x-2$. Les deux membres sont IDENTIQUES. Si on retire $6x$ des deux côtés, il reste $-2=-2$, toujours vrai, quelle que soit la valeur de $x$. L'équation a donc une INFINITÉ de solutions : tout nombre réel convient. Ce n'est pas une erreur de calcul, c'est une identité : l'énoncé dit la même chose de deux façons.

On développe : $4x+1=4x+10$. On retire $4x$ : $1=10$, ce qui est FAUX quelle que soit la valeur de $x$. L'équation n'a AUCUNE solution. Interprétation : $4x+1$ et $4x+10$ sont deux nombres qui diffèrent toujours de $9$, ils ne peuvent jamais être égaux. Les questions b) et c) se ressemblent et se terminent à l'opposé : quand les $x$ disparaissent, c'est la constante qui reste qui décide, vraie pour l'infinité, fausse pour aucune.

Gauche : $10x-15-x-7=9x-22$, en distribuant le signe moins sur les deux termes de la parenthèse. Droite : $3x-6+8=3x+2$. Équation : $9x-22=3x+2$, donc $6x=24$ et $x=4$. Vérification : gauche, $5(8-3)-(4+7)=25-11=14$ ; droite, $3(4-2)+8=6+8=14$. Le piège de cette équation est $-(x+7)=-x-7$ : écrire $-x+7$ donne $x=\dfrac{5}{3}$, et la vérification le révèle immédiatement, puisque les deux membres ne coïncident plus.

Le dénominateur commun de $3$ et $4$ est $12$. On multiplie tout par $12$ : $12\times\dfrac{x}{3}+12\times\dfrac{x}{4}=12\times 7$, soit $4x+3x=84$, donc $7x=84$ et $x=12$. Vérification : $\dfrac{12}{3}+\dfrac{12}{4}=4+3=7$. Le piège est d'oublier de multiplier le membre de droite : $4x+3x=7$ donne $x=1$, une réponse qui ne vérifie rien.

Dénominateur commun $10$ : $10\times\dfrac{2x-1}{5}=10\times\dfrac{x+3}{2}$, soit $2(2x-1)=5(x+3)$, donc $4x-2=5x+15$ et $x=-17$. Les parenthèses sont obligatoires : c'est TOUT le numérateur qui est multiplié par $2$, pas seulement $2x$. Vérification : $\dfrac{2(-17)-1}{5}=\dfrac{-35}{5}=-7$ et $\dfrac{-17+3}{2}=\dfrac{-14}{2}=-7$. Avec deux fractions égales, on peut aussi utiliser le produit croisé, $2(2x-1)=5(x+3)$ : c'est le même calcul.

Les décimaux sont des fractions : $0{,}25=\dfrac{1}{4}$ et $0{,}5=\dfrac{1}{2}$. On peut multiplier par $4$ : $x+6=2x$, donc $x=6$. Ou travailler directement : $1{,}5=0{,}5x-0{,}25x=0{,}25x$, donc $x=\dfrac{1{,}5}{0{,}25}=6$. Vérification : $0{,}25\times 6+1{,}5=1{,}5+1{,}5=3$ et $0{,}5\times 6=3$. Diviser par $0{,}25$, c'est multiplier par $4$ : une division par un nombre plus petit que $1$ AGRANDIT.

Dénominateur commun $6$ : $2(x+2)-(x-1)=12$. Le second terme est le piège : $6\times\dfrac{x-1}{6}=x-1$, et le signe moins devant s'applique aux DEUX termes, $-(x-1)=-x+1$. Donc $2x+4-x+1=12$, soit $x+5=12$ et $x=7$. Vérification : $\dfrac{9}{3}-\dfrac{6}{6}=3-1=2$. L'erreur classique, $-x-1$, donne $x=9$, et $\dfrac{11}{3}-\dfrac{8}{6}=\dfrac{7}{3}\neq 2$ : la vérification l'attrape.

Soit $n$ le plus petit. Les trois entiers sont $n$, $n+1$ et $n+2$, et $n+(n+1)+(n+2)=96$, soit $3n+3=96$, donc $3n=93$ et $n=31$. Les entiers sont $31$, $32$ et $33$, et $31+32+33=96$. Remarque : la somme de trois consécutifs vaut toujours le triple du nombre du milieu ; $96\div 3=32$ donne le milieu directement, ce qui est une bonne vérification.

Soit $a$ l'âge actuel de Léa, en années. Dans $5$ ans : $a+5$. Il y a $7$ ans : $a-7$. L'énoncé dit $a+5=2(a-7)$, soit $a+5=2a-14$, donc $a=19$. Léa a $19$ ans. Vérification : dans $5$ ans, $24$ ; il y a $7$ ans, $12$ ; et $24=2\times 12$. Le piège est de traduire « le double de l'âge qu'elle avait il y a $7$ ans » par $2a-7$ : le double porte sur l'âge d'alors, $a-7$ en entier, d'où la parenthèse.

Soit $\ell$ la largeur en cm. La longueur vaut $2\ell+3$. Périmètre : $2\ell+2(2\ell+3)=54$, soit $2\ell+4\ell+6=54$, donc $6\ell=48$ et $\ell=8$. Largeur $8$ cm, longueur $2\times 8+3=19$ cm. Vérification : $2\times 8+2\times 19=16+38=54$. On choisit d'appeler $\ell$ la LARGEUR parce que c'est la grandeur à partir de laquelle l'autre est décrite ; appeler $x$ la longueur mène à $\dfrac{x-3}{2}$ pour la largeur, ce qui marche mais complique tout.

« Le triple d'un nombre, diminué de $4$ » se lit $3x-4$ : on triple, puis on retire $4$. « Le triple d'un nombre diminué de $4$ », sans virgule, peut se lire $3(x-4)$ : on diminue de $4$, puis on triple. La phrase est ambiguë et les deux élèves ont chacun une lecture défendable ; en examen, la virgule ou le contexte tranchent. Les deux expressions coïncident quand $3x-4=3x-12$, c'est-à-dire jamais : $-4\neq-12$. Aucun nombre ne rend les deux lectures équivalentes, ce qui montre que l'ordre des opérations dans une phrase change la réponse.

On ajoute $5$ : $4x>-8$. On divise par $4$, positif, le sens ne change pas : $x>-2$. En compréhension : $\{x\in\mathbb{R}\mid x>-2\}$. En intervalle : $]-2\,;+\infty[$, crochet ouvert en $-2$ puisque $-2$ n'est pas solution, et toujours ouvert côté infini. Sur la droite : un point VIDE en $-2$ et une flèche vers la droite, comme sur la première droite du corrigé. Vérification avec $x=0$ : $-5>-13$, vrai ; avec $x=-3$ : $-17>-13$, faux.

On retire $7$ : $-3x\le 9$. On divise par $-3$, NÉGATIF, le sens se renverse : $x\ge-3$. Compréhension : $\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge-3\}$. Intervalle : $[-3\,;+\infty[$, crochet fermé en $-3$ car $-3$ est solution. Droite : point PLEIN en $-3$, flèche vers la droite. Vérification avec $x=-3$ : $9+7=16\le 16$, vrai, la borne est bien incluse ; avec $x=-4$ : $12+7=19\le 16$, faux. L'oubli du renversement donne $x\le-3$, et le test $x=0$ ($7\le 16$, vrai) montre aussitôt que $0$ doit être solution.

Première manière : $2x-2\le 5x+8$, on retire $5x$, $-3x-2\le 8$, on ajoute $2$, $-3x\le 10$, on divise par $-3$ en RENVERSANT, $x\ge-\dfrac{10}{3}$. Seconde manière : on retire $2x$ et $8$, $-2-8\le 5x-2x$, soit $-10\le 3x$, on divise par $3$ sans renverser, $x\ge-\dfrac{10}{3}$. Même ensemble, $\left[-\dfrac{10}{3}\,;+\infty\right[$. La seconde manière évite complètement la division par un négatif : regrouper les $x$ du côté où leur coefficient reste positif est la façon la plus sûre de ne jamais oublier le renversement.

Ils diffèrent par UN nombre, $-2$, mais ce nombre est précisément la frontière, et c'est lui que l'énoncé teste. Dans un problème, la différence entre « plus de $18$ ans » et « au moins $18$ ans » décide qui a le droit de voter ; entre « moins de $50$ kg » et « au plus $50$ kg », qui passe la limite de bagage. Le crochet et le point plein ou vide portent exactement cette information, et une erreur de crochet est comptée comme une erreur de réponse, pas comme une faute de forme.