Exercices corrigés : l'aire et le volume des solides : mesures manquantes et solides décomposables (math, secondaire 3)

a) $2{,}5$ m$^{3}=2{,}5\times 1000=2500$ dm$^{3}$. $4500$ cm$^{3}=4500\div 1000=4{,}5$ dm$^{3}$. $0{,}75$ dm$^{3}=750$ cm$^{3}$. Chaque cran d'unité de longueur vaut un facteur $1000$ sur le volume, et la virgule se déplace de TROIS rangs, pas d'un.

b) $3$ m$^{3}=3000$ L. $250$ cm$^{3}=250$ mL $=0{,}25$ L. $12$ dm$^{3}=12$ L. Puis $0{,}5$ L $=500$ mL, et $2$ dm$^{3}=2$ L $=2000$ mL. La chaîne à mémoriser : m$^{3}$, puis dm$^{3}$ qui est le litre, puis cm$^{3}$ qui est le millilitre, avec $1000$ entre chaque.

c) Volume : $8\times 4\times 1{,}5=48$ m$^{3}$. En litres : $48\times 1000=48\,000$ L. Une piscine de taille modeste contient donc près de cinquante mille litres, ce qui explique le temps de remplissage et la facture d'eau. Le piège est de convertir les dimensions en dm AVANT de multiplier, $80\times 40\times 15=48\,000$ dm$^{3}$, ce qui marche aussi, ou de ne convertir qu'une seule dimension, ce qui ne marche pas.

d) Un cube de $1$ m d'arête se découpe en cubes de $1$ dm : il en tient $10$ en longueur, $10$ en largeur et $10$ en hauteur, soit $10\times 10\times 10=1000$ petits cubes, pas $10$. L'élève a appliqué le facteur des LONGUEURS à un VOLUME. La règle : le facteur de conversion d'une longueur s'élève au carré pour une aire et au cube pour un volume. $2{,}5$ m$^{3}$, c'est $2500$ dm$^{3}$, cent fois plus que sa réponse.

a) Périmètre de la base : $3+4+5=12$ cm. Aire latérale : $12\times 10=120$ cm$^{2}$, c'est-à-dire trois rectangles de $10$ cm de haut et de largeurs $3$, $4$ et $5$. Aire d'une base : $\dfrac{3\times 4}{2}=6$ cm$^{2}$, les deux côtés de l'angle droit servent de base et de hauteur. Aire totale : $120+2\times 6=132$ cm$^{2}$. Volume : $6\times 10=60$ cm$^{3}$. La face de $5$ cm est la plus grande des trois faces latérales, et l'hypoténuse ne sert QU'au périmètre, jamais à l'aire du triangle.

b) Aire latérale : $2\pi rh=2\pi\times 4\times 9=72\pi\approx 226{,}2$ cm$^{2}$. Aire d'une base : $\pi r^{2}=16\pi$. Aire totale : $72\pi+2\times 16\pi=104\pi\approx 326{,}7$ cm$^{2}$. Volume : $\pi r^{2}h=16\pi\times 9=144\pi\approx 452{,}4$ cm$^{3}$. On garde $\pi$ jusqu'au bout et on n'arrondit qu'à la fin : arrondir $\pi$ à $3{,}14$ dès le début donne $452{,}16$, déjà faux à la deuxième décimale.

c) Si l'on coupe la surface latérale le long d'une génératrice et qu'on la déroule, on obtient un RECTANGLE : sa hauteur est $h$, et sa largeur est le tour du cylindre, c'est-à-dire la circonférence de la base, $2\pi r$. Son aire vaut donc $2\pi r\times h$. C'est exactement la formule « périmètre de la base fois hauteur » du prisme, le cercle remplaçant le polygone : une étiquette de boîte de conserve décollée est ce rectangle.

d) Hauteur doublée : $A_{lat}=2\pi r(2h)$ double, $V=\pi r^{2}(2h)$ double aussi, les deux formules contiennent $h$ à la puissance $1$. Rayon doublé : $A_{lat}=2\pi(2r)h$ double, mais $V=\pi(2r)^{2}h=4\pi r^{2}h$ est multiplié par $4$, parce que le rayon est au CARRÉ dans le volume. Le rayon compte donc « plus » que la hauteur pour la contenance : une boîte deux fois plus large contient quatre fois plus, une boîte deux fois plus haute seulement deux fois plus.

a) Périmètre de la base : $4\times 6=24$ cm. Aire latérale : $\dfrac{24\times 5}{2}=60$ cm$^{2}$, soit quatre triangles de base $6$ et de hauteur $5$, l'apothème étant la hauteur de chaque face. Aire totale : $60+6^{2}=96$ cm$^{2}$. Volume : $\dfrac{1}{3}\times 36\times 4=48$ cm$^{3}$. La hauteur $4$ ne sert QUE dans le volume, l'apothème $5$ QUE dans l'aire : les mélanger est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

b) Aire latérale : $\pi ra=\pi\times 3\times 5=15\pi\approx 47{,}1$ cm$^{2}$. Aire totale : $15\pi+\pi\times 9=24\pi\approx 75{,}4$ cm$^{2}$. Volume : $\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h=\dfrac{1}{3}\pi\times 9\times 4=12\pi\approx 37{,}7$ cm$^{3}$. Le développement de la surface latérale d'un cône est un secteur de disque de rayon $a$, et son aire vaut la moitié du périmètre de la base fois $a$, exactement comme pour la pyramide : $\dfrac{2\pi r\times a}{2}=\pi ra$.

c) La hauteur va du sommet au CENTRE de la base, à l'intérieur du solide : elle ne mesure aucune longueur de la surface. L'apothème va du sommet au BORD de la base en suivant la face : c'est lui qui est la hauteur du triangle latéral. Sur la figure, $h$, $r$ et $a$ forment un triangle rectangle dont $a$ est l'hypoténuse : $a$ est donc TOUJOURS plus grand que $h$. Un élève qui trouve une aire latérale avec $a<h$ s'est trompé de segment.

d) Le volume du cylindre est $\pi r^{2}h=36\pi$, celui du cône $12\pi$ : il faut exactement TROIS cônes d'eau pour remplir le cylindre, c'est le sens du tiers dans la formule. Pour l'aire latérale, non : cylindre $2\pi rh=24\pi$, cône $\pi ra=15\pi$, et le rapport vaut $\dfrac{15}{24}=0{,}625$, qui n'a rien à voir avec $\dfrac{1}{3}$ et qui dépend de la forme du cône. Le tiers est une propriété du volume seulement.

a) $A=4\pi\times 36=144\pi\approx 452$ cm$^{2}$. $V=\dfrac{4}{3}\pi\times 216=288\pi\approx 905$ cm$^{3}$. On remarque que $144\pi$ est aussi le volume du cylindre de l'exercice 2 : même nombre, unités différentes, cm$^{2}$ contre cm$^{3}$. Un nombre sans son unité ne dit pas s'il mesure une surface ou un volume.

b) Le diamètre est donné, PAS le rayon : $r=\dfrac{6{,}7}{2}=3{,}35$ cm. $V=\dfrac{4}{3}\pi\times 3{,}35^{3}\approx\dfrac{4}{3}\pi\times 37{,}6\approx 157{,}5$ cm$^{3}$, soit environ $157{,}5$ mL, un peu plus qu'un demi-verre. Utiliser $6{,}7$ comme rayon donne $1260$ cm$^{3}$, huit fois trop : la confusion diamètre-rayon est multipliée par $2^{3}=8$ dans un volume.

c) Aire de la sphère : $144\pi$. Aire du disque de même rayon : $\pi r^{2}=36\pi$. Rapport : $\dfrac{144\pi}{36\pi}=4$. La sphère a exactement QUATRE fois l'aire de son grand disque, c'est le $4$ de la formule $4\pi r^{2}$. Image utile : il faut quatre rondelles de la taille de l'équateur pour habiller la balle entière.

d) Rayon $2r$ : aire $4\pi(2r)^{2}=16\pi r^{2}$, multipliée par $4=2^{2}$ ; volume $\dfrac{4}{3}\pi(2r)^{3}=\dfrac{32}{3}\pi r^{3}$, multiplié par $8=2^{3}$. Doubler une longueur quadruple les aires et octuple les volumes, quel que soit le solide : c'est la règle des exposants du chapitre sur les puissances, appliquée aux dimensions. Elle reviendra au chapitre des solides semblables sous les noms de $k^{2}$ et $k^{3}$.

a) Aire totale $=2\pi rh+2\pi r^{2}$, donc $150\pi=2\pi\times 5\times h+2\pi\times 25=10\pi h+50\pi$. On retire $50\pi$ : $100\pi=10\pi h$, donc $h=10$ cm. Le piège est d'oublier les deux bases et d'écrire $150\pi=10\pi h$, ce qui donne $h=15$ : une aire TOTALE inclut les bases, il faut les retirer avant de diviser. Vérification : $2\pi\times 5\times 10+50\pi=150\pi$.

b) Un cube a six faces carrées : $6c^{2}=294$, donc $c^{2}=49$ et $c=7$ cm, la racine carrée POSITIVE de $49$. Volume : $7^{3}=343$ cm$^{3}$. Remonter une aire vers une longueur demande une racine carrée ; remonter un volume vers une longueur demandera une racine cubique. Vérification : $6\times 49=294$.

c) Aire latérale $=$ périmètre de la base $\times$ hauteur : $416=4\times 8\times h=32h$, donc $h=13$ cm. Aire totale : $416+2\times 64=544$ cm$^{2}$. Ici l'énoncé donnait l'aire LATÉRALE, il n'y avait rien à retirer, mais il faut ajouter les bases pour l'aire totale. Lire l'adjectif, latérale ou totale, est la première étape de tout exercice de mesure manquante.

d) $4\pi r^{2}=100\pi$, donc $r^{2}=25$ et $r=5$ cm. L'opération finale est une RACINE CARRÉE. L'équation $r^{2}=25$ a deux solutions, $5$ et $-5$, mais un rayon est une longueur, donc positive : on ne garde que $5$. Il faut l'écrire, c'est la justification qui distingue une réponse de géométrie d'une réponse d'algèbre. Vérification : $4\pi\times 25=100\pi$.

a) $\dfrac{4}{3}\pi r^{3}=288\pi$, donc $r^{3}=288\times\dfrac{3}{4}=216$, et $r=\sqrt[3]{216}=6$ cm, car $6^{3}=216$. La racine cubique est l'opération qui remonte d'un volume à une longueur ; elle n'a qu'une seule réponse réelle, ici positive, ce qui simplifie la justification par rapport à la racine carrée.

b) $\dfrac{1}{3}\pi r^{2}\times 12=100\pi$, soit $4\pi r^{2}=100\pi$, donc $r^{2}=25$ et $r=5$ cm. La hauteur est au degré $1$ et le rayon au degré $2$ : c'est une racine CARRÉE qui termine, pas cubique. On ne garde que la solution positive. Vérification : $\dfrac{1}{3}\pi\times 25\times 12=100\pi$.

c) $12\times 5\times h=540$, donc $60h=540$ et $h=9$ cm. Pas de racine ici : la hauteur est au degré $1$, une simple division suffit. C'est le cas le plus fréquent en pratique, celui d'un aquarium ou d'une boîte dont on connaît le fond et le volume.

d) $1$ L $=1000$ cm$^{3}$, et $h=2r$ : $V=\pi r^{2}\times 2r=2\pi r^{3}=1000$, donc $r^{3}=\dfrac{1000}{2\pi}=\dfrac{500}{\pi}\approx 159{,}15$, et $r=\sqrt[3]{159{,}15}\approx 5{,}42$ cm, soit $54$ mm au millimètre près, pour une hauteur de $108$ mm. C'est à peu près la forme d'une grande boîte de conserve, et ce n'est pas un hasard : cette proportion est celle qui minimise le métal, un résultat de secondaire 4. Vérification : $2\pi\times 5{,}42^{3}\approx 1000{,}4$ cm$^{3}$.

a) Les deux demi-sphères forment une boule complète de rayon $0{,}6$ m : $V_{boule}=\dfrac{4}{3}\pi\times 0{,}6^{3}=\dfrac{4}{3}\pi\times 0{,}216=0{,}288\pi\approx 0{,}905$ m$^{3}$. Cylindre : $V=\pi\times 0{,}36\times 3=1{,}08\pi\approx 3{,}393$ m$^{3}$. Total : $1{,}368\pi\approx 4{,}298$ m$^{3}$, soit environ $4298$ L. Décomposer, c'est reconnaître des solides dont on connaît la formule, puis additionner.

b) Surface : aire LATÉRALE du cylindre plus aire de la sphère complète. Cylindre : $2\pi rL=2\pi\times 0{,}6\times 3=3{,}6\pi\approx 11{,}31$ m$^{2}$. Sphère : $4\pi\times 0{,}36=1{,}44\pi\approx 4{,}52$ m$^{2}$. Total : $5{,}04\pi\approx 15{,}83$ m$^{2}$. On ne compte PAS les deux disques de base du cylindre : ils sont à l'INTÉRIEUR du réservoir, soudés aux demi-sphères, et personne ne les peint. Dans un solide décomposable, l'aire n'est pas la somme des aires totales : les faces de contact disparaissent.

c) $80\,\%$ de $4298$ L : $0{,}8\times 4298\approx 3438$ L. Cette marge de $20\,\%$ laisse place à la vapeur de propane et à la dilatation du liquide quand il fait chaud. La capacité utile d'un réservoir n'est donc pas son volume géométrique, et un problème réaliste le précise toujours.

d) Même capacité, $1{,}368\pi$ m$^{3}$. Nouvelle boule : $\dfrac{4}{3}\pi\times 0{,}125=\dfrac{1}{6}\pi$ m$^{3}$. Reste pour le cylindre : $1{,}368\pi-\dfrac{1}{6}\pi\approx 1{,}2013\pi$ m$^{3}$, et $\pi\times 0{,}25\times L=1{,}2013\pi$ donne $L\approx 4{,}81$ m. Un réservoir plus mince doit être nettement plus long, $4{,}81$ m contre $3$ m : le rayon est au carré dans le volume du cylindre, et passer de $0{,}6$ à $0{,}5$ divise l'aire de la section par $1{,}44$.

a) Grand cône : $\dfrac{1}{3}\pi\times 36\times 12=144\pi$ cm$^{3}$. Petit cône : $\dfrac{1}{3}\pi\times 4\times 4=\dfrac{16}{3}\pi$ cm$^{3}$. Pot : $144\pi-\dfrac{16}{3}\pi=\dfrac{416}{3}\pi\approx 435{,}6$ cm$^{3}$, soit environ $436$ mL. Un solide tronqué se calcule presque toujours ainsi : le solide entier moins le morceau enlevé, et il faut pour cela connaître les dimensions du morceau enlevé, pas seulement celles du pot.

b) Sur la figure, le bord du grand cône est une droite qui va du sommet à l'ouverture : le rayon est PROPORTIONNEL à la distance au sommet. Au sommet, rayon $0$ ; à $12$ cm, rayon $6$ ; donc à chaque centimètre de hauteur correspond $\dfrac{6}{12}=0{,}5$ cm de rayon, et à $4$ cm du sommet, le rayon vaut $4\times 0{,}5=2$ cm. La proportion $\dfrac{2}{4}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$ est respectée. C'est la variation directe du chapitre des fonctions, cachée dans un solide.

c) Le terreau monte jusqu'à $7$ cm du fond, c'est-à-dire à $4+7=11$ cm du sommet du grand cône, où le rayon vaut $11\times 0{,}5=5{,}5$ cm, ce que l'énoncé confirme. Volume du cône de $11$ cm : $\dfrac{1}{3}\pi\times 5{,}5^{2}\times 11=\dfrac{1}{3}\pi\times 30{,}25\times 11\approx 110{,}92\pi$. Terreau : $110{,}92\pi-\dfrac{16}{3}\pi\approx 105{,}58\pi\approx 331{,}7$ cm$^{3}$, environ $332$ mL. Le dernier centimètre, près de l'ouverture, représente à lui seul $436-332=104$ mL, presque un quart du pot : c'est là que le pot est le plus large.

d) Cylindre de rayon $6$ et de hauteur $8$ : $\pi\times 36\times 8=288\pi\approx 904{,}8$ cm$^{3}$. Écart : $288\pi-\dfrac{416}{3}\pi=\dfrac{448}{3}\pi\approx 469{,}1$ cm$^{3}$. En pourcentage du cylindre : $\dfrac{448/3}{288}\approx 0{,}519$, soit environ $52\,\%$. Le pot conique perd plus de la moitié du volume du cylindre qui l'enveloppe, mais il s'empile et se démoule, ce que le cylindre ne fait pas : la géométrie ne décide pas seule de la forme d'un objet.

a) Rayon : $\dfrac{4{,}5}{2}=2{,}25$ m. Hauteur d'eau : $1{,}32-0{,}12=1{,}20$ m. Volume : $\pi\times 2{,}25^{2}\times 1{,}20=\pi\times 5{,}0625\times 1{,}2=6{,}075\pi\approx 19{,}085$ m$^{3}$, soit environ $19\,085$ L. Deux pièges dans cette question : le diamètre donné pour le rayon, et la hauteur de la PISCINE donnée pour la hauteur d'EAU.

b) $\dfrac{19\,085}{40}\approx 477$ minutes, soit $7$ h $57$ min, presque huit heures. Le débit est une variation directe du temps : volume $=40\times t$, et on cherche $t$. Une piscine « moyenne » demande donc une nuit entière de remplissage, ce qu'un propriétaire découvre en général le jour de l'installation.

c) La toile couvre le fond, un disque, et la paroi, l'aire latérale du cylindre sur TOUTE sa hauteur, $1{,}32$ m, puisque la toile monte jusqu'au bord même si l'eau s'arrête avant. Fond : $\pi\times 2{,}25^{2}=5{,}0625\pi\approx 15{,}90$ m$^{2}$. Paroi : $2\pi\times 2{,}25\times 1{,}32=5{,}94\pi\approx 18{,}66$ m$^{2}$. Total : $11{,}0025\pi\approx 34{,}6$ m$^{2}$. Pas de couvercle : une piscine n'a qu'une base.

d) Même hauteur d'eau, rayons $2{,}25$ et $2{,}75$ m. Le volume est proportionnel à $r^{2}$ : rapport $\left(\dfrac{2{,}75}{2{,}25}\right)^{2}=\left(\dfrac{11}{9}\right)^{2}\approx 1{,}494$. Le remplissage dure donc environ $1{,}5$ fois plus longtemps, près de $12$ heures au lieu de $8$, pour un diamètre qui n'augmente que de $22\,\%$. C'est « beaucoup plus » : le rayon au carré amplifie chaque écart. Vérification : $\pi\times 2{,}75^{2}\times 1{,}2\approx 28{,}51$ m$^{3}$, et $\dfrac{28\,510}{40}\approx 713$ min, soit $11$ h $53$.