Exercices corrigés : la fonction de variation inverse (math, secondaire 3)

a) Table 1 ($y$ : $24$, $12$, $8$, $6$) : rapports $24$, $6$, $\dfrac{8}{3}$, $1{,}5$, variables ; produits $24$, $24$, $24$, $24$, constants. Table 2 ($y$ : $5$, $10$, $15$, $20$) : rapports $5$, $5$, $5$, $5$, constants ; produits $5$, $20$, $45$, $80$, variables. Table 3 ($y$ : $7$, $10$, $13$, $16$) : rapports $7$, $5$, $4{,}33$, $4$ ; produits $7$, $20$, $39$, $64$ ; rien de constant. Table 4 ($y$ : $36$, $18$, $12$, $9$) : produits $36$ partout.

b) Table 1 : variation INVERSE, produit constant. Table 2 : variation DIRECTE, rapport constant. Table 3 : NI l'une ni l'autre ; les différences de $y$ sont constantes ($3$), c'est une variation partielle du chapitre précédent, $y=3x+4$, qui n'est pas une proportionnalité. Table 4 : variation INVERSE. Le piège est la table 3 : $y$ augmente avec $x$ régulièrement, ce qui ressemble à une proportionnalité, mais $\dfrac{7}{1}\neq\dfrac{10}{2}$.

c) Table 1 : $y=\dfrac{24}{x}$. Table 2 : $y=5x$. Table 4 : $y=\dfrac{36}{x}$. Dans une variation inverse, la constante $k$ est le produit $xy$ de n'importe quel couple, comme dans une variation directe la constante $a$ est le rapport de n'importe quel couple. La table 3 a pour règle $y=3x+4$, mais ce n'est pas une proportionnalité.

d) Quand $x$ DOUBLE, $y$ est DIVISÉ PAR DEUX. Table 1 : de $x=1$ à $x=2$, $y$ passe de $24$ à $12$ ; de $2$ à $4$, de $12$ à $6$. Table 4 : de $x=1$ à $2$, $y$ passe de $36$ à $18$ ; de $2$ à $4$, de $18$ à $9$. Dans une variation directe, doubler $x$ double $y$ ; dans une variation inverse, doubler $x$ divise $y$ par deux. Si doubler $x$ fait autre chose, ce n'est ni l'un ni l'autre.

a) $k=4\times 15=60$, règle $y=\dfrac{60}{x}$. Pour $x=10$ : $y=\dfrac{60}{10}=6$. Pour $y=2{,}5$ : $\dfrac{60}{x}=2{,}5$, donc $x=\dfrac{60}{2{,}5}=24$. Dans les deux sens, c'est le même produit $60$ qu'on partage : $10\times 6=60$ et $24\times 2{,}5=60$.

b) $k=2\times 30=60$. Pour $x=5$ : $y=12$. Pour $y=4$ : $x=\dfrac{60}{4}=15$. Pour $x=0{,}5$ : $y=\dfrac{60}{0{,}5}=120$. Ce dernier cas surprend : diviser par un nombre plus petit que $1$ AGRANDIT, et plus $x$ s'approche de $0$, plus $y$ devient grand. C'est le comportement typique près de l'axe vertical.

c) $k=6\times 8=48$. $(12\,;4)$ : $12\times 4=48$, oui. $(3\,;15)$ : $3\times 15=45\neq 48$, non ; il faudrait $y=16$. $(-4\,;-12)$ : $(-4)\times(-12)=48$, oui : la règle $y=\dfrac{48}{x}$ accepte des $x$ négatifs, et le produit de deux négatifs est positif. La courbe a donc une seconde branche, dans le quadrant des deux coordonnées négatives, qu'on ne trace pas en contexte parce que les grandeurs y sont positives.

d) Pour $x=0$ : $\dfrac{60}{0}$ n'est PAS défini, on ne divise jamais par zéro ; la fonction n'a pas de valeur en $0$, et $0$ est exclu de son domaine. Pour $y=0$ : $\dfrac{60}{x}=0$ exigerait $60=0$, impossible ; la fonction n'a AUCUN zéro. Ces deux impossibilités se voient sur le graphique : la courbe ne touche ni l'axe vertical ni l'axe horizontal, elle s'en approche sans jamais les atteindre.

a) $y$ vaut $12$, $6$, $4$, $3$, $2$, $1$ : les six couples $(1\,;12)$, $(2\,;6)$, $(3\,;4)$, $(4\,;3)$, $(6\,;2)$, $(12\,;1)$ sont marqués sur la figure du corrigé, et la courbe les relie en descendant, d'abord vite puis de plus en plus lentement. On trace à main levée une courbe LISSE, jamais une ligne brisée : entre $x=1$ et $x=2$, la fonction passe par $(1{,}5\,;8)$, pas par le milieu du segment.

b) DÉCROISSANTE : quand $x$ augmente, $y$ diminue, et cela sur tout le domaine. Quand $x$ devient très grand, $y$ devient très petit : pour $x=1200$, $y=0{,}01$ ; la courbe s'aplatit vers l'axe horizontal. Quand $x$ s'approche de $0$, $y$ devient très grand : pour $x=0{,}01$, $y=1200$ ; la courbe monte le long de l'axe vertical. La décroissance n'est pas régulière : de $x=1$ à $x=2$, $y$ perd $6$ ; de $x=6$ à $x=12$, il ne perd que $1$.

c) Toucher l'axe horizontal, ce serait avoir $y=0$, donc $\dfrac{12}{x}=0$ : impossible, un quotient de numérateur $12$ n'est jamais nul. Toucher l'axe vertical, ce serait avoir $x=0$ : impossible, on ne divise pas par $0$. La courbe s'approche donc des deux axes autant qu'on veut sans les atteindre. Chaque axe est une ASYMPTOTE de la courbe, et c'est la différence la plus visible avec la droite du chapitre précédent, qui coupe les deux axes.

d) $x=y$ avec $xy=12$ donne $x^{2}=12$, donc $x=\sqrt{12}\approx 3{,}46$ : le point $(3{,}46\,;3{,}46)$, sur la diagonale $y=x$, entre $(3\,;4)$ et $(4\,;3)$. La courbe est SYMÉTRIQUE par rapport à cette diagonale : si $(a\,;b)$ est sur la courbe, $(b\,;a)$ aussi, puisque $ab=ba=12$. C'est visible sur la table, $(2\,;6)$ et $(6\,;2)$, $(3\,;4)$ et $(4\,;3)$. Autrement dit, la réciproque de la fonction $y=\dfrac{12}{x}$ est la fonction elle-même.

a) Courbe 1, la droite qui passe par l'origine : $y=2x$, variation DIRECTE, seule à passer par $(0\,;0)$. Courbe 2, la droite qui coupe l'axe vertical en $6$ : $y=x+6$, variation PARTIELLE, ordonnée à l'origine $6$. Courbe 3, celle qui descend et s'aplatit : $y=\dfrac{12}{x}$, variation INVERSE, la seule qui n'est pas une droite et la seule qui décroît. Deux droites et une courbe ; l'une des droites passe par l'origine et pas l'autre.

b) $2x=\dfrac{12}{x}$ donne $2x^{2}=12$, $x^{2}=6$, $x=\sqrt{6}\approx 2{,}45$ (la solution négative est hors du graphique). Alors $y=2\sqrt{6}\approx 4{,}90$. Sur le graphique, la droite $y=2x$ coupe bien l'hyperbole un peu avant $x=2{,}5$, à une hauteur voisine de $5$. Le croisement n'est pas sur un nœud du quadrillage, et c'est le calcul qui donne la valeur exacte.

c) Quand $x$ devient grand, les deux droites montent sans limite tandis que l'hyperbole descend vers $0$ ; et $y=2x$ finit par dépasser $y=x+6$, dès que $2x>x+6$, c'est-à-dire $x>6$. C'est donc $y=2x$ qui domine à long terme : le taux $2$ l'emporte sur l'avance de $6$. Quand $x$ est proche de $0$, c'est l'hyperbole qui est la plus grande : $\dfrac{12}{x}$ dépasse tout, par exemple $120$ en $x=0{,}1$, alors que les droites valent $0{,}2$ et $6{,}1$.

d) Non. Dans $y=\dfrac{12}{x}+2$, le produit $xy=12+2x$ n'est pas constant : $x=1$ donne $y=14$, produit $14$ ; $x=2$ donne $y=8$, produit $16$. Ce n'est plus une variation inverse, même si la courbe lui ressemble. Sa courbe serait la courbe 3 DÉCALÉE de $2$ vers le haut : elle s'approcherait de la hauteur $2$ au lieu de $0$ quand $x$ grandit, et sa réciproque ne serait plus elle-même. En secondaire 3, on ne garde le nom de variation inverse qu'à $y=\dfrac{k}{x}$, sans rien d'ajouté.

a) Domaine : $]0\,;+\infty[$, tous les réels strictement positifs ; $0$ est exclu parce qu'on ne divise pas par zéro. Image : $]0\,;+\infty[$ aussi, tous les réels strictement positifs : $y$ peut être aussi grand qu'on veut (quand $x$ est petit) et aussi proche de $0$ qu'on veut (quand $x$ est grand), mais jamais $0$ ni négatif. Les deux crochets sont OUVERTS en $0$, et c'est une différence essentielle avec la droite.

b) Zéro : AUCUN, $\dfrac{k}{x}$ n'est jamais nul. Ordonnée à l'origine : AUCUNE, la fonction n'est pas définie en $x=0$. Maximum : AUCUN, $y$ dépasse toute valeur donnée quand $x$ s'approche de $0$. Minimum : AUCUN, $y$ descend sous toute valeur positive donnée sans jamais l'atteindre. Quatre « aucun » qui surprennent : la fonction n'est ni bornée ni coupée par les axes. Répondre « le minimum est $0$ » est faux, puisque $0$ n'est jamais atteint.

c) Signe : POSITIVE sur tout le domaine, quotient de deux positifs. Variation : DÉCROISSANTE sur tout le domaine, plus $x$ grandit plus $y$ diminue. Il n'y a qu'un seul intervalle pour chaque propriété, ce qui est plus simple que la courbe de température du chapitre précédent, mais la décroissance n'est pas régulière : la courbe est raide près de l'axe vertical et presque plate loin de lui.

d) Le domaine devient $\mathbb{R}$ privé de $0$, en deux morceaux : $]-\infty\,;0[\,\cup\,]0\,;+\infty[$. Une seconde branche apparaît, pour $x<0$, où $y=\dfrac{k}{x}$ est NÉGATIF : l'image devient elle aussi $\mathbb{R}$ privé de $0$. La fonction est négative sur $]-\infty\,;0[$ et positive sur $]0\,;+\infty[$, décroissante sur CHAQUE branche mais pas sur tout son domaine, puisqu'en passant de $x=-1$ ($y=-k$) à $x=1$ ($y=k$), elle monte. Toujours aucun zéro et aucune ordonnée à l'origine. En contexte, on ne trace presque jamais cette seconde branche, parce qu'une vitesse ou un nombre de personnes ne sont pas négatifs.

a) Aire $=$ largeur $\times$ longueur, donc $xy=36$, c'est-à-dire $y=\dfrac{36}{x}$. Le produit des deux variables est constant : variation INVERSE, de constante $k=36$. Sur la figure, $2\times 18$, $4\times 9$ et $6\times 6$ valent tous $36$, et quand la largeur double de $2$ à $4$, la longueur passe de $18$ à $9$, la moitié.

b) Pour $x=1{,}5$ : $y=\dfrac{36}{1{,}5}=24$ cm, un rectangle très allongé. Pour $x=24$ : $y=\dfrac{36}{24}=1{,}5$ cm, le MÊME rectangle couché : c'est la symétrie de la courbe par rapport à la diagonale, vue à l'exercice 3, et ici elle a un sens géométrique évident. Largeur égale longueur : $x^{2}=36$, $x=6$, le carré de $6$ cm de côté, le troisième rectangle de la figure.

c) Non, le périmètre change : $P=2(x+y)=2\left(x+\dfrac{36}{x}\right)$. Pour $2\times 18$ : $P=40$ cm. Pour $4\times 9$ : $P=26$ cm. Pour $6\times 6$ : $P=24$ cm. Pour $1{,}5\times 24$ : $P=51$ cm. Même aire, périmètres très différents : plus le rectangle est allongé, plus il faut de clôture pour la même surface. Le périmètre n'est ni une variation directe ni une variation inverse de $x$ : c'est la somme d'une variation directe, $2x$, et d'une variation inverse, $\dfrac{72}{x}$.

d) Le carré : $24$ cm, contre $26$ pour $4\times 9$, $40$ pour $2\times 18$ et $51$ pour $1{,}5\times 24$. Plus on s'éloigne de $x=6$ dans un sens ou dans l'autre, plus le périmètre grandit : $x=3$ donne $P=2(3+12)=30$ et $x=12$ donne le même $30$, par symétrie. Le carré est le rectangle le plus « économique » pour une aire donnée ; la démonstration attendra le secondaire 4, mais les nombres le montrent déjà.

a) Distance $=$ vitesse $\times$ durée, donc $vt=240$ et $t=\dfrac{240}{v}$ : variation inverse de constante $240$. Pour $40$ km/h : $6$ h. Pour $60$ : $4$ h. Pour $80$ : $3$ h. Pour $120$ : $2$ h. Ces quatre points sont marqués sur le graphique, et la courbe descend de moins en moins vite.

b) De $80$ à $100$ km/h : $t$ passe de $3$ h à $2{,}4$ h, gain de $0{,}6$ h, soit $36$ minutes. De $100$ à $120$ : $t$ passe de $2{,}4$ h à $2$ h, gain de $0{,}4$ h, soit $24$ minutes. Les deux augmentations de vitesse sont égales, $20$ km/h, mais les gains de temps ne le sont pas : le second est plus petit. Rouler plus vite rapporte de moins en moins, c'est ce que dit l'aplatissement de la courbe, et c'est un argument concret contre les excès de vitesse.

c) $2$ h $30$, c'est $2{,}5$ h : $v=\dfrac{240}{2{,}5}=96$ km/h. En $1$ h : $v=240$ km/h, impossible sur route. La règle inverse s'obtient en échangeant les rôles : $v=\dfrac{240}{t}$, la même formule, parce que la réciproque d'une variation inverse est elle-même. Attention à la conversion : $2$ h $30$ n'est pas $2{,}3$ h.

d) Le début est juste : doubler $v$ divise $t$ par $2$, on gagne la moitié du temps ; tripler $v$ divise $t$ par $3$, il reste le tiers du temps, donc on gagne bien les deux tiers. Mais le raisonnement « par soustraction » ne se prolonge pas : multiplier $v$ par $4$ divise $t$ par $4$, il reste le quart, on gagne les trois quarts, et non « les trois tiers ». Ce qui est constant dans une variation inverse, c'est la DIVISION : $v\times n$ donne $\dfrac{t}{n}$. De $40$ à $160$ km/h, $t$ passe de $6$ h à $1{,}5$ h, le quart.

a) $c=\dfrac{1200}{n}$ : le produit $n\times c$ vaut toujours $1200$, le prix du chalet. Variation INVERSE. Pour $4$ personnes : $300$ dollars chacun. Pour $6$ : $200$. Pour $8$ : $150$. Pour $12$ : $100$. Quand le groupe double de $4$ à $8$, la part est divisée par deux, de $300$ à $150$.

b) Au plus $75$ dollars : $\dfrac{1200}{n}\le 75$, donc $n\ge\dfrac{1200}{75}=16$ personnes. Exactement $90$ dollars : $n=\dfrac{1200}{90}\approx 13{,}3$, ce qui n'est pas un entier : aucun nombre de personnes ne donne exactement $90$ dollars. Avec $13$ personnes, la part vaut $92{,}31$ dollars ; avec $14$, $85{,}71$. Le domaine réel de la fonction est l'ensemble des entiers positifs, et la courbe lisse n'est qu'un guide : seuls ses points d'abscisse entière ont un sens.