Exercices corrigés : les fonctions : variables, propriétés et réciproque (math, secondaire 3)

Essence : indépendante, le nombre de litres (L) ; dépendante, le coût (dollars) : c'est le nombre de litres qui décide du coût. Bouilloire : indépendante, le temps (s ou min) ; dépendante, la température (degrés). Freinage : indépendante, la vitesse (km/h) ; dépendante, la distance de freinage (m). Lecture : indépendante, le temps de lecture (min) ; dépendante, le nombre de pages. Dans chaque cas, on se demande « qu'est-ce qui fait varier quoi ? » : la cause va sur l'axe horizontal, l'effet sur l'axe vertical.

Domaine : $t\in[0\,;4]$ minutes, de l'allumage à l'arrêt. Image : la température va de $18$ à $100$ degrés et ne peut pas dépasser $100$, l'eau bout ; donc $T\in[18\,;100]$. Le domaine se lit sur l'horizontale, l'image sur la verticale, et les deux sont des INTERVALLES bornés par la réalité de la situation, pas par le calcul : rien n'interdit mathématiquement $t=-3$ ou $T=250$, c'est la bouilloire qui l'interdit.

Le prix dépend de la date : c'est en changeant la date d'achat qu'on fait changer le prix, pas l'inverse. La date est donc la variable indépendante et le prix la dépendante. La question a un sens parce que, dans une fonction, les deux variables n'ont pas le même rôle : l'une est choisie, l'autre est subie. Inverser les rôles donne un autre objet, la RÉCIPROQUE, qui sera l'affaire des exercices 6 et 7, et qui n'est pas toujours une fonction.

L'essence : c'est le nombre de litres, pas le temps. Le freinage : c'est la vitesse. Dans ces deux cas, le temps n'apparaît même pas. Le temps est souvent la variable indépendante parce qu'il s'écoule sans qu'on le contrôle, mais la règle générale est plus simple et plus sûre : la variable indépendante est celle dont l'autre DÉPEND, quelle que soit sa nature.

Graphique 1 : n'importe quelle verticale coupe la ligne brisée en UN seul point, donc c'est une fonction, chaque $x$ a un seul $y$. Graphique 2 : la verticale $x=8{,}2$ coupe le cercle en DEUX points, un en haut et un en bas ; au même $x$ correspondent deux $y$, donc ce n'est PAS une fonction. Le cercle est le contre-exemple à retenir : c'est une courbe parfaitement régulière, et pourtant pas une fonction.

Table A : les trois $x$ sont différents, chacun a un seul $y$, même si ce $y$ est toujours $4$ : c'est une fonction, la fonction constante. Table B : $x=1$ apparaît DEUX fois, avec $y=2$ et $y=5$ : pas une fonction. Table C : $x=-2$ et $x=2$ ont la même image $4$, mais chacun n'en a qu'une : c'est une fonction. Le test sur une table est immédiat : un $x$ répété avec des $y$ différents, et c'est fini.

« Chaque élève a une date de naissance » : oui, c'est une fonction, un élève n'a qu'une seule date de naissance, et deux élèves peuvent partager la même, ce qui est permis. « Chaque date correspond à un élève » : non en général, une date peut correspondre à deux élèves nés le même jour (deux $y$ pour un $x$) et la plupart des dates ne correspondent à personne. La relation dans un sens est une fonction, dans l'autre sens non : c'est exactement la question de la réciproque.

Parce que la définition est ASYMÉTRIQUE : elle impose une contrainte sur les $y$ d'un même $x$, une seule valeur, et aucune sur les $x$ d'un même $y$. La raison est pratique : une fonction sert à PRÉDIRE $y$ quand on connaît $x$, et une prédiction doit être unique ; savoir que « la température à midi vaut $5$ ou $12$ degrés » ne sert à rien. En revanche, que la température vaille $5$ degrés à $9$ h ET à $22$ h ne gêne personne.

Le DOMAINE se lit sur l'axe horizontal : la courbe existe de $h=0$ à $h=24$, donc le domaine est $[0\,;24]$ heures. L'IMAGE se lit sur l'axe vertical : la courbe descend au plus bas à $-6$ (à $3$ h) et monte au plus haut à $8$ (à $15$ h), donc l'image est $[-6\,;8]$ degrés. Ce sont deux intervalles, l'un de $x$, l'autre de $y$, et on les écrit avec des crochets fermés parce que les extrémités sont atteintes.

L'ordonnée à l'origine est la valeur de $y$ quand $x=0$ : la courbe part de $(0\,;-4)$, donc elle vaut $-4$. Interprétation : à minuit, au début de la journée, il faisait $-4$ degrés. C'est un $y$, une température, pas une heure.

Les ZÉROS sont les valeurs de $x$ pour lesquelles $y=0$, c'est-à-dire les heures où la courbe traverse l'axe horizontal. Elle le traverse en montant à $h=9$ et en descendant à $h=23$ : sur le dernier segment, de $(21\,;2)$ à $(24\,;-1)$, la température perd $1$ degré par heure et atteint $0$ deux heures après $21$ h. Les zéros sont $9$ et $23$. Interprétation : il a fait exactement $0$ degré à $9$ h et à $23$ h. Ce sont des $x$, des heures, pas des températures.

Il a lu l'image sur l'axe HORIZONTAL : $[0\,;24]$ est le domaine, l'ensemble des heures. L'image est l'ensemble des températures, $[-6\,;8]$, et se lit sur l'axe vertical. C'est la confusion centrale du chapitre : chaque propriété concerne UN axe. Domaine, zéros et intervalles de variation parlent de $x$ ; image, ordonnée à l'origine et extremums parlent de $y$. Un bon réflexe : écrire l'unité, « heures » ou « degrés », à côté de chaque réponse, l'erreur d'axe saute alors aux yeux.

La fonction est POSITIVE quand la courbe est AU-DESSUS de l'axe horizontal, c'est-à-dire entre les deux zéros : sur $]9\,;23[$, et positive ou nulle sur $[9\,;23]$. Elle est NÉGATIVE quand la courbe est en dessous : sur $[0\,;9[$ et sur $]23\,;24]$. Les intervalles de signe sont des intervalles de $x$ : on répond avec des heures, et les zéros sont les frontières.

La fonction est CROISSANTE quand la courbe monte en allant vers la droite : sur $[3\,;15]$, de $3$ h à $15$ h. Elle est DÉCROISSANTE quand la courbe descend : sur $[0\,;3]$ et sur $[15\,;24]$. Là encore ce sont des intervalles de $x$. Les frontières sont les heures des extremums, $3$ h et $15$ h, et on écrit les crochets fermés aux frontières, par convention, parce qu'en un point la fonction ne monte ni ne descend.

Le MAXIMUM est la plus grande valeur de $y$ : $8$ degrés, atteint à $15$ h. Le MINIMUM est la plus petite : $-6$ degrés, atteint à $3$ h. Attention à la formulation : le maximum EST $8$, c'est un $y$ ; il est ATTEINT en $15$, un $x$. Répondre « le maximum est $15$ » est la même erreur d'axe qu'à l'exercice 3, et elle coûte la question.

Non. Le SIGNE dit où est la courbe, au-dessus ou en dessous de l'axe ; la VARIATION dit dans quel sens elle va, vers le haut ou vers le bas. De $3$ h à $9$ h, la température passe de $-6$ à $0$ : elle est négative tout le temps, et elle MONTE tout le temps. Une fonction négative et croissante, c'est simplement une courbe sous l'axe qui remonte vers lui. Les deux propriétés répondent à deux questions différentes et on les lit séparément.

De $t=0$ à $t=30$, $N$ passe de $0$ à $450$ en augmentant à chaque colonne : croissante. De $30$ à $90$, $N$ reste à $450$ : CONSTANTE, la salle est pleine et le film a commencé. De $90$ à $120$, $N$ tombe de $450$ à $0$ : décroissante. Trois phases, et la phase constante est celle qu'on oublie : une fonction peut ne pas varier du tout sur un intervalle.

Le maximum est $450$ spectateurs, atteint sur tout l'intervalle $[30\,;90]$, pas en un seul instant : un maximum peut être atteint sur un plateau. La table ne permet pas d'être SÛR : entre deux colonnes, par exemple entre $t=20$ et $t=30$, la fonction aurait pu monter à $460$ puis redescendre sans qu'on le voie. Une table n'est qu'un échantillon ; en pratique, on suppose que la fonction se comporte « raisonnablement » entre les valeurs, et on le dit.

Oui : $N=0$ pour $t=0$ et pour $t=120$. Le premier zéro est l'ordonnée à l'origine, salle vide à l'ouverture ; le second est la fin, salle vide après la sortie. Ici les zéros sont aussi les instants où la fonction atteint son minimum, $0$, ce qui n'a rien d'obligatoire : dans le graphique de température, le minimum $-6$ n'était pas un zéro.

Domaine : $[0\,;120]$ minutes, les valeurs de $t$ de la table, en supposant la fonction définie entre elles. Image : $[0\,;450]$ spectateurs, du minimum au maximum. Remarque : $N$ compte des personnes, donc en toute rigueur l'image ne contient que des entiers de $0$ à $450$ ; on écrit l'intervalle par commodité, en gardant en tête que la variable est discrète. Ce détail compte dès qu'on interprète : « $N=112{,}5$ » n'a pas de sens.

Réciproque : $(1\,;0)$, $(3\,;1)$, $(5\,;2)$, $(7\,;3)$. Sur le graphique du corrigé, les points pleins sont ceux de $f$ et les points vides ceux de la réciproque ; chaque point vide est le reflet d'un point plein par rapport à la droite $y=x$, en pointillé. Le point $(0\,;1)$ et son reflet $(1\,;0)$ sont à la même distance de la diagonale, de part et d'autre.

Oui : dans la table de la réciproque, les $x$ sont $1$, $3$, $5$, $7$, tous différents, chacun avec un seul $y$. Son domaine est $\{1\,;3\,;5\,;7\}$ et son image $\{0\,;1\,;2\,;3\}$. La réciproque de $f$ est une fonction parce que $f$ ne donnait jamais deux fois le même $y$ : chaque $y$ n'avait qu'un $x$, donc après échange, chaque nouveau $x$ n'a qu'un $y$.

Réciproque de $g$ : $(4\,;-2)$, $(1\,;-1)$, $(0\,;0)$, $(1\,;1)$, $(4\,;2)$. Le $x=4$ apparaît deux fois, avec $y=-2$ et $y=2$ ; le $x=1$ aussi. Ce n'est PAS une fonction. La raison est dans $g$ : elle donnait la même image $4$ à $-2$ et à $2$. Dès qu'une fonction répète un $y$, sa réciproque répète un $x$, et le test de la verticale échoue. C'est le cas de toute fonction dont le graphique « redescend » après être monté.

Ils sont ÉCHANGÉS. Le domaine de $f$, $\{0\,;1\,;2\,;3\}$, est l'image de sa réciproque ; l'image de $f$, $\{1\,;3\,;5\,;7\}$, est le domaine de sa réciproque. C'est la conséquence directe de l'échange des coordonnées : les anciens $x$ deviennent les nouveaux $y$ et inversement. En pratique, cela permet de trouver le domaine d'une réciproque sans la calculer : il suffit de lire l'image de la fonction de départ.

$C(20)=0{,}5\times 20+2=12$ dollars. $C(45)=0{,}5\times 45+2=24{,}5$ dollars. La fonction va du temps vers le coût : on choisit une durée, on obtient un prix.

On isole $t$ dans $C=0{,}5t+2$ : $C-2=0{,}5t$, donc $t=\dfrac{C-2}{0{,}5}=2(C-2)=2C-4$. La réciproque est $t=2C-4$ : on retire d'abord les frais fixes, puis on divise par le tarif à la minute. Avec $14$ dollars : $t=2\times 14-4=24$ minutes. Vérification : $0{,}5\times 24+2=14$. La réciproque défait les opérations de la fonction DANS L'ORDRE INVERSE : la fonction multiplie par $0{,}5$ puis ajoute $2$ ; la réciproque retire $2$ puis divise par $0{,}5$.

$t=20$ donne $C=12$. Puis la réciproque : $2\times 12-4=20$. On retombe sur $20$ : appliquer la fonction puis sa réciproque ramène au point de départ. C'est la propriété qui définit la réciproque, et c'est aussi le test : si on ne retombe pas sur la valeur de départ, la règle de la réciproque est fausse. Par exemple, la règle fautive $t=2C-2$ (oubli de multiplier le $-2$) donnerait $22$ au lieu de $20$.

Domaine de $C$ : $t\in[0\,;120]$ minutes. Image : de $C(0)=2$ à $C(120)=62$, donc $[2\,;62]$ dollars. Pour la réciproque, tout s'échange : domaine $[2\,;62]$ dollars, image $[0\,;120]$ minutes. On ne peut donc pas demander « combien de minutes pour $1$ dollar » : $1$ n'est pas dans le domaine de la réciproque, et la règle donnerait $t=-2$, un temps négatif, sans sens. Le domaine de la réciproque est ce qui empêche de poser une question absurde à une formule qui, elle, répond toujours.

Domaine : $[0\,;40]$ secondes, la durée du tour. Image : $[2\,;30]$ mètres, la hauteur va du quai à $2$ m jusqu'au sommet à $30$ m. Ordonnée à l'origine : $h(0)=2$, le wagon part du quai, à $2$ m du sol. Zéros : AUCUN, la courbe ne touche jamais l'axe horizontal, la hauteur ne vaut jamais $0$ : le rail est toujours au-dessus du sol. Une fonction peut très bien n'avoir aucun zéro, et le dire fait partie de la réponse.

Le wagon MONTE quand la fonction est croissante : sur $[0\,;10]$, $[20\,;25]$ et $[30\,;35]$. Il DESCEND sur $[15\,;20]$, $[25\,;30]$ et $[35\,;40]$. Il reste à hauteur constante sur $[10\,;15]$, le plateau du sommet, où la fonction est constante. Sept intervalles en tout, qui se lisent de gauche à droite ; la première montée, longue et lente, est le remorquage, et tout le reste est de la chute et de la remontée par élan.

Maximum : $30$ m, atteint sur TOUT l'intervalle $[10\,;15]$, pas en un seul instant : le wagon roule à plat au sommet pendant $5$ secondes. Minimum : $2$ m, atteint en $t=0$ et en $t=40$, au départ et à l'arrivée. Un extremum peut donc être atteint plusieurs fois, ou sur tout un intervalle ; « le maximum est atteint en $10$ » serait incomplet.

Oui, la fonction est positive sur tout le domaine, puisque $h\ge 2>0$ partout : c'est la même information que l'absence de zéro. La réciproque n'est PAS une fonction : la hauteur $10$ m, par exemple, est atteinte plusieurs fois, vers $t\approx 2{,}9$ s pendant la montée, vers $t\approx 19$ s pendant la première descente, vers $t\approx 22$ s, vers $t\approx 28$ s, vers $t\approx 32{,}5$ s et vers $t\approx 36$ s. Un même $y$ a plusieurs $x$, donc après échange un même $x$ aurait plusieurs $y$. Physiquement : on ne peut pas retrouver l'instant à partir de la hauteur, parce que le wagon repasse à la même hauteur plusieurs fois par tour.

Décroissante : à chaque colonne, $d$ augmente et $E$ diminue, la voiture brûle de l'essence en roulant. Le zéro est la distance pour laquelle $E=0$ : $800$ km. Il signifie que le réservoir est vide après $800$ km, c'est l'autonomie de la voiture. Ici le zéro est aussi le minimum et la fin du domaine : au-delà, la voiture ne roule plus et la fonction n'existe pas.

La voiture consomme $6$ L par $100$ km, soit $0{,}06$ L par km. Essence restante : $E=48-0{,}06d$. Vérification : $d=200$ donne $48-12=36$ L, comme la table ; $d=500$ donne $48-30=18$ L, comme la table. Le coefficient $-0{,}06$ est le taux de variation, négatif parce que la fonction décroît, et $48$ est l'ordonnée à l'origine, le réservoir plein au départ.

On isole $d$ : $0{,}06d=48-E$, donc $d=\dfrac{48-E}{0{,}06}$. Avec $E=15$ : $d=\dfrac{33}{0{,}06}=550$ km. Vérification par la fonction : $E(550)=48-33=15$. La réciproque répond à « combien de km ai-je faits ? » quand on lit la jauge, ce qui est la question que se pose le conducteur ; la fonction répondait à « combien me reste-t-il ? » quand on lit le compteur.

Fonction : domaine $[0\,;800]$ km, image $[0\,;48]$ L. Réciproque : domaine $[0\,;48]$ L, image $[0\,;800]$ km, échangés. La réciproque est une fonction parce que $E$ est STRICTEMENT décroissante : elle ne prend jamais deux fois la même valeur, chaque niveau d'essence correspond à une seule distance. La montagne russe, elle, montait et redescendait, et repassait par les mêmes hauteurs. Règle générale : une fonction qui ne fait que monter, ou que descendre, sur tout son domaine a une réciproque qui est une fonction.