Exercices corrigés : les nombres réels, les racines et les ensembles (math, secondaire 3)

a) RATIONNELS : $0{,}75$ (écriture décimale finie), $-3$ (un entier est une fraction de dénominateur $1$), $\sqrt{16}=4$, $\dfrac{1}{3}=0{,}333\ldots$ (périodique, période $3$), $2{,}171717\ldots$ (périodique, période $17$), $\sqrt[3]{27}=3$. IRRATIONNELS : $\sqrt{20}$, parce que $20$ n'est pas un carré parfait ($4^{2}=16$ et $5^{2}=25$), $\pi$, $\sqrt[3]{10}$, parce que $10$ n'est pas un cube parfait ($2^{3}=8$ et $3^{3}=27$), et $0{,}101001000\ldots$. Le piège de la question est $\sqrt{16}$ et $\sqrt[3]{27}$ : un radical n'est pas irrationnel par nature, il l'est seulement quand le nombre sous la racine n'est pas un carré (ou un cube) parfait. On calcule AVANT de classer.

b) Les entiers sont $-3$, $\sqrt{16}=4$ et $\sqrt[3]{27}=3$. Les entiers naturels, c'est-à-dire les entiers positifs ou nul, sont $4$ et $3$ ; $-3$ est un entier relatif mais pas un naturel. L'ordre des familles est emboîté : tout naturel est un entier, tout entier est un rationnel, tout rationnel est un réel, et jamais l'inverse.

c) $0{,}75=\dfrac{75}{100}=\dfrac{3}{4}$ après division du haut et du bas par $25$. Pour $x=2{,}171717\ldots$, la période a DEUX chiffres, donc on multiplie par $100$ : $100x=217{,}171717\ldots$. En soustrayant, $100x-x=217{,}1717\ldots-2{,}1717\ldots=215$, donc $99x=215$ et $x=\dfrac{215}{99}$. La fraction est irréductible : $215=5\times 43$ et $99=9\times 11$, aucun facteur commun. Vérification : $215\div 99=2{,}1717\ldots$

d) Une écriture décimale infinie n'est rationnelle que si elle finit par se RÉPÉTER, avec un bloc de longueur fixe. Ici les blocs de zéros s'allongent d'une unité à chaque fois : $1$ zéro, puis $2$, puis $3$, puis $4$. Aucun bloc ne peut se répéter à l'identique, puisque le suivant est toujours plus long. Le nombre n'est donc pas périodique, et il est irrationnel, même s'il est « simple » à décrire. Ce que la famille regarde, ce n'est pas si le nombre est facile à écrire, c'est s'il existe une fraction d'entiers qui lui soit égale.

a) $\sqrt{49}=7$ car $7^{2}=49$. $\sqrt{0{,}25}=0{,}5$ car $0{,}5^{2}=0{,}25$ ; le piège classique est de répondre $0{,}05$, dont le carré vaut $0{,}0025$. $\sqrt{\dfrac{9}{64}}=\dfrac{3}{8}$ : on prend la racine du haut et du bas séparément. $\sqrt[3]{-8}=-2$ car $(-2)^{3}=-8$. $\sqrt[3]{\dfrac{64}{125}}=\dfrac{4}{5}$ car $4^{3}=64$ et $5^{3}=125$. $\sqrt[3]{0{,}001}=0{,}1$ car $0{,}1^{3}=0{,}001$ : trois décimales sous la racine cubique donnent UNE décimale, comme deux décimales sous la racine carrée en donnent une.

b) $7^{2}=49$ et $8^{2}=64$, donc $49<50<64$ et $7<\sqrt{50}<8$. Pour la racine cubique, $4^{3}=64$ et $5^{3}=125$, donc $64<100<125$ et $4<\sqrt[3]{100}<5$. La méthode est toujours la même : on cherche les deux carrés (ou cubes) parfaits qui encadrent le nombre, et les racines de ces carrés donnent l'encadrement. C'est la seule façon de placer une racine sur la droite numérique sans calculatrice.

c) On teste les dixièmes entre $7$ et $8$ : $7{,}1^{2}=50{,}41$, déjà trop grand. Donc $7^{2}=49<50<50{,}41=7{,}1^{2}$, ce qui donne $7{,}0<\sqrt{50}<7{,}1$. On peut pousser au centième : $7{,}07^{2}=49{,}9849$ et $7{,}08^{2}=50{,}1264$, donc $7{,}07<\sqrt{50}<7{,}08$. La calculatrice confirme $\sqrt{50}\approx 7{,}0711$. Remarque utile : $\sqrt{50}$ est très proche de $7$ parce que $50$ est très proche de $49$.

d) Un carré n'est JAMAIS négatif : $3^{2}=9$ et $(-3)^{2}=9$ aussi. Aucun nombre réel n'a donc $-9$ pour carré, et $\sqrt{-9}$ n'a pas de sens dans les réels. Un cube, lui, garde le signe de son nombre : $(-2)^{3}=-8$. Il existe donc bien un nombre dont le cube vaut $-9$, compris entre $-3$ et $-2$ puisque $(-3)^{3}=-27$ et $(-2)^{3}=-8$ ; la calculatrice donne $\sqrt[3]{-9}\approx -2{,}080$. La règle à retenir : racine carrée d'un négatif, impossible ; racine cubique d'un négatif, toujours possible et négative.

a) $A$ est l'ensemble des entiers NATURELS strictement plus grands que $2$ et au plus égaux à $7$ : $A=\{3\,;4\,;5\,;6\,;7\}$. Le $2$ est exclu par le signe $<$, le $7$ est inclus par le signe $\le$. $B$ est l'ensemble des entiers RELATIFS de $-3$ inclus à $2$ exclu : $B=\{-3\,;-2\,;-1\,;0\,;1\}$. Le $0$ est un entier, on l'oublie une fois sur deux ; le $2$ est exclu. $A$ a $5$ éléments et $B$ aussi.

b) « $-2\le x<5$ » s'écrit $[-2\,;5[$ : crochet fermé en $-2$ parce que $-2$ est atteint, crochet ouvert en $5$ parce que $5$ est exclu. « Strictement supérieurs à $3$ » s'écrit $]3\,;+\infty[$ : le crochet côté infini est TOUJOURS ouvert, l'infini n'est pas un nombre qu'on atteint. « Au plus égaux à $1$ » signifie $x\le 1$, donc $]-\infty\,;1]$. Le mot « au plus » inclut la borne, le mot « moins de » l'exclut : c'est du vocabulaire, et il rapporte des points.

c) $5$ n'appartient PAS à $[-2\,;5[$, le crochet l'exclut. $4{,}999$ y appartient, et $4{,}999999$ aussi : on peut s'approcher de $5$ autant qu'on veut sans l'atteindre. $-2$ y appartient, le crochet fermé l'inclut. Quant au nombre d'éléments, il est INFINI : entre deux réels distincts il y a toujours une infinité de réels. La question piège est là : un intervalle de réels n'est pas une liste, contrairement à l'ensemble $A$ de la question a), qui n'a que $5$ éléments parce qu'il ne contient que des entiers.

d) « Au moins $18$ » donne $t\ge 18$, borne incluse. « Moins de $24$ » donne $t<24$, borne exclue. Donc $t\in[18\,;24[$. Une température de $24{,}0$ degrés exactement est refusée, une de $23{,}9$ est acceptée, une de $18{,}0$ est acceptée. Écrire $[18\,;24]$ serait accepter $24$ degrés, ce que l'énoncé interdit ; c'est une erreur d'un demi-point par borne dans une évaluation, et une erreur qui change la réponse dans un problème.

a) $A=\{3\,;6\,;9\,;12\,;15\,;18\}$ et $B=\{2\,;4\,;6\,;8\,;10\,;12\,;14\,;16\,;18\,;20\}$. L'INTERSECTION est ce qui est dans les deux à la fois, les multiples de $3$ qui sont pairs, c'est-à-dire les multiples de $6$ : $A\cap B=\{6\,;12\,;18\}$. L'UNION est ce qui est dans au moins un des deux : $A\cup B=\{2\,;3\,;4\,;6\,;8\,;9\,;10\,;12\,;14\,;15\,;16\,;18\,;20\}$. Un élément qui est dans les deux ne s'écrit qu'UNE fois dans l'union : $6$, $12$ et $18$ n'apparaissent pas deux fois.

b) La région centrale, commune aux deux disques, reçoit $6$, $12$ et $18$. La partie de $A$ hors de $B$ reçoit les multiples de $3$ impairs : $3$, $9$ et $15$. La partie de $B$ hors de $A$ reçoit les pairs non multiples de $3$ : $2$, $4$, $8$, $10$, $14$, $16$, $20$. Enfin, hors des deux disques mais dans le rectangle, on place ce qui n'est ni pair ni multiple de $3$ : $1$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$. Le rectangle n'est pas décoratif, il représente l'univers $U$ et les nombres qu'on y met comptent dans le total : $3+3+7+7=20$, tous placés.

c) $|A|=6$, $|B|=10$, $|A\cap B|=3$ et $|A\cup B|=13$. Vérification : $6+10-3=13$. On SOUSTRAIT l'intersection parce qu'en additionnant $|A|$ et $|B|$ on a compté $6$, $12$ et $18$ deux fois, une fois dans chaque ensemble. Cette formule est la seule chose à retenir de l'exercice : sans elle, on répond $16$ à « combien de nombres sont pairs ou multiples de $3$ », et $16$ est faux.

d) Le complément de $A\cup B$ dans $U$ est l'ensemble des nombres de $U$ qui ne sont NI dans $A$ NI dans $B$ : les entiers de $1$ à $20$ qui ne sont ni pairs ni multiples de $3$. En extension : $\{1\,;5\,;7\,;11\,;13\,;17\,;19\}$, soit $7$ éléments, et $20-13=7$ confirme. On le note $(A\cup B)'$ ou $\overline{A\cup B}$. Attention au piège de lecture : « ni l'un ni l'autre » est le complément de l'UNION, pas de l'intersection ; le complément de l'intersection, lui, contient tout ce qui manque à AU MOINS un des deux, soit $17$ nombres.

a) $(2\sqrt{3})^{2}=2^{2}\times(\sqrt{3})^{2}=4\times 3=12$ ; le piège est d'écrire $2\times 3=6$ en oubliant d'élever le $2$ au carré. $(\sqrt{11})^{2}=11$. $3{,}4^{2}=11{,}56$. $\left(\dfrac{10}{3}\right)^{2}=\dfrac{100}{9}\approx 11{,}11$. On a donc, dans l'ordre des carrés, $11<11{,}11<11{,}56<12$, et comme tous ces nombres sont positifs, le même ordre vaut pour les nombres eux-mêmes : $\sqrt{11}<\dfrac{10}{3}<3{,}4<2\sqrt{3}$.

b) $3^{3}=27$ et $4^{3}=64$, donc $3<\sqrt[3]{40}<4$. Au dixième : $3{,}4^{3}=39{,}304$ et $3{,}5^{3}=42{,}875$, donc $3{,}4<\sqrt[3]{40}<3{,}5$. La calculatrice donne $\sqrt[3]{40}\approx 3{,}420$. Il faut cuber, pas élever au carré : comparer une racine cubique par les carrés ne dit rien.

c) Il reste à placer $\pi\approx 3{,}1416$ et $\sqrt[3]{40}\approx 3{,}42$. Les valeurs approchées des quatre premiers : $\sqrt{11}\approx 3{,}317$, $\dfrac{10}{3}\approx 3{,}333$, $3{,}4$ et $2\sqrt{3}\approx 3{,}464$. Ordre croissant : $\pi<\sqrt{11}<\dfrac{10}{3}<3{,}4<\sqrt[3]{40}<2\sqrt{3}$. Chaque comparaison est justifiée soit par les carrés (question a), soit par un encadrement (question b), soit par une valeur connue ($\pi<3{,}15<3{,}3<\sqrt{11}$ puisque $3{,}3^{2}=10{,}89<11$). Ce qu'il faut voir : $\sqrt[3]{40}$ est bien entre $3{,}4$ et $2\sqrt{3}$, car $3{,}4<3{,}42<3{,}464$, et cet écart de quelques centièmes ne se devine pas, il se calcule.

d) Sur la droite graduée de $3$ à $3{,}6$, on place dans l'ordre : $\pi$ un peu après $3{,}1$, $\sqrt{11}$ un peu après $3{,}3$, $\dfrac{10}{3}$ juste à côté, un tiers de graduation plus loin, $3{,}4$ sur sa graduation, $\sqrt[3]{40}$ juste après $3{,}4$, et $2\sqrt{3}$ entre $3{,}4$ et $3{,}5$, aux deux tiers. La figure du corrigé montre ce placement. La leçon de l'exercice : deux nombres qui semblent « proches » sur la droite peuvent être de familles différentes, $\dfrac{10}{3}$ est rationnel et $\sqrt{11}$ ne l'est pas, et rien sur la droite ne le montre.

a) Soit $x=0{,}999\ldots$ La période est $9$, un seul chiffre, donc on multiplie par $10$ : $10x=9{,}999\ldots$ On soustrait : $10x-x=9{,}999\ldots-0{,}999\ldots=9$, donc $9x=9$ et $x=1$. Ce n'est pas une approximation, c'est une égalité : $0{,}999\ldots$ et $1$ sont deux écritures du MÊME nombre, comme $0{,}5$ et $\dfrac{1}{2}$. Autre preuve : $\dfrac{1}{3}=0{,}333\ldots$, et en multipliant par $3$ des deux côtés, $1=0{,}999\ldots$

b) Soit $x=1{,}2333\ldots$ Le chiffre $2$ n'est pas dans la période, il faut d'abord le passer avant la virgule : $10x=12{,}333\ldots$ Puis on décale d'une période : $100x=123{,}333\ldots$ On soustrait ces DEUX égalités, pour que les parties périodiques s'annulent : $100x-10x=123{,}333\ldots-12{,}333\ldots=111$, donc $90x=111$ et $x=\dfrac{111}{90}=\dfrac{37}{30}$ après division par $3$. Vérification : $37\div 30=1{,}2333\ldots$ Le piège est de soustraire $x$ au lieu de $10x$ : $100x-x=122{,}1$ n'a plus de sens simple, parce que le $2$ non périodique ne s'annule pas.

c) Soit $x=0{,}\overline{142857}$, période de SIX chiffres, donc $10^{6}x=142857{,}142857\ldots$ et $10^{6}x-x=142857$, d'où $999999x=142857$ et $x=\dfrac{142857}{999999}$. Pour réduire, on remarque que $999999=7\times 142857$, donc $x=\dfrac{1}{7}$. C'est l'écriture décimale de $\dfrac{1}{7}$, dont la période compte $6$ chiffres, le maximum possible pour un dénominateur $7$ : en divisant par $7$, les restes possibles sont $1$ à $6$, et dès qu'un reste revient, les chiffres se répètent. C'est la raison profonde pour laquelle TOUTE fraction a une écriture décimale finie ou périodique.

d) Non. Connaître la règle de construction ne rend pas un nombre rationnel : ce qu'il faut, c'est une PÉRIODE, un bloc fixe qui se répète indéfiniment. Ici, les entiers écrits à la suite sont de plus en plus longs ($10$, puis $100$, puis $1000$ apparaîtront), et l'écriture contient des suites de zéros de longueur croissante, ce qu'aucune période fixe ne peut produire. Le nombre est irrationnel, exactement comme $0{,}101001000\ldots$ de l'exercice 1. « Avoir une règle » et « avoir une période » sont deux choses différentes, et seule la seconde définit un rationnel.

a) La zone commune commence là où le second intervalle commence, en $1$ EXCLU (crochet ouvert de $J$), et finit là où le premier finit, en $4$ INCLUS (crochet fermé de $I$) : $I\cap J=\,]1\,;4]$. L'union va du début du premier, $-3$ inclus, à la fin du second, $7$ exclu : $I\cup J=[-3\,;7[$. Sur une borne commune, c'est toujours le crochet le plus RESTRICTIF qui gagne pour l'intersection et le plus large pour l'union.

b) Les deux intervalles se suivent exactement : le premier s'arrête juste avant $2$, le second commence à $2$ inclus. Leur union couvre tout jusqu'à $5$ sans trou : $]-\infty\,;5]$. Leur intersection est VIDE, notée $\varnothing$ : $2$ n'est pas dans le premier, et aucun nombre plus petit que $2$ n'est dans le second. C'est le cas typique d'un problème où « moins de $2$ » et « à partir de $2$ » se partagent la droite sans se recouvrir.

c) Le complément de $]0\,;3]$ est tout ce qui n'y est pas : les réels au plus égaux à $0$, et les réels strictement plus grands que $3$. Donc $\overline{]0\,;3]}=\,]-\infty\,;0]\;\cup\;]3\,;+\infty[$. Les crochets s'INVERSENT : $0$ était exclu de l'intervalle, il est donc inclus dans le complément ; $3$ était inclus, il est donc exclu. Oublier de retourner les crochets est l'erreur la plus courante de tout le chapitre, et elle coûte un point par borne.

d) Non : $[-3\,;1]$ contient $1$ mais $]1\,;4]$ ne le contient pas, et aucun nombre plus grand que $1$ n'est dans le premier. Leur intersection est vide. Pourtant leur union n'a pas de trou : $[-3\,;1]\cup\,]1\,;4]=[-3\,;4]$, parce que $1$ est fourni par le premier intervalle. Deux intervalles peuvent donc être disjoints et former quand même un seul intervalle en s'unissant : c'est ce qui se passe chaque fois qu'on coupe une droite en deux morceaux au niveau d'un point.

a) Le côté $c$ vérifie $c^{2}=200$, donc $c=\sqrt{200}$ mètres. Or $200$ n'est pas un carré parfait : $14^{2}=196$ et $15^{2}=225$. Il n'existe donc aucun entier dont le carré vaut $200$, et on peut montrer qu'aucune fraction non plus ($200=2^{3}\times 5^{2}$, et l'exposant $3$ du facteur $2$ est impair, ce qui interdit un carré). Le côté est un nombre IRRATIONNEL : $\sqrt{200}=\sqrt{100\times 2}=10\sqrt{2}$. Un terrain « de $200$ mètres carrés » a donc un côté qu'aucun ruban à mesurer ne donnera exactement, ce qui n'empêche personne de le construire.

b) Sans calculatrice : $14^{2}=196<200<225=15^{2}$, donc $14<c<15$. Au dixième : $14{,}1^{2}=198{,}81$ et $14{,}2^{2}=201{,}64$, donc $14{,}1<c<14{,}2$. Au centième : $14{,}14^{2}=199{,}9396$ et $14{,}15^{2}=200{,}2225$, donc $14{,}14<c<14{,}15$. La calculatrice donne $\sqrt{200}\approx 14{,}1421$ m, ce qui confirme l'encadrement : le côté mesure $14$ m et $14$ cm, à moins d'un centimètre près.