Exercices corrigés : statistique : échantillonnage, diagrammes et mesures (math, secondaire 3)

a) Population : les $900$ élèves de l'école, tous, y compris ceux qu'on n'interrogera pas. Aléatoire simple : on numérote les $900$ élèves et on tire $90$ numéros au sort. Systématique : sur la liste alphabétique, on tire un point de départ au hasard entre $1$ et $10$, puis on prend un élève sur $10$. Stratifié : on tire au sort, dans chaque niveau, un nombre d'élèves proportionnel à l'effectif du niveau, voir b). Par grappes : on tire au sort $3$ classes de $30$ élèves parmi toutes les classes, et on interroge les $90$ élèves de ces $3$ classes.

b) L'échantillon représente $\dfrac{90}{900}=10\,\%$ de la population, donc on prend $10\,\%$ de chaque strate : $36$ élèves de secondaire 1 et 2, $30$ de secondaire 3, $24$ de secondaire 4 et 5. Total $36+30+24=90$. La proportion de chaque groupe dans l'échantillon est celle de la population : $40\,\%$, $33\,\%$, $27\,\%$ dans les deux cas.

c) La plus simple : par grappes, trois classes et c'est fini, ou systématique si l'on a une liste. La plus fidèle à la composition : stratifié, parce qu'il GARANTIT que chaque niveau est représenté dans la bonne proportion, alors qu'un tirage aléatoire simple de $90$ pourrait, par malchance, ne contenir que $20$ élèves de secondaire 4 et 5. L'aléatoire simple est fidèle en moyenne, le stratifié l'est à chaque fois.

d) Trois raisons : le coût et le temps, $900$ questionnaires à distribuer, remplir, saisir ; la qualité, un sondage court et bien mené sur $90$ élèves peut valoir mieux qu'un sondage bâclé sur $900$ ; et souvent l'impossibilité, quand la population est très grande ou dispersée. Un échantillon bien construit de $90$ personnes donne une image fidèle de $900$, et c'est le principe même de la statistique : décrire beaucoup en observant peu.

a) Réponses VOLONTAIRES : ce sont les gens les plus mécontents qui prennent la peine d'appeler, et les auditeurs de cette station ne représentent pas la ville. Le $82\,\%$ décrit les gens qui ont appelé, pas la population. Un sondage par appels spontanés mesure l'intensité de la colère d'une minorité, jamais l'opinion de la majorité.

b) Échantillon NON REPRÉSENTATIF : les élèves qui sortent du gymnase font, par construction, plus d'activité physique que les autres ; les sédentaires ne sont pas là. Le lieu du sondage sélectionne les répondants. Il faudrait interroger au hasard dans toute l'école, ou stratifier par niveau et par sexe, mais surtout ne pas choisir un lieu lié à la question posée.

c) La première question est plutôt neutre et la plupart des gens répondront oui : qui est contre « plus sain » ? La seconde est ORIENTÉE dans l'autre sens, elle nomme une perte concrète, les frites, et suscite le non. Les deux questions portent sur le même sujet et donneront des résultats opposés : elles mesurent la formulation, pas l'opinion. Une question de sondage doit être neutre, courte, et ne pas contenir de mot chargé.

d) Taille TROP PETITE : $6$ personnes ne permettent aucune conclusion sur $900$, une seule réponse différente ferait passer le résultat de $100\,\%$ à $83\,\%$. Et échantillon NON REPRÉSENTATIF : ses amis lui ressemblent, ils partagent souvent ses goûts, c'est même pour cela qu'ils sont amis. Le second biais est le plus grave : même $60$ amis ne corrigeraient pas le problème, alors que $60$ élèves tirés au sort le feraient.

a) Effectifs : $[0\,;10[$ : $5$, $8$, $9$, $6$, soit $4$ élèves. $[10\,;20[$ : $12$, $17$, $15$, $19$, $11$, $14$, $18$, $13$, soit $8$. $[20\,;30[$ : $22$, $28$, $24$, $27$, $21$, $25$, soit $6$. $[30\,;40[$ : $35$, $33$, $38$, $30$, soit $4$. $[40\,;50[$ : $41$, $46$, soit $2$. Total $4+8+6+4+2=24$. Fréquences relatives : $\dfrac{4}{24}\approx 16{,}7\,\%$, $33{,}3\,\%$, $25\,\%$, $16{,}7\,\%$, $8{,}3\,\%$. Cumulées : $4$, $12$, $18$, $22$, $24$. Compter deux fois le total évite la donnée oubliée, l'erreur la plus fréquente de l'exercice.

b) La classe modale est celle du plus grand effectif : $[10\,;20[$ avec $8$ élèves. Moins de $20$ minutes : les deux premières classes, $4+8=12$ élèves, soit $\dfrac{12}{24}=50\,\%$. La fréquence cumulée de la classe $[10\,;20[$ donne directement ce $12$.

c) Avec $24$ données, la médiane est entre la $12$e et la $13$e valeur rangées. La fréquence cumulée atteint $12$ à la fin de la classe $[10\,;20[$ et $18$ à la fin de $[20\,;30[$ : la $12$e valeur est la dernière de $[10\,;20[$ et la $13$e la première de $[20\,;30[$. La médiane est donc à la FRONTIÈRE des deux classes, autour de $20$ minutes. Sur les données brutes rangées, la $12$e est $19$ et la $13$e est $21$, médiane $20$ : le tableau ne donnait que la classe, les données donnent la valeur.

d) $[20\,;30[$ contient les valeurs de $20$ INCLUS à $30$ EXCLU : le crochet tourné vers l'extérieur exclut $30$. La valeur $30$ appartient à la classe suivante, $[30\,;40[$. Chaque valeur doit tomber dans UNE SEULE classe, et c'est la convention des crochets qui l'assure : sans elle, $30$ serait compté deux fois ou aucune. La même convention vaut pour tous les intervalles vus au chapitre des ensembles.

a) Moyen de transport : des catégories qui forment un tout, diagramme CIRCULAIRE, ou à bandes si l'on compare des effectifs. Température par mois : une évolution dans le temps, LIGNE BRISÉE. Taille des élèves : une variable continue, regroupée en classes, HISTOGRAMME. Médailles de cinq pays : des catégories qu'on compare, diagramme à BANDES. Le circulaire ne convient pas aux médailles, parce que les cinq pays ne forment pas un « tout » qui ait un sens.

b) L'axe horizontal porte les minutes, de $0$ à $50$, découpé en cinq classes de largeur $10$ ; l'axe vertical porte les effectifs. On dresse cinq rectangles accolés de hauteurs $4$, $8$, $6$, $4$ et $2$, comme sur la figure du corrigé. La classe modale, $[10\,;20[$, est le rectangle le plus haut ; la distribution monte puis redescend, avec une queue vers les longs trajets.

c) Dans un histogramme, l'axe horizontal est une DROITE NUMÉRIQUE continue : la classe $[10\,;20[$ finit exactement là où $[20\,;30[$ commence, il n'y a pas de trou entre $19{,}9$ et $20$. Dans un diagramme à bandes, les catégories (soccer, hockey, natation) n'ont pas d'ordre ni de valeur entre elles ; les espaces disent justement qu'on ne peut pas être « entre » deux catégories.

d) Une fréquentation qui change au fil du temps : ligne brisée, mois par mois. La manipulation à refuser est un axe vertical qui ne part pas de zéro : entre $300$ et $320$ repas par jour, une hausse de $7\,\%$ devient visuellement une envolée si l'axe commence à $295$. Un graphique honnête part de zéro, ou signale clairement la coupure. Le diagramme ne change pas les nombres, mais il change ce que le lecteur croit voir.

a) Marche $30\,\%$ : $0{,}30\times 360=108^{\circ}$. Autobus $40\,\%$ : $144^{\circ}$. Voiture $20\,\%$ : $72^{\circ}$. Vélo $10\,\%$ : $36^{\circ}$. Total : $108+144+72+36=360^{\circ}$. Le contrôle du total est obligatoire : un diagramme dont les angles ne totalisent pas $360^{\circ}$ a une catégorie oubliée ou un calcul faux.

b) Autobus : $40\,\%$ de $900=360$ élèves. Vélo : $10\,\%$ de $900=90$ élèves. Le diagramme ne montre que des proportions ; pour retrouver un effectif, il faut connaître le total, ici $900$, qui doit toujours figurer dans le titre ou la légende.

c) Les mêmes angles signifient les mêmes POURCENTAGES : $30\,\%$ de marcheurs dans les deux écoles. Mais pas les mêmes EFFECTIFS : $270$ marcheurs dans la première ($30\,\%$ de $900$), $90$ dans la seconde ($30\,\%$ de $300$). Deux diagrammes circulaires identiques peuvent décrire des populations de tailles très différentes ; c'est la limite du circulaire, qui efface le total, et la raison pour laquelle on ne compare pas des effectifs avec des secteurs.

d) $\dfrac{54}{360}=0{,}15$, soit $15\,\%$. Effectif : $0{,}15\times 1200=180$ personnes. Dans l'autre sens, pour passer d'un angle mesuré au pourcentage, on divise par $3{,}6$ : $54\div 3{,}6=15$.

a) Somme : $72+85+64+85+91+78+85+60=620$, moyenne $\dfrac{620}{8}=77{,}5$. Données rangées : $60$, $64$, $72$, $78$, $85$, $85$, $85$, $91$ ; avec $8$ valeurs, la médiane est la moyenne de la $4$e et de la $5$e, $\dfrac{78+85}{2}=81{,}5$. Mode : $85$, trois fois. Trois nombres différents pour le même élève : la moyenne est tirée vers le bas par le $60$ et le $64$, la médiane ignore ces valeurs extrêmes, le mode dit ce qui revient le plus.

b) Moyenne pondérée : $\dfrac{6\times 60+10\times 70+8\times 80+6\times 90}{6+10+8+6}=\dfrac{360+700+640+540}{30}=\dfrac{2240}{30}\approx 74{,}7$. La formule $\dfrac{60+70+80+90}{4}$ donne à chaque note le même poids, alors que $70$ a été obtenu par $10$ élèves et $90$ par $6$ seulement : elle calcule la moyenne des QUATRE NOTES POSSIBLES, pas celle des $30$ élèves. Ici l'écart est petit, $75$ contre $74{,}7$, parce que la distribution est presque symétrique ; il serait grand avec $25$ élèves à $60$ et $1$ à $90$.

c) Milieux de classes : $5$, $15$, $25$, $35$, $45$ ; effectifs $4$, $8$, $6$, $4$, $2$. Moyenne estimée : $\dfrac{4\times 5+8\times 15+6\times 25+4\times 35+2\times 45}{24}=\dfrac{20+120+150+140+90}{24}=\dfrac{520}{24}\approx 21{,}7$ minutes. Moyenne exacte des $24$ données : somme $517$, moyenne $\approx 21{,}5$ minutes. L'estimation par les classes est très proche, à $0{,}2$ minute près : on remplace chaque valeur par le milieu de sa classe, et les erreurs se compensent en grande partie.

d) Quand une ou deux valeurs extrêmes tirent la moyenne loin de la majorité. Exemple : les salaires annuels de $9$ employés à $40\,000$ dollars et d'un patron à $400\,000$ : moyenne $\dfrac{9\times 40\,000+400\,000}{10}=76\,000$, médiane $40\,000$. Personne ne gagne $76\,000$ dans cette entreprise : la médiane, $40\,000$, décrit ce que gagne un employé typique, la moyenne décrit ce que la masse salariale donnerait si on la partageait. Les deux sont justes, elles ne répondent pas à la même question.

a) Mois $7$ : $72$ milliers de dollars. Mois $2$ : $38$. Maximum : $80$, au mois $12$. Minimum : $38$, au mois $2$. Étendue : $80-38=42$ milliers de dollars. L'étendue ne regarde que deux mois sur douze ; elle dit que les ventes ont varié du simple au double environ, sans rien dire des dix autres mois.

b) Somme des douze valeurs : $42+38+51+47+63+58+72+69+55+49+61+80=685$, moyenne $\dfrac{685}{12}\approx 57{,}1$. Rangées : $38$, $42$, $47$, $49$, $51$, $55$, $58$, $61$, $63$, $69$, $72$, $80$ ; médiane $\dfrac{55+58}{2}=56{,}5$. Le mois le plus proche de la moyenne est le mois $6$, avec $58$. Moyenne et médiane sont proches : la distribution n'a pas de valeur aberrante.

c) Non. La ligne brisée MONTE et DESCEND : elle baisse du mois $1$ au mois $2$, du $3$ au $4$, du $5$ au $6$, du $7$ au $9$, du $9$ au $10$. Ce qui est vrai, c'est que la TENDANCE générale est à la hausse, la seconde moitié de l'année est au-dessus de la première, et le dernier mois est le meilleur. « Augmenté toute l'année » et « tendance à la hausse » ne sont pas la même affirmation ; le graphique permet de le voir d'un coup d'œil, un tableau de douze nombres, moins bien.

d) Avec $60$ au mois $12$ : le maximum devient $72$, l'étendue $72-38=34$ au lieu de $42$, une baisse de $8$. La moyenne : la somme perd $20$, elle passe de $685$ à $665$, moyenne $\approx 55{,}4$ au lieu de $57{,}1$, une baisse de $1{,}7$. L'étendue change beaucoup plus, parce qu'elle dépendait entièrement de cette valeur extrême ; la moyenne répartit le changement sur douze mois. C'est la faiblesse de l'étendue : une seule donnée peut la faire varier de $20\,\%$.

a) Les élèves qui vont à la bibliothèque le midi sont probablement ceux qui travaillent le plus : le lieu est lié à la question. L'échantillon est biaisé vers les gros travailleurs, et la moyenne obtenue sera trop élevée. En plus, les $120$ premiers ne sont pas tirés au sort : ceux qui ont un cours loin de la bibliothèque n'ont aucune chance d'être choisis. Deux biais de sélection à la fois.

b) $120$ sur $900$, c'est $\dfrac{120}{900}=\dfrac{2}{15}\approx 13{,}3\,\%$. Par groupe : $360\times\dfrac{2}{15}=48$ élèves de secondaire 1 et 2, $300\times\dfrac{2}{15}=40$ de secondaire 3, $240\times\dfrac{2}{15}=32$ de secondaire 4 et 5. Total $48+40+32=120$. Dans chaque groupe, les élèves sont tirés au sort dans la liste : la stratification décide des effectifs, le hasard décide des personnes.

c) Moins d'une heure : $30+54=84$ élèves, soit $\dfrac{84}{120}=70\,\%$. Milieux de classes : $15$, $45$, $75$, $105$. Moyenne estimée : $\dfrac{30\times 15+54\times 45+27\times 75+9\times 105}{120}=\dfrac{450+2430+2025+945}{120}=\dfrac{5850}{120}=48{,}75$ minutes. L'estimation par classes, $48{,}75$, est très proche de la moyenne exacte, $48$, calculée sur les données individuelles. Le tableau a perdu le détail des données mais presque rien de la moyenne.

d) Oui, avec deux précautions. D'abord, $48$ minutes est la moyenne de l'ÉCHANTILLON ; celle de la population est probablement voisine, mais on ne la connaît pas exactement, et une phrase honnête dit « environ $48$ minutes » ou « entre $45$ et $50$ ». Ensuite, la valeur dépend de la qualité de l'échantillon : stratifié et tiré au sort, on peut lui faire confiance ; recruté à la bibliothèque, on ne pourrait pas. La statistique donne une estimation et une confiance, jamais une certitude, et c'est déjà beaucoup plus que ce que donne l'opinion d'un seul élève.

a) A : somme $685$, moyenne $\dfrac{685}{12}\approx 57{,}1$. B : somme $55+57+52+58+54+56+59+53+55+58+54+74=685$, moyenne $57{,}1$ aussi. Les deux magasins ont vendu EXACTEMENT le même montant total dans l'année, et la même moyenne mensuelle. Si l'on ne regardait que la moyenne, ils seraient indiscernables.

b) A : étendue $80-38=42$, médiane $56{,}5$ (calculée à l'exercice 7). B : maximum $74$, minimum $52$, étendue $22$ ; rangées, $52$, $53$, $54$, $54$, $55$, $55$, $56$, $57$, $58$, $58$, $59$, $74$, médiane $\dfrac{55+56}{2}=55{,}5$. B est beaucoup plus RÉGULIER : ses ventes restent entre $52$ et $59$ onze mois sur douze, et l'étendue de $22$ ne vient que du mois $12$. Sans ce mois, l'étendue de B tomberait à $7$.

c) Le graphique montre deux profils opposés. A oscille fortement, avec une tendance à la hausse et un pic final ; B est presque plat, une ligne stable autour de $55$, avec un seul sursaut au mois $12$, sans doute le temps des fêtes. Même moyenne, même total, mais A a des mois faibles à $38$ et $42$ qui posent des problèmes de trésorerie, et des mois forts qui demandent plus de personnel. Les mesures de tendance centrale ne voient rien de tout cela : il faut une mesure de dispersion, ou le graphique.

d) Pour A : la tendance est à la hausse, la seconde moitié de l'année est nettement meilleure, et le dernier mois bat tous les records ; A « progresse ». Pour B : la stabilité, aucune mauvaise surprise, des ventes prévisibles, ce qui vaut beaucoup pour gérer les stocks et les horaires. Une seule année ne permet pas de trancher sur le total, puisqu'il est identique ; ce qui trancherait, c'est la mesure de DISPERSION si la direction valorise la régularité (B gagne), ou la comparaison de la fin d'année avec le début si elle valorise la croissance (A gagne). La question « quel est le meilleur » n'a de réponse qu'une fois le critère choisi, et la statistique sert justement à rendre ce choix explicite.