Exercices corrigés : nuage de points et corrélation (math CST, secondaire 4)

a) Le lien est NÉGATIF : quand le nombre d'heures de sommeil augmente, le temps de réaction DIMINUE. Le nuage descend de la gauche vers la droite, ce qui est la signature visuelle d'une corrélation négative. En contexte, cela se dit en une phrase : les élèves qui dorment davantage réagissent plus vite.

b) Oui, la forme est linéaire : les points se répartissent le long d'une droite imaginaire, sans courbure ni changement de direction. Le test visuel est simple : on imagine un trait droit passant au milieu du nuage, et l'on regarde si les points s'en écartent au hasard, sans dessiner d'arc. C'est le cas ici.

c) L'intensité paraît FORTE : les points sont serrés autour de leur tendance, et l'on pourrait presque relier les extrémités par une règle. Aucun point ne s'éloigne franchement des autres. Un nuage d'intensité moyenne aurait la même orientation mais une dispersion nettement plus large autour de la droite.

d) Le signe est NÉGATIF, puisque le lien est décroissant. La valeur absolue est proche de $1$, vu la faible dispersion : on estimerait le coefficient autour de $-0{,}95$. Toute réponse comprise entre $-0{,}90$ et $-1$ serait acceptable ici : l'exercice demande d'APPRÉCIER le coefficient, pas de le calculer exactement, et une estimation raisonnée vaut tous les points.

e) Le SIGNE donne le SENS du lien : positif si les deux variables augmentent ensemble, négatif si l'une augmente pendant que l'autre diminue. La VALEUR ABSOLUE donne l'INTENSITÉ : elle vaut $1$ pour des points parfaitement alignés, et $0$ quand aucune tendance n'apparaît. Les deux informations sont indépendantes : un coefficient de $-0{,}95$ décrit un lien aussi fort qu'un coefficient de $+0{,}95$, simplement dans l'autre sens. C'est pourquoi on ne dit jamais qu'une corrélation négative est « moins bonne » qu'une positive.

a) Le signe est positif, donc plus on étudie, plus la note est élevée. La valeur absolue, $0{,}86$, se situe dans la zone FORTE : les points sont bien groupés autour d'une droite montante. Rédaction attendue : « il existe une corrélation linéaire positive et forte entre le temps d'étude et la note ». Les trois mots comptent, et le mot LINÉAIRE aussi.

b) Le signe est négatif, donc plus le véhicule est vieux, moins il se revend cher. La valeur absolue, $0{,}41$, tombe dans la zone FAIBLE : la tendance existe mais le nuage est très dispersé, ce qui signifie que d'autres facteurs pèsent, le kilométrage ou l'état, par exemple. Un coefficient faible ne dit pas que le lien est absent, il dit qu'il explique peu.

c) Avec $r=0{,}05$, la corrélation est NULLE en pratique : il n'y a aucune tendance linéaire entre la pointure et le revenu. Le nuage serait un amas sans direction. C'est le résultat attendu, et il est parfaitement légitime de conclure qu'aucun lien linéaire n'apparaît entre ces deux variables.

d) NON. Le coefficient mesure un lien STATISTIQUE, jamais une cause. Ici, les deux variables augmentent ensemble parce qu'elles dépendent toutes deux d'une troisième, la chaleur et l'ensoleillement : c'est ce qu'on appelle une variable cachée. La formulation correcte est « les ventes de crème glacée et les coups de soleil varient ensemble », et surtout pas « l'un cause l'autre ». Aucune valeur de $r$, si proche de $1$ soit-elle, ne changera cela : la causalité ne se démontre pas avec un nuage de points.

e) NON, et c'est le second piège du coefficient. $r$ ne mesure que la corrélation LINÉAIRE : il est aveugle à toute autre forme de lien. Une parabole parfaite, où les points montent puis redescendent, donne un coefficient proche de zéro alors que le lien est total et parfaitement prévisible. La conclusion correcte est donc : « il n'y a pas de lien LINÉAIRE, mais le nuage montre un lien évident, de forme courbée ». C'est la raison pour laquelle on REGARDE toujours le nuage avant de commenter un coefficient : le nombre seul ne distingue pas l'absence de lien de la présence d'un lien non linéaire.

a) Le premier groupe réunit les couples d'abscisses $0$, $20$, $40$ et $60$. Moyenne des abscisses : $\dfrac{0+20+40+60}{4}=\dfrac{120}{4}=30$. Moyenne des ordonnées : $\dfrac{2{,}1+2{,}8+3{,}2+3{,}9}{4}=\dfrac{12}{4}=3{,}0$. Le premier point moyen est donc $P_{1}(30\,;3{,}0)$.

b) Le second groupe réunit $80$, $100$, $120$ et $140$. Moyenne des abscisses : $\dfrac{80+100+120+140}{4}=\dfrac{440}{4}=110$. Moyenne des ordonnées : $\dfrac{4{,}3+4{,}9+5{,}2+5{,}8}{4}=\dfrac{20{,}2}{4}=5{,}05$. Le second point moyen est $P_{2}(110\,;5{,}05)$. Attention à ne pas mélanger les deux moyennes : on fait la moyenne des $x$ ENTRE EUX et celle des $y$ entre eux, jamais la moyenne d'un couple.

c) La pente est celle de la droite qui joint les deux points moyens : $m=\dfrac{5{,}05-3{,}0}{110-30}=\dfrac{2{,}05}{80}=0{,}025625$, soit $0{,}0256$ au dix-millième. Interprétation : chaque kilogramme d'engrais par hectare rapporte environ $0{,}026$ tonne de rendement supplémentaire, c'est-à-dire $26$ kilogrammes.

d) On substitue le premier point moyen dans $y=0{,}025625x+b$ : $3{,}0=0{,}025625\times 30+b=0{,}76875+b$, donc $b=2{,}23125$. L'équation est $y=0{,}025625x+2{,}23125$, qu'on arrondit à $y\approx 0{,}0256x+2{,}23$ pour la présentation. Interprétation de $b$ : sans aucun engrais, le rendement serait d'environ $2{,}23$ tonnes par hectare, ce que la première donnée du tableau, $2{,}1$, confirme à peu près.

e) Le point moyen global a pour abscisse $\dfrac{560}{8}=70$ et pour ordonnée $\dfrac{32{,}2}{8}=4{,}025$. On remplace : $0{,}025625\times 70+2{,}23125=1{,}79375+2{,}23125=4{,}025$. La droite passe donc exactement par ce point. Ce n'est pas un hasard : la droite de Mayer passe TOUJOURS par le point moyen global, parce que celui-ci est le milieu des deux points moyens partiels quand les groupes ont le même effectif. C'est la vérification gratuite du chapitre, et elle contrôle d'un coup la pente et l'ordonnée à l'origine.

a) $y=0{,}0256\times 50+2{,}23=1{,}28+2{,}23=3{,}51$ t/ha. La valeur $50$ se situe entre $0$ et $140$, donc à l'intérieur de la plage observée : c'est une INTERPOLATION.

b) $y=0{,}0256\times 200+2{,}23=5{,}12+2{,}23=7{,}35$ t/ha. La valeur $200$ dépasse la plus grande abscisse observée, $140$ : c'est une EXTRAPOLATION.

c) L'interpolation de la question a) est nettement plus fiable. Entre $0$ et $140$, la droite a été ajustée sur des données réelles et l'on a constaté que le nuage était bien linéaire sur cet intervalle. Au-delà, rien ne garantit que la tendance se poursuive : on prolonge une droite dans une zone où personne n'a mesuré quoi que ce soit. En agronomie, on sait d'ailleurs qu'un excès d'engrais finit par NUIRE au rendement, donc le vrai nuage se courberait et redescendrait.

d) On connaît $y$ et l'on cherche $x$ : c'est une équation à résoudre. $4{,}5=0{,}0256x+2{,}23$, donc $0{,}0256x=2{,}27$ et $x=\dfrac{2{,}27}{0{,}0256}\approx 88{,}7$ kg/ha. Cette valeur est à l'intérieur de la plage observée, donc la prévision reste fiable. Remarquez qu'on résout ici, alors qu'on remplaçait en a) et b) : c'est l'énoncé qui dit laquelle des deux variables est connue.

e) La prévision est arithmétiquement correcte, $0{,}0256\times 1000+2{,}23=27{,}83$, mais elle n'a AUCUN sens agronomique. On extrapole ici sept fois au-delà de la plus grande valeur observée, et l'on obtiendrait un rendement près de cinq fois supérieur au meilleur rendement mesuré. Le modèle linéaire n'a jamais été validé dans cette zone, et l'on sait que la réalité y plafonne puis décroît : au-delà d'un certain seuil, l'engrais brûle les racines. La réponse attendue tient en deux temps : le calcul est juste, la conclusion est abusive, et c'est l'extrapolation lointaine qui est en cause. C'est le reproche le plus fréquent qu'un correcteur formule sur ce chapitre.

a) Le lien est le plus fort au magasin A, dont le coefficient vaut $0{,}88$ contre $0{,}52$ pour B. La valeur absolue du coefficient mesure l'INTENSITÉ du lien, c'est-à-dire à quel point les points sont serrés autour de la droite. Au magasin A, la température explique très bien les ventes ; au magasin B, elle ne les explique que partiellement, et d'autres facteurs interviennent.

b) C'est au magasin B qu'un degré de plus rapporte davantage : $120$ dollars contre $45$. La PENTE mesure l'EFFET, c'est-à-dire de combien la variable dépendante change quand la variable indépendante augmente d'une unité. Elle se lit en dollars par degré, et c'est cette unité qui rappelle ce qu'elle mesure.

c) Non, les deux réponses sont différentes : A pour la force du lien, B pour l'effet. Il faut en conclure que le COEFFICIENT et la PENTE répondent à deux questions distinctes, et qu'aucun des deux ne remplace l'autre. Le coefficient dit à quel point on peut se fier au modèle ; la pente dit ce que le modèle prévoit. Un lien faible peut avoir un grand effet, un lien fort un petit effet.

d) C'est faux, et c'est la confusion la plus répandue du chapitre. La pente ne dit rien de la dispersion du nuage. Au magasin B, les ventes bougent beaucoup quand la température change, mais elles bougent aussi beaucoup pour d'autres raisons, ce que traduit le coefficient de $0{,}52$ : le nuage est large. On peut très bien imaginer un nuage à forte pente et très dispersé, ou un nuage presque plat et parfaitement aligné. Énoncé correct : la pente mesure l'effet, le coefficient mesure la force du lien.

e) Au magasin A. Plus le coefficient est proche de $1$ en valeur absolue, moins les points s'écartent de la droite, donc plus la prévision est serrée. Avec $r=0{,}52$ au magasin B, deux journées de même température peuvent afficher des ventes très différentes, et la droite ne donne qu'une tendance moyenne peu contraignante. C'est le coefficient, et non la pente, qu'on regarde avant de se fier à une prévision.

a) $y=0{,}0256\times 60+2{,}23=1{,}536+2{,}23=3{,}77$ t/ha. La valeur observée dans le tableau est $3{,}9$ t/ha : l'écart est de $0{,}13$ tonne, soit environ $3\,\%$. C'est normal : la droite RÉSUME le nuage, elle ne passe pas par tous les points. Un écart de cet ordre confirme au contraire que le modèle colle bien aux données.

b) La recette vaut le rendement multiplié par le prix de la tonne : $3{,}77\times 290=1093{,}30$ dollars par hectare. On multiplie une quantité en tonnes par un prix en dollars par tonne : les tonnes se simplifient et il reste des dollars, ce qui confirme que l'opération a un sens.

c) L'engrais coûte $60\times 1{,}80=108$ dollars par hectare. Ici le prix est au kilogramme et la quantité en kilogrammes par hectare : le résultat est donc bien en dollars par hectare.

d) À $60$ kg/ha : $1093{,}30-108=985{,}30$ dollars de bénéfice net par hectare. À $120$ kg/ha, le rendement prévu vaut $0{,}0256\times 120+2{,}23=5{,}30$ t/ha, la recette $5{,}30\times 290=1537$ dollars, et l'engrais $120\times 1{,}80=216$ dollars, donc un bénéfice de $1321$ dollars par hectare. Le bénéfice augmente donc de $335{,}70$ dollars par hectare quand on double la dose.

e) Selon ce modèle, OUI : chaque kilogramme d'engrais rapporte $0{,}0256\times 290\approx 7{,}42$ dollars de grain et n'en coûte que $1{,}80$, donc un gain net d'environ $5{,}62$ dollars par kilogramme. Le modèle pousse donc à épandre toujours plus, ce qui doit éveiller les soupçons. Avant de conclure, il faudrait vérifier que la relation reste LINÉAIRE au-delà de $140$ kg/ha, la plus forte dose observée. Or on sait qu'un excès d'engrais finit par plafonner le rendement, puis par le faire baisser : le vrai nuage se courbe, et la droite cesse d'être un bon modèle. La réponse complète tient donc en deux temps : ce que dit le modèle, et pourquoi il ne faut pas le suivre hors de sa plage de validité.

a) Les données sont déjà rangées par abscisse croissante. Premier groupe, les quatre premières valeurs : abscisses $4$, $5$, $6$, $6$, de moyenne $\dfrac{21}{4}=5{,}25$ ; ordonnées $420$, $390$, $360$, $345$, de moyenne $\dfrac{1515}{4}=378{,}75$. Donc $P_{1}(5{,}25\,;378{,}75)$. Second groupe : abscisses $7$, $7$, $8$, $9$, de moyenne $\dfrac{31}{4}=7{,}75$ ; ordonnées $320$, $310$, $285$, $260$, de moyenne $\dfrac{1175}{4}=293{,}75$. Donc $P_{2}(7{,}75\,;293{,}75)$.

b) $m=\dfrac{293{,}75-378{,}75}{7{,}75-5{,}25}=\dfrac{-85}{2{,}5}=-34$ millisecondes par heure. Interprétation : chaque heure de sommeil supplémentaire fait GAGNER environ $34$ millisecondes sur le temps de réaction. Le signe négatif est ici une bonne nouvelle, puisqu'un temps de réaction plus court vaut mieux : c'est le contexte, et non le signe, qui dit si une pente est favorable.

c) On substitue $P_{1}$ dans $y=-34x+b$ : $378{,}75=-34\times 5{,}25+b=-178{,}5+b$, donc $b=557{,}25$. L'équation est $y=-34x+557{,}25$. Attention à l'interprétation de $b$ : il vaudrait le temps de réaction pour ZÉRO heure de sommeil, ce qui n'a aucun sens réel. Une ordonnée à l'origine n'est pas toujours interprétable, et il faut le dire plutôt que d'inventer une explication.

d) Point moyen global : $\bar{x}=\dfrac{52}{8}=6{,}5$ heures et $\bar{y}=\dfrac{2690}{8}=336{,}25$ ms. On remplace : $-34\times 6{,}5+557{,}25=-221+557{,}25=336{,}25$. La droite passe bien par ce point, ce qui valide d'un coup la pente et l'ordonnée à l'origine. C'est la vérification à faire systématiquement après une droite de Mayer.

e) $y=-34\times 10+557{,}25=-340+557{,}25=217{,}25$ ms. La prévision est une EXTRAPOLATION, puisque $10$ dépasse la plus grande valeur observée, $9$. Elle reste toutefois très proche de la plage des données, d'une seule heure, donc elle est raisonnable, à condition de la présenter comme une estimation. Le modèle devient en revanche absurde si on le pousse : à $17$ heures de sommeil, il prévoirait un temps de réaction négatif, ce qui est impossible. La bonne pratique consiste donc à extrapoler d'un pas, jamais de cinq, et à dire pourquoi on s'arrête là.

1) FAUX. Le coefficient mesure un lien STATISTIQUE, jamais une cause. Ici, une variable cachée, la chaleur, fait monter les deux en même temps. Énoncé correct : les deux quantités varient ensemble, et la corrélation ne dit rien du sens de la causalité, ni même qu'il en existe une.

2) FAUX. Le coefficient ne mesure que la corrélation LINÉAIRE. Un nuage en forme de parabole peut donner $r=0{,}03$ tout en présentant un lien parfait. Énoncé correct : un coefficient proche de zéro signifie qu'il n'y a pas de lien LINÉAIRE, et il faut regarder le nuage pour savoir s'il existe un lien d'une autre forme.

3) FAUX. La pente mesure l'EFFET, le coefficient mesure la FORCE du lien. Un magasin de pente $120$ dollars par degré et de coefficient $0{,}52$ a un lien PLUS FAIBLE qu'un magasin de pente $45$ et de coefficient $0{,}88$. Énoncé correct : les deux nombres répondent à deux questions différentes, et l'on regarde le coefficient pour juger de la fiabilité d'une prévision.

4) FAUX. Le signe donne le SENS, pas la qualité. Un coefficient de $-0{,}95$ décrit un lien aussi fort qu'un coefficient de $+0{,}95$. Le lien entre le sommeil et le temps de réaction est négatif, et c'est une excellente nouvelle : dormir davantage fait réagir plus vite. Énoncé correct : c'est la valeur absolue qui mesure la force, et le contexte qui dit si la tendance est souhaitable.

5) FAUX. La droite RÉSUME le nuage, elle ne le traverse pas point par point. Pour l'engrais, la droite prévoit $3{,}77$ t/ha à $60$ kg/ha alors que la valeur observée est $3{,}9$ : l'écart est normal et même attendu. Énoncé correct : la droite de Mayer passe par les deux points moyens et par le point moyen global, et par eux seuls en général.

a) Méthode A : $1{,}4\times 6+52=8{,}4+52=60{,}4$. Méthode B : $3{,}1\times 6+41=18{,}6+41=59{,}6$. Les deux prévisions sont donc très proches, à moins d'un point l'une de l'autre, alors que les deux droites sont pourtant très différentes.

b) Pour $x=0$, chaque note vaut l'ordonnée à l'origine : $52$ pour la méthode A et $41$ pour la méthode B. Interprétation : sans révision, les élèves de la méthode A partent onze points plus haut. Cela peut tenir à la méthode elle-même, mais aussi à la composition des deux groupes, et l'énoncé ne permet pas de trancher.

c) On cherche quand $3{,}1x+41$ dépasse $1{,}4x+52$ : $3{,}1x-1{,}4x>52-41$, soit $1{,}7x>11$ et $x>\dfrac{11}{1{,}7}\approx 6{,}47$ heures. La méthode B devient donc plus avantageuse à partir d'environ $6{,}5$ heures de révision. C'est exactement le raisonnement du chapitre des systèmes : le point d'intersection donne le SEUIL, et la réponse se lit du côté où l'on se trouve.

d) La prévision de la méthode A est plus fiable : son coefficient, $0{,}79$, se situe dans la zone forte, contre $0{,}34$ pour B, qui est faible. Autrement dit, chez A le temps de révision explique bien la note ; chez B, deux élèves qui révisent le même nombre d'heures peuvent obtenir des notes très différentes. La droite de B décrit une tendance moyenne peu contraignante, malgré sa forte pente.

e) Une conclusion défendable tient compte des deux nombres et reste prudente. Par exemple : « La méthode A donne une relation nettement plus fiable entre le temps de révision et la note, et elle est plus avantageuse jusqu'à environ $6{,}5$ heures de révision. La méthode B promet davantage au-delà, mais sa corrélation faible rend cette promesse incertaine, et la comparaison ne prouve pas qu'une méthode CAUSE de meilleures notes, les deux groupes n'ayant peut-être pas le même profil au départ. » Les deux réserves comptent autant que les chiffres : l'incertitude liée au coefficient, et l'absence de preuve de causalité. C'est précisément ce qu'un correcteur cherche dans une question de conclusion.

a) Le nuage descend, mais il n'est pas LINÉAIRE : il chute brutalement entre un et deux boyaux, puis s'aplatit, et les derniers points sont presque alignés horizontalement. Cette forme en courbe décroissante qui s'aplatit est la signature d'une variation INVERSE, pas d'une droite. Le coefficient de $-0{,}85$ est donc trompeur : il est fort parce que la tendance générale est bien descendante, mais la FORME n'est pas celle d'une droite.

b) Premier groupe, les trois premières valeurs : abscisses $1$, $2$, $3$, de moyenne $2$ ; ordonnées $240$, $120$, $80$, de moyenne $\dfrac{440}{3}\approx 146{,}67$. Second groupe : abscisses $4$, $5$, $6$, de moyenne $5$ ; ordonnées $60$, $48$, $40$, de moyenne $\dfrac{148}{3}\approx 49{,}33$. La pente vaut $\dfrac{49{,}33-146{,}67}{5-2}=\dfrac{-97{,}33}{3}\approx -32{,}44$, et $b\approx 146{,}67+32{,}44\times 2=211{,}56$. La droite est donc $y\approx -32{,}44x+211{,}56$.

c) $y=-32{,}44\times 8+211{,}56=-259{,}56+211{,}56=-48$ minutes. La droite prévoit un temps NÉGATIF, ce qui est impossible : aucune piscine ne se remplit en moins de zéro minute. C'est la démonstration la plus nette qu'un modèle peut être ajusté correctement et rester totalement inadapté. Le calcul est juste, le modèle est faux.

d) La situation suit une variation INVERSE : plus il y a de boyaux, moins il faut de temps, et le produit des deux reste constant. Vérifions : $1\times 240=240$, et $6\times 40=240$ également. On peut le confirmer sur toutes les données : $2\times 120=240$, $3\times 80=240$, $4\times 60=240$ et $5\times 48=240$. Le modèle est donc $y=\dfrac{240}{x}$, et le nombre $240$ représente le temps qu'un seul boyau mettrait, c'est-à-dire le travail total à faire. Pour huit boyaux, il prévoit $\dfrac{240}{8}=30$ minutes, une valeur parfaitement plausible.

e) Qu'il ne suffit JAMAIS à lui seul. Le coefficient de corrélation LINÉAIRE ne mesure que l'alignement des points, et il peut être élevé sur un nuage nettement courbé, comme ici avec $-0{,}85$. La règle de travail qui en découle est simple et vaut pour tout le chapitre : on REGARDE le nuage avant de commenter un coefficient, et l'on choisit le modèle d'après la FORME observée, pas d'après un nombre. Le plan de la séquence le dit d'ailleurs en toutes lettres : il s'agit de tracer une courbe associée au modèle CHOISI, et le choix précède toujours le tracé.