Math CST, secondaire 4 à Montréal • Géométrie

Fiche de révision : la géométrie analytique (math CST, secondaire 4)

En séquence CST, la géométrie analytique sert à mesurer sur un plan : la distance entre deux adresses, la position d'une borne le long d'un sentier, la pente d'une descente. Le cercle, la médiatrice et les coniques appartiennent aux autres séquences.

Gardez un seul réflexe pendant la révision : commencez toujours par écrire les deux DIFFÉRENCES de coordonnées. La distance, la pente et le point de partage sortent tous les trois de ces deux nombres, et les écrire une fois évite de les recalculer trois fois.

Le fil du chapitre

Un couple de coordonnées ne dit rien tout seul : ce sont les DIFFÉRENCES qui parlent. Elles donnent la distance par Pythagore, la pente par leur quotient, et un point de partage par une fraction d'elles-mêmes.

Ce chapitre fait partie de Mathématique CST, secondaire 4

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Nombres réels, racines et ensemblesSecondaire 3
2Lois des exposants et notation scientifiqueSecondaire 3
3Expressions algébriques et mise en évidenceSecondaire 3
4Équations et inéquations du premier degréSecondaire 3
5Fonctions : propriétés et réciproqueSecondaire 3
6Fonction de degré 1 : variations directe et partielleSecondaire 3
7Théorème de Pythagore et réciproqueSecondaire 3

L'essentiel

Deux différences, trois grandeurs

• On écrit d'abord $\Delta x=x_{2}-x_{1}$ et $\Delta y=y_{2}-y_{1}$ . Tout le chapitre sort de ces deux nombres.
• DISTANCE : $d=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}$ , c'est-à-dire Pythagore. Le signe disparaît au carré, donc l'ordre des deux points ne change rien.
• PENTE : $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ , le quotient des deux différences. MILIEU : la moyenne des coordonnées, $\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\,;\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$ , où l'on ADDITIONNE.
• POINT DE PARTAGE : on part du premier point et l'on ajoute une FRACTION de chaque différence. Le milieu en est le cas particulier, avec la fraction $\dfrac{1}{2}$ .

Les deux différences,

8

6

, donnent la distance

10

par Pythagore, la pente

\dfrac{6}{8}

par leur quotient, et le milieu

(6\,;6)

par la moyenne.

La distance est toujours SUPÉRIEURE à chacune des deux différences, et inférieure à leur somme. Deux contrôles gratuits en un coup d'oeil.

Un rapport n'est pas une fraction

• Le rapport $a:b$ partage le segment en $a+b$ parts ÉGALES. Le point se trouve après $a$ d'entre elles, donc à la fraction $\dfrac{a}{a+b}$ du trajet.
• $2:3$ place donc le point aux DEUX CINQUIÈMES, jamais aux deux tiers ni au tiers. Additionner les deux nombres du rapport est le premier geste, avant tout calcul.
• On part ensuite du PREMIER point nommé et l'on ajoute cette fraction de chaque différence : $P\left(x_{1}+\dfrac{a}{a+b}\Delta x\,;y_{1}+\dfrac{a}{a+b}\Delta y\right)$ .
• Quand une différence est NÉGATIVE, on soustrait : la formule reste la même, c'est le signe qui fait le travail.

Le rapport

2:3

découpe le segment en cinq parts égales :

P

est posé après deux d'entre elles, donc aux deux cinquièmes de

AB

Vérification en trente secondes : la distance du premier point au point de partage doit valoir exactement la fraction annoncée de la longueur totale.

La pente se calcule ET s'interprète

• En situation, la pente est un TAUX DE VARIATION : elle a une unité et un sens. $-10$ litres par minute se lit « le réservoir perd dix litres chaque minute ».
• Le SIGNE porte la moitié du sens : positif pour une croissance, négatif pour une décroissance. L'oublier transforme une vidange en remplissage.
• Pente NULLE : droite horizontale, la grandeur ne change pas. Pente NON DÉFINIE : droite verticale, la variation horizontale est nulle. Les deux ne se confondent jamais.
• ÉQUATION $y=mx+b$ : $m$ est le taux, $b$ la valeur pour $x=0$ . On trouve $m$ par deux points, puis $b$ en substituant l'un d'eux.

Une pente en POURCENTAGE compare deux longueurs de même unité : $3000$ m sur $40$ km demande de convertir les kilomètres avant de diviser.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Du rapport à la fraction du trajet

La colonne du milieu est le nombre total de parts, obtenu en ADDITIONNANT les deux nombres du rapport. C'est lui le dénominateur, et l'oublier est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Rapport $AP:PB$	Parts en tout	Position de $P$
$1:1$	$2$	à la moitié
Exemple : C'est le point milieu : $\dfrac{1}{2}$ du trajet depuis $A$ .
$1:3$	$4$	au quart
Exemple : $\dfrac{1}{4}$ du trajet : $P$ est nettement plus près de $A$ .
$2:3$	$5$	aux deux cinquièmes
Exemple : Depuis $A(-3\,;2)$ vers $B(9\,;8)$ : $P(1{,}8\,;4{,}4)$ .
$3:2$	$5$	aux trois cinquièmes
Exemple : Mêmes points : $Q(4{,}2\,;5{,}6)$ , de l'autre côté du milieu.
$2:3$	$3$	aux deux tiers lecture fausse
Exemple : Le second nombre n'est pas le dénominateur : ce serait $P(5\,;6)$ , bien au-delà du vrai point. Même forme, autre résultat : La bonne lecture donne $(1{,}8\,;4{,}4)$ , et la vérification par les distances le confirme : $AP$ vaut bien $\dfrac{2}{5}$ de $AB$ . Ce qu'il faut faire : Additionner les deux nombres du rapport AVANT tout calcul, et écrire la fraction obtenue en toutes lettres.

Une fraction inférieure à un demi place le point dans la première moitié, une fraction supérieure dans la seconde. C'est le contrôle le plus rapide.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Lire un rapport de partage

la question entière, et souvent celles qui en dépendent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $AP:PB=2:3$ , donc $P$ est au tiers du segment. »

Ce qu'il faut écrire

« Le rapport fait $2+3=5$ parts : $P$ est aux DEUX CINQUIÈMES. »

Pourquoi : Le rapport compare les deux morceaux entre eux, il ne dit pas quelle fraction du tout représente le premier. Pour $A(-3\,;2)$ et $B(9\,;8)$ , le bon point est $(1{,}8\,;4{,}4)$ , le tiers donnerait $(1\,;4)$ .

2. Calculer un point milieu

1 à 2 points, et le point obtenu n'est même pas sur le segment

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le milieu de $A(2\,;3)$ et $B(10\,;9)$ est $(10-2\,;9-3)=(8\,;6)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« On fait la MOYENNE : $\left(\dfrac{2+10}{2}\,;\dfrac{3+9}{2}\right)=(6\,;6)$ . »

Pourquoi : Le milieu est un point situé ENTRE les deux, donc une moyenne. La soustraction donne les différences, qui servent à autre chose. Contrôle visuel : le milieu doit tomber au centre du segment tracé.

3. Calculer une distance

la question entière, et l'erreur se répète sur chaque distance du problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La distance entre $A(2\,;3)$ et $B(10\,;9)$ vaut $10-2=8$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $d=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{100}=10$ . »

Pourquoi : La différence des abscisses n'est qu'UNE cathète du triangle rectangle. Contrôle immédiat : la distance doit dépasser chacune des deux différences, et $8$ ne dépasse pas $8$ .

4. Nommer la pente d'une droite verticale

1 à 2 points, et une confusion qui revient à chaque lecture de graphique

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Une droite verticale a une pente nulle. »

Ce qu'il faut écrire

« Sa variation horizontale est nulle, donc sa pente n'est pas DÉFINIE. »

Pourquoi : Une pente nulle décrit une droite HORIZONTALE, où la grandeur ne change pas : un congélateur à $-18\,^\circ$ C pendant six heures. Une verticale, elle, ferait varier la grandeur sans que le temps s'écoule.

5. Trouver la pente d'une perpendiculaire

2 à 3 points, et l'angle obtenu n'est pas droit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La perpendiculaire à une droite de pente $\dfrac{3}{4}$ a pour pente $-\dfrac{3}{4}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« C'est l'inverse OPPOSÉ : $-\dfrac{4}{3}$ , et le produit des pentes vaut $-1$ . »

Trois droites par le point

(4\,;1)

et autour : la parallèle garde la pente

\dfrac{3}{4}

, la perpendiculaire prend

-\dfrac{4}{3}

, pas

-\dfrac{3}{4}

Pourquoi : L'élève change le signe sans retourner la fraction. Le produit vaudrait alors $-\dfrac{9}{16}$ , pas $-1$ . Le contrôle tient en une multiplication : on multiplie toujours les deux pentes et l'on vérifie qu'on obtient $-1$ .

6. Conclure que deux droites sont confondues

1 à 2 points, et une réponse fausse à « se rencontrent-elles ? »

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $y=\dfrac{3}{4}x+2$ et $y=\dfrac{3}{4}x-1$ ont la même pente, donc c'est la même droite. »

Ce qu'il faut écrire

« Elles sont PARALLÈLES et distinctes : leurs ordonnées à l'origine diffèrent. »

Pourquoi : La pente donne la direction, l'ordonnée à l'origine donne la position. Deux droites ne sont confondues que si les DEUX coïncident. Ici, elles restent à trois unités d'écart vertical partout.

7. Exprimer une pente en pourcentage

la question entière, avec un résultat mille fois trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $3000$ m d'altitude perdus sur $40$ km : $\dfrac{3000}{40}=75$ , soit $7500\,\%$ . »

Ce qu'il faut écrire

« On convertit : $\dfrac{3000}{40\,000}=0{,}075$ , soit $7{,}5\,\%$ . »

Pourquoi : Un pourcentage compare deux longueurs de MÊME unité. Le résultat absurde saute d'ailleurs aux yeux : aucune pente ne dépasse $100\,\%$ sans être plus raide que $45^\circ$ .

8. Confondre remplacer et résoudre

la question entière, avec un résultat sans aucun sens

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La facture vaut $450$ dollars avec $y=55x+65$ : $y=55\times 450+65$ . »

Ce qu'il faut écrire

« On connaît $y$ , donc on RÉSOUT : $450=55x+65$ donne $x=7$ heures. »

Pourquoi : C'est la question qui dit laquelle des deux variables est connue. Remplacer $x$ par un montant en dollars donne $24\,815$ , un nombre d'heures impossible qui aurait dû alerter.

Quelle méthode choisir

Que demande la question, au juste ?

Les trois grandeurs du chapitre sortent des deux mêmes différences. On les écrit une fois, puis on choisit ce qu'on en fait.

Si On cherche une LONGUEUR ou une distance → $d=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}$

Exemple : $\Delta x=8$ et $\Delta y=6$ donnent $d=10$
Si On cherche un TAUX, une inclinaison ou une pente → $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ , avec son unité

Exemple : $\dfrac{-300}{30}=-10$ litres par minute
Si On cherche un POINT situé sur le segment → on ajoute une fraction de chaque différence au premier point

Exemple : Aux $\dfrac{2}{5}$ : $\left(-3+4{,}8\,;2+2{,}4\right)=(1{,}8\,;4{,}4)$

Écrire $\Delta x$ et $\Delta y$ en tête de copie fait gagner du temps sur les trois questions suivantes, et évite de recalculer les mêmes soustractions.

Comment sont ces deux droites l'une par rapport à l'autre ?

On met les deux équations sous la forme $y=mx+b$ , puis on compare d'abord les PENTES, ensuite seulement les ordonnées à l'origine.

Si Les pentes sont égales et les ordonnées à l'origine différentes → PARALLÈLES distinctes : elles ne se rencontrent jamais

Exemple : $y=\dfrac{3}{4}x+2$ et $y=\dfrac{3}{4}x-1$
Si Les pentes ET les ordonnées à l'origine sont égales → CONFONDUES : c'est la même droite écrite deux fois

Exemple : $y=\dfrac{3}{4}x+2$ et $2y=\dfrac{3}{2}x+4$
Si Le produit des pentes vaut $-1$ → PERPENDICULAIRES

Exemple : $\dfrac{3}{4}\times\left(-\dfrac{4}{3}\right)=-1$

Dans tous les autres cas, les droites sont simplement sécantes : elles se croisent en un point, sans angle droit.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Modéliser une situation par une droite

Quand l'utiliser : L'énoncé donne deux couples de valeurs, par exemple deux durées et deux montants, et demande une règle ou une prévision.

1 Nommer les deux variables avec leur unité : « soit $x$ la durée en heures et $y$ le montant en dollars ».
2 Écrire les deux couples connus, puis calculer la pente $m$ comme quotient des différences.
3 Interpréter la pente en une phrase, avec son unité : c'est une question à part entière.
4 Trouver $b$ en substituant l'un des deux couples, puis l'interpréter aussi.
5 Écrire l'équation complète, et vérifier qu'elle redonne le SECOND couple.

Phrase de conclusion

« $m=\dfrac{340-175}{5-2}=55$ dollars par heure, et $175=55\times 2+b$ donne $b=65$ dollars de déplacement : la règle est $y=55x+65$ . »

Le piège : Donner la pente sans l'interpréter. En CST, la phrase d'interprétation vaut souvent autant de points que le calcul lui-même.

Barème : 1 point pour la pente, 1 point pour son interprétation, 1 point pour $b$ , 1 point pour l'équation vérifiée sur le second couple

Placer un point de partage

Quand l'utiliser : L'énoncé parle d'un point situé « aux deux cinquièmes », « dans le rapport $2:3$ » ou d'une borne parmi plusieurs également espacées.

1 Additionner les deux nombres du rapport pour obtenir le nombre total de parts, et écrire la fraction : « $2+3=5$ , donc les deux cinquièmes ».
2 Calculer les deux différences $\Delta x$ et $\Delta y$ depuis le PREMIER point nommé.
3 Ajouter la fraction de chaque différence aux coordonnées de ce premier point, en respectant les signes.
4 Vérifier : la distance du premier point au point trouvé doit valoir la fraction annoncée de la longueur totale.
5 Conclure en donnant le couple de coordonnées.

Phrase de conclusion

« Le rapport $2:3$ fait cinq parts, donc $P$ est aux deux cinquièmes : $P\left(-3+\dfrac{2}{5}\times 12\,;2+\dfrac{2}{5}\times 6\right)=P(1{,}8\,;4{,}4)$ . »

Le piège : Partir du mauvais point. $AP:PB=2:3$ se compte depuis $A$ ; partir de $B$ donnerait le point des trois cinquièmes, c'est-à-dire l'autre.

Barème : 1 point pour la fraction correcte, 2 points pour les coordonnées, 1 point pour la vérification par les distances

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La distance dépasse chaque différence

Comparez votre distance aux deux différences : elle doit être plus grande que chacune, et plus petite que leur somme.

Avec $8$ et $6$ : la distance $10$ est bien entre $8$ et $14$ . Une réponse de $8$ signalerait qu'on a oublié la seconde différence.
Le point de partage du bon côté

Une fraction inférieure à un demi place le point dans la PREMIÈRE moitié. Regardez les coordonnées : elles doivent être proches de celles du premier point.

Aux deux cinquièmes depuis $A(-3\,;2)$ , le point $(1{,}8\,;4{,}4)$ est bien plus près de $A$ que de $B(9\,;8)$ .
Le produit des pentes, pour une perpendiculaire

Multipliez les deux pentes : le résultat doit valoir exactement $-1$ . Trois secondes, et le piège le plus fréquent du chapitre est écarté.

$\dfrac{3}{4}\times\left(-\dfrac{4}{3}\right)=-1$ : perpendiculaires. $\dfrac{3}{4}\times\left(-\dfrac{3}{4}\right)=-\dfrac{9}{16}$ : non.
Le signe de la pente contre la situation

Relisez l'énoncé : la grandeur augmente-t-elle ou diminue-t-elle ? Le signe de votre pente doit dire la même chose.

Un réservoir qui se vide donne une pente NÉGATIVE, $-10$ L/min. Une pente positive décrirait un remplissage.
L'équation redonne les deux couples

Après avoir écrit $y=mx+b$ , substituez le SECOND couple, celui qui n'a pas servi à trouver $b$ . Il doit tomber juste.

$55\times 5+65=340$ , ce qui correspond bien au second couple de l'énoncé.

L'exercice type décortiqué

Une situation modélisée : la facture du plombier

Un plombier facture $175$ dollars pour une intervention de $2$ heures et $340$ dollars pour une intervention de $5$ heures.

Écrivez la règle qui donne la facture selon la durée, puis déterminez la durée d'une intervention facturée $450$ dollars.

Étape 1

Soit $x$ la durée en heures et $y$ le montant en dollars. Couples connus : $(2\,;175)$ et $(5\,;340)$ .

Pourquoi

Nommer les variables avec leur unité est ce qui permet ensuite d'interpréter la pente en dollars par heure. Sans cette ligne, l'interprétation n'a rien sur quoi s'appuyer.

Étape 2

$m=\dfrac{340-175}{5-2}=\dfrac{165}{3}=55$ dollars par heure.

Pourquoi

La pente est le quotient des deux différences. Son unité se lit dans le quotient lui-même : des dollars divisés par des heures donnent des dollars par heure.

Étape 3

Interprétation : chaque heure de travail supplémentaire coûte $55$ dollars.

Pourquoi

C'est une question à part entière en séquence CST, et elle vaut souvent autant que le calcul. Une pente sans phrase n'est qu'un nombre.

Étape 4

$175=55\times 2+b=110+b$ , donc $b=65$ dollars. Vérification : $55\times 5+65=340$ .

Pourquoi

On substitue le premier couple pour trouver $b$ , puis on vérifie avec le SECOND, celui qui n'a pas servi. C'est ce qui rend la vérification réelle plutôt que circulaire.

Étape 5

Interprétation de $b$ : $65$ dollars sont dus même pour une durée nulle, c'est le frais de déplacement. La règle est $y=55x+65$ .

Pourquoi

Les deux paramètres ont chacun un sens concret, et les nommer est ce que la grille de correction cherche : un tarif horaire et un montant fixe.

Étape 6

Facture de $450$ dollars : $450=55x+65$ , donc $55x=385$ et $x=7$ heures.

Pourquoi

Ici on connaît $y$ et l'on cherche $x$ : c'est une ÉQUATION à résoudre, pas une substitution. Lire correctement laquelle des deux variables est donnée vaut la moitié des points d'une situation d'application.

Conclusion rédigée

La règle est $y=55x+65$ , où $55$ dollars par heure est le tarif horaire et $65$ dollars le frais fixe de déplacement ; une facture de $450$ dollars correspond à une intervention de $7$ heures.

L'erreur classique sur cet exercice : Remplacer $x$ par $450$ au lieu de résoudre : on obtiendrait $55\times 450+65=24\,815$ , présenté comme un nombre d'heures. Le contrôle de bon sens tranche immédiatement.

À savoir par cœur

• On écrit d'abord $\Delta x$ et $\Delta y$ : la distance, la pente et le point de partage en sortent tous les trois.
• Distance : $\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}$ . Elle dépasse chaque différence et reste sous leur somme.
• Milieu : la MOYENNE des coordonnées. On additionne, on ne soustrait pas.
• Rapport $a:b$ : le segment fait $a+b$ parts, et le point est à la fraction $\dfrac{a}{a+b}$ du trajet.
• Point de partage : on part du PREMIER point nommé et l'on ajoute la fraction de chaque différence, signes compris.
• Pente : $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ , avec une unité et un sens. Le signe dit si la grandeur monte ou descend.
• Pente nulle : droite horizontale. Pente non définie : droite verticale. Jamais l'inverse.
• $y=mx+b$ : $m$ est le taux de variation, $b$ la valeur pour $x=0$ . On les interprète tous les deux.
• Parallèles : même pente. Confondues seulement si $b$ est aussi le même.
• Perpendiculaires : produit des pentes égal à $-1$ , c'est-à-dire l'inverse OPPOSÉ.

Questions fréquentes

Comment calculer la distance entre deux points dans un plan cartésien ?

On calcule d'abord la différence des abscisses, puis celle des ordonnées. On élève chacune au carré, on les additionne, et on prend la racine carrée du total. C'est le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle que forment les deux différences. Comme on élève au carré, les signes disparaissent : l'ordre des deux points ne change rien au résultat.

Que signifie un rapport de partage comme 2 pour 3 ?

Il signifie que le segment est coupé en cinq parts égales, deux d'un côté du point et trois de l'autre. Le point se trouve donc aux deux cinquièmes du trajet depuis le premier point nommé, et non au tiers ni aux deux tiers. Le premier geste est toujours d'additionner les deux nombres du rapport pour obtenir le dénominateur de la fraction.

Comment placer un point de partage à partir des coordonnées ?

On part du premier point nommé dans le rapport et on lui ajoute la fraction voulue de chaque différence de coordonnées. Pour les deux cinquièmes entre A moins 3 virgule 2 et B 9 virgule 8, les différences valent 12 et 6, donc on ajoute 4,8 et 2,4, ce qui donne le point 1,8 virgule 4,4. Si une différence est négative, on soustrait : la formule reste la même.

Quelle est la différence entre une pente nulle et une pente non définie ?

Une pente nulle décrit une droite horizontale : la grandeur ne change pas, comme un congélateur qui reste à moins 18 degrés. Une pente non définie décrit une droite verticale : la variation horizontale vaut zéro, et la division serait impossible. On ne dit donc jamais qu'une verticale a une pente de zéro, et une droite verticale n'est jamais le graphique d'une fonction.

Comment trouver la pente d'une droite perpendiculaire à une autre ?

On prend l'inverse opposé : on retourne la fraction et on change le signe. La perpendiculaire à une droite de pente trois quarts a donc pour pente moins quatre tiers. L'erreur classique est de changer seulement le signe, ce qui donnerait moins trois quarts. Le contrôle est immédiat : le produit des deux pentes doit valoir exactement moins un.

Comment exprimer une pente en pourcentage ?

On divise la variation verticale par la variation horizontale, les deux exprimées dans la même unité, puis on multiplie par cent. Une descente de 3000 mètres sur 40 kilomètres demande de convertir les kilomètres en mètres avant de diviser, ce qui donne 0,075, soit 7,5 pour cent. Oublier la conversion donne un résultat mille fois trop grand.

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Exercices corrigés : La géométrie analytique

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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